謝探陽(yáng)，李玉梅，張 濤，高天亮，石玉超

(1.北京信息科技大學(xué)a.高動(dòng)態(tài)導(dǎo)航技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.現(xiàn)代測(cè)控技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101；2.河北明尚德玻璃科技股份有限公司，河間 062450)

0 引言

機(jī)器視覺(jué)與機(jī)械臂的結(jié)合案例在工業(yè)場(chǎng)景中的應(yīng)用非常廣泛。而手眼標(biāo)定作為機(jī)械臂在攝像頭視角下與真實(shí)世界交互的重要環(huán)節(jié)，其標(biāo)定算法的快速性、穩(wěn)定性、精準(zhǔn)性，在很大程度上決定了機(jī)械臂的工作效率。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外對(duì)于手眼標(biāo)定問(wèn)題的研究越來(lái)越多。

黃騰超等[1]提出了一種基于差值細(xì)分的手眼標(biāo)定算法，避免了傳統(tǒng)標(biāo)定算法中鏡頭過(guò)度校正問(wèn)題。丁雷鳴等[2]提出了一種基于遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化算法，將相機(jī)坐標(biāo)和機(jī)械臂坐標(biāo)作為輸入量與輸出量，訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，越過(guò)了傳統(tǒng)標(biāo)定算法中繁瑣的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)程。鄧仕超等[3]提出了一種針對(duì)單目相機(jī)的使用單位八元數(shù)優(yōu)化的標(biāo)定算法，在保證抗噪聲能力的同時(shí)，簡(jiǎn)化了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣同步最優(yōu)解的計(jì)算過(guò)程。鐘宇等[4]使用目標(biāo)檢測(cè)技術(shù)獲取機(jī)械手加持的3D球球心坐標(biāo)。之后再運(yùn)用奇異值分解法獲取不同坐標(biāo)系間的的線性回歸解來(lái)研究標(biāo)定過(guò)程。

LEE等[5]提出了一種使用棋盤格換算機(jī)器人末端執(zhí)行器和相機(jī)之間的位置關(guān)系的方法，該方法無(wú)需操作員干預(yù)校準(zhǔn)過(guò)程，并成功應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人中。PACHTRACHAI等[6]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的手眼標(biāo)定方法，不需要標(biāo)定網(wǎng)格中的相機(jī)位置，只使用相機(jī)視角下機(jī)器人的姿勢(shì)作為輸入來(lái)獲取手眼矩陣，簡(jiǎn)化了手眼問(wèn)題模型。LEE等[7]利用增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)，將仿真數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)結(jié)合進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，分析了坐標(biāo)變換的平移分量對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度的影響。

本文提出了一種將鏡頭畸變校正[8](distortion correction)與回歸隨機(jī)森林模型[9](regression random forest)結(jié)合的手眼標(biāo)定算法，該算法保留了傳統(tǒng)標(biāo)定算法中對(duì)相機(jī)鏡頭的畸變校正部分，最大程度減少數(shù)據(jù)原本的誤差。同時(shí)利用了RRF算法適用于非線性數(shù)據(jù)、訓(xùn)練速度快、不易過(guò)擬合的特點(diǎn)，保證了計(jì)算的精準(zhǔn)度。實(shí)驗(yàn)部分使用傳統(tǒng)手眼標(biāo)定算法、線性回歸算法[10]與DC-RRF算法在自行采集的坐標(biāo)數(shù)據(jù)集上進(jìn)行測(cè)試。該研究能夠提升坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精準(zhǔn)度，在很大程度上提高機(jī)械臂的工作效率。

1 手眼標(biāo)定原理

三維空間中某點(diǎn)的具體幾何位置，與其在圖像中對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的變換關(guān)系，是由相機(jī)固有的成像模型與參考坐標(biāo)系的選取位置決定的。而傳統(tǒng)手眼標(biāo)定的流程，正是獲取世界坐標(biāo)系、機(jī)械臂坐標(biāo)系、圖像坐標(biāo)系、相機(jī)坐標(biāo)系四者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。但在具體的運(yùn)算過(guò)程中，可依據(jù)機(jī)械臂實(shí)際位置，將機(jī)械臂坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系作為一個(gè)整體[11]來(lái)考慮，如圖1所示。

圖1 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換過(guò)程

圖像坐標(biāo)系中任一點(diǎn)像素坐標(biāo)(u，v)，與其對(duì)應(yīng)的毫米單位坐標(biāo)之間的關(guān)系，滿足如下齊次變換矩陣：

(1)

