柴 彪，李 勇，宋修元，劉華穎，梁曉峰

(北方自動控制技術(shù)研究所，太原 030006)

1 引言

微型武器主要是指微納米尺度的具有感知決策、行動與交互的無人作戰(zhàn)單元。而微型武器與普通武器相比，由于尺寸效應的影響，在結(jié)構(gòu)尺寸、剛度變化都有顯著差異。在實驗和原子模擬中都觀察到了微型結(jié)構(gòu)存在的尺寸效應[1-3]。因此在對微型武器殼體進行振動響應分析時應充分考慮尺寸效應對其的影響。

然而，三維石墨烯泡沫材料[4-5]，由于其有著超彈性、超低密度、高能量耗散和良好的導電性等優(yōu)點，已成為材料科學領(lǐng)域中最受關(guān)注的熱點[6-8]。尤其當石墨烯泡沫作為增強納米材料，與石墨烯片或碳納米管相比，它可以提供更好的結(jié)構(gòu)增強效果。

近年來，對三維石墨烯泡沫增強聚合物(GFRNC)結(jié)構(gòu)的研究引起了人們的廣泛關(guān)注。Embrey等[9]發(fā)現(xiàn)GFRNC結(jié)構(gòu)在電氣性能、機械性能和熱性能方面都有很大的提高。Li等[10]報道了由GFRNC復合材料制成的高拉伸、高靈敏度應變傳感器。Jia等[11]在化學氣相沉積框架下介紹了GFRNC結(jié)構(gòu)的生產(chǎn)工藝。Guan等[12]綜述了GFRNC結(jié)構(gòu)在儲能轉(zhuǎn)換、電磁干擾屏蔽、油水分離和傳感器等方面的應用。目前，國內(nèi)外關(guān)于尺寸效應的微型武器三維石墨烯泡沫增強殼體的動態(tài)響應方面的研究報到很少。本文旨在對GFRNC微型武器殼體進行自由和強迫振動的研究和分析。

2 模型建立

如圖1三維石墨烯泡沫增強微型武器復合殼體模型的建立，其中殼體的厚度為h、半徑為R、長度為L、F為垂直于微殼表面的外部力。如圖2所示，本文考慮了3種三維石墨烯泡沫分布:GFRNC-I、GFRNC-Ⅱ和GFRNC-U。

圖1 三維石墨烯泡沫增強微型武器復合殼體模型Fig.1 3D graphene foam enhanced composite shell model of microweapons

在GFRNC-Ⅰ中，最大尺寸的三維石墨烯泡沫位于中面。然而，在GFRNC-Ⅱ中，最大尺寸的泡沫位于底部和頂部表面。GFRNC-U表示三維石墨烯泡沫均勻分布。其中材料性能表示為：

GFRNC-Ⅰ:

ρ(z)=ρ1[1-κmcos(πz/h)]

(1)

E(z)=E1[1-κ0cos(πz/h)]

(2)

GFRNC-Ⅱ:

(3)

(4)

GFRNC-U:

ρ(z)=ρ1?′

(5)

E(z)=E1?

(6)

如圖2(d)所示。在混合標準規(guī)則的框架下，等效質(zhì)量密度ρ1,楊氏模量E1和v1泊松比可得：

圖2 不同的三維石墨烯泡沫分布類型Fig.2 Different 3D graphene foam distribution types

ρ1=ρm(1-VGF)+ρGFVGF

(7)

E1=Em(1-VGF)+EGFVGF

(8)

ν1=νm(1-VGF)+νGFVGF

(9)

其中:ρGF和ρm分別為GF骨架和環(huán)氧樹脂基體的質(zhì)量密度；EGF和Em分別為GF骨架和環(huán)氧樹脂基體的楊氏模量；νGF和νm分別表示GF骨架和環(huán)氧基體的泊松比；VGF表示GF骨架體積分數(shù)，表示為：

(10)

其中，WGF為GF骨架的重量分數(shù)。

將式(7)代入到式(10)可得：

(11)

楊氏模量與密度的關(guān)系如下：

E(z)/E1=[ρ(z)/ρ1]2.73

(12)

(13)

這里假設(shè)不同類型的GFRNC微殼的質(zhì)量是相等的，即：

(14)

