齊 飛 張 恒 裴海珊 陳 柏 吳洪濤

(1.常州大學(xué)機(jī)械與軌道交通學(xué)院， 常州 213164； 2.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院， 南京 210016)

0 引言

連續(xù)體機(jī)器人具有強(qiáng)柔順性、高靈活性及超冗余自由度等特點(diǎn)，可通過(guò)自身的彎曲變形實(shí)現(xiàn)對(duì)非規(guī)則形狀物體的纏繞抓取，在農(nóng)業(yè)采摘、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等方面具有廣闊的應(yīng)用前景[1-3]。但由于連續(xù)體機(jī)器人傳動(dòng)系統(tǒng)中的非線性摩擦、繩的伸長(zhǎng)及關(guān)節(jié)間的耦合作用等影響[4-5]，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制精度較低，嚴(yán)重影響水果定位精度和抓取質(zhì)量，亟需發(fā)展一種更為精準(zhǔn)、高效、普適的驅(qū)動(dòng)誤差補(bǔ)償技術(shù)，以提高機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制品質(zhì)。

目前，國(guó)內(nèi)外已圍繞連續(xù)體機(jī)器人運(yùn)動(dòng)建模及誤差補(bǔ)償技術(shù)展開了相關(guān)研究，XU等[6]提出了一種用于蛇形機(jī)器人驅(qū)動(dòng)補(bǔ)償方法，通過(guò)理論模型估算出繩的伸長(zhǎng)量和回彈量，并基于前饋補(bǔ)償控制器實(shí)現(xiàn)機(jī)器人控制精度的提高，但其忽略了關(guān)節(jié)間的耦合作用影響。SIMAAN等[7]基于靜力學(xué)模型對(duì)連續(xù)體機(jī)器人運(yùn)動(dòng)傳遞損失和耦合效應(yīng)進(jìn)行了分析，同樣采用前饋方法進(jìn)行補(bǔ)償，但忽略了非線性摩擦對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的影響。KESNER等[8]提出了基于庫(kù)倫摩擦模型的機(jī)器人驅(qū)動(dòng)補(bǔ)償方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)介入導(dǎo)管機(jī)器人誤差的補(bǔ)償，但其忽略了機(jī)器人本身的建模誤差。文獻(xiàn)[9-10]提出了一種基于絞盤摩擦模型的驅(qū)動(dòng)損失模型，此模型重在研究鋼絲繩傳動(dòng)特性，未涉及具體實(shí)驗(yàn)。AGRAWAL等[11]提出了一種雙切曲線光滑逆解補(bǔ)償方法，并將其應(yīng)用到線驅(qū)動(dòng)機(jī)器人身上，但需要提前已知機(jī)器人的末端誤差。XU等[12]提出了一種用于肌腱驅(qū)動(dòng)的柔性內(nèi)窺鏡機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償控制器，并建立了肌腱驅(qū)動(dòng)傳遞損失模型及伸長(zhǎng)模型，通過(guò)前饋補(bǔ)償控制器以提高機(jī)器人的軌跡跟蹤精度。ROY等[13]針對(duì)多模塊連續(xù)體機(jī)器人傳動(dòng)系統(tǒng)的摩擦、驅(qū)動(dòng)繩伸長(zhǎng)及遲滯等進(jìn)行了建模研究，提出了一種基于機(jī)器人力傳遞模型的誤差補(bǔ)償方法，但沒(méi)有考慮驅(qū)動(dòng)線與連續(xù)體機(jī)器人本身摩擦損失的影響。

為此，本文針對(duì)自主研發(fā)的柔性連續(xù)體機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)建模及驅(qū)動(dòng)誤差補(bǔ)償研究，提出一種基于力傳遞模型的連續(xù)體機(jī)器人驅(qū)動(dòng)誤差補(bǔ)償方法，以提高其控制精度。