式中，(u0，v0)為圖像坐標(biāo)系原點(diǎn)。設(shè)相機(jī)坐標(biāo)系下某點(diǎn)P1(x,y,z)，其對(duì)應(yīng)于成像平面上的成像點(diǎn)為P2(X,Y,Z)，可獲得該點(diǎn)在機(jī)械臂坐標(biāo)(xr,yr,zr)與相機(jī)坐標(biāo)(x,y,z)間的關(guān)系模型：

(2)

式中，(x,y,z)為該點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；(xr,yr,zr)為該點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；Mout為相機(jī)外參數(shù)矩陣；[nx,ny,nz]T為機(jī)械臂坐標(biāo)系的Xr軸在相機(jī)坐標(biāo)系中的方向向量；[ox,oy,oz]T為機(jī)械臂坐標(biāo)系的Yr軸在相機(jī)坐標(biāo)系中的方向向量；[ax,ay,az]T為機(jī)械臂坐標(biāo)系的Zr軸在相機(jī)坐標(biāo)系中的方向向量；[px,py,pz]T為機(jī)械臂坐標(biāo)系的原點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系中的平移位置[11]。

2 優(yōu)化手眼算法

2.1 相機(jī)畸變模型

光學(xué)透鏡的透視失真問(wèn)題會(huì)導(dǎo)致成像時(shí)產(chǎn)生徑向畸變或者切向畸變。通常情況下，切向畸變的主要是因?yàn)殓R頭透鏡與成像平面不平行，通過(guò)設(shè)備調(diào)整完全可以克服，本文中只考慮徑向畸變模型。

徑向畸變[12]主要沿著光學(xué)透鏡的半徑方向分布，產(chǎn)生原因是光線在經(jīng)過(guò)透鏡時(shí)發(fā)生不同程度的偏折。如圖2所示，徑向畸變又分為桶形畸變和枕形畸變。

圖2 桶形畸變和枕形畸變

徑向畸變的成像中心幾乎不發(fā)生畸變，但是沿圖像圓心向邊緣移動(dòng)，畸變則越發(fā)明顯。徑向畸變的數(shù)學(xué)模型可以使用中心點(diǎn)周圍的泰勒級(jí)數(shù)展開式來(lái)建立，通常取前兩項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于畸變嚴(yán)重的鏡頭可以選取三項(xiàng)或者更多項(xiàng)?；儓D像中的某一點(diǎn)的像素坐標(biāo)(xu,yu)可以表示為：

(3)

(4)

式中，(xd,yd)為理想狀態(tài)下不發(fā)生畸變的像素坐標(biāo)；(xo,yo)為畸變圖像中心點(diǎn)的像素坐標(biāo)；k1、k2為展開式中的一階和二階徑向畸變參數(shù)，以此類推；rd為畸變半徑。

2.2 回歸隨機(jī)森林原理

回歸隨機(jī)森林(RRF)是通過(guò)構(gòu)建多棵回歸樹，并以此作為基本單元，形成類似森林的一種回歸算法。此算法使用bootstrap重采樣[13]隨機(jī)得到多個(gè)互不相同的樣本子集，再依據(jù)各樣本子集通過(guò)子空間隨機(jī)劃分構(gòu)建回歸樹。

從數(shù)據(jù)集(X,Y)中隨機(jī)選擇，組成訓(xùn)練集。輸入向量X為自變量，輸出向量Y為因變量。則預(yù)測(cè)結(jié)果h(X)的均方泛化誤差表示為：

EX,Y[Y-h(X)]2

(5)

RRF的計(jì)算結(jié)果是k棵回歸樹的計(jì)算結(jié)果h(θ,Xk)取均值而來(lái)的(θ為服從獨(dú)立分布的隨機(jī)變量)，當(dāng)k→∞，則滿足：

(6)

此時(shí)右側(cè)部分表示RRF的整體泛化誤差，記為PE*。PE則代表單獨(dú)一顆回歸樹的泛化誤差，即：

PE=EθEX,Y[Y-h(X,θ)]2

(7)

對(duì)所有隨機(jī)組成的訓(xùn)練集，存在：

PE*≤ρPE

(8)

式中，ρ是在θ與θ′相互獨(dú)立時(shí)，殘差Y-h(X,θ)和Y-h(X,θ′)的加權(quán)相關(guān)系數(shù)。

建模流程如圖3所示。當(dāng)回歸樹需要節(jié)點(diǎn)分裂時(shí)，則選取特征子集中的最優(yōu)特征進(jìn)行分裂。對(duì)所有回歸樹的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行眾數(shù)投票或者取平均值，最后得到RRF最終的預(yù)測(cè)結(jié)果[14]。

