王 宇，馬秀榮，單云龍

(1.天津理工大學(xué) 集成電路科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300384；2.光電器件與通信技術(shù)教育部工程研究中心，天津 300384)

0 引 言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)因其傳輸速率高、頻譜利用率高與對抗多徑干擾能力強(qiáng)的特點而被廣泛應(yīng)用于移動通信系統(tǒng)中[1-2]。

信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)用于均衡與恢復(fù)經(jīng)歷信道后信號，在接收端實現(xiàn)正確檢測，而在接收端CSI是未知的，因此對CSI的估計十分關(guān)鍵[3]。目前已有許多文獻(xiàn)對信道估計問題進(jìn)行了研究與分析，大量研究證明無線多徑信道呈稀疏特性，即只有少量信道抽頭元素不為零。傳統(tǒng)的信道估計算法如最小二乘(Least Squares，LS)[4]、最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)[5]算法都有明顯的缺點，兩者都沒有利用信道稀疏的特點[6-7]。近年來，基于壓縮感知(Compressed Sensing，CS)的信道估計成為一大熱點。將無線信道的稀疏性與CS理論結(jié)合，可以有效估計出信道抽頭中非零元素的位置與相應(yīng)數(shù)值，而且相較傳統(tǒng)算法，CS信道估計可以在保證同樣性能的同時使用更少的導(dǎo)頻資源，提升系統(tǒng)頻譜利用率[8]。

對于稀疏信號恢復(fù)問題，可以利用凸優(yōu)化理論進(jìn)行稀疏重構(gòu)[9]，但該方法復(fù)雜度過高，不適用解決實際問題[2]，而貪婪算法因其復(fù)雜度低、算法結(jié)構(gòu)簡單在實際應(yīng)用中更為常見。文獻(xiàn)[10]使用正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)對稀疏信道進(jìn)行估計且相較傳統(tǒng)信道估計算法具有更準(zhǔn)確的估計性能。壓縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP)算法[11]、子空間追蹤(Subspace Pursuit，SP)算法[12]引入回溯思想，增加了信道估計的精度；弱選擇匹配追蹤(Stagewise Weak Orthogonal Matching Pursuit，SWOMP) 算法[13]通過設(shè)置門限，每次迭代選擇多個原子，減少了迭代次數(shù)；稀 疏 度 自 適 應(yīng) 匹 配 追 蹤(Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP) 算法[14]通過每次迭代增加原子索引，可以在稀疏度未知的條件下完成信道估計。

由于通信速率與系統(tǒng)帶寬的不斷提升，一個符號的持續(xù)時間逐漸變短，相鄰的多個符號經(jīng)歷的信道響應(yīng)不再相互獨立，而是呈現(xiàn)時間相關(guān)性[15]的聯(lián)合稀疏結(jié)構(gòu)，用以描述這種特點的聯(lián)合稀疏模型(Joint Sparse Model，JSM)[16]被提出，相應(yīng)地，基于分布式壓縮感知(Distributed Compressed Sensing，DCS)理論的同時正交匹配追蹤(Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit，SOMP)算法[17-18]被廣大學(xué)者研究與分析。

傳統(tǒng)SOMP算法只適用多個符號信道響應(yīng)支撐集(即非零元素位置)全部相同的JSM-2模型，對于多個符號信道響應(yīng)支撐集只有部分相同的JSM-1模型，大多數(shù)文獻(xiàn)都采用各符號單獨估計，并沒有利用其部分聯(lián)合稀疏特性。文獻(xiàn)[15]提出在公共支撐集索引內(nèi)使用SOMP算法進(jìn)行估計，其余部分使用OMP算法逐符號進(jìn)行估計，但是并沒有給出如何確定公共支撐集的方法。

本文對SOMP算法進(jìn)行了改進(jìn)，首先聯(lián)合估計出多個連續(xù)符號信道響應(yīng)相同的支撐集與對應(yīng)元素，然后對支撐集不同的部分逐符號分別進(jìn)行估計。仿真結(jié)果表明改進(jìn)的SOMP算法同時適用于JSM-1與JSM-2模型，且性能優(yōu)于不考慮聯(lián)合稀疏特性的OMP算法。

1 系統(tǒng)模型

在現(xiàn)代移動通信系統(tǒng)中，符號持續(xù)時間非常短，信道的相干時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于符號持續(xù)時間，因此可以認(rèn)為在一個OFDM符號周期內(nèi)，信道是時不變的[2]，其信道沖激響應(yīng)如下：

(1)

將信道響應(yīng)以離散形式h∈L×1表示如下：

h=[h(0),h(2),…,h(L-1)]T。

(2)

式中：L=「τmax/Ts?為信道長度；Ts為系統(tǒng)采樣周期。

對于共K個子載波的OFDM系統(tǒng)，其傳輸模型如下：

Y=XFh+W。

(3)