1 連續(xù)體機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

圖1為設(shè)計(jì)的繩驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)器人，該系統(tǒng)由NiTi合金芯柱、連接盤及硅膠外殼組成，通過(guò)分布在圓周上的3根驅(qū)動(dòng)繩索實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的彎曲變形控制[14]。NiTi合金芯柱為機(jī)器人的中心骨架，提供機(jī)器人彎曲時(shí)所需的剛度和彈性恢復(fù)力。連接盤等間距膠粘在NiTi合金芯柱上，以滿足機(jī)器人的等曲率建模假設(shè)。為建模方便，假設(shè)機(jī)器人單節(jié)彎曲單元質(zhì)量和慣性均由連接盤和芯柱質(zhì)量和慣性所決定，同時(shí)忽略了結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)變形和剪切變形。

圖1 單節(jié)彎曲單元結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of single bending segment1、7.連接盤 2、8.NiTi合金芯柱 3、9.硅膠外殼 4.導(dǎo)向盤 5、6.驅(qū)動(dòng)繩

圖2 單節(jié)彎曲單元坐標(biāo)示意圖Fig.2 Coordinate diagram of single bending segment

根據(jù)歐拉變換，則相鄰坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

(1)

式中s表示正弦函數(shù)，c表示余弦函數(shù)。

根據(jù)幾何分析法，機(jī)器人單節(jié)彎曲單元前后兩端坐標(biāo)系間的相對(duì)位置為

(2)

則第i節(jié)彎曲單元末端坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系中的位姿矩陣Ti為

(3)

其中

式中Pi——第i節(jié)彎曲單元末端坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系中的位置

Ri——第i節(jié)彎曲單元末端坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系中的姿態(tài)

圖3為機(jī)器人驅(qū)動(dòng)繩索的幾何關(guān)系示意圖。根據(jù)常曲率建模假設(shè)，各驅(qū)動(dòng)繩索對(duì)應(yīng)的彎曲角相等，且在基座面上的投影線相互平行，則根據(jù)幾何分析法，可推算出機(jī)器人彎曲變形時(shí)驅(qū)動(dòng)繩長(zhǎng)為

圖3 驅(qū)動(dòng)繩布局示意圖Fig.3 Schematic of driving cables

(4)

式中l(wèi)ij——機(jī)器人彎曲變形時(shí)各驅(qū)動(dòng)繩長(zhǎng)，j=1,2,3

r——驅(qū)動(dòng)繩孔到NiTi合金芯柱中心孔的距離

(5)

其中

式中Jiqψ——關(guān)節(jié)參數(shù)與驅(qū)動(dòng)參數(shù)間的雅可比矩陣

Δqi——驅(qū)動(dòng)繩長(zhǎng)變化量

而關(guān)節(jié)空間與操作空間的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)可通過(guò)對(duì)關(guān)節(jié)參數(shù)直接求導(dǎo)得出，即關(guān)節(jié)參數(shù)與機(jī)器人末端位姿偏差量間的映射關(guān)系，即

(6)

其中

式中Jxvψ——機(jī)器人末端速度對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣

Jxωψ——機(jī)器人末端角速度對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣

2 連續(xù)體機(jī)器人靜力學(xué)模型

(7)

式中 Δx——在外力作用下機(jī)器人末端位移偏差

ΔUi——機(jī)器人彎曲變形后勢(shì)能

在機(jī)器人彎曲角已知時(shí)，系統(tǒng)所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為

(8)

式中Ei——機(jī)器人本體彈性模量

Ii——慣性矩

將Δqi=JiqψΔψi，Δx=JixΔψ代入式(7)，則根據(jù)虛功原理，連續(xù)體機(jī)器人靜力學(xué)模型可化簡(jiǎn)為

(9)

在機(jī)器人彎曲變形運(yùn)動(dòng)時(shí)，其輸入力τi為

(10)

2.1 相鄰關(guān)節(jié)間力矩耦合效應(yīng)

圖4 相鄰關(guān)節(jié)間的耦合力矩示意圖Fig.4 Schematic of coupling effects in adjacent segments

(11)

其中

(12)

(13)

