楊君，黃建衡，單雨征，雷耀虎，宗方軻，郭金川

（深圳大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院 光電子器件與系統(tǒng)教育部/廣東省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，深圳 518060）

0 引言

在過(guò)去的二十年間，基于光柵的X 射線干涉儀獲得了大量的關(guān)注，在成像方法［1-9］、器件制作［10-13］和實(shí)際應(yīng)用［14-17］等方面取得了一系列的研究成果。雙相位光柵干涉儀由于無(wú)需分析光柵，能實(shí)現(xiàn)大視場(chǎng)、高劑量利用率的X 射線相襯和暗場(chǎng)成像［18-24］。雙相位光柵干涉儀的勞條件（Lau condition）影響著成像條紋的對(duì)比度，而條紋對(duì)比度又影響了系統(tǒng)的信噪比。對(duì)于雙相位光柵干涉儀的勞條件，有學(xué)者利用直觀的幾何關(guān)系［20］，分別求出光源移動(dòng)對(duì)兩塊相位光柵產(chǎn)生的條紋移動(dòng)量，再將兩個(gè)條紋移動(dòng)量相減獲取勞條件。他們認(rèn)為對(duì)于雙π 相位光柵干涉儀，在多色光照明下的源光柵周期為單色光照明下的源光柵周期的兩倍。其理由則是在多色光照明下，相位光柵的零級(jí)衍射不為零。但這無(wú)法解釋對(duì)于π 相位光柵的Talbot-Lau 干涉儀，其源光柵周期無(wú)論在單色光照明時(shí)還是多色光照明時(shí)均是相同的。對(duì)于雙相位光柵干涉儀靈敏度，大多數(shù)研究人員都是直接在DONATH T 等［25］建立的Talbot-Lau 干涉儀靈敏度模型上進(jìn)行推導(dǎo)［21，26］。但DONATH T 等建立的靈敏度模型本身存在一定程度的不合理，因此在該模型上獲取的雙相位光柵干涉儀靈敏度也存在著一定的問(wèn)題。本文將給出新的靈敏度模型，該模型巧妙地利用了系統(tǒng)的勞條件求取雙相位光柵干涉儀的靈敏度。

1 理論計(jì)算與數(shù)值模擬

1.1 雙相位光柵干涉儀的勞條件

一般而言，雙相位光柵干涉儀的勞條件指的是源光柵的周期。從Talbot-Lau 干涉儀勞條件的獲取過(guò)程中可知，勞條件可以利用波動(dòng)光學(xué)進(jìn)行推導(dǎo)。因此，對(duì)于雙相位光柵干涉儀勞條件的獲取，也可以嘗試從波動(dòng)光學(xué)的角度出發(fā)。在單色光照明時(shí)，利用菲涅耳衍射可以得到當(dāng)點(diǎn)光源從光軸上的位置G0移動(dòng)到G0'時(shí)（如圖1），雙相位光柵干涉儀在成像平面上的復(fù)振幅分布可表示為

圖1 雙相位光柵干涉儀中的勞條件示意Fig.1 Illustration of the Lau condition of the dual phase grating interferometer

式中，A5為相位常數(shù)，在考慮相對(duì)光強(qiáng)時(shí)可以忽略。a n、b m、p1、p2分別為相位光柵G1和G2的傅里葉系數(shù)和周期。z1、z2和z3分別為G0到G1、G1到G2和G2到成像平面的距離，x3為成像平面上的坐標(biāo)。p、M1和M2則分別表示為

從式（1）可以看出，當(dāng)光源移動(dòng)x0距離后，光柵G1的“像”移動(dòng)了，光柵G2的“像”移動(dòng)了。和分析雙相位光柵干涉儀成像條紋周期時(shí)類似［27］，考慮振幅最大的條紋移動(dòng)量，即可將問(wèn)題極大簡(jiǎn)化。對(duì)此，同樣分兩種情況進(jìn)行考慮，即雙π 相位光柵干涉儀和雙π/2 相位光柵干涉儀。

1）雙π 相位光柵干涉儀

一般而言，單色光照明時(shí)雙π 相位光柵干涉儀中相位光柵正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋振幅最大。該條紋在光源有偏移量x0情形下的表達(dá)式為

式（5）化簡(jiǎn)后可得

為了使點(diǎn)光源G0'形成的條紋（式（6））和光軸上G0點(diǎn)形成的條紋能夠相互加強(qiáng)，應(yīng)使二者的相位差為2π的整數(shù)倍，即

