吳正佳 李金雄 單飛祥 李子奇

（三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北宜昌 443002）

0 引言

當(dāng)前，定制化家具企業(yè)面臨著訂單種類和數(shù)量逐漸增加的問題，而排樣是企業(yè)生產(chǎn)加工的首要工序，其好壞程度直接影響生產(chǎn)成本。定制化家具排樣可理解為企業(yè)利用機(jī)械設(shè)備從一定規(guī)格的原板材中切割出組裝成整套家具的矩形零件，從生產(chǎn)成本的角度來說，板材利用率越高，所需板材越少，成本越低。

基于此種情況，部分學(xué)者采用不同方法對(duì)矩形件排樣問題展開了研究。Sanchez等人[1]將模擬退火算法和遺傳算法相結(jié)合，一定程度上提高了板材利用率；羅強(qiáng)等人[2]提出了一種改進(jìn)的十進(jìn)制灰狼算法，根據(jù)排樣圖形狀設(shè)計(jì)定位算法，求解矩形件排樣問題；王莉[3]結(jié)合模擬退火算法和基于匹配度的最低水平線排樣算法，求解以利用率最大化為目標(biāo)的問題模型；郭文文等人[4]考慮工藝約束和機(jī)器刀縫限制，設(shè)計(jì)不同切割規(guī)則求解，以提高利用率?；依撬惴ㄊ且环N群智能算法，由于其較為良好的全局搜索和局部搜索能力，受到廣泛關(guān)注，目前，在聚類分析[5]、路徑規(guī)劃[6]、車間調(diào)度[7]等諸多領(lǐng)域得到應(yīng)用。

本文擬基于定制化家具矩形件排樣問題中零件差異性較大的特點(diǎn)，以板材利用率最大化為求解目標(biāo)，應(yīng)用改進(jìn)的灰狼算法進(jìn)行求解，提高板材利用率，減少板材數(shù)量消耗，降低生產(chǎn)成本，提高企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 問題描述

本文以定制化家具矩形件排樣問題為研究對(duì)象，排樣問題是定制化家具生成的首道工序，直接影響整個(gè)訂單的后續(xù)生產(chǎn)加工。該排樣問題可描述為：將長(zhǎng)度和寬度分別為hi和wi的待切割矩形件排布在長(zhǎng)寬固定且為H和W的原板材上，零件的排放位置不能超出板材的邊界，零件在排放的過程中不能互相重疊。針對(duì)定制化家具，采用木材作為原板材，其尺寸固定，而訂單中待排零件尺寸不一，所以每張板材上排放的零件數(shù)b亦不相同，如何合理安排零件的排布順序和位置，盡可能實(shí)現(xiàn)每張?jiān)宀牡睦寐首畲蠡?，減少廢料和余料的生成，從而實(shí)現(xiàn)整體利用率最大化，是本文要考慮的關(guān)鍵問題。

1.2 模型建立

模型主要基于以下假設(shè)：

（1）排樣過程中，考慮零件紋理，矩形件不能旋轉(zhuǎn)90°；

（3）排樣過程中，原板材的尺寸固定，數(shù)量充足。

其中，約束條件（1）表示原板材利用率最大化，Ha表示最后一張板材所使用的高度，以板材的左下角為坐標(biāo)原點(diǎn)，（xi，yi）表示零件排入板材后零件左下角的坐標(biāo)。約束條件（2）和（3）表示零件不超出原板材的邊界，約束條件（4）和（5）不同時(shí)成立，表示原板材上的零件互相不重疊。

2 改進(jìn)的灰狼算法

排樣問題在實(shí)際求解過程中，可以分為零件的定序和定位問題。定序問題為第一步，決定零件的排布順序，考慮運(yùn)用改進(jìn)的灰狼算法，并調(diào)整游走和奔襲策略，實(shí)現(xiàn)從全局優(yōu)化到局部?jī)?yōu)化的過程；定位問題為第二步，確定待排零件序列在原板材上的排布位置，該過程考慮使用改進(jìn)的最低水平線算法，適當(dāng)調(diào)整零件在板材上的排布位置和順序，實(shí)現(xiàn)排樣利用率最大化。

