胡曉輝

(嘉興學(xué)院 經(jīng)濟(jì)學(xué)院,浙江 嘉興 314001)

0 引言

面板數(shù)據(jù)的發(fā)展為因果推斷提供了基礎(chǔ)條件，有助于理解事物關(guān)系背后蘊(yùn)藏的真實(shí)機(jī)制。但Granger等因果檢驗(yàn)經(jīng)常受到抽樣周期、變量選擇和弱外生性的影響。其中，處理弱外生性的GMM方法適用于T固定和N較大的情況，而Bootstrap方法適用于有滯后因變量的模型。隨著萬得和國泰安等數(shù)據(jù)庫的應(yīng)用，企業(yè)面板數(shù)據(jù)分析達(dá)到了前所未有的高峰。大多數(shù)研究傾向使用固定效應(yīng)模型以保證估計(jì)結(jié)果的精確性，卻往往忽略上市公司樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際抽樣特征，在未知企業(yè)總體分布情況下，將其作為完全隨機(jī)處理，以及忽略不同企業(yè)跨時(shí)間觀測(cè)存在的非時(shí)變個(gè)體異質(zhì)性。固定效應(yīng)方法將企業(yè)的個(gè)體特定效應(yīng)作為待估參數(shù)，并以初始觀測(cè)為條件進(jìn)行推斷。因?yàn)槿哂鄥?shù)問題(Incidental Parameter Problems)[1]，面板數(shù)據(jù)模型的固定效應(yīng)估計(jì)量可能存在嚴(yán)重偏差。Jackknife折刀法不需要對(duì)冗余參數(shù)偏差進(jìn)行明確的描述，因此很容易適用于估計(jì)系數(shù)和平均邊際效應(yīng)，以及具有多重個(gè)體效應(yīng)的模型。折刀法的實(shí)際應(yīng)用包括刪除一個(gè)隨機(jī)組的面板折刀法[2]、矩形陣列漸近下的最大似然法[3]、有限總體校正的線性化Jackknife方差估計(jì)[4]、Jackknife經(jīng)驗(yàn)似然法[5]、雙系統(tǒng)估計(jì)量的方差估計(jì)[6]、分割面板折刀法[7]，各種方法之間的主要區(qū)別是如何界定和估計(jì)偏差。上述研究大多證實(shí)Jackknife方法具有低階偏差糾正功能，但是很少進(jìn)一步研究固定效應(yīng)高階偏差的修正問題。Dhaene等[7]考慮Half-Panel Jackknife方法,但在分析中要求N/T→κ，其中0<κ<∞，同時(shí)滿足N,T→∞，卻沒有明確樣本企業(yè)面板數(shù)據(jù)普遍遇到的N相比T較大的情形。

本研究結(jié)合Jackknife方法估計(jì)企業(yè)個(gè)體和時(shí)間雙固定效應(yīng)，解決上市企業(yè)數(shù)據(jù)的抽樣特征與控制企業(yè)的非時(shí)變個(gè)體異質(zhì)性。主要貢獻(xiàn)在于：(1)針對(duì)T固定而N較大的特殊情況，解釋分割面板折刀法未充分說明的變量弱外生性問題，僅需要滿足誤差項(xiàng)與弱外生性解釋變量未來值之間的相關(guān)性呈指數(shù)衰減，從而在建模時(shí)放寬了假設(shè)條件，提高了本方法的通用性。(2)假設(shè)弱外生變量可按個(gè)體和時(shí)間維度進(jìn)行分解，從而將異質(zhì)的非線性模型簡化為線性模型。文章其余部分安排如下：首先是折刀法高低階糾偏差原理的推導(dǎo)和介紹，其次是企業(yè)數(shù)據(jù)實(shí)例的分析和討論，最后是結(jié)論與展望。

