王少虎，宿月文，金守峰，李宇濤

(1.西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，西安 710048；2.寶雞文理學(xué)院陜西省機(jī)器人關(guān)鍵零部件先進(jìn)制造與評估省市共建重點實驗室，寶雞 721016)

0 引言

擺線針輪減速器具有高減速比、高傳動效率、高承載能力且低噪音的優(yōu)勢，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人、機(jī)床，以及其他高精度傳動領(lǐng)域[1]。該減速器的制造誤差的控制對其傳動性能有重要影響[2-3]。

國內(nèi)外學(xué)者對擺線針輪傳動精度分析主要從兩個方面展開，一類是基于輪齒接觸分析方法(tooth contact analysis，TCA)的研究；另一類是通過動力學(xué)建模和虛擬樣機(jī)技術(shù)的系統(tǒng)仿真方法。其中，TCA分析方面，LITVIN等[4]基于齒輪嚙合原理與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法，推導(dǎo)出考慮齒廓修形的擺線輪廓的參數(shù)式，進(jìn)而建立完整的TCA分析流程，得到了擺線針輪減速器運(yùn)轉(zhuǎn)時的傳動誤差曲線。李軒[5]應(yīng)用齒面接觸分析原理，建立了有側(cè)隙嚙合擺線針輪嚙合副TCA模型及LTCA(loaded tooth contact analysis)模型，計算擺線輪輪齒與針齒之間背隙角，得到了有/無負(fù)載時傳動誤差、嚙合剛度等傳動性能指標(biāo)。李兵等[6]采用作用線增量法，得到多齒嚙合下的擺線輪輸出轉(zhuǎn)角誤差,在此基礎(chǔ)上建立了傳動誤差分析模型。

動力學(xué)分析及虛擬樣機(jī)技術(shù)方面，XU、吳鑫輝等[7-8]提出了考慮間隙及加工誤差的擺線針輪虛擬樣機(jī)模型，對多齒接觸和嚙合特性進(jìn)行計算，通過實測驗證了虛擬樣機(jī)的可靠性；劉華明、WIKLO等[9-10]建立了RV減速器的剛?cè)狁詈先S模型并導(dǎo)入ADAMS進(jìn)行多體動力學(xué)仿真，仿真數(shù)據(jù)表明考慮加工誤差時輸出軸力矩波動情況與實驗結(jié)果更為接近。但是虛擬樣機(jī)仿真軟件對于多齒接觸模型計算效率略低[11]。任軍、WANG等[12-13]采用集中質(zhì)量法建立了十六自由度的重載RV減速器動力學(xué)模型，分析了整機(jī)固有頻率對系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量和剛度的靈敏度；楊偉朋[14]基于等價誤差法建立RV減速器動力學(xué)模型，并將單個制造誤差引入到動力學(xué)模型的傳動誤差計算中。

上述研究表明，已有的TCA方法研究較少考慮減速器的制造誤差和設(shè)計參數(shù)優(yōu)化。動力學(xué)仿真與虛擬樣機(jī)技術(shù)存在比較難于融入多個制造誤差和計算效率低的問題。因此，本文根據(jù)擺線針輪傳動特點，建立了考慮齒廓修形、加工誤差的輪齒接觸分析法，以獲取傳動誤差。然后針對各加工誤差對傳動誤差的靈敏度進(jìn)行分析，以傳動可靠度為條件，利用DIRECT算法對修形量和加工誤差進(jìn)行優(yōu)化，得到一組許用傳動誤差下制造成本最低且可靠度高的擺線針輪減速器加工參數(shù)。

1 綜合齒廓修形和制造誤差的擺線輪針齒建模

1.1 考慮修形的擺線針輪傳動的幾何模型

擺線針輪減速器的加工過程產(chǎn)生的制造誤差會導(dǎo)致裝配時零件之間產(chǎn)生干涉。通過對齒廓適當(dāng)修形，可提升整機(jī)的裝配性。常見的擺線輪齒廓修形方法有針齒半徑修形、針齒位置修形和偏心量修形[15]。前兩種方法較為常用，因此綜合該兩種修形方法，基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理，建立齒廓坐標(biāo)系，可得到通用的擺線輪齒廓參數(shù)式。