式中，p3是條紋周期，將條紋周期［22］代入式（7），化簡(jiǎn)后可得

式中，x0既可取正值，也可取負(fù)值，其物理意義為G0'可以在G0的上下兩邊分布。式（8）即為兩個(gè)不同位置的點(diǎn)源所成像的條紋能夠互相加強(qiáng)的條件，此時(shí)x0即是源光柵的周期p0。因此，雙π 相位光柵干涉儀的勞條件為

式（9）的正確性已由文獻(xiàn)［22］中的實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證。需要強(qiáng)調(diào)的是，在多色光照明下，雙π 相位光柵干涉儀的源光柵周期既可能由式（9）決定，也可能由式（12）決定。因?yàn)閺氖剑?）可知，雙相位光柵干涉儀的源光柵周期與成像條紋周期緊密相連。而在多色光照明時(shí)，雙π 相位光柵干涉儀的成像條紋周期既可能由相位光柵正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋決定［22］，也可能由相位光柵的零級(jí)和正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋所決定［27］。有學(xué)者認(rèn)為，雙π 相位光柵干涉儀在多色光照明時(shí)由于相位光柵零級(jí)衍射的存在，成像條紋周期一定是單色光照明時(shí)的兩倍［20］。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果［22］卻表明條紋周期在多色光照明時(shí)并不一定會(huì)加倍。一個(gè)類似的例子是，對(duì)于π 相位光柵Talbot-Lau 干涉儀，分?jǐn)?shù)泰伯階處的成像條紋周期在單色光照明和多色光照明時(shí)是相同的。其根本原因在于，系統(tǒng)的成像條紋周期不是由周期最大的干涉條紋決定，而是由振幅最大的干涉條紋所決定。在雙π 相位光柵干涉儀滿足對(duì)比度極大值條件時(shí)［27］，相位光柵的零級(jí)和正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋振幅遠(yuǎn)不如相位光柵正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋振幅大，此時(shí)成像條紋周期由相位光柵正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋所決定。當(dāng)雙π 相位光柵干涉儀不滿足對(duì)比度極大值條件時(shí)，條紋周期則主要由相位光柵的零級(jí)和正負(fù)一級(jí)衍射形成的干涉條紋所決定。

2）雙π/2 相位光柵干涉儀

對(duì)于雙π/2 相位光柵干涉儀，振幅最大的干涉條紋是零級(jí)和正負(fù)一級(jí)衍射形成，即

式中，?代表初相，其具體形式不影響勞條件的結(jié)果?；?jiǎn)式（10）后可得

圖2 點(diǎn)源在光軸上的G0處與光軸外的G0'處形成的仿真條紋Fig.2 The simulation fringe formed by the point source G0 on the optics axis and the point source G0' off the optics axis

表1 雙相位光柵干涉儀的仿真參數(shù)Table 1 The simulation parameters of the dual phase grating interferometer

1.2 Talbot-Lau 干涉儀的靈敏度

在DONATH T 建立的Talbot-Lau 干涉儀靈敏度模型［25］中，隱含著兩個(gè)有爭(zhēng)議的假設(shè)。第一個(gè)假設(shè)是沿著光軸傳播的X 射線通過(guò)物體后不發(fā)生折射。該假設(shè)只有在X 射線垂直入射到均勻的物體上時(shí)才能成立，對(duì)于一般的樣品是不成立的。第二個(gè)假設(shè)是光源發(fā)出的X 射線與光軸的夾角很小，并且這些傍軸X 射線被物體折射后，能夠與光軸相交，且交點(diǎn)恰好落在分析光柵所在的平面。對(duì)于X 射線而言，空氣的折射率會(huì)略大于物體的折射率，所以X 射線通過(guò)物體后，一般是離光軸越來(lái)越遠(yuǎn)，而不是越來(lái)越近。即使X 射線通過(guò)物體后能與光軸相交，其交點(diǎn)未必就落在分析光柵所在的平面上。接下來(lái)將給出新的靈敏度模型，并首先將該靈敏度模型應(yīng)用于簡(jiǎn)單的Talbot-Lau 干涉儀上，再過(guò)渡到復(fù)雜的雙相位光柵干涉儀的情形。

圖3（a）表示當(dāng)物體處于相位光柵G1與成像條紋之間時(shí)的情形，G0表示源光柵中的一透光點(diǎn)。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，圖3 中忽略了分析光柵。G0到G1、G1到成像條紋和物體到成像條紋的距離分別為z1、z2和zD。圖中藍(lán)色和紫色曲線分別表示有無(wú)物體時(shí)的成像條紋，兩條條紋實(shí)際處于同一平面上（為了便于說(shuō)明兩條條紋之間存在橫向位移，將其畫(huà)在了不同平面上）。