1 面板數(shù)據(jù)固定效應(yīng)Jackknife偏差修正的證明

1.1 固定效應(yīng)估計(jì)及冗余參數(shù)問題

假設(shè)給定數(shù)據(jù)zit，其中i表示個(gè)體，t表示時(shí)間，且zit在i和t之間可獨(dú)立。同時(shí)，具有密度函數(shù)f(zit;β0;αi0)，參數(shù)β0∈Θ和αi0∈A，其中，αi表示個(gè)體固定效應(yīng)。采用極大似然法，可得到固定效應(yīng)估計(jì)量。

(1)

(2)

1.2 固定效應(yīng)估計(jì)低階偏差修正

針對(duì)上節(jié)中需要修正的估計(jì)偏差βT-β0，Hahn等[2]假設(shè)數(shù)據(jù)在組成和時(shí)間上可分離，從未知分布的總體中抽取容量為T的樣本，以統(tǒng)計(jì)量βT來估計(jì)總體參數(shù)β仍會(huì)產(chǎn)生一定誤差。

(3)

為了解決該問題，折刀法利用抽樣樣本大小的變化來獲得偏差βT-β0的非參數(shù)估計(jì)。將原樣本切割去掉第t期后得到的統(tǒng)計(jì)量記為β-t:

(4)

(5)

1.3 固定效應(yīng)估計(jì)高階偏差修正

假設(shè)1存在βT與∑，當(dāng)N,T→∞時(shí)，S表示刀切面板子集

Hahn等[2,3]分別提供了靜態(tài)和動(dòng)態(tài)模型中滿足這兩個(gè)假設(shè)的基礎(chǔ)條件。結(jié)合假設(shè)2.1與假設(shè)2.2，當(dāng)N,T→∞，如果N/T→ρ，對(duì)于某些ρ∈(0,∞)，得到:

(6)

定義刀切面板子集S?{1,2,…,T}，使得S的元素是連續(xù)整數(shù)，且S的基數(shù)|S|≥Tmin，其中Tmin是βT的最小T值。則與S所對(duì)應(yīng)的極大似然估計(jì)表示為:

(7)

(8)

(9)

(10)

其中，j為整數(shù)。

對(duì)于所有的j≥0和給定的g，存在[T/g]≤|S|≤[T/g]適用于任意S∈Sj，則二階偏差項(xiàng)等于-gB2/T2。

1.4 Half-Panel Jackknife固定效應(yīng)偏差修正

在二階偏差項(xiàng)-gB2/T2上對(duì)g取最小化，進(jìn)一步得到對(duì)半面板折刀法的雙固定效應(yīng)(Half-Panel Jackknife FE-TE)估計(jì)量。

(11)

考慮線性面板數(shù)據(jù)模型：

(12)

其中，yit是跨截面單位i和時(shí)間t的因變量，μi和δt分別代表個(gè)體固定效應(yīng)和時(shí)間固定效應(yīng)，xit表示弱外生變量，β是對(duì)應(yīng)的估計(jì)系數(shù)，uit是誤差項(xiàng)。

假設(shè)3外生變量xit可進(jìn)行如下維度分解:

(13)

其中，uix和δtx分別代表與弱外生變量x相關(guān)的個(gè)體固定效應(yīng)和時(shí)間固定效應(yīng)，隨機(jī)向量ω遵循一般線性過程，Ais是系數(shù)矩陣，vit是特定回歸變量的創(chuàng)新項(xiàng)，s是子面板集合。

假設(shè)4(弱外生性條件) 對(duì)所有i和t,h>0且0<ρ<1，滿足supit‖γit,uv(h)‖

E(vi,t+h,uit)=γit,uv(h)

(14)

假設(shè)5(子面板回歸條件) 對(duì)所有i和s，且0<ρ<1，滿足‖Ais‖

(15)

(16)

(17)

結(jié)論

=O(T2)

(18)

由此證明，面板數(shù)據(jù)模型(12)在弱外生變量情況下，對(duì)于任意固定的偶數(shù)T≥T0，對(duì)半面板折刀FE-TE估計(jì)系數(shù)的偏差為O(T-2)階，且偏差小于Dhaene等[7]獲得的FE-TE估計(jì)量。