2.1 改進(jìn)的最低水平線定位算法

改進(jìn)的最低水平線算法是一種更有效的排樣定位算法，其主要思想是：找到板材上的最低水平線，判斷其寬度w和當(dāng)前待排零件的寬度l的大小，若w＜l，則判斷下一個(gè)零件的寬度與水平線寬度的大小，找到可排零件排入，否則更新水平線序列，尋找最低水平線，繼續(xù)排放零件，直到零件全部排完。

改進(jìn)的最低水平線定位算法流程如下：

（1）初始化參數(shù)；

Requirement Analysis of Intelligent Editing of Academic Journal……………HU Yi(1·83)

（2）選取第i張板材，初始化水平線序列；

（3）從待排零件中選取第一個(gè)可排入零件；

（4）若step3中存在可排入零件，則排入零件，返回step3，否則進(jìn)入下一步；

（5）判斷此時(shí)的水平線序列是否為一條，若是，則i=i+1，返回step2，否則進(jìn)入下一步；

（6）提升水平線序列，更新最低水平線，若零件未排完，則返回step3，否則結(jié)束；

（7）排樣完成，輸出排樣結(jié)果。

2.2 灰狼定序算法

灰狼優(yōu)化算法也稱“狼群算法”，是基于狼群群體智能，模擬狼群捕食行為及其獵物分配方式，抽象出游走、召喚、圍攻三種智能行為以及“勝者為王”的頭狼產(chǎn)生規(guī)則和“強(qiáng)者生存”的狼群更新機(jī)制而提出的一種新的群體智能算法。

本文將改進(jìn)的灰狼定序算法與最低水平線定位算法相結(jié)合，一個(gè)在解空間中不斷地搜索更優(yōu)解，另一個(gè)解碼計(jì)算當(dāng)前利用率，每次迭代都保存最佳排樣方案，不斷更新迭代，直到達(dá)到最大利用率或者最大迭代次數(shù)。對(duì)算法中根據(jù)狼群行為抽象出來的游走和奔襲策略進(jìn)行簡(jiǎn)單更改，盡量使游走過程中種群的差異性增大，提升全局搜索范圍。在奔襲過程中，重新定義種群和頭狼之間的距離，并不斷讓種群向頭狼靠近，實(shí)現(xiàn)局部搜索。

（1）編碼。結(jié)合矩形件排樣問題，采用十進(jìn)制的編碼方式對(duì)零件序列進(jìn)行編碼，例如（1，3，5，2，4）表示在原板材上依次排入零件1、零件3、零件5、零件2和零件4。

（2）初始種群。采用十進(jìn)制的編碼方式對(duì)所有的待排零件進(jìn)行編碼，形成一個(gè)從數(shù)字1開始的連續(xù)不重復(fù)十進(jìn)制整數(shù)零件序列，從而得到一個(gè)灰狼個(gè)體。按照該方式，隨機(jī)生成不同的零件序列，形成初始種群。

（3）游走。即將一個(gè)灰狼中的某一個(gè)編碼位向左或向右移動(dòng)一個(gè)較大的距離，例如將灰狼Zi=（1，3，5，2，4）中的第一個(gè)編碼位的zi1向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度變?yōu)閆i′=（3，5，2，4，1）?；谄髽I(yè)加工情況調(diào)研，大部分零件在實(shí)際切割時(shí)有紋理要求，本文不進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。定義游走策略為T（Zi，Q，s，d），表示從第i個(gè)灰狼Zi=（zi1，zi2，zi3，…，zin）的可編碼位Q=（1，2，3，…，n）中選擇連續(xù)的s個(gè)編碼位進(jìn)行位移為d的操作。在文本中，若連續(xù)的s個(gè)編碼位的起始位置小于（1+n）/2，則向右位移，否則向左位移，盡可能增大游走范圍，實(shí)現(xiàn)游走過程中的全局搜索。

