王 凱

(河北工程大學(xué)機械與裝備工程學(xué)院，邯鄲 056038)

0 引言

機械臂的應(yīng)用領(lǐng)域逐漸呈現(xiàn)多元化，正在由傳統(tǒng)的制造業(yè)向航空航天、醫(yī)療、軍事等領(lǐng)域擴展。機械臂高質(zhì)量作業(yè)的前提是機械臂的高精度跟蹤控制，但是機械臂模型不確定性、較強外界干擾嚴(yán)重影響機械臂的跟蹤控制精度[1]。因此研究不確定機械臂的跟蹤控制方法，具有較高的理論價值和應(yīng)用價值。

機械臂跟蹤控制的核心內(nèi)容是設(shè)計關(guān)節(jié)力矩的控制律，在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下使機械臂能夠快速、準(zhǔn)確地跟蹤給定軌跡。常用的機械臂控制方法包括計算力矩法、PID控制、自適應(yīng)控制、變結(jié)構(gòu)控制、智能控制等方法。計算力矩法是根據(jù)期望軌跡和動力學(xué)模型計算出控制力矩的一種方法，但是當(dāng)模型不準(zhǔn)確或者存在干擾時，該方法控制效果較差。PID是一種經(jīng)典控制方法，優(yōu)點是不依賴模型，缺點是精度低、不適用于高速機械臂。自適應(yīng)控制跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)自適應(yīng)調(diào)整控制律，優(yōu)點是控制精度較高，缺點是計算量大、對控制器要求較高[2]。滑?？刂剖且环N具有完全魯棒性的非線性控制器，優(yōu)點是魯棒性好、不依賴模型，缺點是存在抖振問題[3]。智能控制是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊邏輯為代表的一類控制方法，其特點是模擬人類的控制過程[4]，此類方法需要一定的經(jīng)驗數(shù)據(jù)。黃建中等[5]針對機械臂在擾動工況下的變負(fù)載控制問題，設(shè)計了基于擴張狀態(tài)觀測器的滑?？刂破?，有效提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。張世軒等[6]將滑?？刂啤Ⅳ敯艨刂?、自適應(yīng)控制結(jié)合，提出了多關(guān)節(jié)機械臂的自適應(yīng)滑模魯棒控制方法，試驗仿真和樣機實驗驗證了所提方法的有效性。PANE等[7]針對固定重復(fù)的、面向任務(wù)的機械手控制問題，使用強化學(xué)習(xí)算法補償機械臂的未建模誤差，該方法的控制性能好于PD控制、MPC控制等。隨著機械臂應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，應(yīng)用環(huán)境越來越復(fù)雜和多樣化，單一控制方法難以滿足控制要求，可以采用多種控制手段結(jié)合的方法提高控制精度。

本文針對機械臂在模型不確定和外界干擾工況下的控制問題，建立了機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型，設(shè)計了論域自適應(yīng)變化模糊補償控制器，使控制參數(shù)論域范圍能夠隨跟蹤誤差自適應(yīng)變化，從而同時提高控制的精度和收斂速度，實現(xiàn)了不確定機械臂系統(tǒng)對期望軌跡的快速、精確跟蹤。

1 機械臂建模與控制器方案

1.1 動力學(xué)建模

本文以二自由度機械臂為研究對象，如圖1所示。圖中，l1、l2分別為連桿1和連桿2的長度，m1、m2分別為連桿1和連桿2的質(zhì)量，θ1、θ2分別為連桿1和連桿2的轉(zhuǎn)角。

圖1 二自由度機械臂

使用拉格朗日法建立該機械臂的動力學(xué)模型，拉格朗日方程[8]為：

(1)

式中，L為拉格朗日參數(shù)；T為機械臂系統(tǒng)動能；U為機械臂系統(tǒng)勢能；θi為關(guān)節(jié)i的關(guān)節(jié)角；τi為關(guān)節(jié)i的力矩。

將機械臂系統(tǒng)的動能和勢能代入式(1)中，可以求得該系統(tǒng)的動力學(xué)模型為：

(2)

(3)

1.2 模糊補償控制器設(shè)計

針對1.1節(jié)給出的二自由度機械臂控制問題，首先基于動力學(xué)模型和期望軌跡，使用負(fù)反饋方式計算控制力矩。在理想情況下，基于負(fù)反饋的控制力矩實現(xiàn)較為精確的跟蹤效果，但是由于機械臂模型存在不確定性，且在外界環(huán)境的干擾作用下，可能導(dǎo)致負(fù)反饋控制精度較低，甚至難以收斂。

針對模型不確定性和外界干擾問題，本文使用論域自適應(yīng)變化的模糊控制法對模型不確定性和外界干擾進(jìn)行補償。論域自適應(yīng)模糊控制的核心思想是：變量論域大小隨跟蹤誤差變化而自適應(yīng)變化，當(dāng)跟蹤誤差較小時，使論域隨之減小，相當(dāng)于增加模糊規(guī)則數(shù)量而提高跟蹤精度；當(dāng)跟蹤誤差較大時，使論域隨之增大，相當(dāng)于減少模糊規(guī)則而提高收斂速度。基于上述分析和設(shè)計思路，設(shè)計的模糊補償控制器框圖如圖2所示。

