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        利用勞條件求取雙相位光柵干涉儀靈敏度

        2023-03-06 06:17:16楊君黃建衡單雨征雷耀虎宗方軻郭金川
        光子學(xué)報(bào) 2023年1期
        關(guān)鍵詞:模型

        楊君,黃建衡,單雨征,雷耀虎,宗方軻,郭金川

        (深圳大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院 光電子器件與系統(tǒng)教育部/廣東省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,深圳 518060)

        0 引言

        在過(guò)去的二十年間,基于光柵的X 射線干涉儀獲得了大量的關(guān)注,在成像方法[1-9]、器件制作[10-13]和實(shí)際應(yīng)用[14-17]等方面取得了一系列的研究成果。雙相位光柵干涉儀由于無(wú)需分析光柵,能實(shí)現(xiàn)大視場(chǎng)、高劑量利用率的X 射線相襯和暗場(chǎng)成像[18-24]。雙相位光柵干涉儀的勞條件(Lau condition)影響著成像條紋的對(duì)比度,而條紋對(duì)比度又影響了系統(tǒng)的信噪比。對(duì)于雙相位光柵干涉儀的勞條件,有學(xué)者利用直觀的幾何關(guān)系[20],分別求出光源移動(dòng)對(duì)兩塊相位光柵產(chǎn)生的條紋移動(dòng)量,再將兩個(gè)條紋移動(dòng)量相減獲取勞條件。他們認(rèn)為對(duì)于雙π 相位光柵干涉儀,在多色光照明下的源光柵周期為單色光照明下的源光柵周期的兩倍。其理由則是在多色光照明下,相位光柵的零級(jí)衍射不為零。但這無(wú)法解釋對(duì)于π 相位光柵的Talbot-Lau 干涉儀,其源光柵周期無(wú)論在單色光照明時(shí)還是多色光照明時(shí)均是相同的。對(duì)于雙相位光柵干涉儀靈敏度,大多數(shù)研究人員都是直接在DONATH T 等[25]建立的Talbot-Lau 干涉儀靈敏度模型上進(jìn)行推導(dǎo)[21,26]。但DONATH T 等建立的靈敏度模型本身存在一定程度的不合理,因此在該模型上獲取的雙相位光柵干涉儀靈敏度也存在著一定的問(wèn)題。本文將給出新的靈敏度模型,該模型巧妙地利用了系統(tǒng)的勞條件求取雙相位光柵干涉儀的靈敏度。

        1 理論計(jì)算與數(shù)值模擬

        1.1 雙相位光柵干涉儀的勞條件

        一般而言,雙相位光柵干涉儀的勞條件指的是源光柵的周期。從Talbot-Lau 干涉儀勞條件的獲取過(guò)程中可知,勞條件可以利用波動(dòng)光學(xué)進(jìn)行推導(dǎo)。因此,對(duì)于雙相位光柵干涉儀勞條件的獲取,也可以嘗試從波動(dòng)光學(xué)的角度出發(fā)。在單色光照明時(shí),利用菲涅耳衍射可以得到當(dāng)點(diǎn)光源從光軸上的位置G0移動(dòng)到G0'時(shí)(如圖1),雙相位光柵干涉儀在成像平面上的復(fù)振幅分布可表示為

        圖1 雙相位光柵干涉儀中的勞條件示意Fig.1 Illustration of the Lau condition of the dual phase grating interferometer

        式中,A5為相位常數(shù),在考慮相對(duì)光強(qiáng)時(shí)可以忽略。a n、b m、p1、p2分別為相位光柵G1和G2的傅里葉系數(shù)和周期。z1、z2和z3分別為G0到G1、G1到G2和G2到成像平面的距離,x3為成像平面上的坐標(biāo)。p、M1和M2則分別表示為

        從式(1)可以看出,當(dāng)光源移動(dòng)x0距離后,光柵G1的“像”移動(dòng)了,光柵G2的“像”移動(dòng)了。和分析雙相位光柵干涉儀成像條紋周期時(shí)類似[27],考慮振幅最大的條紋移動(dòng)量,即可將問(wèn)題極大簡(jiǎn)化。對(duì)此,同樣分兩種情況進(jìn)行考慮,即雙π 相位光柵干涉儀和雙π/2 相位光柵干涉儀。

        1)雙π 相位光柵干涉儀

        一般而言,單色光照明時(shí)雙π 相位光柵干涉儀中相位光柵正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋振幅最大。該條紋在光源有偏移量x0情形下的表達(dá)式為

        式(5)化簡(jiǎn)后可得

        為了使點(diǎn)光源G0'形成的條紋(式(6))和光軸上G0點(diǎn)形成的條紋能夠相互加強(qiáng),應(yīng)使二者的相位差為2π的整數(shù)倍,即

