江蘇省無錫市華莊中心小學(xué) 王金鳳

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的很多方面都強(qiáng)調(diào)，學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行思考，提高發(fā)現(xiàn)問題和分析解決問題的能力。而利用逆向思維來解決問題是一種較高級(jí)的思維方式，它可以打破思維定式，使學(xué)生的大腦更加活躍，從而突破瓶頸，融入發(fā)散、創(chuàng)造等更多思維。

受兒童認(rèn)知接受能力的限制，逆向思維能力的培養(yǎng)也非一朝一夕的事。利用驗(yàn)算教學(xué)來培養(yǎng)逆向思維能力是小學(xué)階段常見的形式，主要體現(xiàn)在運(yùn)算教學(xué)和解決問題教學(xué)中。一方面，運(yùn)算能力是最為重要的核心素養(yǎng)之一，它不僅僅是一種操作能力，更是數(shù)學(xué)的一種思維能力，運(yùn)算的互逆關(guān)系，是逆向思維的重要表現(xiàn)形式之一；另一方面，從果到因把所得結(jié)果作為條件，把原題中一個(gè)條件當(dāng)作問題進(jìn)行倒推，培養(yǎng)還原意識(shí)，也是常見的驗(yàn)算形式，更是培養(yǎng)逆向思維的方法。

因此，重視驗(yàn)算教學(xué)，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅是與新課標(biāo)理念下核心素養(yǎng)的一種契合，也對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)起到了至關(guān)重要的作用。

一、觀照：小學(xué)數(shù)學(xué)驗(yàn)算現(xiàn)象及分析

小學(xué)階段，教師常常會(huì)遇到如下問題：學(xué)生的運(yùn)算能力較差，在解決問題的過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤往往也發(fā)現(xiàn)不了。因?yàn)橛?jì)算失誤、理解出現(xiàn)偏差等造成正確率下降的現(xiàn)象屢見不鮮。究其原因，除去客觀因素，如學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握得不夠扎實(shí)、專注力的穩(wěn)定性不高，和他們逆向思維能力較差、驗(yàn)算缺乏意識(shí)也有很大關(guān)系。

筆者對(duì)學(xué)校253名五年級(jí)學(xué)生做過一個(gè)驗(yàn)算情況的調(diào)查。（見表1、表2）

表1 驗(yàn)算頻率

表2 驗(yàn)算方式

從調(diào)查結(jié)果中不難看出，一方面，學(xué)生驗(yàn)算意識(shí)不強(qiáng)，自我要求不高，對(duì)不同情況作業(yè)的重視程度也不同，他們大多不會(huì)主動(dòng)去驗(yàn)證自己的答案是否正確；另一方面，學(xué)生驗(yàn)算方式的貧乏和逆向思維的欠缺，在解決問題的過程中更習(xí)慣于運(yùn)用順向思維解決問題。導(dǎo)致這種情況的原因主要有兩個(gè)。

（一）學(xué)生主觀因素

兒童的惰性決定了學(xué)生不愿意主動(dòng)去進(jìn)行驗(yàn)算，但由于教師、家長(zhǎng)對(duì)考試的重視，因此在考試時(shí)，他們才會(huì)更加重視驗(yàn)算。學(xué)生不愿驗(yàn)算也與他們盲目的自信有關(guān)，他們常常覺得驗(yàn)算枯燥無味，并且浪費(fèi)時(shí)間。更重要的是，兒童對(duì)于驗(yàn)算的認(rèn)知屬于淺層次的認(rèn)識(shí)，沒有形成逆向思考的策略意識(shí)。

