姜雪潔 房立金

(1.東北大學機械工程與自動化學院， 沈陽 110819; 2.東北大學機器人科學與工程學院， 沈陽 110819)

0 引言

實際加工中，由于驅(qū)動關(guān)節(jié)剛度、連桿剛度以及其他傳動系統(tǒng)的柔順，在負載作用下機械臂末端執(zhí)行器會產(chǎn)生形變，從而影響其定位精度[1-3]。形變的大小和方向與機械臂的構(gòu)型和載荷矢量相關(guān)。普遍認為[4-7]連桿剛度遠大于驅(qū)動關(guān)節(jié)剛度，即關(guān)節(jié)剛度是產(chǎn)生形變的主要原因[8-12]。文獻[13]提出了關(guān)節(jié)剛度的簡化線性彈簧模型。文獻[14]在關(guān)節(jié)空間內(nèi)通過大量測量完成了剛度辨識，提高了機械臂末端定位精度。文獻[15]表明在剛度參數(shù)辨識過程中，不同的測量構(gòu)型對于辨識精度會造成不同影響。NAWRATIL[16]針對串聯(lián)轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)機械臂的位姿提出了多個性能評價指標。KHAN等[17]通過對比基于Frobenius范數(shù)和二范數(shù)的雅可比條件數(shù)，證明了Frobenius范數(shù)更適合條件數(shù)指標的優(yōu)化計算，并引入了基于Frobenius范數(shù)的雅可比條件數(shù)指標來評估機械臂的設(shè)計參數(shù)和位姿性能。CARBONE等[18]對剛度矩陣范數(shù)、可操作度指數(shù)等剛度性能指數(shù)進行綜合評估，并根據(jù)局部剛度指數(shù)的最小值、最大值、平均值或統(tǒng)計值定義了全局剛度指數(shù)。文獻[19]參考經(jīng)典回歸分析中的最優(yōu)化準則，基于A優(yōu)化準則提出了辨識參數(shù)協(xié)方差矩陣的加權(quán)跡評價指數(shù)。文獻[6,7,17,20-22]采用基于Frobenius范數(shù)的雅可比矩陣條件數(shù)倒數(shù)作為評價機械臂可操作性和靈活性的定量指標，在關(guān)節(jié)空間內(nèi)得到了高靈活性構(gòu)型區(qū)域，提高了剛度辨識精度。然而，目前剛度指標多面向于機械臂形位優(yōu)化，鮮有針對加載載荷的研究。

1 機械臂關(guān)節(jié)剛度辨識與測量構(gòu)型評價指數(shù)

1.1 機械臂關(guān)節(jié)剛度辨識

機械臂末端執(zhí)行器受到廣義力作用時會產(chǎn)生形變。其笛卡爾剛度KX與關(guān)節(jié)剛度Kθ的關(guān)系為

KX=(J-1)T(Kθ-KC)J-1

(1)

式中KC——補充剛度矩陣[24]

J——運動學雅可比矩陣

相對于Kθ，KC對于KX影響較小[6]，且影響最大的構(gòu)型接近奇異點，需要機械臂工作及剛度辨識過程中避免。綜上，式(1)可簡化為

KX=(J-1)TKθJ-1

(2)

利用式(2)完成機械臂關(guān)節(jié)剛度的辨識，可得

(3)

式中F——施加在機械臂末端執(zhí)行器的廣義力矢量

X——加載后機械臂末端表達在基坐標系中的位移矢量

通過分離、合并各關(guān)節(jié)柔度，僅考慮末端執(zhí)行器位移，得到加載后機械臂末端位移與關(guān)節(jié)柔度的映射

(4)

其中

式中c——關(guān)節(jié)剛度的逆，即關(guān)節(jié)柔度向量

設(shè)測量構(gòu)型數(shù)量為N，利用最小二乘方法求解式(4)，可得到關(guān)節(jié)柔度向量的廣義最小二乘解為

c=(ATA)-1ATX

(5)

其中

1.2 測量構(gòu)型評價指數(shù)

(6)

X+ΔX=(A+ΔA)(c+Δc)

(7)

式中 ΔX——激光跟蹤儀造成的機械臂末端位置測量誤差

ΔA——關(guān)節(jié)擾動和力傳感器造成的系數(shù)矩陣誤差

Δc——辨識方程絕對誤差

設(shè)非奇異線性方程組(7)經(jīng)擾動后仍有唯一解c+Δc[23]，則c的相對誤差估計式為

(8)

式中κ為系數(shù)矩陣A的條件數(shù)。由式(8)可知，條件數(shù)κ(A)反映了剛度辨識方程組解c的相對誤差對于系數(shù)矩陣A和常數(shù)項X相對誤差的依賴程度。

(9)