        式中,p3是條紋周期,將條紋周期[22]代入式(7),化簡(jiǎn)后可得

        式中,x0既可取正值,也可取負(fù)值,其物理意義為G0'可以在G0的上下兩邊分布。式(8)即為兩個(gè)不同位置的點(diǎn)源所成像的條紋能夠互相加強(qiáng)的條件,此時(shí)x0即是源光柵的周期p0。因此,雙π 相位光柵干涉儀的勞條件為

        式(9)的正確性已由文獻(xiàn)[22]中的實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證。需要強(qiáng)調(diào)的是,在多色光照明下,雙π 相位光柵干涉儀的源光柵周期既可能由式(9)決定,也可能由式(12)決定。因?yàn)閺氖剑?)可知,雙相位光柵干涉儀的源光柵周期與成像條紋周期緊密相連。而在多色光照明時(shí),雙π 相位光柵干涉儀的成像條紋周期既可能由相位光柵正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋決定[22],也可能由相位光柵的零級(jí)和正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋所決定[27]。有學(xué)者認(rèn)為,雙π 相位光柵干涉儀在多色光照明時(shí)由于相位光柵零級(jí)衍射的存在,成像條紋周期一定是單色光照明時(shí)的兩倍[20]。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果[22]卻表明條紋周期在多色光照明時(shí)并不一定會(huì)加倍。一個(gè)類似的例子是,對(duì)于π 相位光柵Talbot-Lau 干涉儀,分?jǐn)?shù)泰伯階處的成像條紋周期在單色光照明和多色光照明時(shí)是相同的。其根本原因在于,系統(tǒng)的成像條紋周期不是由周期最大的干涉條紋決定,而是由振幅最大的干涉條紋所決定。在雙π 相位光柵干涉儀滿足對(duì)比度極大值條件時(shí)[27],相位光柵的零級(jí)和正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋振幅遠(yuǎn)不如相位光柵正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋振幅大,此時(shí)成像條紋周期由相位光柵正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋所決定。當(dāng)雙π 相位光柵干涉儀不滿足對(duì)比度極大值條件時(shí),條紋周期則主要由相位光柵的零級(jí)和正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋所決定。

        2)雙π/2 相位光柵干涉儀

        對(duì)于雙π/2 相位光柵干涉儀,振幅最大的干涉條紋是零級(jí)和正負(fù)一級(jí)衍射形成,即

        式中,?代表初相,其具體形式不影響勞條件的結(jié)果?;?jiǎn)式(10)后可得

        圖2 點(diǎn)源在光軸上的G0處與光軸外的G0'處形成的仿真條紋Fig.2 The simulation fringe formed by the point source G0 on the optics axis and the point source G0' off the optics axis

        表1 雙相位光柵干涉儀的仿真參數(shù)Table 1 The simulation parameters of the dual phase grating interferometer

        1.2 Talbot-Lau 干涉儀的靈敏度

        在DONATH T 建立的Talbot-Lau 干涉儀靈敏度模型[25]中,隱含著兩個(gè)有爭(zhēng)議的假設(shè)。第一個(gè)假設(shè)是沿著光軸傳播的X 射線通過(guò)物體后不發(fā)生折射。該假設(shè)只有在X 射線垂直入射到均勻的物體上時(shí)才能成立,對(duì)于一般的樣品是不成立的。第二個(gè)假設(shè)是光源發(fā)出的X 射線與光軸的夾角很小,并且這些傍軸X 射線被物體折射后,能夠與光軸相交,且交點(diǎn)恰好落在分析光柵所在的平面。對(duì)于X 射線而言,空氣的折射率會(huì)略大于物體的折射率,所以X 射線通過(guò)物體后,一般是離光軸越來(lái)越遠(yuǎn),而不是越來(lái)越近。即使X 射線通過(guò)物體后能與光軸相交,其交點(diǎn)未必就落在分析光柵所在的平面上。接下來(lái)將給出新的靈敏度模型,并首先將該靈敏度模型應(yīng)用于簡(jiǎn)單的Talbot-Lau 干涉儀上,再過(guò)渡到復(fù)雜的雙相位光柵干涉儀的情形。

        圖3(a)表示當(dāng)物體處于相位光柵G1與成像條紋之間時(shí)的情形,G0表示源光柵中的一透光點(diǎn)。為簡(jiǎn)便起見(jiàn),圖3 中忽略了分析光柵。G0到G1、G1到成像條紋和物體到成像條紋的距離分別為z1、z2和zD。圖中藍(lán)色和紫色曲線分別表示有無(wú)物體時(shí)的成像條紋,兩條條紋實(shí)際處于同一平面上(為了便于說(shuō)明兩條條紋之間存在橫向位移,將其畫(huà)在了不同平面上)。