式中：Y=[Y(0),Y(2),…,Y(K-1)]T為接收端各子載波符號；X=diag[X(0),X(2),…,X(K-1)]為發(fā)送端各子載波符號；W=[W(0),W(2),…,W(K-1)]T為加性高斯白噪聲，F(xiàn)∈K×L為離散傅里葉變換(Discret Fourier Transform,DFT)矩陣，其第n行第m列元素為Fn,m=e-j2π(n-1)(m-1)/K。

假設(shè)共有P個子載波用于導(dǎo)頻的傳輸，式(3)可以寫成

Yp=XpFph+Wp=Ah+Wp。

(4)

式中：Yp∈P×1為導(dǎo)頻子載波接收符號；Xp∈P×P導(dǎo)頻子載波發(fā)送符號；Wp∈P×1為W的導(dǎo)頻位置對應(yīng)元素；Fp∈P×L為F的導(dǎo)頻位置對應(yīng)行。

向量h的零范數(shù)‖h‖0表示向量中非零元素的個數(shù)，由式(1)與式(2)可知，向量h只有少量非零元素，即‖h‖0=N?L，可以認(rèn)為其是稀疏的且稀疏度為N。根據(jù)壓縮感知理論，當(dāng)測量矩陣A=XpFp滿足約束等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property，RIP)時，稀疏向量h可以通過恢復(fù)算法進(jìn)行重構(gòu)，離散傅里葉矩陣大概率滿足RIP性質(zhì)[8]。

2 聯(lián)合稀疏模型下的信道估計

在一個OFDM符號待續(xù)時間非常短的場景下，連續(xù)多個符號都處在信道相干時間之內(nèi)，此時多個符號經(jīng)歷的信道響應(yīng)的稀疏結(jié)構(gòu)存在一定的相關(guān)性[15]。相比一般壓縮感知理論只考慮單個稀疏信號的稀疏性問題，分布式壓縮感知理論考慮連續(xù)多個信號的聯(lián)合稀疏結(jié)構(gòu)，如文獻(xiàn)[17]提出了兩種聯(lián)合稀疏模型。

第一類聯(lián)合稀疏模型(JSM-1)指一組稀疏信號由公共稀疏部分和各自特有的稀疏部分組成，其支撐集部分相同，模型如下：

yj=Zc+Zj=Ahc+Ahj，j∈{1,2,…,J}。

(5)

式中：yj為第j個稀疏信號；Zc為公共稀疏部分；hc中非零元素位置為公共支撐集；Zj為第j個稀疏信號特有的稀疏部分；hj中的非零元素為第j個稀疏信號特有的支撐集。

第二類聯(lián)合稀疏模型(JSM-2)指一組稀疏信號擁有相同的支撐集，其模型如下：

yj=Zj=Ahj，j∈{1,2,…,J} 。

(6)

式中：hj的非零元素所在位置集合即支撐集都相同，其對應(yīng)位置上的元素不同。

傳統(tǒng)SOMP算法認(rèn)為一組稀疏信號的支撐集相同，因此可以聯(lián)合連續(xù)幾個符號同時估計支撐集與對應(yīng)元素，而JSM-1模型下一組信號內(nèi)部分支撐集不同，此時傳統(tǒng)SOMP算法雖然可以保障支撐集相同部分的正確估計，但是會造成在支撐集不同的部分原子選擇錯誤，使信道估計誤差增大。本文提出一種改進(jìn)的SOMP算法：在迭代過程中使用SOMP算法比較一組稀疏信號的殘差與上一次迭代的關(guān)系，如果一組稀疏信號中所有信號的殘差都小于上一次迭代的殘差，則認(rèn)為本次迭代中該組信號具有相同的支撐集索引，并保留本次的估計結(jié)果進(jìn)入下一次迭代；如果該組稀疏信號中存在信號的殘差大于上一次迭代的殘差，則認(rèn)為本次迭代中該組信號中支撐集索引并不是完全相同，因此舍棄本次迭代估計結(jié)果，對該組信號剩下的支撐集與對應(yīng)位置元素分別進(jìn)行OMP估計，得到各自特有的支撐集與對應(yīng)位置元素。

改進(jìn)SOMP算法流程如下：

輸入：連續(xù)J個接收OFDM符號中導(dǎo)頻信號YP,j,j=1,2,…,J；測量矩陣A；設(shè)每個符號的信道多徑數(shù)為N，即總稀疏度為N。

(7)