2 實(shí)例分析

為驗(yàn)證Half-Panel Jackknife方法估計(jì)固定效應(yīng)模型的適用性和性能，本文以《中國工業(yè)經(jīng)濟(jì)》雜志2018年和2019年各一篇文章，利用附件中公開的面板數(shù)據(jù)及其程序代碼，比較分析本研究方法對(duì)數(shù)據(jù)抽樣特性以及企業(yè)異質(zhì)性的優(yōu)化作用?；貧w系數(shù)估計(jì)偏差可能存在向上或向下兩種情況，采用實(shí)例1顯示對(duì)半面板折刀法糾正系數(shù)被高估的情況，實(shí)例2顯示糾正系數(shù)被低估的情況。鑒于對(duì)半面板折刀法需要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為平衡面板，且時(shí)間年份為偶數(shù)，故對(duì)兩個(gè)實(shí)例的數(shù)據(jù)集進(jìn)行了部分處理。其中，對(duì)半面板折刀法的程序代碼根據(jù)Chudik等[10]分析案例所改編。另外，利用STATA軟件中ivreg2命令提供的弱工具變量標(biāo)準(zhǔn)，檢驗(yàn)結(jié)果表明，解釋變量滿足弱外生性假設(shè)，并且能在有關(guān)政策沖擊下保持相對(duì)穩(wěn)定性。因此，滿足對(duì)半面板折刀法高階偏差修正所需的重要假設(shè)2.3(弱外生性條件)。

2.1 并購重組與企業(yè)創(chuàng)新

陳愛貞等[11]關(guān)于“并購模式與企業(yè)創(chuàng)新”的研究，其主要變量和企業(yè)面板數(shù)據(jù)可用于本文分析。他們利用2007～2017年中國A股制造業(yè)上市公司數(shù)據(jù)，采用Tobit固定效應(yīng)和多重差分方法分析境內(nèi)并購與跨境并購對(duì)企業(yè)創(chuàng)新的促進(jìn)作用。文中原數(shù)據(jù)樣本量為14458，其中并購事件4804起，本研究剔除2007～2009年的數(shù)據(jù)，獲得2010～2017年樣本量8112，其中并購事件2773起。企業(yè)個(gè)體數(shù)(N=1014)遠(yuǎn)大于時(shí)期數(shù)(T=8)，且兩者均為大于2的偶數(shù)，符合對(duì)半面板折刀法糾正估計(jì)偏差的前置條件及相關(guān)假設(shè)。鑒于短面板中的冗余參數(shù)問題最為嚴(yán)重，相比原樣本(N=1615,T=11)，本研究使得企業(yè)個(gè)體數(shù)(N=1014)相比時(shí)期數(shù)(T=8)變得更大，進(jìn)行Half-Panel Jackknife模型估計(jì)的結(jié)果相當(dāng)于一次穩(wěn)健性檢驗(yàn)。主要變量定義如表1所示，采用企業(yè)每年的專利流量反映企業(yè)當(dāng)年的創(chuàng)新活動(dòng)，并購重組屬于二元變量。