        圖3 Talbot-Lau 干涉儀示意Fig.3 Illustration of the Talbot-Lau interferometer

        當(dāng)一束X 射線通過(guò)物體后,會(huì)產(chǎn)生大小為α的折射角。X 射線的折射使得條紋產(chǎn)生了Δp2的移動(dòng)和Δ?的相移,據(jù)此可得

        將式(13)帶入式(14)后,再由靈敏度的定義[25]可得

        式中,SD為物體處于相位光柵與成像條紋之間時(shí)的系統(tǒng)靈敏度,p2為成像條紋的周期。上述推導(dǎo)過(guò)程在文獻(xiàn)[19,28]中也有論述,其過(guò)程符合直觀的想象。

        圖3(b)表示當(dāng)物體處于G0與G1之間時(shí)的情形,其中zS表示物體與G0的距離。當(dāng)X 射線通過(guò)物體后,會(huì)引起條紋產(chǎn)生大小為Δp2的移動(dòng)。如何求解Δp2,是求解靈敏度的關(guān)鍵所在。本文提出一個(gè)新的靈敏度模型:物體引起的條紋移動(dòng)與光源位置變化引起的條紋移動(dòng)是等效的。據(jù)此,可以將X 射線通過(guò)物體后的折射線作一反向延長(zhǎng)線,該反向延長(zhǎng)線與源光柵所在的平面相交于點(diǎn)G0'。如果把G0'想象成是一虛擬光源,那么折射線則是從G0'發(fā)出的直線。此時(shí),問(wèn)題就從物體所產(chǎn)生的條紋移動(dòng)轉(zhuǎn)化為了光源移動(dòng)所產(chǎn)生的條紋移動(dòng)。本文將該方法稱為“折射反投影法(Refraction Back Projection,RBP)”。令G0與G0'之間的距離為Δp0,由小角近似可知

        由Talbot-Lau 干涉儀的勞條件可得

        式中,p0為源光柵的周期,對(duì)式(17)兩邊取微分得

        再將式(16)和(18)代入式(14),可得當(dāng)物體處于G0和G1之間時(shí)系統(tǒng)的靈敏度SS,表示為

        再利用一次勞條件式(17),式(19)可化簡(jiǎn)為

        在獲取式(20)的過(guò)程中,關(guān)鍵在于提出的新靈敏度模型,“折射反投影法”則給出了將物體對(duì)X 射線的折射作用轉(zhuǎn)換成光源移動(dòng)的具體方法,而勞條件起到了聯(lián)系光源移動(dòng)與條紋移動(dòng)的橋梁作用,三者之間層層遞進(jìn)。從光路可逆性的角度來(lái)理解的話,即想象圖3(b)中的X 射線是從右往左傳播的,而探測(cè)器在G0所在的位置,那么“折射反投影法”則和應(yīng)用于圖3(a)的方法完全對(duì)稱。DONATH T 建立的靈敏度模型至少依賴于兩個(gè)假設(shè),而提出的新靈敏度模型則只有一個(gè)假設(shè),因此該靈敏度模型更合理,推導(dǎo)過(guò)程也更簡(jiǎn)單。

        1.3 雙相位光柵干涉儀的靈敏度

        通過(guò)之前的分析可知,利用RBP 可以非常有效地求取Talbot-Lau 干涉儀的靈敏度。接下來(lái),將利用RBP 推導(dǎo)雙相位光柵干涉儀的靈敏度。

        圖4(a)為物體處于相位光柵與成像條紋之間時(shí)的情形。G1、G2分別表示周期為p1、p2的相位光柵。z1、z2和z3分別是G0到G1、G1到G2和G2到成像條紋之間的距離。Δp3為物體所引起的條紋移動(dòng)量。此時(shí),系統(tǒng)靈敏度的推導(dǎo)過(guò)程和式(13)與(14)相似,系統(tǒng)靈敏度SD表示為

        式中,p3為成像條紋的周期。而圖4(b)為物體處于G0和G1之間時(shí)的情形,當(dāng)物體插入時(shí)成像條紋產(chǎn)生了Δp3的移動(dòng)和Δ?的相移,據(jù)此可得