圖3 Talbot-Lau 干涉儀示意Fig.3 Illustration of the Talbot-Lau interferometer

當(dāng)一束X 射線通過(guò)物體后，會(huì)產(chǎn)生大小為α的折射角。X 射線的折射使得條紋產(chǎn)生了Δp2的移動(dòng)和Δ?的相移，據(jù)此可得

將式（13）帶入式（14）后，再由靈敏度的定義［25］可得

式中，SD為物體處于相位光柵與成像條紋之間時(shí)的系統(tǒng)靈敏度，p2為成像條紋的周期。上述推導(dǎo)過(guò)程在文獻(xiàn)［19，28］中也有論述，其過(guò)程符合直觀的想象。

圖3（b）表示當(dāng)物體處于G0與G1之間時(shí)的情形，其中zS表示物體與G0的距離。當(dāng)X 射線通過(guò)物體后，會(huì)引起條紋產(chǎn)生大小為Δp2的移動(dòng)。如何求解Δp2，是求解靈敏度的關(guān)鍵所在。本文提出一個(gè)新的靈敏度模型：物體引起的條紋移動(dòng)與光源位置變化引起的條紋移動(dòng)是等效的。據(jù)此，可以將X 射線通過(guò)物體后的折射線作一反向延長(zhǎng)線，該反向延長(zhǎng)線與源光柵所在的平面相交于點(diǎn)G0'。如果把G0'想象成是一虛擬光源，那么折射線則是從G0'發(fā)出的直線。此時(shí)，問(wèn)題就從物體所產(chǎn)生的條紋移動(dòng)轉(zhuǎn)化為了光源移動(dòng)所產(chǎn)生的條紋移動(dòng)。本文將該方法稱為“折射反投影法（Refraction Back Projection，RBP）”。令G0與G0'之間的距離為Δp0，由小角近似可知

由Talbot-Lau 干涉儀的勞條件可得

式中，p0為源光柵的周期，對(duì)式（17）兩邊取微分得

再將式（16）和（18）代入式（14），可得當(dāng)物體處于G0和G1之間時(shí)系統(tǒng)的靈敏度SS，表示為

再利用一次勞條件式（17），式（19）可化簡(jiǎn)為

在獲取式（20）的過(guò)程中，關(guān)鍵在于提出的新靈敏度模型，“折射反投影法”則給出了將物體對(duì)X 射線的折射作用轉(zhuǎn)換成光源移動(dòng)的具體方法，而勞條件起到了聯(lián)系光源移動(dòng)與條紋移動(dòng)的橋梁作用，三者之間層層遞進(jìn)。從光路可逆性的角度來(lái)理解的話，即想象圖3（b）中的X 射線是從右往左傳播的，而探測(cè)器在G0所在的位置，那么“折射反投影法”則和應(yīng)用于圖3（a）的方法完全對(duì)稱。DONATH T 建立的靈敏度模型至少依賴于兩個(gè)假設(shè)，而提出的新靈敏度模型則只有一個(gè)假設(shè)，因此該靈敏度模型更合理，推導(dǎo)過(guò)程也更簡(jiǎn)單。

1.3 雙相位光柵干涉儀的靈敏度

通過(guò)之前的分析可知，利用RBP 可以非常有效地求取Talbot-Lau 干涉儀的靈敏度。接下來(lái)，將利用RBP 推導(dǎo)雙相位光柵干涉儀的靈敏度。

圖4（a）為物體處于相位光柵與成像條紋之間時(shí)的情形。G1、G2分別表示周期為p1、p2的相位光柵。z1、z2和z3分別是G0到G1、G1到G2和G2到成像條紋之間的距離。Δp3為物體所引起的條紋移動(dòng)量。此時(shí)，系統(tǒng)靈敏度的推導(dǎo)過(guò)程和式（13）與（14）相似，系統(tǒng)靈敏度SD表示為

式中，p3為成像條紋的周期。而圖4（b）為物體處于G0和G1之間時(shí)的情形，當(dāng)物體插入時(shí)成像條紋產(chǎn)生了Δp3的移動(dòng)和Δ?的相移，據(jù)此可得