表1 主要變量說明

由于附件數(shù)據(jù)中沒有提供企業(yè)是否發(fā)生跨境并購(cma)，故本研究僅以企業(yè)是否發(fā)生并購(treated)為解釋變量，以專利申請(qǐng)數(shù)(lnapp)為因變量進(jìn)行回歸分析，估計(jì)結(jié)果如表2所示。其中，第2列表示按非平衡面板數(shù)據(jù)采取Tobit固定效應(yīng)估計(jì)系數(shù)，第4列表示非平衡面板處理后的Tobit固定效應(yīng)估計(jì)系數(shù)，第6列表示對(duì)半面板折刀法估計(jì)系數(shù)。本研究估計(jì)方法基本上支持陳愛貞等的研究結(jié)果，證實(shí)并購重組對(duì)上市公司創(chuàng)新具有積極正面的影響。首先，非平衡面板與平衡面板的Tobit固定效應(yīng)估計(jì)系數(shù)相差不大，正負(fù)號(hào)未發(fā)生變化，主要變量treated的系數(shù)值在0.1%水平上顯著為正。但得到控制變量的不同估計(jì)，Tobit固定效應(yīng)(1)模型有一個(gè)變量(ros)不顯著，而平衡面板顯示了結(jié)果的穩(wěn)定性。其次，將Tobit與對(duì)半面板折刀法估計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較可發(fā)現(xiàn)，后者R2略有增大，而各系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤均有縮小，顯著性水平則有提高。從變量treated的估計(jì)系數(shù)值(0.0334)來看，采用普通固定效應(yīng)估計(jì)，會(huì)略微高估并購重組對(duì)企業(yè)創(chuàng)新的作用。最后，引入變量ρ衡量企業(yè)不可觀測(cè)異質(zhì)性的方差占總誤差方差的比例，非平衡面板Tobit估計(jì)相比平衡面板Tobit估計(jì)的ρ值較大，可能是因?yàn)槠髽I(yè)數(shù)較多，且有部分企業(yè)中間年份的數(shù)據(jù)缺失，導(dǎo)致差異性增大。而對(duì)半面板折刀法估計(jì)的ρ值(=0.3781)比Tobit估計(jì)的ρ值都要小，表明Tobit固定效應(yīng)模型有必要控制不可觀測(cè)的異質(zhì)性。通過ρ值和標(biāo)準(zhǔn)誤兩方面的比較分析顯示，當(dāng)N>T時(shí)，F(xiàn)E-TE估計(jì)仍存在較大程度的偏差，而Half-Panel Jackknife FE-TE估計(jì)偏差相對(duì)較小。

表2 并購對(duì)創(chuàng)新的積極影響

表3 主要變量描述及計(jì)算公式

2.2 政府補(bǔ)助與企業(yè)創(chuàng)新

本研究采用郭玥[12]有關(guān)“政府創(chuàng)新補(bǔ)助的信號(hào)傳遞機(jī)制與企業(yè)創(chuàng)新”一文同樣的數(shù)據(jù)集。該文選取2008～2015年滬深A(yù)股上市公司非平衡面板數(shù)據(jù)，運(yùn)用雙向固定效應(yīng)、2SLS等方法評(píng)估政府補(bǔ)助對(duì)企業(yè)創(chuàng)新投入和創(chuàng)新產(chǎn)出的政策效應(yīng)。原數(shù)據(jù)樣本量N=17051，本研究剔除部分年份不全的企業(yè)個(gè)體，獲得2008～2015年平衡面板數(shù)據(jù)的樣本量N=10840，基本保留原數(shù)據(jù)容量和結(jié)構(gòu)。主要變量說明如表3所示，其中，因變量包括兩種類型：研發(fā)投入(rd1與rd2)和研發(fā)產(chǎn)出(pt、pti與ptud)。解釋變量為兩類政府補(bǔ)助，控制變量為一些企業(yè)特征。

