安愷凱 (江蘇省天一中學 214101)

沈丹丹 (江蘇省無錫市東北塘中學 214101)

1 引言

第14屆國際數(shù)學教育大會(簡稱ICME-14)于2021年7月在上海舉行，是全球數(shù)學教育界水平最高、規(guī)模最大的學術(shù)會議.ICME-14在設有常規(guī)的專題研究報告(簡稱TSG)外，還特別增設了13場中國數(shù)學教育特色主題報告(簡稱TA)，成為本屆的亮點之一.江蘇教育科學研究院的董林偉教授在此特色報告8(TA8)中，以“數(shù)學實驗：中國中小學生數(shù)學學習方式的變革”為主題，向全球數(shù)學教育學者展示江蘇數(shù)學教育者在數(shù)學實驗領(lǐng)域的實踐經(jīng)驗和研究成果.本文圍繞ICME-14的部分重要議題與文獻，結(jié)合筆者在江蘇省天一中學舉辦的第十一屆“全國聚焦課堂活動”中開設的“折紙與黃金矩形”的具體課例，從中學一線教師的角度談談對數(shù)學實驗教學整體實踐過程的若干思考.

2 課題來源

ICME-14中的專題研究報告41(TSG41)聚焦數(shù)學教科書及資源的研究與開發(fā)，關(guān)注不同國家的數(shù)學課堂有哪些教學資源，它們在數(shù)學教學、學習和評估中扮演著怎樣的角色，這些資源的使用和實施對學生的學習有什么影響[1].

在當下中國中學生的數(shù)學學習中，學習資源大多為教材與練習冊，缺少做數(shù)學實驗的必要工具資源，教材中單純的數(shù)學實驗數(shù)量又較少且缺乏系統(tǒng)性[2].鑒于以上情況，江蘇省中小學教學研究室結(jié)合數(shù)學教學的實際，精心設計編寫了《義務教育教科書 數(shù)學實驗手冊》(以下簡稱《手冊》)，其中包含了豐富的數(shù)學實驗和一系列實驗素材.《手冊》一方面較好地扮演了將教材簡單、概括的內(nèi)容直觀化、具體化、可操作化，便于教師課堂使用的工具角色；另一方面也扮演著幫助學生理解數(shù)學、驗證數(shù)學、發(fā)現(xiàn)數(shù)學的“伙伴”角色.本節(jié)課的課題“折紙與黃金矩形”便選自《手冊(九年級全一冊)》中的實驗10，包含三個子實驗，分別為用矩形紙條、正方形紙片、黃金矩形紙片折出黃金矩形.

3 實驗工具

數(shù)學實驗最先是從高校開始研究的，在高校中通常指依托編程類軟件(如Matlab等)，結(jié)合數(shù)學知識解決實際問題的建?；顒?這導致部分教師對中學數(shù)學實驗存在錯誤理解，認為中學數(shù)學實驗也需要依據(jù)先進設備或?qū)I(yè)軟件才能展開.

TA8中指出：“數(shù)學實驗是一種符合中小學生認知特點和水平的學習策略.通過數(shù)學實驗，無論是使用物質(zhì)材料還是技術(shù)軟件，學生都能參與到動手操作、實驗探索、實際應用等數(shù)學活動中.”[3]中學數(shù)學實驗的工具應具備易操作屬性，如紙片類物質(zhì)材料或Excel類技術(shù)軟件.本課需要的實驗材料即為矩形紙條、正方形紙片、黃金矩形紙片若干(來自《手冊(九年級全一冊)》的附錄4)、鉛筆、直尺以及剪刀.

4 實驗過程

4.1 實驗1：用矩形紙條折出黃金矩形

ICME-14中的專題研究報告27(TSG27)聚焦數(shù)學史在數(shù)學教育中的角色，并指出：“數(shù)學是人類智力事業(yè)，有著悠久的歷史和生動的現(xiàn)狀.學習數(shù)學不僅包括將數(shù)學活動作為‘打磨過的產(chǎn)品’(polished productions)，還包括理解(隱含的)動機、有意義的行為和數(shù)學家的反思過程.因此數(shù)學教學應提供學生‘做數(shù)學’的機會”.[4]

筆者對本節(jié)課的引入恰與TSG27中的觀點不謀而合.筆者在豐富的人類文明中擷取與課題相關(guān)的素材，讓課堂從悠久的歷史中走來.

