周文輝，賈振堂，王 磊

(上海電力大學電子與信息工程學院，上海 200120)

0 引言

機器人運動學有正逆兩部分，是關于機械臂關節(jié)角與末端位姿轉換的關系。根據給定的各個關節(jié)的角度確定機械臂末端的位置姿態(tài)是機械臂正運動學，結果是唯一確定的；根據機械臂末端的位姿反過來求解機械臂對應的關節(jié)角是機械臂逆運動學，其解通常不唯一。目前常見的方法有幾何法[1]、解析法[2]、數值法[3]和人工智能方法[4]等。

冗余機械臂在運行的過程中能夠躲避奇異位形，防止運動關節(jié)超限，有很好的避障能力，同時具備很高的靈活性，但與此同時冗余機械臂的逆運動學求解也變得更加復雜。因為冗余機械臂的機械結構不符合Pieper準則，所以傳統意義上的解析法與幾何法無法求得冗余機械臂對應的封閉逆解，而數值法的雅可比矩陣迭代法，求解過程比較復雜，過于依賴種子的設置，求解質量難以得到保證[5]。冗余機械臂的逆運動學方程是強耦合性的，非線性的方程組，因此可以將機械臂求逆解問題轉化為群智能優(yōu)化問題[6]。這類算法包括粒子群算法[7]、遺傳算法[8]、麻雀搜索算法[9]以及神經網絡算法[10]等。

呂鑫等[11]提出改進麻雀搜索算法，受鳥群算法中飛行行為的啟發(fā)，對鳥群中發(fā)現者的位置進行更新；張偉康等[12]提出的自適應t分布與黃金正弦改進的麻雀搜索算法，通過黃金正弦算法改進發(fā)現者的位置更新方式。段玉先等[13]提出基于sobol序列和縱橫交叉策略的麻雀搜索算法。上述文獻從多個方面對麻雀搜索算法進行改進，雖然在函數初始化過程中增加了種群的多樣性，在一定程度上防止尋優(yōu)函數過早陷入局部最優(yōu)，但是收斂效果不明顯，全局與局部搜索不協調的問題仍舊沒有明顯改善。

本文針對傳統麻雀搜索算法的特性與不足之處，提出了一種結合改進Tent混沌擾動初始化策略，自適應參數調整策略，柯西-Tent擾動策略的綜合改進麻雀搜索算法，最后利用MATLAB軟件對算法進行仿真實驗，驗證CISSA算法在冗余機械臂運動學求逆解的有效性。

1 綜合改進麻雀搜索算法

1.1 標準麻雀搜索算法

麻雀搜索算法(SSA)是受麻雀作為群居動物進行覓食并對捕食者作出反捕食行為得到啟發(fā)而提出的群智能算法[14]。群體在覓食過程中有探索者、跟隨者和預警者3種角色；探索者擔任覓食和導向的職責；跟隨者采取跟隨策略來獲取食物；預警者負責警戒。

(1)探索者的位置更新公式為：

(1)

式中，常數量有itermax、L與ST；itermax為最大迭代次數；L為一個d維的單位矩陣；ST∈[0.5,1]為探索者在野外探索的安全閾值；隨機變量有α、Q；α∈(0,1]增加探索者在探索過程中的隨機性與遍歷性；Q服從正態(tài)分布；t為當前迭代數；Xi,j為種群中第j維，第i只麻雀的狀態(tài)信息。當R2

(2)追隨者的位置更新公式為：

(2)

式中，常量N為種群總數；變量有A，是一個d維的矩陣，矩陣中的元素隨機取1、-1，A滿足A+=AT(AAT)-1；Xp、Xworst分別為探索者當前能探索的最優(yōu)位與最差位置。當i>N/2時表示種群中第i只追隨者獲取食物不足，它要盡可能遠離位置最差的那只麻雀；其他麻雀依然是在最優(yōu)位置的麻雀附近尋找食物。

(3)預警者的位置更新公式為：

(3)

式中，常數量有ε，設置它是為了避免分母為0；隨機變量有β和K，β為一個服從正態(tài)分布的步長控制參數；K∈[-1,1]，調節(jié)預警者的位置信息；Xbest與Xworst分別為種群的最優(yōu)位置和最差位置；fi為第i只麻雀的適應度值；fg、fw分別為最高與最低的適應度值。當fi≠fg表示該麻雀離群，易被偷襲，當fi=fg表示處于種群中間的麻雀意識到了危險，需要向身邊伙伴靠近以避免偷襲。

1.2 改進麻雀搜索算法(CISSA)