基于Love薄殼理論，位移場為：

(15)

(16)

u3(x,θ,z,t)=w(x,θ,t)

(17)

GFRNC微殼的應變分量可以寫成：

(18)

(19)

(20)

基于修正的偶應力理論[13],在考慮經(jīng)典常數(shù)的基礎(chǔ)上，引入了一個新的非經(jīng)典參量，即微結(jié)構(gòu)的應變能為：

(21)

其中：m表示偶應力張量；χ表示對稱曲率張量；σ為柯西應力張量；ε為應變張量。這些張量具體表示為[14]:

m=2l2μχ

(22)

(23)

σ=λtr(ε)I+2με

(24)

(25)

其中：λ和μ表示拉梅常數(shù);l表示材料長度尺度參數(shù);u表示位移矢量；θ表示旋轉(zhuǎn)向量。

通過式(21),GFRNC微殼的應變能為：

(26)

非經(jīng)典和經(jīng)典的力和力矩為

(27)

動能可以寫成：

(28)

外力做功為：

(29)

通過哈密頓原理可得：

(30)

將式(26)，(28)和(29)代入到式(30),可得GFRNC微殼的運動方程為：

(31)

(32)

(33)

這里

其中，G(z)為GFRNC微殼的剪切模量。

3 方法求解

3.1 自由振動

滿足邊界條件的位移場可表示為：

(34)

v(x,θ,t)=Vmnφ(x)sin(nθ)eiωt

(35)

w(x,θ,t)=Wmnφ(x)cos(nθ)eiωt

(36)

式中：ω表示自然圓頻率；m和n表示模態(tài)數(shù)；Umn,Vmn和Wmn表示位移振幅分量。

其中，軸向模態(tài)函數(shù)φ(x)可寫為：

(37)

這里參數(shù)c1,c2,c3,c4,ζi和λi(i=1,2,3,4…) 在表1中列出。本文考慮了固支-固支(C-C)邊界條件、固支-簡支(C-SS)邊界條件和簡支-簡支(SS-SS)邊界條件。

表1 參數(shù)c1,c2,c3,c4,ζi和λi取值Table 1 The value of paramater c1,c2,c3,c4,ζi and λi

固支邊界條件為：

(38)

簡支邊界條件為：

(39)

將式(34)—(36)代入到式(31)—(33)與此同時忽略外力F,之后采用Galerkin法[15-17]可得：

(40)

其中，K1和M1分別表示剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。為了得到式(40)的非平凡解,系數(shù)矩陣的行列式必須設(shè)為零，才能得到GFRNC微殼的固有頻率。

3.2 強迫振動

本節(jié)以GFRNC微殼在SS-SS邊界條件下的強迫振動為例進行強迫振動分析，其中外力為[18]：

F=P0sin(ω1t)δ(x-x1)δ(θ-θ1)

(41)

式中：P0為激勵力幅值;ω1為激勵圓頻率;(x1,θ1)為激勵的位置;δ表示狄拉克函數(shù)。

對于強迫振動，SS-SS的GFRNC微殼的位移場可表示為：

(42)

(43)

(44)

其中，M和N表示截斷系數(shù)。

將式(41)—(44)代入到式(31)—(33)后利用Galerkin法消去三角函數(shù)，可得：

(45)

式中：B={UmnVmnWmn}T表示微殼的振幅矢量;Q={0 0P0cos(nθ1)sin(mπx1/L}T表示激勵的常矢量;K和M分別表示剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。

式(45)的解可得：

(46)

因此，橫向振動振幅wmax可由式(44)得出。

4 結(jié)果對比與分析

4.1 對比

首先進行對比驗證。本文中對SS-SS、C-SS和C-C均質(zhì)圓柱殼進行了對比研究。它們的無量綱固有頻率列于表2—4。結(jié)果表明，本文的計算結(jié)果與已發(fā)表論文的結(jié)果吻合較好[19-22]。

表2 SS-SS均質(zhì)圓柱殼的無量綱固有頻率對比 (R=2.32 nm,L/R=5,ρ=2 300 kg/m3,υ=0.3和E=1.06 TPa)Table 2 Dimensionless natural frequency comparison of SS-SS homogeneous cylindrical shells (R=2.32 nm,L/R=5,ρ=2 300 kg/m3,υ=0.3 and E=1.06 TPa)

