劉威，郭直清，姜豐，劉光偉，靳寶，王東

1.遼寧工程技術(shù)大學 理學院，遼寧 阜新123000

2.遼寧工程技術(shù)大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學研究所，遼寧 阜新123000

3.遼寧工程技術(shù)大學 智能科學與數(shù)學研究院，遼寧 阜新123000

4.遼寧工程技術(shù)大學 礦業(yè)學院，遼寧 阜新123000

+通信作者E-mail:lv8218218@126.com

最優(yōu)化問題是指在一定約束條件下，利用數(shù)學優(yōu)化算法從可行方案中選出最優(yōu)方案從而提高整個系統(tǒng)收益的問題。但隨著工程技術(shù)、經(jīng)濟管理等領(lǐng)域中出現(xiàn)越來越多的大規(guī)模高維度非線性問題及人們對實際問題解集的正確性和精度要求增高，這使得傳統(tǒng)優(yōu)化算法不再適用[1]，而基于群體啟發(fā)的智能優(yōu)化算法卻有較好的求解結(jié)果。因此近半世紀以來，許多基于群體啟發(fā)的智能優(yōu)化算法相繼被提出，例如粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）[2]、蝴蝶優(yōu)化算法（butterfly optimization algorithm，BOA）[3]、飛蛾撲火算法（moth-flame optimization，MFO）[4]、原子搜索算法（atom search optimization，ASO）[5]、多元宇宙優(yōu)化算法（multi-verse optimizer，MVO）[6]和鯨魚優(yōu)化算法（whale optimization algorithm，WOA）[7]等。

灰狼優(yōu)化算法（grey wolf optimizer，GWO）是Mirjalili等[8]于2014 年受灰狼群體行為啟發(fā)而提出的一種新型元啟發(fā)式算法。由于其在解決某些優(yōu)化問題時具有收斂速度快、參數(shù)少等特點被廣泛應(yīng)用于工程理論實踐中，但隨著優(yōu)化問題的復(fù)雜度增大，GWO 仍存在全局搜索能力差、易陷入局部最優(yōu)等缺陷。針對于此，研究學者提出了許多較好的GWO 改進算法，其主要分為四類：

（1）初始種群多樣性改進策略。在元啟發(fā)式算法中，增強初始種群多樣性對算法收斂性有極大影響，其中以混沌映射策略和反向?qū)W習策略改進為主。在混沌映射中，二維混沌映射[9]、Tent 映射[10]、Kent 映射[11]、Cubic 映射[12-13]等已被廣泛用于GWO 初始化種群中并成功提高了算法收斂性；在反向?qū)W習中，龍文等[14]、顧清華等[15]、張新明等[16]、張興輝等[17]、周蓉等[18]將反向?qū)W習策略用于GWO 種群初始化中并成功增強了初始種群多樣性，而且還平衡了算法全局勘探和局部開采能力。

（2）控制參數(shù)的非線性改進策略。在GWO 中，控制參數(shù)A和C幾乎決定了算法勘探和開采能力。其中，參數(shù)A主要由收斂因子a決定且對其的研究改進較多。為了增強算法的優(yōu)化性能，對收斂因子a的修正幾乎都是將其修改為非參數(shù)收斂因子，例如：指數(shù)衰減函數(shù)[19]、對數(shù)衰減函數(shù)[20]、正弦與余弦函數(shù)及二次函數(shù)[21]等。

（3）灰狼位置更新改進策略?；依莻€體位置的更新對算法收斂性和全局探索性有較大影響，因此，不同的位置更新方式可提高GWO 的優(yōu)化性能。龍文等[14]受差分進化思想啟發(fā)對灰狼位置進行改進以平衡算法的全局勘探和局部開采能力；張鑄等[22]引入正態(tài)云模型更新灰狼位置，提高了算法跳出局部最優(yōu)解的能力，增強了算法優(yōu)化性能。

（4）多算法交叉融合改進策略。不同優(yōu)化算法處理同一復(fù)雜問題時有不同的搜索策略，故算法間的交叉融合也是GWO 算法的一種改進方向。例如：張新明等[23]將灰狼和郊狼算法混合提出了一種灰狼與郊狼混合優(yōu)化算法（hybrid COAwith GWO，HCOAG）；顧清華等[15]將遺傳算法與灰狼算法混合提出了遺傳-灰狼混合算法（hybrid genetic grey wolf algorithm，HGGWA）；黃晨晨等[24]將蛙跳算法和灰狼算法混合提出了混合蛙跳-灰狼優(yōu)化算法（shuffled frog leaping GWO，SFL-GWO）等。這些改進的混合算法結(jié)合不同算法的搜索優(yōu)勢，均增強了原始算法的優(yōu)化性能。