圖1所示為擺線輪齒廓坐標(biāo)系示意圖，其中Sf(Xf-Of-Yf)為固定坐標(biāo)系，且Of為其原點；Sc(Xc-Oc-Yc)為擺線齒輪坐標(biāo)系，Oc為其原點；Sp(Xp-Op-Yp)為針齒坐標(biāo)系，Op為其原點。Oc與Of重合，Op與Of相距一個曲柄偏心量e。φc為Sc之轉(zhuǎn)角，φp為Sp之轉(zhuǎn)角，Rp為針齒中心到Op的距離，Rrp為針齒半徑，M點為針齒與擺線輪接觸的一點，α為M點在針齒上的角度參數(shù)。根據(jù)嚙合原理，可將擺線輪與針齒視為一對嚙合齒輪，則假定nc為擺線輪齒數(shù)，np為針齒數(shù)，二者轉(zhuǎn)角和齒數(shù)符合式φcnc=φpnp。依據(jù)此關(guān)系式，并考慮針齒半徑修形和位置修形，可得到擺線輪齒廓方程的參數(shù)式為rc=[xc,yc,1]T，其中：

圖1 擺線輪齒廓坐標(biāo)系

(1)

(2)

式中，dR為移距修形量；dr為等距修形量，角度參數(shù)α可表示為：

(3)

在擺線齒輪參數(shù)式(1)～式(3)里，dR、dr與e為擺線輪齒廓修形參數(shù)，通過不同修形參數(shù)組合，可達(dá)到不同的修形效果。若專門針對修形參數(shù)，擺線輪齒廓參數(shù)式可簡化為rc=rc(φp,dR,dr)。

1.2 考慮制造誤差的擺線輪齒廓幾何方程

擺線輪上的制造誤差主要來自實際加工擺線輪中心與理論中心不同，從而引起的齒距變化，齒距是擺線輪沿節(jié)圓圓周上，自齒形上一點至相鄰齒上對應(yīng)點所量得的弧長Δb。在此將齒距誤差記為Et，考慮齒距誤差的擺線輪齒廓線示意圖如圖2所示。真實廓線與理論廓線節(jié)圓半徑差值為Δρ，分析時可以將齒距誤差換算成角度誤差θc=Et/(Rp-Rrp)。

圖2 考慮齒距誤差的擺線輪齒廓線

考慮齒距誤差時的擺線輪齒廓在其自身坐標(biāo)系Sc下可表述為：

rc(φp;dR,dr;θc,Δρ)=M1(θc)rc(φp;dR,dr;Δρ)

(4)

式中，誤差的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(5)

1.3 考慮制造誤差的針齒幾何方程

針齒在實際加工時會因為刀具磨損、加工面溫度升高等原因而產(chǎn)生針齒半徑發(fā)生變化，記為針齒半徑誤差Δr[16]。考慮半徑誤差的針齒外圓輪廓方程為：

(6)

減速器中針齒孔加工時，會由于加工精度的限制導(dǎo)致針齒孔中心位置距離組裝坐標(biāo)中心產(chǎn)生誤差，從而形成針齒分布圓半徑誤差ΔR和針齒中心平面位置度誤差。后者可定義為，實際針齒中心位于一個以理論中心為中心，半徑為公差帶的一個圓內(nèi)。利用極坐標(biāo)表示為，誤差半徑為Re，誤差半徑角度為θp，如圖3所示，其中灰色陰影范圍為實際針齒中心出現(xiàn)的位置。因此綜合上述針齒制造誤差，針齒在固定坐標(biāo)系下實際針齒輪廓的位置方程如式(7)所示，i為針齒編號，Ap為兩針齒夾角，β為針齒在固定坐標(biāo)系中接觸點的角度：

圖3 針齒位置度誤差示意圖

(7)

