華國邑*

（重慶交通大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶）

引言

系統(tǒng)的辨識方法有很多種，一般可以分為兩類，一種是非參數(shù)模型辨識方法，另一種是參數(shù)模型辨識方法。其中參數(shù)模型辨識方法是通過假設(shè)模型的結(jié)構(gòu)，然后極小化模型與系統(tǒng)之間的誤差準則函數(shù)，估計出模型的參數(shù)[1]。如果無法提前確定模型結(jié)構(gòu)，則需要先識別模型結(jié)構(gòu)參數(shù)，然后對模型參數(shù)進行估計?，F(xiàn)代辨識方法按基本原理可分為3 類: 最小二乘辨識法、梯度修正辨識法和概率密度逼近辨識法[2]。本研究將重點研究最小二乘辨識的經(jīng)典辨識方法，通過假設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)已知，只討論參數(shù)估計問題。首先從基本最小二乘法參數(shù)估計入手，進行推廣、仿真，最后從仿真結(jié)果對基本最小二乘法、增廣最小二乘法和相關(guān)最小二乘法進行比較，說明各種算法的優(yōu)點和應(yīng)用條件。

1 最小二乘原理及解

在系統(tǒng)辨識的研究中，將待辨識系統(tǒng)視為個黑箱，只考慮系統(tǒng)的輸入輸出特性，不強調(diào)系統(tǒng)的內(nèi)部機理[3]。現(xiàn)在用SISO 系統(tǒng)研究識別問題, 對于SISO離散系統(tǒng)，其描述方程為

2 兩類推廣的最小二乘法辨識

2.1 增廣最小二乘辨識

根據(jù)增廣最小二乘法的遞推算法，增廣最小二乘法辨識程序運行曲線見圖1。

圖1 相關(guān)最小二乘辨識仿真

2.2 相關(guān)最小二乘辨識

相關(guān)最小二乘法是一種用兩步法估計出參數(shù)模型的參數(shù)值辨識方法，先用相關(guān)分析法辨識系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，確定出被識系統(tǒng)的非參數(shù)模型，然后再應(yīng)用最小二乘法將非參數(shù)模型擬合成參數(shù)模型[1,4]?？紤]如下模型

該算法與輔助變量算法式是一致的，且該算法結(jié)構(gòu)與遞推最小二乘法相同，不過需要先求k 時刻的相關(guān)函數(shù)，然后依相關(guān)函數(shù)時間間隔l 實現(xiàn)遞推計算。

例2 本例仿真模型和實驗條件與例1 相同，圖2是仿真結(jié)果。

圖2 相關(guān)最小二乘辨識仿真

3 三類最小二乘辨識的比較

從模型精度、收斂性、存儲容量、計算時間等方面對基本最小二乘法、增廣最小二乘法、相關(guān)最小二乘法進行比較，說明各種算法的優(yōu)勢及應(yīng)用條件。

3.1 基本最小二乘法模型結(jié)構(gòu)

（1） 對于白噪聲參數(shù)，參數(shù)估計是一種無偏一致的最小方差估計；（2） 對于有色噪聲，參數(shù)估計有偏但收斂；（3） 對于高階系統(tǒng)，該算法優(yōu)于其他算法；（4） 一次完成算法精度高，但逆矩陣計算量大，不適合在線識別；（5） 數(shù)據(jù)越多，占用的存儲空間和時間越多。

3.2 增廣最小二乘法模型結(jié)構(gòu)

（1） 大多數(shù)情況下收斂，但有時不收斂；（2） 計算量大；（3） 性質(zhì)類似于遞推最小二乘法。

3.3 相關(guān)最小二乘法模型結(jié)構(gòu)

（1） 輸入信號與噪聲序列統(tǒng)計獨立時，可以得到一致的估計；（2） 算法具有較高估計精度和信噪比；（3） 可用于離線或在線辨識，初始狀態(tài)值對遞歸估計影響??；（4） 計算時間短，但在有色噪聲的情況下，計算量大。

最小二乘法是最基本、最常用的系統(tǒng)辨識方法，它能在觀測數(shù)據(jù)最小平方差時實現(xiàn)最佳擬合?；咀钚《怂惴ǜm合理論研究[5-6]，但編程中占用較大的存儲空間，計算量大，因此常用于離線系統(tǒng)辨識。增廣最小二乘法擴展了最小二乘法的參數(shù)向量和數(shù)據(jù)向量，還考慮噪聲模型的辨識。相關(guān)最小二乘法是一種兩步估計參數(shù)模型參數(shù)值的方法。除上述辨識方法外，還有許多最小二乘參數(shù)辨識方法，可以根據(jù)不同模型進行選擇[1,3,6]。