·教學片段1

圖1 圖2

師：首先請同學們用矩形紙條來折出黃金矩形.我們不妨假設矩形紙條的寬度為2，同學們覺得折出黃金矩形的關(guān)鍵點是什么？

師：如何折出？

師：非常好！現(xiàn)在請動手實驗，將腦中的思維轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實的作品.

由于在之前《實數(shù)》章節(jié)的學習中學生積累了在數(shù)軸上作出長為無理數(shù)的線段的基本活動經(jīng)驗，故讓學生自主探究、合作交流，多個小組能夠獨立完成本實驗.知識的連貫性及適當?shù)乃季S引導有效降低了課堂的起點，促使學生能夠快速融入課堂.

折法1按圖3～圖6操作，折出的矩形CDHG為黃金矩形.

圖3 圖4

圖5 圖6

折法2前兩步與折法1相同，再按圖7～圖9操作，折出的矩形BCIH為黃金矩形.

圖7 圖8

圖9

思考1數(shù)學實驗應具備操作性.

實驗1體現(xiàn)了數(shù)學實驗課所應具備的操作性，即學生在動手操作的活動過程中，能在實物直觀基礎(chǔ)上獲得對黃金矩形的數(shù)學理解，有效地將數(shù)學知識內(nèi)化為認知結(jié)果.

思考2數(shù)學實驗應具備開放性.

4.2 實驗2：用正方形紙片折出黃金矩形

ICME-14中的專題研究報告16(TSG16)聚焦于數(shù)學教育中的推理、論證和證明，其中表明國際上普遍認可推理和證明在學生各學段和各方向中的重要性.推理、論證和證明是數(shù)學活動的核心，在學習過程中起著至關(guān)重要的作用[5].

許多研究數(shù)學實驗的文章都將“操作實驗”與“推理論證”擺在相互對立的位置，筆者認為這種觀點是錯誤的.正如TSG16中所指出的，“推理論證”是數(shù)學活動的必不可少的核心環(huán)節(jié)，“推理論證”與“操作實驗”兩者之間應是相輔相成的關(guān)系，實驗2的設計致力于體現(xiàn)這一關(guān)系.

·教學片段2

師：在實驗2中，請同學們嘗試利用正方形紙片來折出黃金矩形.

生：由于實驗1中折法2在先折出正方形ABCD的基礎(chǔ)上，再在正方形ABCD內(nèi)部折出了黃金矩形BCIH，故實驗2如法炮制即可.

師：很好，觀察力非常敏銳！還有其他折法嗎？

學生疑惑，沒有思路，課堂陷入短暫的沉默，原因主要有兩點：一是學生思維難以跳出實驗1中折法2所帶來的慣性思維影響，二是《手冊》對實驗2預設的折法(折法3)本身具有一定的隱蔽性.事實上，《手冊》對折法3的處理方式是直接展示，要求學生按圖折疊并說明折得的四邊形為黃金矩形；但筆者以為這樣的設計將數(shù)學實驗變?yōu)榱思兇獾臋C械操作，是一種虛假實驗，不符合數(shù)學實驗課變“被動接受”為“主動探究”的本質(zhì)追求.關(guān)注到學生的思維障礙，筆者借鑒了中考中常見的類比探究性問題的設置方式，合理設置相似問題引導學生類比思考.

師：看來同學們對實驗1中的折法2情有獨鐘，那我們就回到折法2中去尋找實驗靈感，請思考如下問題.

問題請在實驗1中由折法2折得的黃金矩形BCIH中連接CH,CE，則∠BCH和∠ECH之間是否存在等量關(guān)系？若存在，請證明.