2 綜合齒廓修形和制造誤差的輪齒接接觸分析

2.1 輪齒接觸分析模型(TCA)

TCA分析中定義兩個連續(xù)曲面接觸時，其接觸狀態(tài)為共扼接觸，其幾何條件為：在同一坐標(biāo)系下，兩個連續(xù)曲面上的接觸點位置坐標(biāo)必須相同，且接觸點上的外法向矢量也必須相等[17]。

設(shè)TCA模型中擺線針輪機(jī)構(gòu)曲柄輸入角為φ1，輸出轉(zhuǎn)角為φ2，擺線輪裝配時曲柄偏心量誤差Δe可作為偏心量e的附加值予以考慮，最終可得到固定坐標(biāo)系下的擺線輪齒廓方程為：

rcf(φ1,φ2,φp;dR,dr;Δρ,θc,Δe)=
Mcf(φ1,φ2,Δe)rc(φp;dR,dr;Δρ,θc)

(8)

式中，Mcf為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，可表述為：

(9)

擺線輪齒廓上任一點的外法向矢量為：

(10)

固定坐標(biāo)系下的外法向矢量為：

ncf=Lcfnc

(11)

式中，Lcf為擺線輪上法向矢量的轉(zhuǎn)換矩陣：

(12)

同理，針齒的外法向矢量表述為：

(13)

根據(jù)共軛接觸條件可得擺線輪齒廓與針齒的接觸的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(14)

式中，φ1為已知量，且給定各類制造誤差時，未知量為φ2、φp、β。利用MATLAB軟件求解該非線性方程組可得到3個未知變量數(shù)值解，進(jìn)而確定具體接觸點位置與實際輸出轉(zhuǎn)角。但是，若未知量的初值選取不當(dāng)，將會造成求解無法收斂，所以需要確定合理的初始接觸點參數(shù)。

2.2 TCA分析的初始接觸點確定方法

為了在求解非線性方程時時穩(wěn)定收斂，未知量φ2、φp、β的初值可通過瞬心法求解的理論接觸點來獲得[18]。給定φ1的情況下，φ2的理論初值為φ20=φ1/nc。圖4中W點為速度瞬心，針齒和擺線輪的理論接觸點B的法向矢量nc必須通過瞬時中心W。nc與+Xf軸夾角即為的β的初值β0。即：

圖4 瞬心法針齒理論接觸位置

β0=tan-1(nc·x,nc·y)

(15)

進(jìn)而由nc可推導(dǎo)出B點位置矢量為rB，并由幾何位置關(guān)系得到針齒轉(zhuǎn)角初值φp0，即：

rc(φp)=rB

(16)

2.3 輪齒接觸分析計算傳動誤差

擺線針輪減速器的實際輸出角可由前一節(jié)的TCA分析式求解所獲得，即為求解后的φ2。傳動誤差為實際輸出和理論輸出值的差值，如式(17)所示。由于當(dāng)擺線齒輪在運(yùn)轉(zhuǎn)時，會先將擺線齒輪轉(zhuǎn)至和針齒接觸，將起始間隙消除，所以會將運(yùn)動誤差平移一個角度，再計算其中最大值和最小值的差距，此值稱為最大傳動誤差。

(17)

圖5示出了用于計算傳動誤差的流程。首先確定擺線齒輪的修形輪廓參數(shù)式，針齒和擺線齒輪在固定坐標(biāo)系中的位置和法線向量。再通過搜索φ2的最小值求解真實接觸點，當(dāng)輸入角φ1大于最小輸入角時，根據(jù)式(17)確定傳動誤差。最后再計算此輸入角范圍內(nèi)的最大傳動誤差。

圖5 擺線針輪機(jī)構(gòu)傳動誤差計算流程

3 加工誤差對傳動精度的靈敏度分析

3.1 傳動誤差求解

根據(jù)上文提出的TCA模型，可在固定的擺線齒輪設(shè)計尺寸下，求解輸入一周的傳動誤差變化。采用的擺線輪與針齒設(shè)計尺寸與修形量如表1所示。

表1 擺線針輪減速器結(jié)構(gòu)參數(shù)