（4）奔襲。即灰狼向頭狼靠近的過程，用灰狼與頭狼對(duì)應(yīng)編碼位的值不同的個(gè)數(shù)體現(xiàn)其距離，例如灰狼Zi=（1，3，5，2，4），頭狼Z=（1，2，3，4，5），灰狼和頭狼的編碼位2、編碼位3、編碼位4和編碼位5對(duì)應(yīng)的數(shù)都不相同，則定義兩者的距離為4。奔襲策略R（Zi，L1，L2，d）表示選擇第i個(gè)灰狼Zi=（zi1，zi2，zi3，…，zin）中與頭狼編碼位不同的前d個(gè)編碼位，用頭狼中對(duì)應(yīng)位置替代，例如若L1=（2，3，4，5），L2=（2，3，4，5），則R（Zi，L1，L2，1）表示用頭狼Z中第2個(gè)編碼位中的數(shù)將灰狼Zi中數(shù)進(jìn)行替代，得到奔襲后的灰狼Zi′=（1，2，5，3，4）。

（5）解碼。解碼是運(yùn)用改進(jìn)的最低水平線算法將一串有序、不重復(fù)、代表矩形件的十進(jìn)制整數(shù)序列轉(zhuǎn)化為零件排布圖。整個(gè)解碼過程中，會(huì)對(duì)序列進(jìn)行簡(jiǎn)單調(diào)整，為保證編碼的有效性，該十進(jìn)制整數(shù)序列不存在兩個(gè)相等的數(shù)且不遺漏任何一個(gè)整數(shù)。

3 算例分析

3.1 某批次訂單零件尺寸

根據(jù)某制定化企業(yè)的生產(chǎn)情況，選取了5個(gè)不同批次的生產(chǎn)訂單，為滿足零件排樣要求，將所有訂單數(shù)據(jù)按照零件尺寸、材料進(jìn)行整理，表1為其中一個(gè)批次的部分訂單數(shù)據(jù)信息。

表1 零件數(shù)據(jù)信息

基于訂單數(shù)據(jù)信息可知，由于單個(gè)訂單中零件數(shù)量一般較少，對(duì)訂單零件進(jìn)行排樣前，會(huì)將訂單按照其交貨期合并到一個(gè)批次，從而減少生產(chǎn)過程中的切換頻率，在一定程度上提高利用率，本文中每一個(gè)批次零件的材質(zhì)、顏色和厚度相同，所有零件均可排布在尺寸為2 440 mm×1 220 mm 的原板材上。

3.2 實(shí)例計(jì)算

根據(jù)矩形件排樣問題的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合各批次的零件尺寸，以原板材的利用率最大化為目標(biāo)進(jìn)行求解。對(duì)比訂單分批后的經(jīng)驗(yàn)算法，將算法運(yùn)行50次，得到不同批次的利用率及其所需板材數(shù)量，如表2所示。

表2 不同批次排樣結(jié)果

在不同的排樣批次中，為了較充分地比較算法的有效性，分別選取了不同零件規(guī)模的算例，零件個(gè)數(shù)從42個(gè)到196個(gè)不等，將本文中的改進(jìn)灰狼算法和企業(yè)訂單分批后所使用的經(jīng)驗(yàn)算法進(jìn)行比較，板材利用率均有不同程度的提升，分別提升了8.58%、5.23%、7.13%、9.36% 和7.31%，對(duì)應(yīng)批次所需板材的數(shù)量分別減少2、3、1、4和4塊。改進(jìn)的灰狼算法較經(jīng)驗(yàn)算法利用率有較大的提升，減少了企業(yè)生產(chǎn)成本，提高了企業(yè)的生產(chǎn)效益。

部分零件的排布情況如圖1所示。

圖1 部分零件排樣圖

4 總結(jié)與展望

本文應(yīng)用改進(jìn)的灰狼算法求解定制化家具矩形件排樣問題，針對(duì)排樣優(yōu)化中的零件定序和定位問題，改進(jìn)灰狼定序算法中游走、奔襲策略和最低水平線定位策略，實(shí)現(xiàn)從全局求解到局部求解的優(yōu)化過程，并與實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)排樣算法對(duì)比，利用率有較大程度的提升。但文中都是單個(gè)批次分別排樣，未考慮整個(gè)排樣過程中廢料與余料再利用的情況，且文中待排零件都是已分類完成的，未考慮零件本身的尺寸情況對(duì)排樣利用率的影響，以上兩個(gè)方面還有待進(jìn)一步研究。