（二）教師客觀因素

1.認(rèn)知不到位

教師本身對(duì)驗(yàn)算價(jià)值認(rèn)識(shí)不到位，以為驗(yàn)算只是提高正確率的輔助手段，沒有深層次考慮到驗(yàn)算意識(shí)培養(yǎng)的重要性，以及驗(yàn)算對(duì)學(xué)生逆向思維培養(yǎng)的影響，因此在計(jì)算教學(xué)的課堂上，學(xué)生學(xué)完算理后，教師便強(qiáng)化計(jì)算的反復(fù)練習(xí)，弱化了驗(yàn)算環(huán)節(jié)的教學(xué)，導(dǎo)致驗(yàn)算教學(xué)流于形式。學(xué)生對(duì)驗(yàn)算作用的情感體驗(yàn)不夠強(qiáng)烈，部分原因就是教師本身不重視。除此之外，很多教師片面地認(rèn)為驗(yàn)算僅僅適用于計(jì)算的檢驗(yàn)。事實(shí)上，驗(yàn)算除了可以檢驗(yàn)出計(jì)算結(jié)果是否正確，在解決問題等方面，也可以有效地檢查出原本解題思路中出現(xiàn)的問題。

2.方式不到位

從種種現(xiàn)象來看，多數(shù)學(xué)生對(duì)驗(yàn)算是有抵觸情緒的。究其原因，一方面，跟教師強(qiáng)制要求學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)算有關(guān)，有些題目雖然沒有要求驗(yàn)算，但是因?yàn)榻處煆?qiáng)制要求學(xué)生驗(yàn)算，學(xué)生會(huì)認(rèn)為多此一舉，產(chǎn)生逆反心理；另一方面，驗(yàn)算的形式被教師強(qiáng)制定義為筆算。其實(shí)，驗(yàn)算的方法有多種，除了重新進(jìn)行計(jì)算、利用加、減、乘、除進(jìn)行逆向驗(yàn)算外，估算、口算以及將結(jié)果和條件互換進(jìn)行倒推等形式也是驗(yàn)算。

二、透析：驗(yàn)算內(nèi)涵特質(zhì)及其價(jià)值探尋

（一）內(nèi)涵特質(zhì)

驗(yàn)算，顧名思義，是通過逆運(yùn)算演算一遍，檢驗(yàn)之前運(yùn)算的結(jié)果是否正確。驗(yàn)算能夠有效地檢查出計(jì)算過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，雖然對(duì)解題思維上的錯(cuò)誤無太大用處，但是通過驗(yàn)算所得結(jié)果與原數(shù)據(jù)的比較可以很好地檢驗(yàn)運(yùn)算是否正確。因此，驗(yàn)算其實(shí)也是逆向思維的一種形式。

（二）價(jià)值探尋

1.驗(yàn)算，是對(duì)運(yùn)算互逆的實(shí)踐認(rèn)識(shí)

學(xué)生能在驗(yàn)算中體會(huì)到加與減、乘與除的互逆關(guān)系，能將新知同化，并納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。它是從原問題的反方向進(jìn)行思考的一個(gè)過程，而逆向思維正是和正向思維相反又相互聯(lián)系的思維過程。由此可見，驗(yàn)算是感受逆向思維的過程，是經(jīng)過內(nèi)心思考后的思維升華。教師要重視驗(yàn)算教學(xué)，踐行運(yùn)算互逆，發(fā)展逆向思維，進(jìn)而契合數(shù)學(xué)新課標(biāo)的核心素養(yǎng)。

2.“驗(yàn)算意識(shí)”，是直抵逆向思維的直覺透察

培養(yǎng)驗(yàn)算意識(shí)，是提高學(xué)生逆向思維能力的途徑，更是直抵逆向思維的直覺透察。逆向思維屬于發(fā)散思維，也是培養(yǎng)學(xué)生其他能力的核心。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中讓學(xué)生經(jīng)歷從正向思維到逆向思維的思維過程，是激活其發(fā)散思維的重要舉措?！盀樗级鴮W(xué)”就要調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，隨著思想的不斷深入，思維能力的不斷提高，提升學(xué)生終身學(xué)習(xí)和適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的能力，這正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值所在。