圖3 回歸隨機(jī)森林示意

RRF中的每顆決策樹模型都會(huì)對(duì)輸入的特征進(jìn)行計(jì)算并預(yù)測(cè)，得到與樣本集數(shù)量k對(duì)應(yīng)的k個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果，這些結(jié)果的平均值即為輸出預(yù)測(cè)結(jié)果，表達(dá)式如下：

(9)

式中，Y為預(yù)測(cè)結(jié)果；X為輸入特征的數(shù)據(jù)向量；k為回歸樹數(shù)量；Fk(X)為每個(gè)獨(dú)立的回歸樹模型，其公式為：

(10)

式中，Rj為以不同特征切分量劃分完畢后的單元區(qū)域；I為邏輯值，當(dāng)X∈Rj，則I-1，否則I=0；Cj為當(dāng)前單元區(qū)域內(nèi)所包含的全部輸出值的平均值；j為單元區(qū)域序號(hào)。此過(guò)程[15]即是在判斷輸入量屬于哪個(gè)單元區(qū)域后，計(jì)算出該單元區(qū)域的預(yù)測(cè)值。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 畸變校正

本文首先對(duì)讀取視頻流所用的單目相機(jī)進(jìn)行畸變校正。單目相機(jī)拍攝不同位置、角度的國(guó)際象棋棋盤格圖片17張(棋盤方格數(shù)為9×7，每個(gè)方格實(shí)際長(zhǎng)度大小為22 mm×22 mm)。使用MATLAB自帶的Camera Calibrator工具箱完成對(duì)17張圖片的標(biāo)定過(guò)程。部分標(biāo)定過(guò)程如圖4所示。

圖4 標(biāo)定過(guò)程部分圖片 圖5 重投影誤差

重投影誤差用以判斷標(biāo)定的精準(zhǔn)程度。在標(biāo)定后每個(gè)角點(diǎn)的像素位置與實(shí)際圖像位置之間存在一個(gè)距離，這個(gè)距離的累加和就是重投影誤差。如果平均重投影誤差過(guò)大則說(shuō)明采樣或者標(biāo)定的過(guò)程存在問(wèn)題。

如圖5所示，橫坐標(biāo)為圖片序號(hào)，縱坐標(biāo)為像素誤差值。標(biāo)定結(jié)果顯示平均重投影誤差為0.29，滿足精度識(shí)別要求[16]。Camera Calibrator工具箱獲取到的畸變系數(shù)如表1所示，可以用來(lái)還原相機(jī)圖像。

表1 相機(jī)畸變系數(shù)

表中，k1、k2、k3為徑向畸變系數(shù)；p1、p2為切向畸變系數(shù)。本此實(shí)驗(yàn)只采用徑向畸變校正相機(jī)。

3.2 數(shù)據(jù)采集

實(shí)驗(yàn)采用Eye to Hand手眼系統(tǒng)完成，該系統(tǒng)由MyCobot六自由度機(jī)械臂、計(jì)算機(jī)、LT-USB1080P高清攝像機(jī)等組成。夾取目標(biāo)為圓形不等高的玻璃杯，夾爪安裝于機(jī)械臂末端。

圖6 數(shù)據(jù)采集平臺(tái)

設(shè)定玻璃杯瓶口的幾何中心為目標(biāo)點(diǎn)，使機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)至該點(diǎn)，然后攝像機(jī)相獲取視頻流，經(jīng)自制軟件處理后得到該點(diǎn)坐標(biāo)，即目標(biāo)點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系下的像素坐標(biāo)。像素坐標(biāo)與機(jī)械臂坐標(biāo)系下的坐標(biāo)共同組成一組對(duì)應(yīng)坐標(biāo)數(shù)據(jù)。重復(fù)此過(guò)程得到700組坐標(biāo)值，作為數(shù)據(jù)集，如表2所示。

表2 部分手眼標(biāo)定數(shù)據(jù) (mm)

3.3 評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文使用常規(guī)的R2(決定系數(shù))、MSE(均方誤差)、MAE(平均絕對(duì)誤差)作為度量指標(biāo)[13]，進(jìn)行基于RRF的模型的性能分析。

(11)

(12)

(13)

3.4 模型參數(shù)選擇

由于RRF中每一棵樹的運(yùn)算，都需要使用有放回的隨機(jī)抽樣方式來(lái)進(jìn)行采樣，所以在每個(gè)回歸樹模型創(chuàng)建之后，都有一部分樣本未參與到運(yùn)算過(guò)程中，這部分樣本即為袋外樣本[17](OOB)。

(14)

(15)