由于第i節(jié)彎曲單元基座連接盤的虛位移Δψi0為0，則耦合力矩所做的功為0。同時(shí)忽略耦合力矩對(duì)彈性勢(shì)能的變換梯度的影響，則靜力學(xué)模型可化簡(jiǎn)為

(14)

則第i節(jié)彎曲單元驅(qū)動(dòng)力模型為

(15)

2.2 連接盤與驅(qū)動(dòng)繩間力傳遞特性分析

考慮到驅(qū)動(dòng)繩在通過(guò)繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)后，將依次穿過(guò)連接盤導(dǎo)向孔并最終固定在機(jī)器人末端。為實(shí)現(xiàn)機(jī)器人精確控制，需要對(duì)驅(qū)動(dòng)繩與連接盤間的力傳遞特性進(jìn)行研究，采用經(jīng)典庫(kù)倫摩擦模型[20-21]對(duì)其進(jìn)行建模分析，如圖5所示。

圖5 驅(qū)動(dòng)繩與連接盤間的相互運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.5 Motion relationship schematic of cable-disk system

由圖5可得

(16)

式中 ds——微小傳動(dòng)單元長(zhǎng)度

ρr——微小傳動(dòng)單元曲率半徑

ηi,j——微小傳動(dòng)單元接觸包角

Ti,j——第i節(jié)彎曲單元第j根驅(qū)動(dòng)繩的張力

fi,j——驅(qū)動(dòng)繩與連接盤間的摩擦力

Ni,j——驅(qū)動(dòng)繩與連接盤間的正壓力

則驅(qū)動(dòng)繩與連接盤間的摩擦力為

(17)

式中μ——摩擦因數(shù)

sgn——驅(qū)動(dòng)繩相對(duì)于連接盤的滑動(dòng)速度方向

將式(17)化簡(jiǎn)，對(duì)兩邊同時(shí)積分可得

(18)

式中Ti+1,j——輸出張力

則包含非線性摩擦力的力傳遞模型為

(19)

式中Ti,j(t-1)——驅(qū)動(dòng)繩相對(duì)于連接盤無(wú)運(yùn)動(dòng)時(shí)前一時(shí)刻的張力

由于連接盤間的驅(qū)動(dòng)繩形狀為直線，其方向矢量與連接盤對(duì)應(yīng)導(dǎo)向孔的位置相關(guān)，則連接盤上各導(dǎo)向孔在自身坐標(biāo)系中的位置矢量為

(20)

則第i節(jié)彎曲單元第j個(gè)驅(qū)動(dòng)繩的位置為

bi,j=hi,j/‖hi,j‖

(21)

其中

根據(jù)驅(qū)動(dòng)繩的位置矢量，即可得到驅(qū)動(dòng)繩與連接盤接觸時(shí)包角為

ηi,j=arccos(bi,jbi+1,j)

(22)

將式(22)代入式(19)化簡(jiǎn)可得

(23)

其中

式中εi,j——摩擦力影響系數(shù)

Ti-1,j——包角為ηi,j時(shí)導(dǎo)向孔兩端輸入拉力

Tj,act——施加到機(jī)器人系統(tǒng)中的繩張力

將式(23)代入式(14)、(15)，即可建立包含驅(qū)動(dòng)繩與連接盤間摩擦力的靜力學(xué)模型，即連續(xù)體機(jī)器人傳動(dòng)系統(tǒng)的力傳遞模型為

(24)

ε(n)——等效摩擦因數(shù)