三、架構(gòu)：“驗(yàn)算意識(shí)”到“逆向思維”的實(shí)踐策略

錯(cuò)誤客觀存在是不可避免的，逆向思維能力的提高，驗(yàn)算意識(shí)的深化在一定程度上能減少錯(cuò)誤的產(chǎn)生。那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的驗(yàn)算意識(shí)，提高其逆向思維能力呢？最直接的方法就是優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)，促使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中認(rèn)識(shí)到驗(yàn)算的實(shí)用價(jià)值，獲得成功的體驗(yàn)，從而產(chǎn)生驗(yàn)算意識(shí)。因此，教師需要轉(zhuǎn)變觀念，真正認(rèn)識(shí)到驗(yàn)算的價(jià)值，將驗(yàn)算教學(xué)上升到“培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力”的高度，將驗(yàn)算教學(xué)真正落實(shí)到課堂，把驗(yàn)算教學(xué)當(dāng)成寶貴的教學(xué)機(jī)會(huì)，巧妙設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，在不弱化基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的前提下，強(qiáng)化學(xué)生驗(yàn)算過程的感悟，凸顯驗(yàn)算價(jià)值。這樣不僅可以促使學(xué)生從知識(shí)技能轉(zhuǎn)化，掌握驗(yàn)算策略，掌握更多的新知，還能擺脫傳統(tǒng)思維的束縛，提高逆向思維能力，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的能力。

【案例】三年級(jí)上冊(cè)“兩三位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”

以計(jì)算教學(xué)為例，下面有三種驗(yàn)算環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)：52個(gè)羽毛球如何平均分給2人？（10個(gè)1筒）

1.擺小棒，探算理

教師組織全班學(xué)生交流擺小棒（指名邊演示邊敘述分的過程，并比較不同的分法）。

教師相機(jī)指出：先分給每班2筒，再把剩下的1筒與2個(gè)合成12個(gè)平均分給2個(gè)班是最常用的分法。

2.豎式計(jì)算

教法一：

（1）師：如何用豎式記錄剛才分小棒的過程？52÷2應(yīng)先算哪一位？

5÷2商幾？2×2=4，接下來怎樣算？5-4=1。你會(huì)完成剩下的豎式嗎？

對(duì)于本文所研究的球桿系統(tǒng)，設(shè)計(jì)二次型性能指標(biāo)函數(shù)J，以優(yōu)化球桿系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中的動(dòng)能、勢(shì)能以及系統(tǒng)控制過程中所消耗的電能，并且考慮系統(tǒng)主要控制對(duì)象x、α的控制誤差。系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)能和勢(shì)能可分別表示如下：