式中，k為隨機(jī)森林內(nèi)回歸樹的數(shù)量；i為單個(gè)回歸樹模型的序號(hào)；OOBi為第i個(gè)回歸樹模型的袋外誤差；n為袋外樣本數(shù)；j為袋外樣本序號(hào)；yi為實(shí)際值；h(xi)為預(yù)測(cè)值。平均袋外誤差趨近于平穩(wěn)時(shí)的參數(shù)[18]即可視為模型的最優(yōu)參數(shù)。

模型所需要調(diào)整的主要參數(shù)有兩個(gè)，一個(gè)是n_estimators，即“森林”中回歸樹的數(shù)量；另一個(gè)是max_depth，表示回歸樹的最大深度數(shù)。宏觀上講深度值越大，訓(xùn)練效果越好。但是過(guò)大會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量增大和過(guò)擬合。

圖7為不同max_depth下模型平均袋外誤差率與參數(shù)n_estimators的關(guān)系曲線?？v坐標(biāo)為平均袋外誤差率，橫坐標(biāo)回歸樹的數(shù)量。最大深度為30或者60時(shí)，誤差率曲線沒(méi)有辦法收斂，都存在一定程度的波動(dòng)。當(dāng)最大深度達(dá)到90，且回歸樹的個(gè)數(shù)超過(guò)150棵。平均袋外誤差率不再發(fā)生明顯的波動(dòng)或者下降。參數(shù)選擇結(jié)果如表3所示，其余參數(shù)均設(shè)為默認(rèn)值。

圖7 平均袋外誤差變化趨勢(shì)

表3 參數(shù)選擇

3.5 模型結(jié)果對(duì)比

本文根據(jù)上述內(nèi)容中所采集的數(shù)據(jù)，分別使用傳統(tǒng)手眼標(biāo)定算法、DC-RRF算法、線型回歸算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。隨機(jī)選取70組數(shù)據(jù)作為測(cè)試集對(duì)機(jī)械臂坐標(biāo)下的X、Y、Z坐標(biāo)進(jìn)行準(zhǔn)確率對(duì)比。

如圖8所示，在X軸計(jì)算結(jié)果中，DC-RRF算法的誤差在3 mm以內(nèi)，而傳統(tǒng)手眼算法和線性回歸算法的最大誤差分別為6.2 mm和7.5 mm，且波動(dòng)程度均明顯超過(guò)DC-RRF算法。

圖8 X軸計(jì)算結(jié)果對(duì)比 圖9 Y軸計(jì)算結(jié)果對(duì)比

如圖9所示，在Y軸計(jì)算結(jié)果對(duì)比中，DC-RRF算法的最大誤差是3.8 mm。線性回歸算法的誤差最大能達(dá)到10 mm。傳統(tǒng)手眼算法的誤差波動(dòng)弱于線性回歸算法，但也比DC-RRF算法劇烈很多，誤差最大達(dá)到8.7 mm，最小為0 mm。

如圖10所示，在Z軸計(jì)算結(jié)果中，傳統(tǒng)手眼標(biāo)定算法的誤差波動(dòng)最為劇烈，誤差最大值達(dá)到7.4 mm。線性回歸算法的誤差最大值為5 mm，最小為0 mm，波動(dòng)程度弱于傳統(tǒng)算法。DC-RRF算法的誤差波動(dòng)在0 mm～2 mm之間，相對(duì)其他兩種算法其精度更高。

圖10 Z軸計(jì)算結(jié)果對(duì)比

如表4和表5所示，3種算法中，DC-RRF在3軸上的MSE與MAE均為最低值，平均值分別為11.68與1.77。而R2值均為最高，3軸平均值為0.992。DC-RRF算法在以上性能對(duì)比中結(jié)果均為最優(yōu)，充分證明了此算法在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換上具備一定的優(yōu)越性，可做為后續(xù)手眼標(biāo)定算法研究，以及其他坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法的重要參考。

表4 X/Y/Z軸平均絕對(duì)誤差(MAE) (mm)

表5 X/Y/Z軸均方誤差(MSE)與決定系數(shù)(R2)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出將傳統(tǒng)手眼標(biāo)定算法中的鏡頭畸變校正部分保留，在坐標(biāo)計(jì)算部分與回歸隨機(jī)森林模型結(jié)合的改進(jìn)手眼標(biāo)定算法(DC-RRF)。

對(duì)傳統(tǒng)手眼算法、線性回歸算法、DC-RRF三種算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，結(jié)果表明DC-RRF算法的3軸平均絕對(duì)誤差為1.77 mm，為三種算法中最優(yōu)，相比于傳統(tǒng)手眼標(biāo)定算法具有明顯優(yōu)勢(shì)，可有效提升需要視覺(jué)輔助的機(jī)械臂作業(yè)效率。