以上研究各有所長，都在不同時期不同領(lǐng)域?qū)WO 算法進行了較好的改進，但根據(jù)無免費午餐定理[25]可知，沒有任何一種算法可以解決所有類型的優(yōu)化問題。因此本文針對GWO 算法早熟收斂、勘探和開采能力不平衡的問題，提出了一種基于Chebyshev融合狼群協(xié)同圍攻策略的改進GWO 算法（Chebyshev and wolf swarm cooperative attack strategy of grey wolf optimizer，CCA-GWO）。為了驗證CCA-GWO處理復(fù)雜優(yōu)化問題的能力，利用8 個基準測試函數(shù)測試其在不同維度下（10 維、30 維和100 維）的優(yōu)化性能并將其應(yīng)用于PID（proportion integration differen-tiation）參數(shù)優(yōu)化。實驗結(jié)果表明，與GWO 及其他優(yōu)化算法對比，CCA-GWO 不僅在各維度下能取得較好的效果，而且在處理PID參數(shù)優(yōu)化問題時有較好性能。

1 灰狼優(yōu)化算法（GWO）

GWO 是Mirjalili等[8,14,26]受灰狼群體行為啟發(fā)，模擬灰狼群等級制度和捕食狩獵行為而提出的一種元啟發(fā)式算法?；依侨和ǔＳ搔?、β、δ和ω四個等級灰狼構(gòu)成，其中α狼為狼群中等級最高的灰狼，主要負責領(lǐng)導、捕食和食物分配等主要決策；β狼為α狼下屬灰狼，主要負責協(xié)助α狼進行決策；δ狼是α和β狼的下屬灰狼，主要負責放哨和偵察等工作；ω狼是等級最低的灰狼，主要負責維持灰狼群內(nèi)部平衡。灰狼群捕食狩獵行為可分為三個階段：追蹤并接近獵物；包圍并迫使獵物停止移動；攻擊并捕獲獵物。

假設(shè)灰狼種群數(shù)為N，第i只灰狼的位置為Xi，α狼所在位置為群體最優(yōu)解，β狼所在位置為第二最優(yōu)解，δ狼所在位置為第三最優(yōu)解。則灰狼捕食狩獵行為的數(shù)學模型可描述如下。

（1）追蹤、包圍行為的數(shù)學模型為：

其中，t為當前迭代次數(shù)，D表示灰狼與獵物兩者之間的位置距離，P代表獵物，XP(t)為第t次迭代時獵物所在的位置，X(t)為灰狼個體所在位置，A和C為參數(shù)，可表示為：

其中，r1、r2為[0，1]之間的隨機數(shù)，a為算法收斂因子，可定義為：

其中，tmax為最大迭代次數(shù)。

（2）迫使獵物停止移動并進行攻擊從而捕獲獵物的數(shù)學模型為：

其中，式（6）～（8）分別表示α狼、β狼、δ狼與ω狼間的距離；Xα、Xβ和Xδ分別表示α狼、β狼和δ狼的位置向量；式（12）為ω狼的位置更新方式。

2 Chebyshev 融合頭狼引導的群體協(xié)同圍攻策略的改進灰狼優(yōu)化算法

2.1 Chebyshev 種群初始化

在灰狼算法中，灰狼群體所處初始位置對求解最優(yōu)值有極大約束作用。初始群體在解空間中分布越均勻，算法尋到最優(yōu)值概率越大。與隨機搜索策略相比，混沌搜索由于其隨機性、遍歷性和非重復(fù)性等特點被廣泛應(yīng)用于初始群體的生成中。因此，為更好地讓灰狼初始群體覆蓋整個解空間，本文引用混沌映射對灰狼群體進行初始化。然而不同的混沌映射對算法初始種群效果不同，故本文通過對Gauss、Tent 和Chebyshev 映射分析對比，選擇適用于灰狼優(yōu)化算法的混沌映射，三種混沌映射生成的初始種群及原始初始種群如圖1 所示。