證明如圖10，作HM⊥CE于點M，不妨設正方形ABCD的邊長為2.

圖10

學生基于上述問題與實驗2中的相似成分展開聯(lián)想探究，將前者中的數(shù)學對象已知特性遷移到后者上，從而類比生成折法3.

折法3按圖11～圖14操作，折出的矩形BCIH為黃金矩形.

圖11 圖12 圖13

圖14 圖15

思考3數(shù)學實驗應具備實證性.

歷經(jīng)實驗2，學生的思維從“實驗幾何”向“論證幾何”過渡，對幾何圖形的認知能力、演繹推理能力得到進一步提高，真切感受到動手的數(shù)學實驗與嚴密的推理論證是研究數(shù)學問題的兩種缺一不可的、相輔相成的重要方式.實驗2充分體現(xiàn)了數(shù)學實驗課所應具有的實證性，即學生能通過對實驗結(jié)果進行嚴密的數(shù)學論證，使物化的實驗能形象地反映數(shù)學的原理和觀念.

4.3 實驗3：用黃金矩形紙片(矩形ABCD為黃金矩形)折出黃金矩形

較于實驗2，實驗3的操作難度有所回落，如圖16，只需在黃金矩形ABCD中折去正方形ABEF，從而留下的矩形CDEF即為黃金矩形.由于實驗1中折法1的鋪墊，學生普遍能迅速完成本次實驗.故筆者在設計實驗3時，重點不再停留在實驗的操作面或?qū)嵶C面上，而是突出學生實驗結(jié)果中蘊含的探究價值.通過在學生親手制得的實驗作品中設置探究活動，引導其從具體背景中抽象出一般規(guī)律與結(jié)構(gòu)，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，提高學生數(shù)學抽象層面的思維品質(zhì).

探究1類似于“勾股樹”，黃金矩形也能不斷“生長”，請嘗試在圖16中繼續(xù)折出更多的黃金矩形，判斷這些黃金矩形是否相似.

圖16 圖17

(參考答案：仿照實驗3的操作步驟，圖17中的矩形CGHF、矩形FHMN、矩形HMQP等都為黃金矩形且都相似.)

探究3在圖17中，EF將矩形ABCD分成的兩部分的面積之比也成黃金比，類比黃金分割點的定義，我們把這樣的直線稱為黃金分割線，請仔細觀察圖形，圖17中矩形ABCD是否還有其他的黃金分割線.(參考答案：直線AN)

三個探究活動也為課堂容量提供了彈性空間，同時能激發(fā)起學生持久的學習興趣和探索欲望.

思考4數(shù)學實驗應具有探究性.

教師除了關(guān)注到實驗本身的操作價值，也應關(guān)注到實驗成果中蘊含的可持續(xù)的探究價值.基于學生的實驗成果，設置適度的困難并展開探究，有利于學生深化對知識再認識的同時，進一步發(fā)展高階創(chuàng)新思維，培育數(shù)學抽象素養(yǎng).

思考5數(shù)學實驗應具備文化性.

數(shù)學實驗是理想的融入數(shù)學文化的有效載體.縱觀整個實驗過程，學生在創(chuàng)造數(shù)學認知的同時，體會到黃金矩形中蘊藏著的豐富的美學價值和悠久的文化價值.正如TSG27中所倡導的，數(shù)學實驗通過“做數(shù)學”將悠久的數(shù)學文化和生動的教學現(xiàn)狀相互融合.

5 結(jié)束語

新課標提出：“改變單一講授式教學方式，注重開展啟發(fā)式、探究式、參與式、互動式等……綜合性教學活動.”[6]數(shù)學實驗為教學創(chuàng)新提供了全新平臺，有效豐富了教學方式.作為一線數(shù)學教育工作者，即要仰望星空，從全球數(shù)學教育的先進理念和最新進展中獲得啟示，不斷優(yōu)化課堂的頂層設計，亦要腳踏實地，在實踐中發(fā)揮好數(shù)學實驗的窗口作用，驅(qū)動思維創(chuàng)新，發(fā)展核心素養(yǎng).