(1)基于混沌Tent映射的種群初始化。在群體智能算法尋優(yōu)性能指標中，尋優(yōu)性能與初始種群相關緊密。若初始化種群均勻地分布在解空間中，這有利于快速地鎖定全局最優(yōu)解[15]。麻雀搜索算法采用隨機策略生成初始化種群，這種策略生成的種群滿足隨機性，但存在分布不均，遍歷性不夠的缺點，在算法初期不能保證搜索范圍的廣度?；诖?，在種群初始化過程中引用改進的混沌模型替代隨機生成策略，利用Tent映射[16]遍歷性，隨機性的特點初始化種群，減弱隨機種群遍歷性不夠的影響，進而提高SSA算法的全局搜索性能。

改進Tent映射的數學表達式為：

(4)

式中，i為種群規(guī)模，i=1,2,3,…N；j對應于個體空間維度；μn為混沌參數；N為種群總數，確定混沌參數并對式(4)中X取相應值后，可得到初始種群，然后映射至搜索空間。對麻雀種群進行混沌初始化與隨機初始化的對比如圖1所示。由圖1可以看出，改進后的Tent映射分布更加均勻。

圖1 混沌映射與隨機映射直方圖對比

(2)改進探索者位置更新公式。群智能算法在進化過程中可分為兩部分，全局定位搜索與局部細化。在算法的初始化階段，主要依靠全局搜索來定位最優(yōu)解的大致范圍，但同時也極易陷入局部最優(yōu)，為了杜絕這種情況的發(fā)生，可以讓種群中的探索者，參考上一代的最優(yōu)解。由于在算法運算過程中探索者引導著整個麻雀群體的流動，所以對群體中探索者位置的改進具有重要的意義。因此引入了動態(tài)權重W1、W2，這兩個動態(tài)參數隨著種群搜索發(fā)生相應的變化，在全局搜索時保持較大的值，增強全局搜索能力，在局部搜索時，下降到相應較小的值，加大局部搜索能力。

(5)

式中，p∈[0,1]，q∈[-0.5,0.5]服從均勻分布，d=(Wmax-Wmin)。

(a) 權重W1 (b) 權重W2圖2 麻雀搜索算法與綜合改進麻雀搜索算法權重變化對比

改進后探索者的位置更新公式為：

(6)

(3)種群探索者數量自適應調整。在SSA算法中，在算法最初就確定了探索者與跟隨著在種群中的比例。探索者在種群中的比例過大導致算法在迭代后期無法快速收斂，不能進行精確的局部搜索；相對地，探索者在種群中比例過低會使得算法在迭代的前期無法對全局進行徹底的搜索[17]，降低了函數寬范圍全局搜索的能力。所以為了能夠讓算法在迭代初期能夠充分進行探索，迭代后期能夠快速地收斂。提出了探索者數量自適應調整策略：該策略在算法迭代初期，探索者占種群的大多數，隨著算法迭代次數的增加，種群中探索者相應地減少，直至到一個臨界值。這種策略能夠很好地兼顧全局搜索與局部搜索的優(yōu)點，在算法的初期，不注重收斂精度，能很快地鎖定全局最優(yōu)解的范圍，使得算法快速收斂；在算法的中后期，在前期限定的范圍內，強化局部搜索，提高算法的收斂精度。種群中探索者數目地調整公式為：

(7)

式中，r為探索者在群體中的比例；Nmax為探索者在種群中設置的最大數量；Nmin為探索者在種群中設置的最小數量，相應地PNum，PNum=r×N。PNum為種群中探索者的數量。

(4)柯西變異和Tent擾動。柯西變異[18]來源于柯西分布。柯西分布特征為：兩端具有較長尾翼，這種分布使得個體具有更高的概率跳躍至更好位置，脫離局部最優(yōu)。將柯西算子引入當前最優(yōu)解的位置更新中，利用柯西算子的調節(jié)功能，避免算法陷入局部最優(yōu)。具體表示為：

Xnew=cauchy×Xbest

(8)

式中，cauchy為服從柯西分布的柯西算子；Xbest為當前適應度最優(yōu)的個體；Xnew為經過柯西變異的最優(yōu)個體。

Tent擾動基于Tent混沌映射，在種群中的麻雀適應度都較高，且有向適應度低的方向發(fā)散的趨勢的時候，此時要對種群中的個體進行Tent擾動。利用式(4)對個體進行混沌擾動。

柯西變異與Tent擾動針對于兩種情況，對低適應度的個體進行柯西變異，對高適應度的個體在原有位置的基礎上進行擾動，使得算法不至于陷入局部最優(yōu)，并且在算法的后期能不斷提升收斂精度。