圖1（a）～圖1（d）分別表示原始初始灰狼種群，由Tent 映射生成的初始灰狼種群，由Gauss 映射生成的初始灰狼種群以及由Chebyshev 生成的初始灰狼種群。由圖1 可知，從初始灰狼種群的生成來看，使用Gauss 映射和隨機生成的灰狼群在空間中分布更為均勻，甚至Tent 映射的效果也優(yōu)于Chebyshev 映射，但本文最終還是選擇使用Chebyshev 作為最終的混沌映射初始種群生成方法，這是為了權(quán)衡灰狼群在狩獵過程中，處于邊界群體對整個算法整體的效率影響，以便于增強算法處理極端問題的能力，同時由于Chebyshev 映射自身生成隨機數(shù)范圍在[-1，1]之間，為兼顧空間分布遍歷性和種群反向抑制特點，最終將Chebyshev 映射引入GWO 算法，其數(shù)學模型為：

其中，x（t）為第t次迭代時種群個體且x∈[-1,1]，t為當前迭代次數(shù)。

2.2 頭狼引導的狼群協(xié)同圍攻策略

在GWO 算法中，A和C是控制灰狼群體包圍和狩獵動物的重要參數(shù)，在平衡算法勘探和開采中有重要作用。其中參數(shù)A的取值由收斂因子a決定。圖2 給出了GWO 原始參數(shù)a和參數(shù)C在1 000 次迭代場景下的變化規(guī)律，從圖2 可知參數(shù)a呈線性下降趨勢，表明了灰狼與獵物間的距離呈線性關(guān)系；而參數(shù)C是0～2 間的均勻分布隨機數(shù)，表明灰狼與獵物間的距離隨機改變，對全局勘探和局部開采無明顯作用，兩者皆與實際自然界中的狼群狩獵規(guī)則不符。

圖2 參數(shù)a 與參數(shù)C 在1 000 次迭代下的函數(shù)值Fig.2 Function value of parameter a and C in 1000 iterations

在自然界中，狼群狩獵時首先會自動排成一字長蛇陣，在頭狼的帶領(lǐng)下對獵物群展開試探性騷擾和沖鋒，迫使獵物群將體弱個體凸顯出來。當鎖定目標后，頭狼就會帶領(lǐng)狼群發(fā)起總攻，若在短時間內(nèi)追上獵物就直接展開圍攻；倘若出現(xiàn)第一波追趕沒有成功且頭狼體能消耗較大情況，則次頭狼就會繞到頭狼之前繼續(xù)帶領(lǐng)狼群展開第二波追擊直到捕獲獵物群中的體弱個體。

（1）收斂因子a的修正

為模擬自然界中的狼群狩獵行為，本文對參數(shù)a進行修正，修正后為：

其中，a∈[0,2]，t=1,2,…,tmax2 代表當前迭代次數(shù)，tmax代表最大迭代次數(shù)。式（14）含義為：參數(shù)a在前期迭代尋優(yōu)過程中（t∈[1,tmax/2]），灰狼群與獵物群中的個體體力充足，兩者距離呈線性關(guān)系，而在后期迭代尋優(yōu)過程中，狼群頭狼（α狼）體力有所下降，其與次頭狼（β狼）進行交換，此時頭狼速度下降，狼群速度下降，與獵物群間的距離增大，但當交替后，次頭狼引導狼群速度提高，而此時獵物群速度下降，兩者間距離逐漸拉進，最終灰狼捕獲獵物（見圖3）。

圖3 參數(shù)a 修正后在1 000 次迭代下的變化曲線Fig.3 Variation curve under 1000 iterations after parameter a is modified

根據(jù)圖3 收斂因子a的變化曲線可知，經(jīng)修正后的算法迭代過程主要分三部分：（1）迭代中前期，收斂因子呈線性遞減趨勢，此時灰狼群和獵物群體力充足，兩者間距保持某個閾值逐漸逼近，收斂因子線性遞減，模擬灰狼追蹤獵物兩者位置接近過程；（2）迭代中期，算法呈平緩非線性遞減趨勢，此時頭狼和次頭狼交換位置，灰狼群速度減慢，故與獵物間間距變大，收斂因子平緩降低，模擬頭狼交換帶來的能量損失；（3）迭代后期，算法呈先快速遞減再逐漸平緩遞減趨勢，此時頭狼與次頭狼位置交替完畢，而獵物群因體力不支速度下降，灰狼群速度上升，故此時兩者間距急劇減小，直至包圍獵物群時速度又突然降低，收斂因子變平緩。