nMc——相鄰關(guān)節(jié)間耦合力矩

O——零矩陣

3 連續(xù)體機(jī)器人力傳遞特性分析

為分析連續(xù)體機(jī)器人繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)間的力傳遞特性，搭建如圖6a所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)力傳遞特性進(jìn)行分析。該平臺(tái)包括1臺(tái)maxon伺服電機(jī)，2個(gè)拉力傳感器(JLBS型，10 kg)，1根直徑為0.4 mm、彈性模量為4.96×109Pa的大力馬纖維線，1個(gè)負(fù)載彈簧和2個(gè)導(dǎo)向輪等。假設(shè)繩-輪力傳遞系統(tǒng)處于靜態(tài)平衡狀態(tài)且無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，同時(shí)忽略系統(tǒng)中導(dǎo)向輪與其轉(zhuǎn)軸間的摩擦，則在力矩工作模式下對(duì)輸出端的負(fù)載彈簧進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制，分別在不同預(yù)緊力(3、5、7、9、11 N)和包角(30°、60°、90°、120°、150°)下基于張力傳感器測(cè)量系統(tǒng)的輸入張力和輸出張力，測(cè)量結(jié)果如圖6b～6d所示。

圖6 繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性Fig.6 Motion characteristics of cable-pulley system1、6.拉力傳感器 2.負(fù)載彈簧 3、4.導(dǎo)向輪 5.驅(qū)動(dòng)繩 7.伺服電機(jī)

由圖6可知，繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)在不同預(yù)緊力、不同包角下其輸入與輸出力矩間的偏差較小，即機(jī)器人力傳遞系統(tǒng)在通過(guò)導(dǎo)向輪傳動(dòng)時(shí)其力矩?fù)p失量較小。由圖6c可知，繩的預(yù)緊力與力矩?fù)p耗成正比，預(yù)緊力越大，力矩?fù)p失越大，但在預(yù)緊力超過(guò)7 N后，力矩的損失量隨著預(yù)緊力的增大反而減小，可能在預(yù)緊力為9 N或11 N時(shí)，驅(qū)動(dòng)繩與導(dǎo)向輪間存在相對(duì)滑動(dòng)所造成；而圖6d為不同接觸包角狀態(tài)下繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)的力傳遞特性，力矩?fù)p失量正比于接觸包角，包角越大，力矩?fù)p失越大。同時(shí)與圖6c對(duì)比可知，接觸包角對(duì)傳動(dòng)損耗的影響比繩索預(yù)緊力的作用大。

根據(jù)文獻(xiàn)[20,22]，基于導(dǎo)向輪力傳遞過(guò)程中繩的變形為粘彈性變形，則驅(qū)動(dòng)繩和導(dǎo)向輪間的摩擦力與其所承受的正壓力滿足能量法，即

f=αNn(n≤1)

(25)

式中f——摩擦力N——法向力

式(25)中α和n是常量，主要與接觸材料的特性相關(guān)。但當(dāng)α=μ,n=1時(shí)，則滿足阿蒙頓定律[23]。在基于導(dǎo)向輪力傳遞過(guò)程中(圖7)，驅(qū)動(dòng)繩與導(dǎo)向輪接觸時(shí)的彈性力、剪切力和彎曲力矩在OXY平面內(nèi)滿足力和力矩平衡，即

圖7 驅(qū)動(dòng)繩與導(dǎo)向輪受力示意圖Fig.7 Force diagram of cable-pulley system

(26)

(27)

由于所采用的驅(qū)動(dòng)繩材料為高強(qiáng)度聚乙烯纖維線，采用改進(jìn)的Capstan方程進(jìn)行建模分析，研究驅(qū)動(dòng)繩彎曲剛度和非線性摩擦對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞效率的影響。而彎曲剛度對(duì)力傳遞效率的影響主要通過(guò)分析繩-輪半徑比值對(duì)傳動(dòng)效率的影響進(jìn)行研究。令ρ=Rj/rs，R=Rj+rs為導(dǎo)線輪接觸面的圓弧半徑，rs為驅(qū)動(dòng)繩的半徑。由于彎曲力矩獨(dú)立于參數(shù)φ，則相對(duì)于包角φ的導(dǎo)數(shù)為

(28)

將式(28)代入式(27)，兩邊同時(shí)除以dφ，并刪除Q得

(29)