表3 C-SS均質(zhì)圓柱殼的無量綱固有頻率對比 (υ=0.3,h/R=0.002,L/R=20和m=1)Table 3 Dimensionless natural frequency comparison of C-SS homogeneous cylindrical shell (υ=0.3,h/R=0.002,L/R=20 and m=1)

表4 C-C均質(zhì)圓柱殼的無量綱固有頻率對比(h/R=0.01,L/R=20,υ=0.3和m=1)Table 4 Dimensionless natural frequency comparisonof C-C homogeneous cylindrical shell (h/R=0.01,L/R=20,υ=0.3 and m=1)

其次，考慮尺寸效應，表5給出了SS-SS微納米圓柱殼的無量綱固有頻率的比較?？梢钥闯?，本文中的結(jié)果與文獻中一致。

表5 含尺寸效應的SS-SS微納米圓柱殼的無量綱固有頻率對比 (l=h,R=2.32 nm,L/R=5,E=1.06 TPa,υ=0.3和ρ=2 300 kg/m3)Table 5 Dimensionless natural frequency comparison of SS-SS homogeneous cylindrical shell with size effect (l=h,R=2.32 nm,L/R=5,E=1.06 TPa,υ=0.3 andρ=2 300 kg/m3)

接下來，對GFRNC微殼的振動進行了研究。未指定時，GFRNC微殼的幾何和材料參數(shù)為:

EGF=1.02 TPa,ρGF=2 300 kg/m3,νGF=0.3

Em=3 GPa,ρm=1 200 kg/m3,νm=0.34,l=15 μm

m=1,h=20 μm,R/h=50,L/R=3

WGF=1.0%,κ0=0.2

4.2 自由振動

圖3對比了不同理論下SS-SS GFRNC微殼的固有頻率。從圖中可以看出，考慮修正的偶應力理論(MCST)的固有頻率隨尺度參數(shù)的增大而增大，而經(jīng)典理論(CT)的固有頻率不隨尺度參數(shù)的增大而變化。這是因為尺寸效應會增加GFRNC微殼的剛度。然而，經(jīng)典殼理論沒有考慮這一效應，因此得到了不準確的結(jié)果。

圖3 無量綱長度尺度參數(shù)l/h對SS-SS GFRNC微殼固有頻率的影響Fig.3 The effect of dimensionless length scale parameter l/h on SS-SS GFRNC microshell natural frequency

不同邊界條件下周向波數(shù)對GFRNC微殼固有頻率的影響如圖4所示。從圖中可以看出，隨著周向波數(shù)的增加，固有頻率先減小后增大。最小固有頻率出現(xiàn)在n=3時。因此，在接下來的分析中，本文選擇GFRNC微殼的最低模態(tài)(m=1,n=3)作為代表模態(tài)。此外，可以看出GFRNC微殼在SS-SS邊界條件下的固有頻率最低，C-C邊界條件下的固有頻率最高。

圖4 周向波數(shù)n對GFRN微殼固有頻率的影響Fig.4 The effect of circumferential wave number n on GFRN microshell natural frequency

三維石墨烯質(zhì)量分數(shù)對GFRNC微殼固有頻率的影響如圖5所示。結(jié)果表明，隨著三維石墨烯質(zhì)量分數(shù)的增加，其固有頻率也隨之增加。可以看出，即使在聚合物基體中加入少量的三維石墨烯泡沫，微殼的剛度也能明顯增強。此外，GFRNC-Ⅰ殼的結(jié)構(gòu)剛度頻率最低，而GFRNC-Ⅱ殼的結(jié)構(gòu)剛度頻率最高，說明GFRNC-Ⅰ增強微殼的結(jié)構(gòu)剛度最好。

圖5 不同邊界條件下三維石墨烯質(zhì)量分數(shù)WGF對固有頻率的影響Fig.5 Influence of 3D graphene mass fraction WGF on natural frequency under different boundary conditions

圖6給出了不同邊界條件和泡沫系數(shù)對GFRNC微殼固有頻率的影響。結(jié)果表明隨著泡沫系數(shù)的增大，GFRN微殼的固有頻率減小;此外，隨著泡沫系數(shù)的增加，GFRNC-U微殼的固有頻率下降速度快于GFRNC-Ⅱ微殼。最后，除SS-SS邊界條件外，GFRNC-U微殼具有最低的固有頻率。