（2）控制參數(shù)C的修正

由文獻[12]可知，GWO 算法的全局勘探能力主要取決于控制參數(shù)C且其取值是為了能隨機增加(C>1)或減輕(C<1)灰狼群體靠近獵物的難易程度。為增加控制參數(shù)C對算法全局勘探和局部探索性的能力，本文對參數(shù)C進行修正。但為了模擬自然界中的頭狼與次頭狼的相互交替結(jié)果，主要對α和β狼參數(shù)進行修正，修正后為：

其中，C1,C2∈[0,2]，A1=A2=A，C1和A1為α狼的控制參數(shù)，代表頭狼體力下降速度降低過程；C2和A2為β狼的控制參數(shù)，代表次頭狼轉(zhuǎn)化為頭狼后速度增加過程。由圖4 可知，修正后的參數(shù)C在前期全局勘探能力和局部開采能力逐漸較低，這是由于頭狼體力下降速度減少所致；當頭狼和次頭狼交替時，灰狼群全局勘探和局部開采能力保持交換時的能力（群體適應(yīng)過程），直至頭狼和次頭狼交替位置后，次頭狼速度逐漸上升，灰狼群全局勘探能力和局部開采能力增強，直至捕獲獵物。

圖4 參數(shù)C 修正后在1 000 次迭代下生成的隨機數(shù)Fig.4 Random number generated under 1000 iterations after parameter C is modified

（3）權(quán)值位置更新策略

控制參數(shù)A和C被修正后，位置公式修正為：

由于在灰狼等級制度中，α、β和δ狼等級制度不一致且為模擬頭狼和次頭狼的相互交替過程及灰狼體力消耗過程，本文對位置更新方程式（12）進行修正，表達式為：

其中，μ1、μ2、μ3分別為α、β和δ狼的距離權(quán)重，其表達式為：

2.3 CCA-GWO 算法實現(xiàn)及時間復(fù)雜度分析

（1）改進的CCA-GWO 算法求解最優(yōu)化問題的尋優(yōu)過程執(zhí)行偽碼如算法1 所示。

算法1CCA-GWO 算法執(zhí)行偽碼

在CCA-GWO 算法中，種群初始化過程需要時間為O(n×Dim)，由于每次計算適應(yīng)度時需額外計算一次a的值，CCA-GWO 個體適應(yīng)度計算更新過程需要時間為O(Maxiterations×n×Dim+Maxiterations)，其中Maxiterations為算法最大迭代次數(shù)，n為種群數(shù)量，Dim為搜索空間維度。故改進算法CCA-GWO 的總時間復(fù)雜度為O(Maxiterations(1+n×Dim))。

綜上所述，CCA-GWO 的時間復(fù)雜度雖然比BOA、WOA、ASO、GWO 時間復(fù)雜度多O(Maxiterations)，但其優(yōu)于MFO 和MVO，并且由于GWO 參數(shù)少，所有算法的最終時間復(fù)雜度排序應(yīng)為：GWO≈CCAGWO≈WOA≈BOA≤ASO＜MFO＜MVO。

3 數(shù)值實驗與分析

為驗證改進算法（CCA-GWO）具有更好的優(yōu)化和收斂性能，本文選取8 組基準測試函數(shù)在不同維度下（10 維、30 維和100 維）進行仿真實驗并與6 種元啟發(fā)式算法進行對比。

3.1 實驗環(huán)境及參數(shù)設(shè)置

（1）實驗環(huán)境

操作系統(tǒng)為64位的Windows 10，CPU 為Intel?CoreTMi7-5557U，主頻3.10 GHz，內(nèi)存為8 GB，實驗平臺為MATLAB2020b。

（2）參數(shù)設(shè)置

為保證實驗客觀公平性，本文初始化參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模50；最大迭代次數(shù)1 000；實驗次數(shù)50；統(tǒng)計評價指標為均值（Mean）、標準差（Std）及最優(yōu)值（Best）；對比算法 為BOA[3]、MFO[4]、ASO[5]、MVO[6]、WOA[7]和GWO[8]。

（3）基準測試函數(shù)