將設(shè)計參數(shù)代入模型求解，得到機(jī)構(gòu)傳動誤差曲線如圖6所示。圖中可以看出，傳動誤差呈周期性的波形。

圖6 傳動誤差曲線

3.2 加工誤差的靈敏度分析

靈敏度分析的方法是將各加工誤差作為變量分別加入齒面接觸分析，觀察最大傳動誤差結(jié)果的變化趨勢[19]。

3.2.1 針齒半徑靈敏度

設(shè)置針齒半徑從7.9 mm逐步增大至8 mm，則圖7為針齒半徑變化對傳動誤差影響曲線圖，圖中點劃線皆為線性擬合曲線，斜率即為靈敏度?？梢杂^察到越小的針齒會造成越大的運(yùn)動誤差，近似呈線性關(guān)系。

圖7 針齒半徑誤差對傳動誤差靈敏度

3.2.2 針齒分布圓半徑靈敏度

設(shè)置針齒分布圓半徑從96 mm逐步增大至96.1 mm。圖8為產(chǎn)生的實際針齒位置變化對傳動誤差影響曲線圖，圖中點劃線皆為線性擬合曲線?？梢杂^察到越遠(yuǎn)的針齒位置造成的傳動誤差越大，近似呈線性關(guān)系。

圖8 針齒分布圓半徑誤差靈敏度

3.2.3 擺線輪齒距靈敏度

設(shè)置最大累加齒距從-0.02 mm逐步增大至0.02 mm。產(chǎn)生的傳動誤差對最大累加齒距變化如圖9所示?？梢杂^察到最大累加齒距絕對值越大，皆會造成越大的運(yùn)動誤差，造成的影響量近乎相等。

圖9 最大累加齒距誤差對傳動誤差靈敏度

3.2.4 曲柄偏心量靈敏度

設(shè)置實際曲柄偏心量從2.98 mm逐步增大至3.02 mm。圖10為產(chǎn)生的運(yùn)動誤差對實際曲柄偏心之曲線圖，可以觀察到偏心量的實際值越大，運(yùn)動誤差越大，靈敏度也越大，且近似呈指數(shù)關(guān)系。

圖10 曲柄偏心量誤差對傳動誤差靈敏度

4 基于可靠度的加工誤差優(yōu)化與評估

4.1 加工誤差優(yōu)化

根據(jù)不同制造誤差對傳動誤差靈敏度作為參考，可以在規(guī)定的傳動誤差條件下對修形量和加工精度進(jìn)行優(yōu)化，實現(xiàn)最低的制造成本。本文利用DIviding RECTangle(DIRECT)樣本算法[20]，在傳動誤差限制范圍內(nèi)設(shè)定樣本參數(shù)，利用有限的分割及變量搭配，逐漸逼近全域最佳解，以確定最優(yōu)的擺線輪與針齒的加工精度和修形量。下文將最大運(yùn)動誤差的限制設(shè)為30 arcsec。算法中各變量定義如下：

(1)設(shè)計變量：制造誤差與加工方式、加工刀具和生產(chǎn)環(huán)境等諸多因素有關(guān)，這些因素?zé)o法明確量化。因此，將所有的設(shè)計參數(shù)公差帶上下限人為設(shè)定，如表2所示。

表2 設(shè)計變量的取值范圍

(2)約束函數(shù)：基于可靠度的加工精度最優(yōu)化過程中，設(shè)定分析的總樣本數(shù)為Ns，若某組樣本得到的傳動誤差超過了限制值，則認(rèn)為該組樣本不合格。假定不合格樣本組數(shù)必須低于NfKE，則可接受最低可靠度表示Pc為：

(18)

