段利斌，周華錦，杜展鵬，張雨，徐偉，劉星，江浩斌

（江蘇大學汽車與交通工程學院，鎮(zhèn)江 212013）

前言

車身骨架是汽車的主要承載結構，其結構耐撞性影響汽車的碰撞安全性。車身結構耐撞性優(yōu)化是提高汽車碰撞安全性的重要手段，在汽車工業(yè)得到廣泛應用。汽車碰撞仿真的輸出響應非線性程度高且存在數(shù)值噪聲和震蕩，利用梯度優(yōu)化算法很難有效解決車身結構耐撞性優(yōu)化問題。由于汽車碰撞仿真計算時間長，利用進化算法（如遺傳算法［1］）求解該問題則須進行數(shù)以千計的有限元仿真分析，導致優(yōu)化時間非常漫長?；诖砟Ｐ偷膬?yōu)化方法可大幅提高優(yōu)化效率，是解決車身結構耐撞性優(yōu)化問題的重要手段。典型的方法有HDMR 算法［2］、基于偽CEI 準則的并行EGO 算法（簡稱“并行EGOPCEI”）［3］等。王登峰等［4］建立了某轎車隱式參數(shù)化車身模型，以車身骨架的厚度為設計變量，開展了車身剛度、模態(tài)、碰撞性能的多工況優(yōu)化設計。Chuang等［5］考慮車身剛度、NVH、碰撞等工況，以車身結構厚度為設計變量，結合代理模型和進化算法開展車身骨架的多工況優(yōu)化設計。然而，當設計變量較多時（如超過30 個變量），基于代理模型的優(yōu)化算法尋優(yōu)效率則會大幅降低。

混合元胞自動機（hybrid cellular automata，HCA）方法考慮了材料非線性力學性能，以單元密度為設計變量，根據(jù)有限元仿真獲得的元胞狀態(tài)信息以及一定的控制規(guī)則進行元胞狀態(tài)進化，適用于解決連續(xù)體結構的耐撞性拓撲優(yōu)化問題［6-9］。近年來，一些學者對HCA 方法進行了改進，提出了以薄壁結構的厚度作為設計變量的改進HCA 方法。Duddeck等［10］以薄壁結構的厚度作為設計變量，構建了多胞薄壁結構的元胞自動機模型，提出了HCATWS 方法，開展了多胞薄壁結構的耐撞性拓撲優(yōu)化設計，在花費少量有限元仿真的情況下得到了多胞薄壁結構的最優(yōu)厚度。Duan 等［11］構建了VRB 結構的一維元胞自動機模型，提出了求解可軋制約束下VRB 結構最優(yōu)厚度分布的混合元胞自動機算法（eHCAVRB）。然而，車身骨架是由大量薄壁結構裝配形成的空間框架結構，其耐撞性優(yōu)化設計屬于離散型設計空間內的非線性動態(tài)響應優(yōu)化問題。由于缺乏適用于車身骨架的元胞自動機（CA）模型，導致現(xiàn)有HCA 算法無法直接求解車身骨架的耐撞性優(yōu)化問題。為解決此類優(yōu)化問題，本文中提出了“子區(qū)域CA 模型”（subdomain CA）的概念，構建了車身骨架的子區(qū)域CA模型，提出了求解車身骨架厚度優(yōu)化的子區(qū)域混合元胞自動機（subdomain hybrid cellular automata for thickness optimization，SHCA-T）算法，同時提出基于SHCA-T 算法的多工況優(yōu)化方法（簡稱“多工況SHCA-T”），用于高效求解含有大量厚度變量的車身骨架多工況耐撞性優(yōu)化問題。主要創(chuàng)新性工作體現(xiàn)以下幾點：（1）通過構建車身骨架的子區(qū)域CA 模型，將經(jīng)典HCA 方法拓展應用于離散型設計空間的非線性動態(tài)結構優(yōu)化問題；（2）內層循環(huán)提出階躍式目標內能密度函數(shù)及其更新規(guī)則，以提高SHCA-T 和多工況SHCA-T 方法的全局搜索能力；（3）內層循環(huán)使用基于PID 控制策略的元胞厚度更新規(guī)則，以提高SHCA-T 和多工況SHCA-T 方法的穩(wěn)健性；（4）尋優(yōu)過程無須計算梯度信息，對于求解復雜非線性且很難獲得靈敏度信息的優(yōu)化問題具有較大優(yōu)勢。為驗證SHCA-T 和多工況SHCA-T 算法的精度和效率，將其用于求解側面碰撞和側面柱碰工況下車身骨架的厚度優(yōu)化問題，并與并行EGOPCEI 算法的優(yōu)化結果進行對比。結果表明：在收斂精度相當?shù)臈l件下，SHCA-T 和多工況SHCA-T 算法具有更高的全局搜索效率。