其中

2 基于模擬退火算法的測量構(gòu)型優(yōu)化

2.1 串聯(lián)六自由度機械臂運動學模型

本文研究對象為六自由度ROKAE串聯(lián)機械臂，其運動學模型如圖1所示，D-H參數(shù)[25]如表1所示。為避免機械臂在工作空間的邊界出現(xiàn)奇異構(gòu)型，采用名義關(guān)節(jié)角范圍的95%作為安全工作范圍。

圖1 ROKAE機械臂連桿坐標系示意圖Fig.1 Link coordinate systems for ROKAE serial manipulator

表1 ROKAE機械臂D-H參數(shù)Tab.1 D-H parameters and joint ranges of ROKAE serial manipulator

由于本文僅考慮末端執(zhí)行器位移，故機械臂每個測量構(gòu)型可提供三維辨識方程組。同時，由于第6關(guān)節(jié)對末端執(zhí)行器位移無影響，即機械臂第6列雅可比矩陣恒為0，故只有前5個關(guān)節(jié)剛度可辨識。綜上，當3N≥5時關(guān)節(jié)柔度向量有廣義最小二乘解，即至少需要2個測量構(gòu)型才能辨識關(guān)節(jié)剛度。綜合考慮辨識可信度及測量效率，最終測量構(gòu)型數(shù)量N選定為10。

2.2 基于模擬退火算法的機械臂測量構(gòu)型優(yōu)化

圖2 模擬退火算法優(yōu)化流程圖Fig.2 Optimization flow chart of simulated annealing algorithm

優(yōu)化算法基本步驟為：

(1) 確定ΩJ。在工作空間內(nèi)隨機選取N組測量構(gòu)型作為備選構(gòu)型集合ΩJ，記錄相應的運動雅可比矩陣。

(2) 確定ΩF。由于系數(shù)矩陣A同時取決于雅可比矩陣J和末端載荷F，因此在許用載荷范圍內(nèi)隨機生成N組測量載荷作為備選載荷集合ΩF。ΩJ和ΩF共同組成備選結(jié)構(gòu)集合Ω。

(3) 隨機生成γM。取初始溫度T0，從Ω中隨機選出M組作為初始搜索結(jié)構(gòu)γM。以κF(A)為代價函數(shù)，計算并記錄C(γM)=κF(γM)。

(4) 生成γNEW，并計算C(γNEW)。通過隨機交換γM和γNEW中k個元素生成新解。初始階段k相對較大，確保交換較為活躍，以搜索更多潛在的可行測量結(jié)構(gòu)。后續(xù)隨著迭代次數(shù)增加，當前最優(yōu)結(jié)構(gòu)組越來越接近全局最優(yōu)，此時逐漸減小k，使程序在當前最優(yōu)結(jié)構(gòu)附近搜索最優(yōu)結(jié)構(gòu)組。

(6)溫度T線性減小，返回步驟(3)繼續(xù)優(yōu)化。當?shù)瓿?，記錄對應的M組測量結(jié)構(gòu)γbest作為最優(yōu)辨識結(jié)構(gòu)。

3 剛度辨識實驗

表2 基于和的優(yōu)化辨識結(jié)構(gòu)Tab.2 Optimization identification configurations based on

實驗系統(tǒng)和測量過程如圖3所示。為實現(xiàn)沿3個正交軸方向?qū)δ┒藞?zhí)行器施加外力，采用設(shè)計的夾具連接于機械臂末端執(zhí)行器。通過基坐標系與末端執(zhí)行器坐標系之間的變換矩陣，將優(yōu)化得到的外力載荷轉(zhuǎn)換為基于末端執(zhí)行器坐標系的相應載荷。每個正交軸方向的載荷由相應的彈簧測力計施加，并可通過OnRobot HEX-E型力傳感器進行測量。同時，將反射靶球(SMR)安裝在末端執(zhí)行器上，機械臂末端執(zhí)行器位置由Leica LTD 500型激光跟蹤儀精確測量。

圖3 實驗系統(tǒng)和測量過程Fig.3 Experimental system and measurement process1.反射靶球 2.彈簧測力計 3.ROKAE機械臂 4.激光跟蹤儀

對于每一個被選測量構(gòu)型，首先采用激光跟蹤儀測量其無載荷狀態(tài)下末端執(zhí)行器的位置。而后，根據(jù)已確定的相應外力矢量對末端執(zhí)行器進行加載，并通過激光跟蹤儀再次測量其加載后的位置。最后，計算并記錄當前構(gòu)型加載與無負載工況下機械臂的末端位移。

表3 和組關(guān)節(jié)剛度辨識結(jié)果Tab.3 Stiffness identification results of and N·mm/rad

圖4 和辨識組末端位置補償結(jié)果對比Fig.4 Comparison of end position compensation results of set

4 結(jié)論

(3)提出了一種多向加載實驗方法，實現(xiàn)了各方向定量載荷的加載，解決了剛度辨識實驗中單方向加載的問題，可應用于實際環(huán)境中的串聯(lián)機械臂剛度標定。