式中：Al為矩陣A的第l列；λt為第t次迭代中使上式等號右邊取得最大值A(chǔ)的列索引。

Step3 更新支撐集與支撐集元素對應(yīng)列：

黨內(nèi)法規(guī)是中國共產(chǎn)黨在其領(lǐng)導(dǎo)中國革命、建設(shè)和改革開放的實踐中，結(jié)合中國社會的現(xiàn)實和發(fā)展特點，不斷調(diào)整黨內(nèi)與社會各種關(guān)系的規(guī)范。黨內(nèi)法規(guī)是中國共產(chǎn)黨結(jié)合實踐的獨創(chuàng)，為中國共產(chǎn)黨從嚴(yán)治黨、治國理政起到了不可估量的作用。黨的紀(jì)律性法規(guī)是黨內(nèi)法規(guī)的一種，是黨內(nèi)法規(guī)中關(guān)于紀(jì)律要求的具體化。

(8)

(9)

Step4 求當(dāng)前支撐集下稀疏向量的最小二乘解：

(10)

Step5 更新殘差：

(11)

Step6 判斷本次迭代得到的殘差是否均小于上次迭代得到的殘差：

(12)

若所有j均滿足上式，t=t+1，跳至Step 2，進(jìn)行下一次迭代；若存在j不滿足上式，執(zhí)行Step 7。

Step7 拋棄本次迭代得到的支撐集及支撐集索引對應(yīng)列：

(13)

Step8 分別求得J個符號各自的支撐集：

(14)

Step9 更新各符號的支撐集與支撐集索引對應(yīng)列：

(15)

(16)

Step10 利用式(10)求當(dāng)前支撐集下稀疏向量的最小二乘解。

改進(jìn)的SOMP算法主要分為兩部分：第一部分通過式(7)聯(lián)合J個符號估計公共支撐集，相比單獨估計一個符號，聯(lián)合估計具有更高的準(zhǔn)確性?？紤]時變信道，連續(xù)幾個符號的信道響應(yīng)非零元素所在位置不完全相同，因此在得到公共支撐集后第二部分利用式(14)對每個符號剩余的支撐集與對應(yīng)元素分別進(jìn)行估計，直到達(dá)到迭代終止條件，且在第一部分得到的公共支撐集作為第二部分的先驗信息，因此改進(jìn)的SOMP算法同時適用于支撐集相同的JSM-2模型與部分支撐集不同的JSM-1模型，而且改進(jìn)算法相較傳統(tǒng)OMP算法有效利用了信道響應(yīng)的聯(lián)合稀疏特性，通過對多個符號相同支撐集聯(lián)合估計提高了估計性能。

下面進(jìn)行算法復(fù)雜度分析。令公共支撐集個數(shù)為C，改進(jìn)算法在公共支撐集內(nèi)每次迭代同時得到J個符號的信道響應(yīng)估計值，復(fù)雜度可以表示為O(KLC)，在非公共支撐集內(nèi)逐個符號進(jìn)行迭代估計，復(fù)雜度可以表示為O(KL(N-C)J)，因此改進(jìn)算法的總復(fù)雜度可以表示為O(KL(C+NJ-CJ))。當(dāng)C=0即無公共支撐集，每個符號單獨估計時，復(fù)雜度達(dá)到最高，與OMP算法一致；當(dāng)C=N即所有符號支撐集均相同時，復(fù)雜度達(dá)到最低，與SOMP算法一致。

3 仿真與分析

為了驗證本文算法信道估計的性能，對本文算法與傳統(tǒng)算法進(jìn)行了仿真對比。本文仿真實驗所使用的環(huán)境為AMD Ryzen 2600 CPU，16 GB RAM，Matlab 2020a。仿真模型中，設(shè)定OFDM系統(tǒng)子載波數(shù)為512，其中，導(dǎo)頻子載波數(shù)為64，循環(huán)前綴長度為128，信道長度即最大時延對應(yīng)的離散化長度設(shè)置為120，調(diào)制方式為QPSK。由于LS算法在導(dǎo)頻均勻分布時達(dá)到最佳估計性能，而基于CS的估計算法導(dǎo)頻隨機(jī)分布相較均分布性能更優(yōu)[8]，因此在保證導(dǎo)頻數(shù)量均為64的條件下，LS算法導(dǎo)頻均勻分布，CS估計算法導(dǎo)頻在所有子載波中隨機(jī)選取，并保證每個符號的導(dǎo)頻位置一致?？紤]到單個符號持續(xù)時間較短，連續(xù)多個符號經(jīng)歷的信道變化不大，其信道響應(yīng)具有聯(lián)合稀疏性，仿真中設(shè)定連續(xù)多個符號信道響應(yīng)支撐集相同(JSM-2)或部分相同(JSM-1)，噪聲為加性高斯白噪聲，無信道編碼，假設(shè)接收端同步完全正確。