1 SHCA-T算法原理

為高效求解包含大量厚度變量的車身骨架耐撞性優(yōu)化問題，本文中提出“子區(qū)域CA 模型”的概念，構建了車身骨架的子區(qū)域CA 模型，提出SHCA-T 算法，從而將經(jīng)典HCA 方法拓展應用于離散型設計空間的非線性動態(tài)結構優(yōu)化問題。SHCA-T 方法包括外層循環(huán)和內層循環(huán)。外層循環(huán)開展碰撞有限元仿真分析、計算輸出響應，并更新目標質量，以實現(xiàn)結構質量最小化。為有效提高SHCA-T 方法的全局搜索能力和穩(wěn)健性，在內層循環(huán)分別提出階躍式目標內能密度函數(shù)及其更新規(guī)則和基于PID 控制策略的厚度更新規(guī)則；內層循環(huán)主要根據(jù)當前元胞及其鄰胞的內能密度，按照PID 控制策略調整元胞厚度，使內層循環(huán)的當前質量收斂于目標質量；最終使元胞內能密度分布盡可能逼近目標內能密度函數(shù)，如圖1所示。

圖1 SHCA-T算法流程圖

1.1 子區(qū)域元胞自動機（CA）模型的定義

以車身梁骨架的厚度優(yōu)化為例，說明車身梁骨架子區(qū)域CA模型的定義過程。

步驟1-子區(qū)域劃分：根據(jù)車身結構的拓撲連接特點，將設計域劃分為若干個相互獨立的子區(qū)域，記為Ωi。

步驟2-元胞定義：分別在子區(qū)域Ωi內，將每個部件定義為一個元胞（記為Ωi，j），Ωi，j的下標i表示第i個子區(qū)域的序號，下標j表示當前元胞在第i個子區(qū)域內的位置；在每個子區(qū)域Ωi(i=1，2，…，l)內，按照由內向外、從前到后、自下而上的原則，依次將元胞下標j從小到大編號。

步驟3-元胞狀態(tài)變量定義：依次為元胞定義設計變量（如部件厚度）與場變量（如內能密度）。

步驟4-元胞鄰域定義：遍歷所有子區(qū)域Ωi(i=1，2，…，l)，將同一個子區(qū)域內的元胞，根據(jù)下標j的大小確定當前元胞的鄰胞，當前元胞的鄰胞集合稱之為鄰域。例如，圖2 中定義了3 個子區(qū)域，令元胞半徑r=1，以當前元胞為中心、以r為元胞半徑范圍內的所有元胞稱為當前元胞的鄰胞；在子區(qū)域Ω1內當前元胞Ω1，2的鄰胞數(shù)量=2，在子區(qū)域Ω2內當前元胞Ω2，1的鄰胞數(shù)量=1，在子區(qū)域Ω3內當前元胞Ω3，1的鄰胞數(shù)量=1。

按照上述步驟，總共為車身梁骨架模型定義了14個子區(qū)域，如圖2所示。

圖2 車身骨架的子區(qū)域CA模型示意圖

1.2 內層循環(huán)

1.2.1 階躍式目標內能密度更新規(guī)則

以圖2 中的車身骨架為例，說明階躍式目標內能密度函數(shù)（step IED target，SIED*）的構造與更新規(guī)則。

步驟3-確定“階躍點”和“階躍區(qū)間”。遍歷所有元胞，判斷式（3）條件是否成立。若條件成立，則將的下標id定義為一個“階躍點”，記為idi。假設根據(jù)式（3）確定了m個“階躍點”，則這m個“階躍點”可形成m+1 個“階躍區(qū)間”，記為［idi-1，idi］，其中i=1，…，m+1，id0=1，idm+1=

步驟4-更新“階躍點”和“階躍區(qū)間”。令“階躍區(qū)間”的寬度閾值為Hthreshold，遍歷所有“階躍區(qū)間”，判斷式（4）條件是否成立。若式（4）成立（即“階躍區(qū)間”［idi-1，idi］的寬度較窄），則按照如下方式刪除“階躍點”，并更新“階躍區(qū)間”：當i=1時，刪除“階躍點”id1，“階躍區(qū)間”由［id0，id1］更新為［id0，id2］；當i＞1時，刪除“階躍點”idi-1，“階躍區(qū)間”由［idi-1，idi］更新為［idi-2，idi］。若式（4）不成立，則保留原“階躍點”和“階躍區(qū)間”。假設更新后的“階躍點”數(shù)量為m'，則更新后的“階躍區(qū)間”數(shù)量為m'+1。

步驟5-構造階躍式目標內能密度函數(shù)，方程為

式中為第k次外循環(huán)、第h次內循環(huán)中“階躍區(qū)間”［idi-1，idi］內的目標內能密度。

步驟6-更新階躍式目標內能密度函數(shù)：為達到外層循環(huán)給定的目標質量，按照式（6）更新內循環(huán)中各“階躍區(qū)間”的目標內能密度。