本文選取8 組基準測試函數(shù)（每組測試函數(shù)最優(yōu)值均為0）驗證改進算法優(yōu)化性能，其中F1～F5為單峰函數(shù)，用于測試算法局部開采能力，F(xiàn)6～F8為多峰函數(shù)，用于測試算法平衡全局勘探和局部開采的能力。其中基準測試函數(shù)為：F1Sphere，F(xiàn)2Schwefel 2.22，F(xiàn)3Schwefel 1.2，F(xiàn)4Schwefel 2.21，F(xiàn)5Quartic，F(xiàn)6Rastrigin，F(xiàn)7Ackley，F(xiàn)8Griewank。

3.2 多維度基準函數(shù)優(yōu)化結(jié)果分析與對比

為驗證CCA-GWO 相對于對比算法具有更好的優(yōu)化性能，分別對8 個基準測試函數(shù)在10 維度、30 維度和100 維度情況下進行仿真數(shù)值實驗。表1 給出了7 種元啟發(fā)式算法BOA、MFO、ASO、MVO、WOA、GWO 及CCA-GWO 在50 次獨立實驗的運行結(jié)果的平均值、標準差及最優(yōu)值對比分析。

通過對表1、表2 及表3 實驗結(jié)果分析可知，從總體來說，CCA-GWO 相較于其余6 種元啟發(fā)式算法具有更好的收斂精度和穩(wěn)定性，且隨著基準測試函數(shù)維度不斷增加，其余對比算法收斂精度均有所下降，但CCA-GWO 尋優(yōu)結(jié)果明顯優(yōu)于其他算法。

（1）無論是在低維度（10 和30），還是在高維度（100）上，CCA-GWO在F1、F3、F6、F8上的尋優(yōu)結(jié)果均達到了理論最優(yōu)值0，并且除F7外，CCA-GWO 在其余測試函數(shù)上的實驗結(jié)果在與其他算法的對比中表現(xiàn)出更好的尋優(yōu)性能。

（2）由測試函數(shù)在3 個維度下的實驗結(jié)果可知，CCA-GWO 在測試函數(shù)上的實驗結(jié)果的各項評價指標值除F7外均比其余算法高數(shù)個甚至數(shù)百個數(shù)量級且由圖5 收斂曲線可知，CCA-GWO 收斂速度更快且精度最高。

（3）由表1、表2 及表3在F7上的實驗結(jié)果可知，隨著維度的不斷增加，除BOA 外其余對比算法在F7上的實驗結(jié)果均未發(fā)生顯著性變化，表明大部分元啟發(fā)式算法在F7函數(shù)上的尋優(yōu)不適用性，同時也可得知CCA-GWO在F7上的尋優(yōu)不適用性是由于GWO 算法的自身限制所致。

表1 7 種算法在8 組測試函數(shù)上的對比結(jié)果(Dim=10)Table 1 Comparison results of 7 algorithms on 8 groups of benchmark functions（Dim=10）

表2 7 種算法在8 組測試函數(shù)上的對比結(jié)果(Dim=30)Table 2 Comparison results of 7 algorithms on 8 groups of benchmark functions (Dim=30)

表3 7 種算法在8 組測試函數(shù)上的對比結(jié)果(Dim=100)Table 3 Comparison results of 7 algorithms on 8 groups of benchmark functions (Dim=100)

（4）由單峰測試函數(shù)（F1～F4）的實驗結(jié)果可知，CCA-GWO 在3 個維度下的尋優(yōu)結(jié)果均高于其余對比算法，表明了改進算法的局部搜索能力更強。

（5）由多峰測試函數(shù)（F6、F8、F9）的實驗結(jié)果可知，CCA-GWO 在3 個維度下的各個評價指標均高于其余6 種對比算法，不僅體現(xiàn)了CCA-GWO 具有更強的全局收斂能力，而且還具有更強的收斂速度。

綜上所述，CCA-GWO 相較于其余6 種算法不僅具有更好的局部收斂性和全局探索能力，而且通過測試函數(shù)實驗結(jié)果顯示，CCA-GWO 在求解多維度復(fù)雜函數(shù)具有更好的可靠性和魯棒性。

為更好地對比7 種算法的收斂性，選取兩個單峰函數(shù)（F2和F4）和兩個多峰函數(shù)（F6和F8）的適應(yīng)度進化曲線圖進行分析對比（圖5）。

圖5 不同維度下不同算法收斂曲線Fig.5 Convergence curves of different algorithms under different dimensions