式(29)為改進(jìn)的Capstan方程，該方程包含彎曲剛度及非線性摩擦力對(duì)傳動(dòng)效率的影響，能夠比較準(zhǔn)確地描述驅(qū)動(dòng)繩在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的粘彈性的變形。此微分方程可通過(guò)四階Runge-Kutta方法解出數(shù)值解，從而得出基于繩-輪傳遞系統(tǒng)中輸入和輸出張力比值。假設(shè)驅(qū)動(dòng)繩在自身張力的作用下與導(dǎo)向輪完全接觸，如圖8所示，則繩與輪接觸面的邊界條件有

圖8 繩與輪接觸面示意圖Fig.8 Schematic of cable-pulley contact surface

(30)

式中T(0)——通過(guò)導(dǎo)線輪兩端繩輸入張力

T(θ)——通過(guò)導(dǎo)線輪兩端繩輸出張力

根據(jù)接觸邊界條件，將微分方程化簡(jiǎn)為

(31)

為了方便計(jì)算，將初始夾角設(shè)定為θ1=0，則考慮彎曲剛度和非線性摩擦等影響下經(jīng)過(guò)繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)后輸入與輸出張力比κ為

(32)

式中Tin、Tout——繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的輸入和輸出張力

假設(shè)繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)接觸面的總包角變化范圍為0≤θ≤π，繩-輪半徑比ρ取值1或10，摩擦因數(shù)α為0.15或0.6，參數(shù)n取0.67或1，且經(jīng)繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)后繩的輸出張力為1，則經(jīng)繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)前后輸入張力和輸出張力比隨包角的變化規(guī)律如圖9所示。由圖9可知，與經(jīng)典的Capstan方程相比，考慮非線性摩擦及彎曲剛度的模型比經(jīng)典的Capstan方程的摩擦損失小，且改進(jìn)后驅(qū)動(dòng)繩張力比值隨彎曲角度的變化相對(duì)比較平穩(wěn)，即在輸出相同張力時(shí)所需的繩輸入張力小。同時(shí)分析不同參數(shù)對(duì)繩-輪傳動(dòng)模型的影響，對(duì)比圖9a和圖9b可知，改進(jìn)后傳動(dòng)模型中繩張力損失較小，且非線性摩擦對(duì)張力損耗的影響比彎曲剛度的大。當(dāng)摩擦因數(shù)α為0.6時(shí)，輸入和輸出的繩張力比比在摩擦因數(shù)α為0.15時(shí)變化快，表明摩擦因數(shù)是影響傳遞效率的最主要參數(shù)。

圖9 經(jīng)繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)前后輸入和輸出張力比Fig.9 Tension ratio between incoming force and outgoing force after cable-pulley system

4 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)傳遞模型及驅(qū)動(dòng)補(bǔ)償

考慮到驅(qū)動(dòng)繩本身的材料特性及繩張力的作用，不可避免地造成繩的伸張，從而影響機(jī)器人控制精度。若令dδ為驅(qū)動(dòng)繩伸長(zhǎng)量，T為繩張力，E、A分別為驅(qū)動(dòng)繩的彈性模量和橫截面積，則根據(jù)胡克定律[24-25]，繩的伸長(zhǎng)量模型為

(33)

4.1 繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)傳遞模型

由于繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性摩擦的影響，驅(qū)動(dòng)繩經(jīng)過(guò)導(dǎo)向輪后其輸入和輸出張力將有所損失[26-27]。根據(jù)式(32)、(33)，經(jīng)過(guò)繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)后繩的伸長(zhǎng)量模型為

(34)

式中T0——驅(qū)動(dòng)繩的初始預(yù)緊力

R——導(dǎo)向輪半徑

dφ——繩-輪接觸面包角

將式(34)積分后化簡(jiǎn)可得

(35)

式中k——傳動(dòng)輪曲率半徑

4.2 機(jī)器人自身的運(yùn)動(dòng)傳遞模型

第2節(jié)分析了機(jī)器人自身的彎曲變形特性，建立了包含非線性摩擦和關(guān)節(jié)耦合作用的力傳遞模型。令Ti為第i根驅(qū)動(dòng)繩的張力，Ei、Ai分別為驅(qū)動(dòng)繩的彈性模量和橫截面積，將dli=pidηi代入式(33)積分并結(jié)合驅(qū)動(dòng)繩與連接盤間的摩擦模型(式(24))，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由連接盤摩擦力影響所造成的繩伸張量為