式中：M*(k)表示第k次外層循環(huán)更新得到的目標質量；M(h，k)表示第k次外循環(huán)、第h次內層循環(huán)由厚度更新得到的當前質量。當每次進入內層循環(huán)后每個“階躍區(qū)間”的初始目標內能密度為

1.2.2 元胞厚度更新規(guī)則

基本的元胞厚度更新公式為

1.2.3 內層循環(huán)收斂準則

當內層循環(huán)的當前質量收斂于目標質量時，SHCA-T算法的內層循環(huán)達到收斂條件：

式中：ε1為質量收斂因子；k1為內層循環(huán)的迭代次數(shù)；k1max為內層循環(huán)的最大迭代次數(shù)。

1.3 外層循環(huán)

利用有限步長二分法實現(xiàn)目標質量的迭代更新［8］。當設計點為可行解時，外層循環(huán)降低目標質量；當為不可行解時，外層循環(huán)增加目標質量；直到相鄰兩個設計點出現(xiàn)一個為可行解、另外一個為不可行解時，有限步長二分法將在這兩個設計點之間進行局部搜索。

1.4 全局收斂條件

SHCA-T算法包括以下3個收斂條件，只要滿足任意一個條件，算法將收斂：

（1）外層循環(huán)的迭代次數(shù)k超過預先定義的最大迭代次數(shù)kmax；

（2）有限步長二分法連續(xù)出現(xiàn)“不可行解”的數(shù)量p＞

（3）設計變量的變化量非常?。?/p>

式中：N表示元胞總數(shù)；ε2表示全局收斂因子。

2 多工況SHCA-T算法

本文主要解決多工況下車身骨架的耐撞性與輕量化問題，該優(yōu)化問題的數(shù)學方程為

式中：Mlc為第lc個工況的結構質量；glc(t)為第lc個工況的約束函數(shù)（如侵入量、侵入速度等）；ωlc為第lc個工況的權重系數(shù)；Nlc為工況數(shù)量；tmin為厚度變量矩陣的下限；tmax為厚度變量矩陣的上限。

為求解上述優(yōu)化問題，在SHCA-T 算法的基礎上，通過改進階躍式目標內能密度和元胞厚度的更新規(guī)則，得到基于SHCA-T 算法的多工況優(yōu)化方法（簡稱“多工況SHCA-T 算法”）。下面簡要介紹多工況SHCA-T算法的改進之處。

（1）階躍式目標內能密度更新規(guī)則

在多工況SHCA-T 算法中，各工況的階躍式目標內能密度函數(shù)按照1.2.1 節(jié)進行獨立更新，其數(shù)學表達式為

式（16）更新為

式中：M*(k)表示第k次外層循環(huán)更新得到的目標質量；M(h，k)表示第k次外循環(huán)、第h次內層循環(huán)由厚度更新得到的當前質量。

（2）元胞厚度更新規(guī)則

在多工況SHCA-T 算法中，元胞厚度按照式（9）更新，元胞厚度變化量按照式（18）更新，表達式為

3 車身骨架多工況耐撞性優(yōu)化設計

分別按照GB 20071—2006《汽車側面碰撞的乘員保護》和GBT 37337—2019《汽車側面柱碰撞的乘員保護》法規(guī)要求，開展整車側面碰撞和側面柱碰仿真分析，如圖3 所示，并利用SHCA-T 算法和多工況SHCA-T 算法開展不同工況下車身骨架的輕量化設計。本文使用的整車碰撞模型總質量為1 346 kg，包含276 838個單元、284 961個節(jié)點。

圖3 側面碰撞和側面柱碰仿真模型

3.1 設計變量定義

針對側面碰撞和側面柱碰，定義A 柱、B 柱、門檻、上邊梁、車門、前后縱梁、座椅橫梁、頂蓋橫梁等34個零件的厚度為設計變量，如表1所示。

表1 車身骨架設計變量 mm

3.2 輸出響應定義

選取B柱對應胸部和骨盆位置的最大侵入量、B柱對應胸部和骨盆位置的最大侵入速度作為側面碰撞的輸出響應，分別記為d1（x）、d2（x）、v1（x）、v2（x）；選擇B 柱對應胸部和骨盆位置的最大侵入量、車門對應胸部和骨盆位置的最大侵入量作為側面柱碰的輸出響應，分別記為d3（x）、d4（x）、d5（x）、d6（x）。

3.3 優(yōu)化方程定義

圖4 為側面碰撞與側面柱碰的響應曲線對比。由圖4 可知，初始設計的碰撞性能無法滿足GB 20071—2006《汽車側面碰撞的乘員保護》和GBT 37337—2019《汽車側面柱碰撞的乘員保護》法規(guī)要求，為此本文定義了以下3種優(yōu)化問題。