由圖5 可知：

（1）在維度相同時，CCA-GWO 相較于其余6 種元啟發(fā)式算法，無論是在求解單峰還是多峰函數(shù)上都具有更好的收斂性能；

（2）在維度不同時，相較于其余6 種元啟發(fā)式算法，CCA-GWO 能保證更好的收斂速度和收斂精度。

3.3 Wilcoxon 秩和檢驗與算法排名

50 次獨立實驗的結(jié)果的均值和標準差可反饋出算法整體穩(wěn)定性，但并不能衡量算法每次運行結(jié)果。因此，為更好評估改進算法的優(yōu)化性能，本文采用Wilcoxon 秩和檢驗[27-28]給出在5%顯著性水平下8組基準測試函數(shù)中的CCA-GWO 與對比算法的p值。例如，若最佳算法為CCA-GWO，則在CCAGWO vs.GWO 等之間進行比較。表4 給出了10 維、30 維和100 維下，CCA-GWO 與其余6 種元啟發(fā)式算法的秩和檢驗的p值。

由表4 可知，在10 維度和30 維度的仿真實驗結(jié)果下，CCA-GWO 與其他6 種元啟發(fā)算法相比具有更好的優(yōu)化性能，而在100 維度時，CCA-GWO 實驗結(jié)果也僅次于BOA在F7函數(shù)上的實驗結(jié)果。因此從整體上來看，CCA-GWO 具有更好的統(tǒng)計顯著性。

為更好對所有算法進行分析，本文采用MAE 指標對算法進行排序[29]。MAE 表達式為：

其中，Meani為算法最優(yōu)值的均值，oi為對應(yīng)基準函數(shù)的理論最優(yōu)值，Nf為基準函數(shù)個數(shù)。為方便記錄數(shù)據(jù)，表5 中MAE 所在列中的值代表各維度下值的均值，即MAE=(MAE10+MAE30+MAE100)/3。

表5 不同維度下的算法排名Table 5 Algorithm ranking under different dimensions

為更清晰地顯示CCA-GWO 的優(yōu)越性，再次選取F2、F4、F6和F8進行可視化對比分析。圖6 展示了4個基準測試函數(shù)在不同維度下的箱式收斂圖。由圖6 對比分析可知，無論是在單峰還是多峰函數(shù)，無論是在10 維、30 維還是100 維，CCA-GWO 的收斂性能和穩(wěn)定性能對比其余6 種算法效果均最佳，進一步表明了CCA-GWO 算法的有效性。

圖6 不同算法收斂箱式圖Fig.6 Convergence box diagrams of different algorithms

3.4 時間對比分析

為驗證CCA-GWO 算法的運行速度，對7 個優(yōu)化算法在8 個基準測試函數(shù)上進行了50 次獨立測試并記錄了3 個維度下各算法平均運行時間。圖7 表示7個算法在F2、F4、F6及F8函數(shù)上的運行時間柱狀圖。圖7（a）、圖7（b）、圖7（c）分別代表7 種算法在10、30和100 維下的平均運行時間，圖7（d）為各維度下不同算法在8 個測試函數(shù)上的平均運行時間之和。

由圖7（a）、圖7（b）、圖7（c）可知，在給出的4 個測試函數(shù)中，CCA-GWO 在30 維下的平均運行時間均優(yōu)于其余對比算法，在10 維下的平均運行時間僅次于WOA，雖然在100 維時其耗時僅好于ASO和MVO，但是由圖7（d）可知，CCA-GWO 在8 個測試函數(shù)上的總平均運行時間均好于對比算法?？傮w而言，改進算法相較于對比算法耗時更少，優(yōu)化性能更強。

圖7 各維度下7 種算法運行時間對比Fig.7 Running time comparison of 7 algorithms under different dimensions

3.5 收斂性證明

命題1若GWO 收斂，則CCA-GWO 也收斂。

證明由文獻[30]可知，GWO 是收斂的，也即當t→∞時，X(t+1)→Xp(t)，故要證改進收斂，只須證t→∞時，X(t+1)→Xp(t)，也即當t→∞時，

即當t→∞時，

因為A=2ar1-a且由式（14）可知，當t→∞時，a→0，所以A→0 ?式（22）成立?式（21）成立。

因此，當t→∞時，CCA-GWO 收斂。

4 CCA-GWO 在PID 參數(shù)優(yōu)化上的應(yīng)用

4.1 PID 控制理論

PID 控制器因其結(jié)構(gòu)清晰、魯棒性好、參數(shù)調(diào)節(jié)方便等特點被廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)中[31]。近年來，無人駕駛的興起引導了控制理論的變革，PID 作為控制理論中的重要組成部分也將再次成為研究熱點之一。