(3)目標(biāo)函數(shù)：擺線針輪減速器制造時，通常要求在滿足規(guī)定傳動誤差的前提下，其制造成本越低越好。因此將目標(biāo)函數(shù)設(shè)定為滿足傳動誤差要求下，各個設(shè)計變量的公差帶范圍總和，將此目標(biāo)函數(shù)最大化，則代表達(dá)到最低成本的最大公差帶范圍。公差帶成本以(花費/mm)表示。此外，將各個參數(shù)之公差帶范圍前，再乘上一個權(quán)重值wi(0.1≤wi≤1)，表示各公差帶對目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生不同的影響。權(quán)重值越大，表示該參數(shù)所控制的公差帶的成本越低，即增加該誤差公差帶范圍對目標(biāo)函數(shù)的影響較大。考慮各零件精度的成本控制，針齒權(quán)重取0.1，擺線輪權(quán)重取0.2，曲柄權(quán)重取0.3。程序在最佳化計算時，會根據(jù)權(quán)重而判斷要提高何種設(shè)計參數(shù)公差帶，而使結(jié)果滿足傳動誤差條件下，又可達(dá)到成本最低的制造方式。優(yōu)化出的最大公差帶范圍fo如式(19)所示，TZ表示各個制造誤差公差帶。

maxfo=(w1×A_Rrp_TZ+
w2×A_Rp_TZ+
w3×A_Re_TZ+w4×D_A_TZ+
w5×Max_cumulative_pitch_error_TZ+
w6×A_A_TZ)

(19)

在使用DIRECT算法對目標(biāo)函數(shù)最佳化時，為使計算結(jié)果準(zhǔn)確，應(yīng)盡可能設(shè)置多的樣本數(shù)迭代，所以在此將樣本數(shù)分為100、500及1000做討論。將產(chǎn)生出的樣本數(shù)據(jù)帶入計算TCA程序中，可求解所有樣本的傳動誤差結(jié)果。3組樣本優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)結(jié)果如表3所示，優(yōu)化后該公差帶下最優(yōu)設(shè)計參數(shù)取值如表4所示。

表3 優(yōu)化結(jié)果

表4 優(yōu)化后的設(shè)計變量取值

4.2 最優(yōu)加工誤差的可靠度分析

由最佳化程序得到制造擺線針輪減速器最低成本的設(shè)計參數(shù)公差帶后，驗證該公差帶下的減速器運(yùn)動誤差是否在要求的范圍，再對優(yōu)化后的加工參數(shù)進(jìn)行可靠度分析，在此將驗證的樣本數(shù)設(shè)為2000，可以更逼近于實際加工情形。3組樣本優(yōu)化結(jié)果的可靠度如表5所示。

表5 優(yōu)化結(jié)果的可靠度

由以上數(shù)據(jù)得知，優(yōu)化樣本數(shù)越大，則所得公差帶之結(jié)果可靠度越高，迭代樣本數(shù)1000時獲得的可靠度皆在99.5%以上，符合高可靠度的特性。一般擺線齒輪減速機(jī)的造價很高，所以通過該方法可避免制造出過多傳動性能不達(dá)標(biāo)的減速器，從而大大節(jié)約制造成本。

5 結(jié)論

本文依據(jù)擺線針輪嚙合原理，建立了考慮齒廓修形、加工誤差的輪齒接觸分析(TCA)法，通過此方法對各加工誤差下傳動誤差的靈敏度進(jìn)行分析?；诜治鼋Y(jié)果，設(shè)計出一種可靠度約束下的輪齒修形與加工精度優(yōu)化方法。得出以下結(jié)論。

(1)對各類加工誤差下擺線針輪減速器傳動誤差靈敏度分析表明：針齒半徑誤差和針齒分布圓半徑誤差與傳動誤差呈線性關(guān)系；曲柄偏心量誤差與傳動誤差呈指數(shù)關(guān)系；最大齒距累積誤差與傳動誤差近似呈對稱分布關(guān)系。

(2)基于DIRECT樣本算法，對擺線針輪減速器加工精度進(jìn)行優(yōu)化，得出3組滿足傳動誤差條件的設(shè)計參數(shù)公差帶。驗證表明在迭代樣本數(shù)1000時選取的設(shè)計參數(shù)可靠度可達(dá)最高并且制造成本最低。