(5)越界處理。對于越界的個體，通常的做法是讓他的值等于邊界值，這種做法降低了算法的搜索能力。為了避免這種情況發(fā)生，將越界的種群個體按式(4)再次放回種群中，通過對越界量的彈性處理，解決了算法在迭代過程中種群豐富度降低的問題，加快了算法的尋優(yōu)效率。

1.3 改進麻雀搜索算法執(zhí)行步驟

基于CISSA的算法的運行步驟如下：

步驟1：對麻雀搜索算法中麻雀種群的初始數量，種群中探索者和跟隨者的比例，預警值，安全值，隨機值等參數變量進行初始化賦值；

步驟2：利用改進的Tent混沌映射生成初始化種群，確定種群中成員的初始位置；

步驟3：計算個體的適應度，然后獲得最高適應度與最低適應度麻雀的位置信息；

步驟4：確定種群中發(fā)現者的數量，然后根據式(6)確定探索者更新之后的位置信息；

步驟5：確定麻雀種群中跟隨者的數量，根據式(2)計算其更新過后的位置；

步驟6：根據式(7)，隨著迭代次數的增加，更新發(fā)現者與跟隨者的數量隨之更新；

步驟7：確定種群中預警者的數量，然后根據式(3)確定預警者在更新之后的位置信息；

步驟8：對于越界的麻雀個體，根據式(4)重新放入種群中；

步驟9：計算每只麻雀的適應度值，并將之和種群的平均適應度值進行比較。若適應度值比平均值低，則進行柯西變異，變異后個體更優(yōu)則更新；反之，利用Tent混沌映射對種群中的個體進行擾動，擾動后個體更優(yōu)則更新；

步驟10：在更新之后，確定種群中適應度值最高和最低的麻雀的位置信息；

步驟11：當算法迭代次數達到設定的最大值時，便輸出適應度最高的個體的位置信息；否則接著從第4步開始繼續(xù)執(zhí)行。

圖3 算法流程圖

1.4 有效性測試

仿真硬件設備：CPU處理器：Intel?CoreTMi5-8300H 2.3 GHz；RAM內存：8 G ddr3 1600；硬盤：1 TB；軟件平臺：MATLAB 2016b。

仿真測試中用3個標準測試函數對CISSA與SSA進行對比分析，這3個標準測試函數的定義為：

(1)Sphere函數

(9)

(2)Rosebrock函數

(10)

(3)Step函數

(11)

改進麻雀搜索算法(CISSA)和標準麻雀搜索算法(SSA)算法測試結果，如圖4所示。

(a) Sphere函數 (b) Rosenbrock函數

從圖4的3個測試函數可以看出，在收斂速度與收斂精度這兩方面來說，CISSA的表現優(yōu)于SSA，這主要是因為CISSA在迭代過程中探索者的位置更新公式會自適應調整，探索者的數量也會根據迭代次數進行調整，在算法初始階段對全局進行充分的搜索，在算法的后期加強局部精確搜索，使得到的最優(yōu)解精確度更高，并加快收斂的速度。

為了進一步證明CISSA的性能，在之前3個標準測試函數的基礎上，增加了3個測試函數。同時為了證明CISSA的優(yōu)越性，選取傳統的群智能算法進行對比，對比算法選取粒子群算法(PSO)[19]、鯨魚優(yōu)化算法(WOA)[20]以及灰狼優(yōu)化算法(GWO)[21]。

測試函數如下：

(1)Ackley函數

(12)

(2)Salomon函數

(13)

(3)Griewangk函數

(14)

上述群智能算法在測試函數上獨立運行60次，選取最優(yōu)收斂精度，平均收斂精度與平均收斂時間作為性能指標，算法內部設置的最大進化次數為1000，對比數據如表1所示。

表1 算法對比數據

表1數據顯示，在最優(yōu)收斂精度與平均收斂精度方面，CISSA的性能明顯優(yōu)于傳統群智能算法。比精度最高的灰狼優(yōu)化算法高4～5個數量級；但在平均計算時間指標上，CISSA算法稍落后于其他對比算法，因為他相比于傳統算法在進化過程中多了一些處理步驟。上述實驗表明，CISSA算法明顯優(yōu)于其他常用的群智能算法。

2 CISSA求解機械臂逆解

2.1 建立機械臂坐標系

圖5為1類7自由度冗余機械臂的結構簡圖，利用標準D-H法[22]進行正運動學建模，機械臂各關節(jié)D-H參數如表2所示。

圖5 七自由度機械臂結構簡圖

表2 冗余機械臂各關節(jié)D-H參數

2.2 運動學分析

機械臂相鄰兩個連桿的坐標系齊次變換矩陣如下：

(15)