圖6 不同邊界條件下泡沫系數(shù)κ0對固有頻率的影響Fig.6 Influence of foam coefficient κ0on natural frequency under different boundary conditions

4.3 強迫振動

如表6所示，首先進行穩(wěn)態(tài)諧波載荷下SS-SS GFRNC微殼中心點振幅收斂性分析。可以看出，當截斷系數(shù)分別達到M=75和N=75時，可以得到很好的收斂效果。因此這些截斷系數(shù)將在下面的分析中使用。

表6 SS-SS GFRNC微殼振幅wmax (10-4 m) 的收斂性驗證 (x=L/2,θ=0°,x1=L/2,θ1=0°,P0=1 000 N,ω1=2×105 rad/s)Table 6 Convergence verification of SS-SS GFRNC microshell amplitude wmax (10-4 m) (x=L/2,θ=0°,x1=L/2,θ1=0°,P0=1 000 N,ω1=2×105 rad/s)

圖7為不同泡沫系數(shù)下GFRNC-Ⅰ微殼中心點的頻響曲線，其中x=L/2,θ=0°,x1=L/2,θ1=0°和P0=1 000 N。結(jié)果表明，泡沫系數(shù)較大的微殼容易發(fā)生共振，而泡沫系數(shù)較小的微殼不易發(fā)生共振。

圖7 不同三維石墨烯泡沫系數(shù)下的GFRNC-Ⅰ微殼頻響曲線Fig.7 Frequency response curves of GFRNC-Ⅰ microshells with different 3D graphene foam coefficients

不同三維石墨烯泡沫類型的GFRNC微殼中心點的頻響曲線如圖8所示。其中x=L/2,θ=0°,x1=L/2,θ1=0°和P0=1 000 N。結(jié)果表明:隨著激勵頻率的增加，GFRNC-Ⅱ微殼首先發(fā)生共振，而GFRNC-Ⅰ微殼最后發(fā)生共振。這表明增強共振頻率最有效的方法是在近內(nèi)、外表面分布致密三維石墨烯泡沫，在近中平面減少三維石墨烯泡沫。

圖8 不同三維石墨烯泡沫類型的GFRNC微殼頻率響應曲線Fig.8 Frequency response curves of GFRNC microshells with different 3D graphene foam types

圖9給出了不同三維石墨烯泡沫重量分數(shù)分布下GFRNC微殼中心點的頻響曲線，其中x=L/2,θ=0°,x1=L/2,θ1=0°和P0=1 000 N?？梢钥吹?，具有較大三維石墨烯泡沫重量分數(shù)的微殼更難以共振。因此，三維石墨烯泡沫的加入使微殼結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定。

圖9 不同三維石墨烯泡沫重量分數(shù)分布下的GFRNC微殼頻響曲線Fig.9 Frequency response curves of GFRNC microshells with different 3D graphene foam weight fraction distributions

5 結(jié)論

以上通過一種新型的微型武器增強殼體結(jié)構(gòu)模型建立以及進行的考慮尺寸效應的動態(tài)響應分析，結(jié)果表明：尺度參數(shù)、三維石墨烯泡沫系數(shù)、分布類型和重量分數(shù)對GFRNC微型武器殼體的動態(tài)響應有著重要的影響。其中固有頻率隨三維石墨烯泡沫重量分數(shù)的增加而增大，表明三維石墨烯泡沫能顯著提高GFRNC微殼的力學性能。此外，固有頻率還隨三維石墨烯泡沫系數(shù)的增大而增大。當泡沫系數(shù)較小時，GFRNC-Ⅰ微殼的頻率最低，而GFRNC-Ⅱ微殼的頻率最高。當泡沫系數(shù)較大時，除SS-SS邊界條件外，GFRNC-U微殼始終具有最低的固有頻率。與此同時，在GFRNC微型武器殼體的內(nèi)外表面致密化三維石墨烯，并且殼體的中平面減少該含量，具有最好的增強效果。這為三維石墨烯泡沫應用于微型武器裝備提供了理論指導和技術(shù)支撐。