圖2 模糊補償控制器設(shè)計方案

2 論域自適應(yīng)變化模糊補償控制

2.1 論域自適應(yīng)變化原理

論域自適應(yīng)變化模糊控制的核心是：使輸入輸出參量的論域大小隨跟蹤誤差自適應(yīng)變化。起始階段機械臂的跟蹤誤差較大，輸入輸出參數(shù)使用較大的論域，相當(dāng)于減少模糊規(guī)則數(shù)量，可以使算法快速收斂；而后機械臂的跟蹤誤差減小，輸入輸出參數(shù)的論域隨之減小，相當(dāng)于增加模糊規(guī)則數(shù)量，可以有效提高跟蹤精度。首先對雙相線性基元組的定義進(jìn)行明確，而后給出論域自適應(yīng)變化方法。

定義：將論域X的一組模糊集記為{Ai}，其中xi對應(yīng)基元Ai的峰值，任意相鄰基元定義為Ai和Ai+1，若Ai滿足：

(4)

且當(dāng){Ai}為線性函數(shù)時，則模糊集{Ai}為論域X上的雙相線性基元組。

在模糊補償控制中，將系統(tǒng)輸入設(shè)置為跟蹤誤差、誤差變化率，輸出記為Z，用于補償力矩計算，則可以將模糊控制器視為一個雙輸入單輸出系統(tǒng)。將跟蹤誤差論域記為X=[-E,E]，模糊集記為{Ai},i∈(1,2,…,P)；誤差變化率論域記為Y=[-D,D]，模糊集記為{Bj},j∈(1,2,…,Q)；補償力矩論域記為Z=[-U,U]，模糊集記為{Cij}。其中{Ai}、{Bj}、{Cij}為雙相線性基元組。將論域X、Y、Z的伸縮因子分別記為α(x)、β(x,y)、γ(x)，則k時刻的伸縮因子為：

(5)

令k時刻論域Xk=α(xk)·Xk-1，則稱Xk為自適應(yīng)變化鄰域，其直觀含義如圖3所示。

圖3 變論域示意圖

2.2 模糊規(guī)則與去模糊化

軌跡跟蹤誤差X和誤差變化率Y的模糊集設(shè)置為負(fù)大、負(fù)小、零、正小、正大5個層次，即{NB、NS、ZE、PS、PB}。為了提高控制精度，將補償力矩進(jìn)行精細(xì)化劃分，則將輸出Z的模糊集設(shè)置為負(fù)極大、負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大、正極大9個層次，即{NVB、NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB、PVB}。使用三角隸屬度函數(shù)對輸入輸出參數(shù)進(jìn)行模糊化[9]，跟蹤誤差、跟蹤誤差變化率的隸屬度函數(shù)一致，如圖4a所示；補償力矩隸屬度函數(shù)如圖4b所示。

(a) 輸入?yún)?shù)隸屬度 (b) 輸出參數(shù)隸屬度圖4 輸入輸出參數(shù)隸屬度函數(shù)

使用Mamdain型推理制定模糊規(guī)則，結(jié)合一定量的實驗結(jié)果和分析，制定模糊規(guī)則如表1所示。

表1 模糊規(guī)則

模糊控制輸出依賴模糊規(guī)則庫，即：

IfXisAiandYisBj,ThenZisCij

(6)

去模糊化方法較多，其中重心法包含了輸出模糊子集所有元素的信息，因此計算比較精確[10]。本文選用重心法得到模糊控制輸出為：

(7)

式中，ξ為模糊控制輸出結(jié)果。

2.3 基于Lyapunov穩(wěn)定分析的補償力矩

(8)

結(jié)合式(2)和式(8)，可以將誤差跟蹤系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)化為：

(9)

τf=Φ·ξ

(10)

式中，Φ為補償力矩系數(shù)，其確定方法在后文推導(dǎo)。

(11)

下面基于Lyapunov函數(shù)[11]在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，設(shè)計補償力矩系數(shù)Φ的自適應(yīng)變化規(guī)律。將Lyapunov能量方程V設(shè)置為：

(12)

式中，V為能量方程；P為對稱正定矩陣，設(shè)置合適P矩陣，使得PA+ATP=-Q，Q為正定對角陣；η>0為常值系數(shù)。

對上式求導(dǎo)，得：

(13)

將式(11)代入式(13)，整理得：

(14)

(15)

由式(15)可得Lyapunov穩(wěn)定前提下的補償力矩系數(shù)Φ自適應(yīng)變化律為：

(16)