3.1 JSM-2模型下的信道估計性能

設(shè)定多徑數(shù)為15，仿真10個OFDM符號，每個符號經(jīng)歷的信道響應(yīng)非零元素抽頭位置即支撐集保持一致，非零元素為服從瑞利分布的隨機(jī)復(fù)數(shù)，各徑功率按式(1)相關(guān)描述設(shè)置。由于信道參數(shù)的隨機(jī)性，設(shè)定蒙特卡洛仿真實驗次數(shù)為5 000次，每次實驗信道抽頭非零元素位置在信道長度范圍內(nèi)隨機(jī)變化，但對應(yīng)元素仍滿足瑞利分布且每個符號信道響應(yīng)支撐集一致，最終結(jié)果取多次仿真實驗的平均值，信噪比Eb/N0范圍10～30 dB。信道估計均方誤差仿真結(jié)果如圖1(a)所示，系統(tǒng)誤碼率仿真結(jié)果如圖1(b)所示。

(a)信道估計均方誤差

(b)系統(tǒng)誤碼率圖1 JSM-2模型下信道估計性能

仿真結(jié)果表明，在JSM-2模型下，本文算法與傳統(tǒng)SOMP算法擁有相近的性能，但是稍差于傳統(tǒng)算法。這是因為本文提出的改進(jìn)算法會有一個對公共支撐集個數(shù)的估計，而JSM-2模型支撐集相同，傳統(tǒng)SOMP算法相當(dāng)于是在支撐集估計完全正確的情況下進(jìn)行的，因此本文算法相對SOMP算法會有一定的性能損失。

3.2 JSM-1模型下的信道估計性能

設(shè)定多徑數(shù)為15，仿真10個OFDM符號，其信道響應(yīng)公共支撐集個數(shù)為13，即10個符號經(jīng)歷的信道響應(yīng)中前13個非零抽頭位置相同，剩余2個非零抽頭位置不一致，非零元素為服從瑞利分布的隨機(jī)復(fù)數(shù)，各徑功率按式(1)相關(guān)描述設(shè)置。設(shè)定蒙特卡洛仿真實驗次數(shù)為5 000次，增加一個接收端已知公共支撐個數(shù)的情況作為對照(即在公共支撐集下使用SOMP算法，特有支撐集下使用OMP算法，無需對公共支撐集進(jìn)行估計)，信噪比Eb/N0范圍為10～30 dB。信道估計均方誤差仿真結(jié)果如圖2(a)所示，系統(tǒng)誤碼率仿真結(jié)果如圖2(b)所示。

(a)信道估計均方誤差

(b)系統(tǒng)誤碼率圖2 JSM-1模型下信道估計性能

從圖2可以看出，在JSM-1模型下，SOMP算法性能下降明顯，而本文算法仍能保持較高的估計性能且優(yōu)于OMP算法。這是因為相對OMP算法，本文算法利用了連續(xù)符號具有部分相同支撐集的特點，提高了對支撐集的估計準(zhǔn)確性，而SOMP算法在支撐集不同時仍然按相同的準(zhǔn)則來估計，造成估計誤差增大。對比公共支撐集已知的對照組，本文算法性能稍差。這是由于噪聲影響，本文算法對于公共支撐集的估計存在偏差。

3.3 單次運(yùn)行時間

該實驗設(shè)定多徑數(shù)為10～20，連續(xù)10個OFDM符號公共支撐集個數(shù)固定為8，信噪比Eb/N0固定為20 dB，增加LS算法作為對照，仿真不同算法的單次運(yùn)行時間(每個多徑數(shù)下仿真5 000次取平均得到)，結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同多徑數(shù)下單次運(yùn)行時間

由圖3可知，由于LS算法沒有迭代的過程，運(yùn)行時間最短，而基于CS的信道估計算法的迭代次數(shù)均與多徑數(shù)呈正相關(guān)，其運(yùn)行時間也均隨著多徑數(shù)目的增加而增加；SOMP算法每次迭代同時估計得到連續(xù)多個符號的支撐集中一個元素，OMP算法每個符號均要單獨進(jìn)行迭代估計，因此在仿真的基于CS信道估計算法中，SOMP算法運(yùn)行時間最短，OMP算法運(yùn)行時間最長，而本文算法部分支撐集估計利用SOMP算法，部分利用OMP算法，運(yùn)行時間介于兩者之間。

4 結(jié) 論

針對存在聯(lián)合稀疏結(jié)構(gòu)的信道模型，本文提出了一種基于分布式壓縮感知理論的改進(jìn)SOMP算法。與傳統(tǒng)SOMP算法相比，本文算法具有對公共支撐集估計的步驟，因此同時適時用于支撐集相同的JSM-2模型與支撐集部分相同的JSM-1模型。相對OMP算法，本文算法利用了聯(lián)合稀疏結(jié)構(gòu)部分支撐集相同的特點，性能更優(yōu)。算法復(fù)雜度方面，本文算法單次運(yùn)行時間介于SOMP與OMP算法之間。