        圖4 雙相位光柵干涉儀示意Fig.4 Illustration of the dual phase grating interferometer

        接下來(lái)則需要計(jì)算物體所引起的條紋移動(dòng)量Δp3。利用式(7),將x0換成p0后可得利用條紋周期表示的勞條件

        對(duì)式(23)兩邊取微分后可得

        利用RBP 可以獲得Δp0,即式(16)。將式(16)和(24)代入式(22)可得

        再次利用雙相位光柵干涉儀的勞條件,將式(23)代入式(25)得

        利用靈敏度的定義,可以獲得物體處于G0和G1之間時(shí)雙相位光柵干涉儀的靈敏度

        可見(jiàn),雙相位光柵干涉儀與Talbot-Lau 干涉儀的靈敏度具有相同的形式。在上述的推導(dǎo)過(guò)程中相位光柵的類型沒(méi)有預(yù)先假定,意味著式(21)和(27)對(duì)于雙π 相位光柵干涉儀和雙π/2 相位光柵干涉儀都是適用的。

        而當(dāng)物體處于兩塊相位光柵之間時(shí),如圖5,其靈敏度的表達(dá)式則略微復(fù)雜一些。由于一階分?jǐn)?shù)泰伯像比其它高階的分?jǐn)?shù)泰伯像具有更高的對(duì)比度和亮度,因此將它作為中間光源。首先考慮圖5(a),物體處于G1和其一階分?jǐn)?shù)泰伯像之間時(shí)的情形。G1與物體、G1與'和與G2之間的距離分別為z23、z21和z22。由于物體的引入,的移動(dòng)量為(z21-z23)α。參考式(18)可得

        圖5 物體處于兩塊相位光柵之間Fig.5 Illustration of an object between the two phase gratings

        將式(28)代入式(22)可得

        利用靈敏度的定義,由式(29)可得物體處于G1和之間時(shí)的靈敏度

        2 結(jié)果與討論

        從式(21)和(27)可知,雙相位光柵干涉儀的靈敏度一般低于Talbot-Lau 干涉儀的靈敏度。這是因?yàn)樵趦煞N干涉儀中,物體到光源或成像條紋的距離差別不大。而雙相位光柵干涉儀的條紋周期或源光柵周期則比對(duì)應(yīng)的Talbot-Lau 干涉儀條紋周期或源光柵周期大一個(gè)數(shù)量級(jí)以上。因此,對(duì)于雙相位光柵干涉儀,目前難以實(shí)現(xiàn)大視場(chǎng)的同時(shí)還能實(shí)現(xiàn)高的系統(tǒng)靈敏度。

        式(21)和(27)給出的靈敏度與文獻(xiàn)[21]中基于DONATH T 靈敏度模型獲得的結(jié)果幾乎完全一致。二者的區(qū)別在于,對(duì)于雙π 相位光柵干涉儀,文獻(xiàn)[21]的結(jié)果中衍射級(jí)次m的值只取了2。而本文的理論結(jié)果則表明,該衍射級(jí)次m的值既可以取2,也可以取1,其取值決定于成像條紋周期在多色光照明時(shí)是否是單色光照明時(shí)的兩倍[27]。而當(dāng)雙相位光柵干涉儀按照文獻(xiàn)[26]提出的方式將系統(tǒng)分為前后兩個(gè)級(jí)聯(lián)的Talbot-Lau 干涉儀進(jìn)行處理時(shí),式(21)和(27)給出的靈敏度與文獻(xiàn)[26]給出的靈敏度是一致的。當(dāng)雙相位光柵干涉儀的系統(tǒng)參數(shù)偏離兩個(gè)級(jí)聯(lián)的Talbot-Lau 干涉儀所需的參數(shù)時(shí),二者計(jì)算出來(lái)的靈敏度則不一定相同。其原因在于文獻(xiàn)[26]給出的靈敏度依賴于級(jí)聯(lián)的Talbot-Lau 干涉儀,而本文結(jié)果則不受此限制。

        3 結(jié)論

        本文首先利用波動(dòng)光學(xué)獲取了雙相位光柵干涉儀的勞條件,并指出雙相位光柵干涉儀的源光柵周期與成像條紋周期緊密關(guān)聯(lián)。由于雙π 相位光柵干涉儀的條紋周期在多色光照明時(shí)不一定是單色光照明時(shí)的兩倍,因此,雙π 相位光柵干涉儀的源光柵周期在多色光照明時(shí)也不一定是單色光照明時(shí)的兩倍。同時(shí),針對(duì)Talbot-Lau 干涉儀和雙相位光柵干涉儀的靈敏度分析,本文提出了新的靈敏度模型,并據(jù)此模型提出了“折射反投影”法。該方法可以充分利用系統(tǒng)的勞條件,將光源的移動(dòng)和成像條紋的移動(dòng)巧妙地聯(lián)系在一起,從而化簡(jiǎn)了系統(tǒng)靈敏度的推導(dǎo)過(guò)程,對(duì)于雙相位光柵干涉儀靈敏度的設(shè)計(jì)具有重要的理論價(jià)值。

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