式中，sθ是sinθ的簡寫；cθ是cosθ的簡寫。根據式(15)和表1的DH參數，將機械臂7個齊次變換矩陣依次順序相乘便可得到最終機械臂末端位姿矩陣：

(16)

P=(α,β,γ,PxPy,Pz)

(17)

式中，R3×3為姿勢矩陣；p為位置矢量。

2.3 歐拉變換

為了減少輸入變量的個數，本文采用歐拉角表示機械臂末端的位姿，按照式(16)將機械臂的姿態(tài)矩陣進行歐拉變換得到α、β、γ三個對應的歐拉角。歐拉變化將之前機械臂末端位姿矩陣的12個變量轉換為6個獨立變量。變換公式如下：

(18)

P=(α,β,γ,PxPy,Pz)

(19)

式中，P為位姿矢量。

2.4 構建適應度函數

將機械臂的目標位姿與當前位姿的作差值并求出平方和來構建最終的適應度函數，α1=(α-α0)2，β1=(β-β0)2，γ1=(γ-γ0)2，P1=(Px-Px0)2，P2=(Py-Py0)2，P3=(Pz-Pz0)2。

f1=(α,β,γ,P1,P2,P3)=α1+β1+γ1+P1+P2+P3

(20)

冗余機械臂在實際求逆解的過程中存在著不止以一組解。每次式(18)只是求得了一組符合條件的解，要想機械臂能夠在空間中平滑柔順地運行，可以定義如下函數：

(21)

式中，是機械臂第i個關節(jié)角當前時刻與該關節(jié)角前一時刻關節(jié)角的差值。

f3=min(f1+ρf2)

(22)

式中，f1為逆運動其中一組解；f2為關節(jié)運動最小變化量；f3為最終的適應度函數。

3 仿真實驗

為檢驗CISSA在求冗余機械臂逆運動學解中 的可行性與有效性，通過計算機建立仿真實驗將CISSA、SSA、GWO、WOA、PSO分別應用于空間點到點運動的工況展開對比驗證。

3.1 參數設置

本文選取基本麻雀搜索算法(SSA)、鯨魚算法(WOA)、灰狼算法(GWO)、粒子群算法(PSO)作為對照，為保證實驗的公平性，4種算法的種群規(guī)模設置為30，最大迭代次數為200，其他參數設置如表3所示。

表3 算法參數

3.2 實驗結果分析

給定一組關節(jié)角θ(rad)=[1,1,1,1,1,1,1]，代入式(15)求得正運動矩陣T。

(23)

針對末端位姿，5種算法分別在工作空間內對冗余機械臂求逆解，結果如表4所示。

表4 5種算法各自求得一組機械臂逆解

圖6為5種算法位姿求解曲線對比圖，結果表明：CISSA明顯優(yōu)于其他算法。CISSA達到收斂條件時的速度比SSA提高了40%左右，CISSA最終收斂的精度也明顯高于其他算法。為了驗證算法的穩(wěn)定性，同時避免結果的偶然性，將5種算法獨立對位姿求解200次，結果如圖7所示。

圖6 5種算法位姿求解曲線圖對比

(a) WOA算法 (b) PSO算法

可以看出，CISSA的算法精度是高于其他算法，從收斂曲線來看，CISSA的曲線波動比較小，最終的位姿誤差維持在10-7數量級。

4 結論

針對冗余機械臂求逆解問題，本文提出了一種綜合改進麻雀搜索算法。在算法初期，利用改進Tent混沌序列，增加種群遍歷性，增強了算法整體尋優(yōu)定位的能力；在算法迭代的過程中，又引入了柯西變異與Tent擾動增強了算法的抗停滯能力；在算法的中后期，對SSA的位置更新公式進行了優(yōu)化，對種群中探索者數量進行自適應調整，大大提升了算法的精準度與收斂速度?；鶞蕼y試函數的結果表明CISSA相比于SSA與其他傳統算法在求解穩(wěn)定性與求解準確度上有顯著的進步，驗證了改進算法的有效性。運用 CISSA對冗余機械臂求逆解，相比于PSO、WOA 、GWO等傳統算法在平均值與標準差上有明顯的提高。SSA算法的提出時間雖然較短，但是相比于其他傳統算法有一定的優(yōu)越性，后繼可以繼續(xù)融合其他算法的優(yōu)點對SSA算法進行繼續(xù)改進，并更廣泛地運用到實踐中來。