PID 控制器由比例單元P、積分單元I 和微分單元D 構(gòu)成，其精髓是根據(jù)被控對象實際值與期望值間的偏差來形成控制策略，然后通過參數(shù)優(yōu)化使閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定來實現(xiàn)控制目標[32]。假設(shè)給定控制對象M，則PID 控制器執(zhí)行原理如圖8 所示。

圖8 PID 控制器執(zhí)行原理Fig.8 Execution principle of PID controller

圖8 中，rin(t)為系統(tǒng)輸入信號，yout(t)為系統(tǒng)輸出信號，e(t)為系統(tǒng)誤差。由圖8 可知，PID 控制器的傳遞函數(shù)為：

式中，Kp是比例因子，Ki是積分系數(shù)，Kd是導數(shù)系數(shù)，e(t)為系統(tǒng)誤差。Kp、Ki、Kd是PID 控制器中關(guān)鍵參數(shù)，其數(shù)值變化直接影響PID 控制器性能，故對PID 參數(shù)進行優(yōu)化十分重要。

4.2 PID 參數(shù)優(yōu)化仿真實驗

為驗證改進算法CCA-GWO 的PID 參數(shù)優(yōu)化性能，本文選取二階延遲系統(tǒng)作為仿真算例并進行數(shù)值實驗。為更好地觀測改進算法的優(yōu)越性能，對文獻[33]中的傳遞函數(shù)進行簡單變換得：

式中，G(s)為傳遞函數(shù)，s代表系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)。

仿真實驗的目標函數(shù)為：

其中，e(t)<0 為系統(tǒng)誤差，表示系統(tǒng)輸入與輸出間的誤差；u(t)表示系統(tǒng)輸出信號，ω3|e(t)|為超調(diào)項；ω1、ω2、ω3為權(quán)重，取值范圍為[0，1]且ω3?ω1。

設(shè)算法初始種群規(guī)模為50，最大迭代次數(shù)為100次，輸入信號為單位階躍信號，采樣時間為0.001 s，Kp、Ki、Kd的搜索范圍為[0,50]，仿真時間為100 s。利用6 種對比算法及改進算法進行數(shù)值實驗，得到優(yōu)化適應(yīng)度函數(shù)收斂曲線和階躍響應(yīng)信號輸出曲線，如圖9 和圖10 所示。

圖9 7 種算法的收斂曲線Fig.9 Convergence curves of 7 algorithms

從圖9 不同算法的收斂曲線可以看出，改進的GWO 算法（CCA-GWO）相較于6 種對比算法具有更快的收斂速度，表明CCA-GWO 算法具有更好的收斂性能；從圖10 的階躍響應(yīng)信號輸出曲線可以得知，CCA-GWO 算法的超調(diào)量及調(diào)整時間相較于對比算法更小，說明CCA-GWO 算法相較于對比算法具有更好的系統(tǒng)穩(wěn)定性。綜上所述，在PID 參數(shù)優(yōu)化中，CCA-GWO 相較于對比算法具有更好的優(yōu)化性能。

圖10 不同算法的階躍響應(yīng)信號輸出曲線Fig.10 yout curves of step response signal of different algorithms

5 結(jié)束語

針對灰狼優(yōu)化算法在求解多維度復(fù)雜函數(shù)時收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等問題，本文通過Chebyshev 映射初始化灰狼種群并受狼群狩獵時頭狼與次頭狼的相互交替行為啟發(fā)，修正了控制參數(shù)A、C以及灰狼的位置更新方程，不僅平衡了算法的全局勘探和局部開采能力，而且提高了算法收斂性能。8 個基準測試函數(shù)在10 維、30 維和100 維下的仿真實驗，以及與6 種元啟發(fā)式算法BOA、MFO、ASO、MVO、WOA 和GWO的實驗結(jié)果對比顯示，CCA-GWO 在多個維度的優(yōu)化結(jié)果上具有更高的收斂精度和更好的穩(wěn)定性；最后將改進算法應(yīng)用于PID 參數(shù)優(yōu)化中，數(shù)值實驗結(jié)果表明CCA-GWO 比其余6 種元啟發(fā)式算法具有更大的求解優(yōu)勢和更好的全局收斂性能。