（2）學(xué)生獨(dú)立完成豎式，并驗(yàn)算。

教法二：

（1）師：如何用豎式記錄剛才分小棒的過程？52÷2應(yīng)先算哪一位？接下來怎樣除？

（學(xué)生獨(dú)立完成豎式）

（2）反饋學(xué)生錯(cuò)誤的豎式過程：這樣的式子正確嗎？錯(cuò)在哪里？

（3）糾正后得到正確豎式，再讓學(xué)生驗(yàn)算。

教法三：

（1）師：如何用豎式記錄剛才分小棒的過程？52÷2應(yīng)先算哪一位？接下來怎樣除？

（學(xué)生獨(dú)立完成豎式）

（2）反饋學(xué)生兩種豎式過程。

（3）師追問：如何判斷哪種結(jié)果正確？

（4）學(xué)生討論檢驗(yàn)方法，并獨(dú)自驗(yàn)算。

（5）對(duì)比兩種豎式，依照算理，尋找錯(cuò)誤原因。

三種教學(xué)設(shè)計(jì)乍一看區(qū)別不大，都是通過豎式記錄分小棒的過程，也都完成了驗(yàn)算的教學(xué)，但是仔細(xì)比較就可以看出第三種教學(xué)方式的優(yōu)勢(shì)。大多數(shù)教師在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)也是如教法一、二“依葫蘆畫瓢”式的教學(xué)，但學(xué)生的理解能力存在差異，即便教師引導(dǎo)學(xué)生通過擺小棒來認(rèn)識(shí)算理，放手讓學(xué)生獨(dú)立完成整個(gè)豎式計(jì)算的過程，還是會(huì)有很多學(xué)生忘記十位上的5-4。教法一的教學(xué)固然使學(xué)生少走了彎路，降低了錯(cuò)誤率，但是也弱化了學(xué)生的體驗(yàn)，驗(yàn)算教學(xué)更是成了走過場(chǎng)。教法二學(xué)生在計(jì)算時(shí)，還是直接用個(gè)位上的2÷2，答案得到21。很多教師在面對(duì)這樣的情況時(shí)會(huì)直接進(jìn)行糾正，先將十位上的1寫下來，再讓學(xué)生完成剩余部分，學(xué)生出錯(cuò)率就大大降低了，之后“順帶”驗(yàn)算一下。對(duì)于這樣的驗(yàn)算，學(xué)生感受仍然不深，驗(yàn)算也就變得有點(diǎn)多余了。教法三面對(duì)錯(cuò)誤的豎式，教師并沒有急于糾正，而是讓學(xué)生主動(dòng)探索辨別對(duì)錯(cuò)的方法，并進(jìn)行驗(yàn)證，再對(duì)比正確的豎式過程，找出錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，更深刻地感受到了首位不能整除的算理，也更深刻地感受到了驗(yàn)算的意義——能夠幫助我們很好地檢驗(yàn)結(jié)果是否正確。

通過對(duì)比我們可以發(fā)現(xiàn)，教師巧妙設(shè)計(jì)的“多嘴”一問，通過質(zhì)疑引導(dǎo)，營造了自主驗(yàn)證的探索氛圍，不僅讓自主學(xué)習(xí)真正發(fā)生，把驗(yàn)算教學(xué)落到實(shí)處，也為學(xué)生課堂知識(shí)的認(rèn)知、驗(yàn)算意識(shí)的培養(yǎng)做了鋪墊。簡(jiǎn)而言之，在驗(yàn)算環(huán)節(jié)的教學(xué)中，教師應(yīng)在課堂教學(xué)主陣地做好示范，常對(duì)學(xué)生給出的答案問一句“你有什么方法證明你的結(jié)論”。長(zhǎng)此以往，學(xué)生養(yǎng)成了對(duì)各種結(jié)論都質(zhì)疑驗(yàn)證的習(xí)慣，也就慢慢形成了驗(yàn)算意識(shí)，繼而提高了逆向思維能力。

驗(yàn)算，是一個(gè)不該被忽視的教學(xué)環(huán)節(jié)。教師有意的教學(xué)設(shè)計(jì)，留給學(xué)生充足的驗(yàn)算時(shí)間,持之以恒地培養(yǎng)學(xué)生的驗(yàn)算習(xí)慣,運(yùn)用合適的方法去驗(yàn)算，能夠讓學(xué)生感受到驗(yàn)算的意義。引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的驗(yàn)算習(xí)慣,不僅可以有效提高計(jì)算的正確率，還可以提高學(xué)生的逆向思維能力。要讓學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)驗(yàn)證自己的答案，改變學(xué)生的驗(yàn)算習(xí)慣，應(yīng)該讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”。培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維可以從培養(yǎng)學(xué)生的驗(yàn)算意識(shí)入手。通過培養(yǎng)驗(yàn)算意識(shí)，學(xué)生的逆向思維能力得到了提高，再通過逆向思維的培養(yǎng)，學(xué)生學(xué)會(huì)用不同的方式、從不同的角度來學(xué)習(xí)知識(shí)，為今后的學(xué)習(xí)拓展出一片新的空間，在學(xué)習(xí)過程中取得更大的收獲。