圖4 側面碰撞與側面柱碰的輸出響應曲線

（1）側面碰撞工況下，車身骨架輕量化設計的優(yōu)化方程為

（2）側面柱碰工況下，車身骨架輕量化設計的優(yōu)化方程為

（3）多工況（側面碰撞與側面柱碰）下車身骨架輕量化設計的優(yōu)化方程為

式中ω1表示側面碰撞工況的權重系數(shù)（本文取0.5），(1 -ω1)表示側面柱碰工況的權重系數(shù)。

3.4 優(yōu)化結果與討論

選用并行EGO-PCEI 算法驗證SHCA-T 算法和多工況SHCA-T 算法的優(yōu)化效率。并行EGO-PCEI算法是一種基于偽CEI 準則并行加點的EGO 算法，對于求解耗時的約束優(yōu)化問題具有較高優(yōu)化效率，算法原理詳見文獻［3］。本文中，并行EGO-PCEI 算法的初始樣本點數(shù)量設置為4，每次迭代基于偽CEI準則增加4個樣本點（用于并行計算4個樣本點的有限元響應值）。圖5對比了側面碰撞工況下SHCA-T算法和并行EGO-PCEI 算法的目標函數(shù)迭代歷程曲線，圖6 對比了側面柱碰工況下SHCA-T 算法和并行EGO-PCEI 算法的目標函數(shù)迭代歷程曲線，圖7對比了側面碰撞與側面柱碰工況下多工況SHCA-T算法和并行EGO-PCEI 算法的目標函數(shù)迭代歷程曲線。表2～表4 分別統(tǒng)計了上述3 種優(yōu)化問題的優(yōu)化結果、有限元分析次數(shù)和總計算時間。

圖5 側面碰撞工況下目標函數(shù)迭代歷程

圖6 側面柱碰工況下目標函數(shù)迭代歷程

圖7 多工況下目標函數(shù)迭代歷程

對比分析圖5～圖7和表2～表4可知：（1）SHCAT 和多工況SHCA-T 算法的全局搜索能力與并行EGO-PCEI 算法相當，且最優(yōu)質量的誤差控制在1%以內，原因是所提方法的內層循環(huán)引入了階躍式目標內能密度函數(shù)及其更新規(guī)則和基于PID 控制策略的厚度更新規(guī)則，保證了所提算法的全局搜索能力和穩(wěn)健性；（2）與并行EGO-PCEI 算法相比，SHCA-T和多工況SHCA-T 算法具有更高的全局優(yōu)化效率，原因為所提方法是一種非梯度性的啟發(fā)式算法，尋優(yōu)過程無須計算梯度信息，主要通過內能密度更新規(guī)則和元胞厚度更新規(guī)則實現(xiàn)設計變量更新，具有較高的優(yōu)化效率；（3）相比并行EGO-PCEI 算法，SHCA-T 算法分別節(jié)省了36%（側面碰撞）和77.60%（側面柱碰）的總計算時間；多工況SHCA-T算法在使用前者50%的計算資源情況下，節(jié)省了61.60%的總計算時間。由此可見，SHCA-T 和多工況SHCA-T 算法對于求解非常耗時的、多變量的非線性動態(tài)響應優(yōu)化問題具有較高的尋優(yōu)效率和精度，同時也驗證了該算法的有效性。

表2 側面碰撞工況下優(yōu)化結果對比

表3 側面柱碰工況下優(yōu)化結果對比

表4 側面碰撞與側面柱碰工況下優(yōu)化結果對比

4 結論

為解決多變量非線性動態(tài)結構優(yōu)化問題效率低的難題，本文中提出車身骨架厚度優(yōu)化的子區(qū)域混合元胞自動機（SHCA-T）算法以及多工況SHCA-T算法，并用于求解側面碰撞和側面柱碰工況下車身骨架的厚度優(yōu)化問題。主要結論概括如下。

（1）根據(jù)車身骨架的空間框架特點，提出了“子區(qū)域CA 模型”的概念，通過構建車身骨架的子區(qū)域CA 模型，將經(jīng)典HCA 方法拓展應用于離散型設計空間的非線性動態(tài)結構優(yōu)化問題。

（2）在內層循環(huán)提出階躍式目標內能密度函數(shù)及其更新規(guī)則，提高了SHCA-T 和多工況SHCA-T算法的全局搜索能力。

（3）內層循環(huán)使用PID控制策略更新元胞厚度，提高了SHCA-T和多工況SHCA-T算法的魯棒性。

（4）相比單工況優(yōu)化，多工況優(yōu)化問題的最優(yōu)車身骨架的質量更大。