蔣亞軍

?浙江省寧波市第四中學(xué)

復(fù)習(xí)課是查漏補(bǔ)缺、完善技能、落實(shí)素養(yǎng)的基本課型，而一題多解、一題多變是常見的一種模式.傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課以教師講學(xué)生聽為主，學(xué)生的探究學(xué)習(xí)體驗(yàn)少，沒有體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，忽視了學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.本文中通過一節(jié)關(guān)于橢圓中兩直線斜率和(積)為定值與直線過定點(diǎn)的復(fù)習(xí)課，探究一題多解優(yōu)化運(yùn)算凸顯問題本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)一題多變，多角度理解數(shù)學(xué)對(duì)象形成通法，引發(fā)對(duì)“一題一課、多解變式”復(fù)習(xí)課的教學(xué)思考.

1 題目呈現(xiàn)及前期準(zhǔn)備

這是一道橢圓中的定點(diǎn)定值問題，題目難度適中，適合學(xué)生自主完成解答.考慮到課堂重心在于學(xué)生理解問題的本質(zhì)，形成優(yōu)化后的通性通法，將問題以作業(yè)的形式前置，便于了解學(xué)生的解答情況.

2 教學(xué)環(huán)節(jié)

2.1 一題多解凸顯本質(zhì)

師：本題的已知條件和目標(biāo)要求是如何聯(lián)系起來的呢？

生1：先將PA，PB的斜率表示出來，再利用斜率和等于-1即可.當(dāng)然最主要的還是在計(jì)算上不要出錯(cuò).

生2：思路和方法我都會(huì)，就是計(jì)算的時(shí)候經(jīng)常會(huì)出錯(cuò)，特別是在對(duì)斜率之和通分與代入化簡的過程中，稍不留神就會(huì)出錯(cuò).有沒有一種能減少計(jì)算量的解法呢？

生3：kPA和kPB的結(jié)構(gòu)是一樣的，要出現(xiàn)含有y-1和x的式子，只需對(duì)橢圓和直線分別進(jìn)行轉(zhuǎn)化就可以了.

師：很好！你能對(duì)橢圓方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化嗎？

師：現(xiàn)在已經(jīng)將橢圓和直線方程都轉(zhuǎn)化為含有x和y-1的式子，接下來怎么辦呢？聯(lián)立方程，消元，利用韋達(dá)定理？

生4：這樣不是與前面的解法一樣了嗎？計(jì)算量沒有減少.

生5：橢圓方程兩邊同時(shí)除以x2！

生6：不行的，次數(shù)不統(tǒng)一，又不是齊次式.

師：那該怎么辦呢？

生7：我還有新的想法，因?yàn)橹本€方程是自己構(gòu)建的，所以把直線方程設(shè)為mx+n(y-1)=1，就不會(huì)出現(xiàn)分母m-1了.

師：同學(xué)們都很棒，從減少計(jì)算量這一目標(biāo)出發(fā)，不斷修正解題過程，最后圓滿完成設(shè)定目標(biāo).數(shù)學(xué)解題就是一個(gè)不斷深入本質(zhì)、優(yōu)化方法的過程,讓我們一起整理一下優(yōu)化后的解法——“齊次化”法.

點(diǎn)評(píng)：將學(xué)生的解法投屏，展示其思維過程，對(duì)題目的已知和所求進(jìn)行分析，聯(lián)系已有知識(shí)對(duì)所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化和化歸，架起解決問題的橋梁.學(xué)生出現(xiàn)了對(duì)斜率是否存在未討論，或在聯(lián)立直線和橢圓方程消元得到韋達(dá)定理時(shí)計(jì)算出錯(cuò)，或在代入斜率公式計(jì)算時(shí)出錯(cuò)等問題.通過對(duì)比，說明學(xué)生的運(yùn)算求解能力需要加強(qiáng).通過學(xué)生暴露出來的計(jì)算問題，以減少計(jì)算量提高準(zhǔn)確率為目的，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)斜率之和(積)為定值這類問題的本質(zhì)，構(gòu)造關(guān)于目標(biāo)斜率的齊二次方程，利用韋達(dá)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化和求解.這樣就能使問題較快地得到解決，形成優(yōu)化解法.

2.2 一題多變注重通法

師：用“齊次化”的方法可以有效減少計(jì)算量，但需注意的是要配成齊二次的形式.如果把條件kPA+kPB=-1換成kPA·kPB=-1，你能否很快解決嗎？

師：很好！“齊次化”的本質(zhì)就是構(gòu)建關(guān)于斜率的韋達(dá)定理.如果改變條件和結(jié)論的順序，你能證明嗎？

師：將點(diǎn)P從橢圓上移到橢圓外，得到變式3，你能求出定點(diǎn)嗎？對(duì)更一般情況的變式4，你還能證明嗎？拋物線和雙曲線中還能用這種方法嗎？

3 教學(xué)反思

3.1 基于學(xué)情選擇合適的例題

復(fù)習(xí)課的定位應(yīng)該是“基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、基本技能的提高、基本思想方法的落實(shí)、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累”.因此,例題的選擇要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，“跳一跳，能摘到”，為學(xué)生提供適合的內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，發(fā)揮其潛能[2].解析幾何中的定點(diǎn)定值問題是考試的熱點(diǎn)，學(xué)生往往有思路、會(huì)方法，但由于計(jì)算問題不能順利解出答案.針對(duì)這一現(xiàn)象，從一道高考改編題入手，通過師生互動(dòng)啟發(fā)，生生互動(dòng)完善，挖掘定點(diǎn)與定值問題的本質(zhì)，構(gòu)造目標(biāo)斜率的齊二次方程，在學(xué)生原有的解法上進(jìn)行優(yōu)化，總結(jié)形成解決這類問題的通性通法——“齊次化”.

3.2 基于學(xué)情進(jìn)行合理變式

變式教學(xué)的目的就是突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、提煉解題方法，實(shí)現(xiàn)解一題通一類、解一類用一法的效果，使知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化、方法程序化.通過改變條件、結(jié)論、順序等，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生思考變式怎么變、為什么這么變、還可以怎么變，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.圍繞著“齊次化”這一通性通法，將定點(diǎn)定值問題深層次的本質(zhì)挖掘出來.任何解決數(shù)學(xué)問題的方法背后都是有思考過程的，而理解又是思考的基礎(chǔ)，因此對(duì)問題本源的思考與分析在課堂教學(xué)中是非常重要的[3].

4 結(jié)束語

圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題，是高考和?？嫉臒狳c(diǎn)問題，學(xué)生往往有思路而解不出最終答案，因此得分率不高.直接運(yùn)算是數(shù)學(xué)運(yùn)算的低級(jí)水平，往往伴隨著大量繁雜的計(jì)算；合理運(yùn)算是數(shù)學(xué)運(yùn)算的中級(jí)水平，利用轉(zhuǎn)化化歸的思想，減少計(jì)算量達(dá)到求簡的目的；創(chuàng)新運(yùn)算是數(shù)學(xué)運(yùn)算的高級(jí)水平，既快又準(zhǔn)地得到答案，追求至簡的目標(biāo).通性通法重要，是學(xué)生必須掌握的方法和技能，在此基礎(chǔ)上通過合理轉(zhuǎn)化，往往會(huì)減少計(jì)算量.