如表4所示，同郭玥的文獻(xiàn)保持一致，本研究也僅給出基于研發(fā)投入和研發(fā)產(chǎn)出的回歸模型中政府補(bǔ)助兩個(gè)解釋變量的系數(shù)估計(jì)。其中，雙向固定效應(yīng)(1)就是文獻(xiàn)非平衡面板數(shù)據(jù)的估計(jì)結(jié)果。非平衡面板固定效應(yīng)估計(jì)比平衡面板估計(jì)的ρ值更大，對(duì)半面板折刀法估計(jì)的ρ值比雙向固定效應(yīng)估計(jì)都要小，證實(shí)固定效應(yīng)模型仍有控制不可觀測(cè)異質(zhì)性的必要。同樣，對(duì)半面板折刀法估計(jì)的R2略有增大，并且該方法估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤均小于普通固定效應(yīng)估計(jì)，而t統(tǒng)計(jì)量絕對(duì)值普遍大。不論采取哪個(gè)因變量，對(duì)半面板折刀法估計(jì)創(chuàng)新補(bǔ)助(rdsubsidy)效應(yīng)的系數(shù)均高于FE-TE方法。另外，平衡面板的rd2模型中變量非創(chuàng)新補(bǔ)助(nrdsubsidy)系數(shù)變?yōu)檎?，達(dá)到5%顯著性水平，t統(tǒng)計(jì)量絕對(duì)值由0.011明顯增大為1.126；pt模型中變量nrdsubsidy系數(shù)也變?yōu)檎?，雖然未達(dá)到5%顯著性水平，但符合通常情況所認(rèn)知的政府補(bǔ)助會(huì)激勵(lì)企業(yè)增加專利申請(qǐng)；pti模型中nrdsubsidy系數(shù)值增至3倍以上，達(dá)到1%顯著性水平，t統(tǒng)計(jì)量也明顯變大。這些變化反映出對(duì)半面板折刀法估計(jì)結(jié)果更具統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，與前面高階偏差修正理論研究發(fā)現(xiàn)相符合。

表4 政府補(bǔ)助對(duì)創(chuàng)新的影響

3 結(jié)論與展望

本文研究了固定效應(yīng)模型估計(jì)的優(yōu)化策略，當(dāng)企業(yè)面板數(shù)據(jù)呈現(xiàn)N相比T較大時(shí)，現(xiàn)有普通固定效應(yīng)估計(jì)方法不能夠控制企業(yè)數(shù)據(jù)的抽樣特征與個(gè)體異質(zhì)性，一般折刀法利用抽樣樣本大小的變化糾正了低階偏差，但沒有充分解決冗余參數(shù)問題。本文給出了這類(N,T)維數(shù)面板FE-TE估計(jì)量的精確表達(dá)式，并考慮具有弱外生性變量的線性面板數(shù)據(jù)模型的估計(jì)和推理問題，通過對(duì)半面板折刀法對(duì)高階偏差進(jìn)行修正。并可能在一定條件下推廣到N,T→∞的漸近無偏性，使得N/T3→0，使得該方法適用于較大截面和中等時(shí)間序列維度的面板數(shù)據(jù)分析。另一方面，在弱外生性變量條件下，F(xiàn)E-TE估計(jì)量可能有偏，除非N/T足夠小。當(dāng)回歸變量是嚴(yán)格外生的時(shí)候，使用對(duì)半面板折刀偏差校正的效果當(dāng)然會(huì)更好。

用兩個(gè)公開企業(yè)數(shù)據(jù)的實(shí)證研究，說明弱外生性變量面板數(shù)據(jù)模型中對(duì)半面板折刀法的潛在應(yīng)用。第一個(gè)實(shí)例表明FE-TE存在系數(shù)高估的情況。并類似截取部分年份數(shù)據(jù)的穩(wěn)健性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在調(diào)整T值使得N/T變大的條件下，并未改變基準(zhǔn)模型估計(jì)的關(guān)鍵結(jié)論，對(duì)半面板折刀法針對(duì)短面板的偏差糾正效應(yīng)依然明顯。第二個(gè)實(shí)例分析，表明FE-TE估計(jì)存在系數(shù)低估的情況，同樣證明了基于Half-Panel Jackknife FE-TE方法估計(jì)的良好效果，這是一種易于實(shí)現(xiàn)的、可應(yīng)用于一系列模型的估計(jì)方法。當(dāng)然，找到該方法的更多實(shí)踐應(yīng)用是進(jìn)一步需要研究的問題。同時(shí)，實(shí)例分析發(fā)現(xiàn)企業(yè)不可觀測(cè)異質(zhì)性的方差占總誤差方差的比例依然較高(ρ>0.2)，為了盡可能減小固定效應(yīng)面板模型中的估計(jì)偏差，還需要考慮繼續(xù)放寬約束條件，使該方法能適用于一般性的參數(shù)模型，無論線性或非線性，動(dòng)態(tài)或是靜態(tài)。