(36)

為提高機(jī)器人控制精度，對(duì)機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，提出了一種基于力傳遞模型的連續(xù)體機(jī)器人驅(qū)動(dòng)補(bǔ)償方法，該方法通過(guò)一個(gè)前饋補(bǔ)償控制器估算出彎曲變形過(guò)程中驅(qū)動(dòng)的損失量，然后將其反饋補(bǔ)償?shù)津?qū)動(dòng)單元中，以提高機(jī)器人的控制精度，補(bǔ)償流程如圖10所示。

圖10 驅(qū)動(dòng)補(bǔ)償流程示意圖Fig.10 Compensation control of drive system

最終得到連續(xù)體機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)誤差補(bǔ)償量為

(37)

qi——第i節(jié)機(jī)器人理論驅(qū)動(dòng)量

5 實(shí)驗(yàn)

通過(guò)連續(xù)體機(jī)器人的補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)對(duì)控制效果進(jìn)行驗(yàn)證，搭建如圖11所示的機(jī)器人樣機(jī)平臺(tái)。該系統(tǒng)主要有3個(gè)maxon伺服電機(jī)(A-max22型)及對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)控制器(GP22C型)，5個(gè)鋁合金連接盤，通過(guò)連接盤中心孔的NiTi合金芯柱及3根均勻分布在連接盤圓周直徑為0.8 mm的大力馬驅(qū)動(dòng)繩組成。機(jī)器總長(zhǎng)為90 mm，直徑為10 mm，通過(guò)調(diào)節(jié)繩長(zhǎng)變化實(shí)現(xiàn)機(jī)器人2自由度的彎曲運(yùn)動(dòng)。每根驅(qū)動(dòng)繩均連接一個(gè)微型張力傳感器(JLBS-MD-10kg型)，用以測(cè)量機(jī)器人在彎曲運(yùn)動(dòng)過(guò)程中實(shí)際張力。采用高精度雙目激光跟蹤儀(CTrac-380型)設(shè)備對(duì)機(jī)器人的末端位置進(jìn)行實(shí)時(shí)跟蹤，其跟蹤精度為0.022 mm，通過(guò)對(duì)比驅(qū)動(dòng)補(bǔ)償前后機(jī)器人控制精度來(lái)驗(yàn)證所提驅(qū)動(dòng)補(bǔ)償方法的正確性和有效性。

圖11 測(cè)量實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖Fig.11 Experimental platform of compensation control of robot1.雙目激光跟蹤儀 2.連續(xù)體機(jī)器人 3.驅(qū)動(dòng)繩 4.伺服電機(jī) 5.電源 6.控制PC

首先對(duì)機(jī)器人誤差補(bǔ)償模型中的未知參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，假設(shè)機(jī)器人系統(tǒng)力傳遞模型中的初始摩擦參數(shù)值，利用張力傳感器測(cè)量得到的實(shí)際輸入張力與力傳遞模型中的理論張力進(jìn)行優(yōu)化估算，將求解模型中的摩擦力參數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為線性最小二乘法優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，其參數(shù)估算模型為

(38)

令旋轉(zhuǎn)角β=0°保持固定不變，而彎曲角變化范圍為40°～90°，步距角為5°，則機(jī)器人只在驅(qū)動(dòng)線1的拉伸作用下進(jìn)行彎曲運(yùn)動(dòng)，力傳遞模型中驅(qū)動(dòng)繩1對(duì)應(yīng)的摩擦因數(shù)可通過(guò)估算得出，同理分別對(duì)于旋轉(zhuǎn)角β=120°、240°，驅(qū)動(dòng)線2和3對(duì)應(yīng)的摩擦因數(shù)可以通過(guò)優(yōu)化估算得出，結(jié)果如表1所示。

表1 摩擦因數(shù)估算值Tab.1 Estimated parameters of friction coefficient

5.1 平面彎曲實(shí)驗(yàn)