根據(jù)式(8)和式(16)給定的模糊補償控制律，得到機械臂系統(tǒng)的模糊補償控制框圖如圖5所示。

圖5 機械臂系統(tǒng)的模糊補償控制框圖

3 仿真驗證與分析

3.1 與傳統(tǒng)模糊控制比較

分別使用論域自適應(yīng)變化的模糊補償控制、傳統(tǒng)模糊補償控制進(jìn)行機械臂軌跡跟蹤，模糊補償控制器的參數(shù)設(shè)置為：系數(shù)k1=1.2、k2=1、t=0.5，η=0.1，輸入輸出參數(shù)的初始論域均設(shè)置為[-3,3]。傳統(tǒng)模糊補償控制結(jié)果如圖6所示。

(a) 關(guān)節(jié)1跟蹤軌跡 (b) 關(guān)節(jié)2跟蹤軌跡

基于論域自適應(yīng)變化的模糊補償控制效果如圖7所示。

(a) 關(guān)節(jié)1跟蹤軌跡 (b) 關(guān)節(jié)2跟蹤軌跡

由圖7d可知，論域伸縮因子可以隨誤差自適應(yīng)變化，當(dāng)跟蹤誤差值較小時，伸縮因子也較小，有利于提高控制精度；當(dāng)跟蹤誤差較大時，伸縮因子也較大，有利于提高算法的收斂速度，實現(xiàn)了論域的自適應(yīng)變化。對比圖6a～圖6c與圖7a～圖7c可知，論域自適應(yīng)變化模糊補償控制精度明顯由于傳統(tǒng)模糊補償控制精度，為了進(jìn)行定量比較兩種控制器的精度，統(tǒng)計最大跟蹤誤差和均方差誤差如表2所示。

表2 跟蹤誤差統(tǒng)計

由表2中數(shù)據(jù)可知，與傳統(tǒng)模糊補償控制相比，在論域自適應(yīng)模糊控制作用下，關(guān)節(jié)1的最大跟蹤誤差減小了2.70倍，均方根誤差減小了2.73倍；關(guān)節(jié)2的最大跟蹤誤差減小了2.62倍，均方根誤差減小了3.45倍。以上數(shù)據(jù)說明，論域自適應(yīng)模糊控制的控制精度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)模糊控制方法，這是因為論域隨跟蹤誤差自適應(yīng)變化，可以適時有效地平衡控制精度和收斂性。

3.2 與現(xiàn)有控制算法比較

按照3.1節(jié)設(shè)置的跟蹤任務(wù)和場景，使用文獻(xiàn)[12]中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模跟蹤控制方法與本文方法進(jìn)行比較。文獻(xiàn)[12]中使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對模型不確定項和外界擾動進(jìn)行估計，并使用全局PID滑?？刂破髟O(shè)計控制律。為了節(jié)省篇幅，在此僅給出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂茖﹃P(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的跟蹤誤差，結(jié)果如圖8所示。

圖8 文獻(xiàn)[12]方法跟蹤誤差

對比圖6c、圖7c、圖8可知，使用傳統(tǒng)模糊控制進(jìn)行補償時，其跟蹤誤差周期性變化，說明對模型不確定性和外界干擾的估計具有周期性誤差；使用論域自適應(yīng)模糊控制和文獻(xiàn)[12]中RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行補償控制時，跟蹤誤差均為收斂的，說明兩種方法對模型不確定性和外界干擾的估計與補償控制是收斂的；論域自適應(yīng)模糊控制的最大跟蹤誤差遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[12]中方法，且收斂時間也略小于文獻(xiàn)[12]方法，說明論域自適應(yīng)模糊補償控制的估計補償精度高、收斂速度快。

統(tǒng)計文獻(xiàn)[12]中控制方法的軌跡跟蹤誤差最大值和方均根值，并與論域自適應(yīng)模糊控制相比較，結(jié)果如表3所示。

表3 跟蹤誤差統(tǒng)計

由表3可以看出，論域自適應(yīng)模糊補償控制的跟蹤控制精度高于文獻(xiàn)[12]神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂?。結(jié)合圖7c和圖8的對比，這是因為論域自適應(yīng)模糊補償控制對模型不確定性和外界干擾的估計精度和速度均優(yōu)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計。從理論的角度講，這是因為在本文模糊補償控制方法中，參數(shù)論域隨跟蹤誤差自適應(yīng)變化，當(dāng)跟蹤誤差減小時，論域隨之減小，有利于提高控制精度；當(dāng)跟蹤誤差增大時，論域隨之增大，有利于控制過程快速收斂。

綜合3.1節(jié)和3.2節(jié)的對比與分析可知，針對不確定機械臂在擾動工況下的控制問題，論域自適應(yīng)模糊補償控制是有效的，且在控制精度和收斂速度上具有一定的優(yōu)越性。

4 結(jié)論

本文研究了不確定機械臂在擾動工況下的軌跡跟蹤控制問題，設(shè)計了論域自適應(yīng)變化的模糊補償控制器。經(jīng)仿真驗證得出以下結(jié)論：與傳統(tǒng)模型控制相比，論域自適應(yīng)模糊控制的控制精度更高，說明論域自適應(yīng)策略能夠有效提高模糊控制的控制精度。