莫 祺

廣東省廣州市真光中學(xué) (510380)

2022年新高考Ⅰ卷多選的壓軸題是一道函數(shù)性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)綜合題，要求學(xué)生在抽象函數(shù)的背景下，理解函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、導(dǎo)數(shù)等概念以及它們之間的聯(lián)系，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高的要求.

一、考題呈現(xiàn)

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

本題是2022年新高考1卷的第12題，是2021年新高考2卷單選壓軸題的拓展延伸，綜合性更強(qiáng).除了考查抽象函數(shù)的性質(zhì)之外，還考查了原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱性之間的關(guān)聯(lián)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題干的條件得到原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性，再準(zhǔn)確把握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系.下面將從定義、圖象、特殊函數(shù)等幾方面解析這道題.

二、解法研究

1、從函數(shù)性質(zhì)定義和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的角度

2、從函數(shù)圖象變換和導(dǎo)數(shù)幾何意義的角度

3、從特殊函數(shù)驗(yàn)證的角度

三、拓展延伸

解法1涉及了原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)在周期性上的聯(lián)系，解法2涉及了原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)在對(duì)稱性上的聯(lián)系，但沒有嚴(yán)格的證明.下面給出原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)在奇偶性、對(duì)稱性、周期性上的命題，并給予證明.

命題1 若f(x)是偶(奇)函數(shù)且可導(dǎo)，f′(x)是奇(偶)函數(shù).

證明：設(shè)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)=f(-x)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：f′(x)=-f′(-x)，f′(x)為奇函數(shù)，同理可證f(x)為奇的情況.

命題2f′(x)為偶(奇)函數(shù)且可積，f(x)可以表為一個(gè)奇(偶)函數(shù)與一常數(shù)之和.

命題3 若f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱且可導(dǎo)，則f′(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.若f(x)關(guān)于點(diǎn)(h,k)對(duì)稱且可導(dǎo)，則f′(x)關(guān)于x=h對(duì)稱.

證明：若f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱，則f(x)=f(2a-x)，兩邊求導(dǎo)得f′(x)=-f′(2a-x)，故f′(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，同理可證f(x)關(guān)于點(diǎn)(h,k)對(duì)稱的情況.

命題5 若定義在I上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱，則當(dāng)b≠0時(shí)，函數(shù)f(x)不關(guān)于直線x=a對(duì)稱；當(dāng)b=0時(shí)，存在x0，若a-x0，a+x0∈I，使得f(a-x0)=f(a+x0)時(shí)，函數(shù)f(x)圖象關(guān)于x=a對(duì)稱.[1]

命題4、5的證明見參考文獻(xiàn)[1].

命題6 若f(x)是周期為T的函數(shù)時(shí)，f′(x)也是周期為T的函數(shù).

證明：已知f(x+T)=f(x)，則兩邊求導(dǎo)有f′(x+T)=f′(x)，即f′(x)是周期為T的函數(shù).

命題7 若f′(x)為可積的周期為T的函數(shù)，且f(T)=f(0)，則f(x)也是周期為T的函數(shù).

原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系不僅體現(xiàn)在單調(diào)性與最值問題上，而且在對(duì)稱性、周期性等性質(zhì)上也有很大的關(guān)聯(lián)性.雖然上述的一些證明使用積分，但是深入理解概念和熟悉圖象變化特征也是能得到上述結(jié)論的.因此，在平時(shí)的教學(xué)中，一定要重視概念的講解，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，避免機(jī)械式做題，注重一題多解、一題多變，強(qiáng)化新情境下數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.