首先控制連續(xù)體機(jī)器人在單一平面內(nèi)進(jìn)行平面彎曲運(yùn)動(dòng)，通過(guò)對(duì)比補(bǔ)償前后機(jī)器人末端位置精度來(lái)驗(yàn)證所提補(bǔ)償方法的有效性。假設(shè)機(jī)器人在旋轉(zhuǎn)角β=0°的平面內(nèi)以彎曲速率為π/10從0°彎曲至90°，則補(bǔ)償前后機(jī)器人末端位置跟蹤實(shí)驗(yàn)過(guò)程如圖12所示。圖12b、12c分別展示了補(bǔ)償前后機(jī)器人在oxz平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)的末端軌跡及其末端位置偏差。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，補(bǔ)償前后機(jī)器人末端的位置精度得到明顯改善。由圖12c可知，補(bǔ)償前機(jī)器人末端定位誤差均值為3.03 mm，補(bǔ)償后機(jī)器人末端定位誤差均值為1.48 mm，精度提高50.99%，由此驗(yàn)證了補(bǔ)償方法的有效性和正確性。同時(shí)隨著彎曲角的增大，機(jī)器人末端位置誤差也逐漸增大，這可能是由于機(jī)器人結(jié)構(gòu)組裝誤差、建模誤差及硅膠外殼變形誤差所引起的，但總占比較小，可忽略不計(jì)。

圖12 補(bǔ)償前后機(jī)器人平面彎曲運(yùn)動(dòng)Fig.12 Planar bending motion of robot before and after compensation

5.2 空間圓弧軌跡實(shí)驗(yàn)

根據(jù)預(yù)先設(shè)定的圓弧軌跡并通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)計(jì)算運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的驅(qū)動(dòng)繩長(zhǎng)，而機(jī)器人的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡則通過(guò)視覺(jué)跟蹤系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量，則補(bǔ)償前后機(jī)器人空間圓弧運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖13a所示。由圖13b、13c可知，補(bǔ)償后機(jī)器人末端定位精度得到明顯提高，機(jī)器人末端位置誤差均值由補(bǔ)償前5.94 mm降低至補(bǔ)償后3.15 mm，降低46.97%。與平面運(yùn)動(dòng)結(jié)果相比，補(bǔ)償前后機(jī)器人空間運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置誤差偏大，其可能是由于不同方向上的位置誤差累積疊加造成的。通過(guò)以上機(jī)器人平面和空間控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提補(bǔ)償方法的正確性和有效性。

圖13 補(bǔ)償前后機(jī)器人的空間旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)Fig.13 Spatial rotation motion of robot before and after compensation

6 結(jié)論

(1)所提的驅(qū)動(dòng)補(bǔ)償控制方法綜合考慮了傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性摩擦、驅(qū)動(dòng)繩伸長(zhǎng)及關(guān)節(jié)間的耦合作用等影響，能夠有效提高機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制精度，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到驗(yàn)證。但在空間圓弧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其位置誤差明顯大于平面彎曲運(yùn)動(dòng)時(shí)位置偏差，其主要原因可能是機(jī)器人各方向的位置誤差累積和結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)變形所造成的。

(2)分析了繩-輪傳動(dòng)系統(tǒng)的力傳遞特性，建立了包含彎曲剛度和非線性摩擦的力傳遞模型，更為精準(zhǔn)地描述了傳動(dòng)系統(tǒng)的力傳遞過(guò)程。

(3)實(shí)驗(yàn)結(jié)果同時(shí)驗(yàn)證了所建的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和繩索驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)力傳遞模型，但忽略了硅膠外殼對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)變形的影響，后續(xù)有必要進(jìn)行深入研究。

(4)機(jī)器人在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中存在一定的遲滯現(xiàn)象，可能是由于驅(qū)動(dòng)繩的伸張及與導(dǎo)向輪間的滑動(dòng)摩擦所造成的，此誤差較小，可忽略不計(jì)。