圖4 雙相位光柵干涉儀示意Fig.4 Illustration of the dual phase grating interferometer

接下來(lái)則需要計(jì)算物體所引起的條紋移動(dòng)量Δp3。利用式（7），將x0換成p0后可得利用條紋周期表示的勞條件

對(duì)式（23）兩邊取微分后可得

利用RBP 可以獲得Δp0，即式（16）。將式（16）和（24）代入式（22）可得

再次利用雙相位光柵干涉儀的勞條件，將式（23）代入式（25）得

利用靈敏度的定義，可以獲得物體處于G0和G1之間時(shí)雙相位光柵干涉儀的靈敏度

可見(jiàn)，雙相位光柵干涉儀與Talbot-Lau 干涉儀的靈敏度具有相同的形式。在上述的推導(dǎo)過(guò)程中相位光柵的類型沒(méi)有預(yù)先假定，意味著式（21）和（27）對(duì)于雙π 相位光柵干涉儀和雙π/2 相位光柵干涉儀都是適用的。

而當(dāng)物體處于兩塊相位光柵之間時(shí)，如圖5，其靈敏度的表達(dá)式則略微復(fù)雜一些。由于一階分?jǐn)?shù)泰伯像比其它高階的分?jǐn)?shù)泰伯像具有更高的對(duì)比度和亮度，因此將它作為中間光源。首先考慮圖5（a），物體處于G1和其一階分?jǐn)?shù)泰伯像之間時(shí)的情形。G1與物體、G1與'和與G2之間的距離分別為z23、z21和z22。由于物體的引入，的移動(dòng)量為(z21-z23)α。參考式（18）可得

圖5 物體處于兩塊相位光柵之間Fig.5 Illustration of an object between the two phase gratings

將式（28）代入式（22）可得

利用靈敏度的定義，由式（29）可得物體處于G1和之間時(shí)的靈敏度

2 結(jié)果與討論

從式（21）和（27）可知，雙相位光柵干涉儀的靈敏度一般低于Talbot-Lau 干涉儀的靈敏度。這是因?yàn)樵趦煞N干涉儀中，物體到光源或成像條紋的距離差別不大。而雙相位光柵干涉儀的條紋周期或源光柵周期則比對(duì)應(yīng)的Talbot-Lau 干涉儀條紋周期或源光柵周期大一個(gè)數(shù)量級(jí)以上。因此，對(duì)于雙相位光柵干涉儀，目前難以實(shí)現(xiàn)大視場(chǎng)的同時(shí)還能實(shí)現(xiàn)高的系統(tǒng)靈敏度。

式（21）和（27）給出的靈敏度與文獻(xiàn)［21］中基于DONATH T 靈敏度模型獲得的結(jié)果幾乎完全一致。二者的區(qū)別在于，對(duì)于雙π 相位光柵干涉儀，文獻(xiàn)［21］的結(jié)果中衍射級(jí)次m的值只取了2。而本文的理論結(jié)果則表明，該衍射級(jí)次m的值既可以取2，也可以取1，其取值決定于成像條紋周期在多色光照明時(shí)是否是單色光照明時(shí)的兩倍［27］。而當(dāng)雙相位光柵干涉儀按照文獻(xiàn)［26］提出的方式將系統(tǒng)分為前后兩個(gè)級(jí)聯(lián)的Talbot-Lau 干涉儀進(jìn)行處理時(shí)，式（21）和（27）給出的靈敏度與文獻(xiàn)［26］給出的靈敏度是一致的。當(dāng)雙相位光柵干涉儀的系統(tǒng)參數(shù)偏離兩個(gè)級(jí)聯(lián)的Talbot-Lau 干涉儀所需的參數(shù)時(shí)，二者計(jì)算出來(lái)的靈敏度則不一定相同。其原因在于文獻(xiàn)［26］給出的靈敏度依賴于級(jí)聯(lián)的Talbot-Lau 干涉儀，而本文結(jié)果則不受此限制。

3 結(jié)論

本文首先利用波動(dòng)光學(xué)獲取了雙相位光柵干涉儀的勞條件，并指出雙相位光柵干涉儀的源光柵周期與成像條紋周期緊密關(guān)聯(lián)。由于雙π 相位光柵干涉儀的條紋周期在多色光照明時(shí)不一定是單色光照明時(shí)的兩倍，因此，雙π 相位光柵干涉儀的源光柵周期在多色光照明時(shí)也不一定是單色光照明時(shí)的兩倍。同時(shí)，針對(duì)Talbot-Lau 干涉儀和雙相位光柵干涉儀的靈敏度分析，本文提出了新的靈敏度模型，并據(jù)此模型提出了“折射反投影”法。該方法可以充分利用系統(tǒng)的勞條件，將光源的移動(dòng)和成像條紋的移動(dòng)巧妙地聯(lián)系在一起，從而化簡(jiǎn)了系統(tǒng)靈敏度的推導(dǎo)過(guò)程，對(duì)于雙相位光柵干涉儀靈敏度的設(shè)計(jì)具有重要的理論價(jià)值。