袁良柱，陸建華，苗春賀，王鵬飛，徐松林,2

（1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230027；2.中國地震局地震預(yù)測(cè)研究所高壓物理與地震科技聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，北京 100036）

黏彈性材料是生活中最常見的材料之一，工業(yè)材料（塑料、橡膠、樹脂、玻璃、陶瓷、混凝土等）、地質(zhì)材料（巖石、土壤、瀝青、石油等）、生物材料（肌肉、血液、骨骼等）常常同時(shí)具有彈性和黏性兩種性質(zhì)[1]。

作為一種天然復(fù)合材料，貝殼因其獨(dú)特的強(qiáng)-弱層狀結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出輕質(zhì)高強(qiáng)的特性[2]。這樣的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)也被大量應(yīng)用于材料設(shè)計(jì)中，有大量工作仿照天然貝殼的結(jié)構(gòu)構(gòu)造，制造出了具有良好的強(qiáng)度、斷裂韌性和沖擊性能的人造仿生材料[3-5]。從結(jié)構(gòu)成分上來說，貝殼由1%～5%的蛋白質(zhì)和95%～99%的礦物組成，其中蛋白質(zhì)的彈性模量和強(qiáng)度均不高（彈性模量在50～100 MPa 之間，強(qiáng)度僅有20 MPa），貝殼的礦物成分CaCO3的強(qiáng)度也不高（彈性模量在50～100 GPa 之間，而強(qiáng)度僅有30 MPa）[2]。但因?yàn)樨悮?nèi)部的珍珠層具有獨(dú)特的多尺度、多級(jí)次的磚泥結(jié)構(gòu)[5]，使貝殼本身的強(qiáng)度能達(dá)到100～300 MPa 之間[2]。不僅如此，貝殼材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性同樣優(yōu)異。Huang 等[6]發(fā)現(xiàn)貝殼珍珠層在高應(yīng)變率（103s-1）下的強(qiáng)度（500 MPa）比低應(yīng)變率（10-3s-1）下的強(qiáng)度（200 MPa）要高得多。貝殼獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及其優(yōu)異的力學(xué)特性引起了廣泛的研究興趣[2,6]。

貝殼因其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征表現(xiàn)出相當(dāng)復(fù)雜的力學(xué)特性，這種復(fù)雜材料含有大量的多尺度細(xì)微觀結(jié)構(gòu)，也使得材料中的應(yīng)力波產(chǎn)生彌散和衰減現(xiàn)象[7-8]，體現(xiàn)出了一定的黏彈性特性[2]。復(fù)雜材料中應(yīng)力波傳播有較多的研究成果[9-10]，其特性均與復(fù)雜介質(zhì)的細(xì)微觀結(jié)構(gòu)相關(guān)。Huang 等[11]研究了顆粒體系介質(zhì)中分形維數(shù)與應(yīng)力/破碎程度的關(guān)系，以及對(duì)局部波動(dòng)效應(yīng)的影響。徐松林等[7]、譚子翰等[8]基于波動(dòng)方程的格林函數(shù)解，結(jié)合邊界積分的方法研究了橢圓形孔洞、裂紋等細(xì)微觀缺陷對(duì)波傳播規(guī)律的影響。Ting 等[12]研究了周期性分層介質(zhì)的波傳播規(guī)律。張鳴[13]基于波傳播理論，推導(dǎo)了梯度密度介質(zhì)的波傳播方程，李毅等[14-15]在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了梯度密度和層狀介質(zhì)的波傳播方程，并以此分析了牡蠣殼試樣的波傳播規(guī)律，發(fā)現(xiàn)牡蠣殼試樣的黏彈性會(huì)隨著密度的變化而變化。這些研究所用的本構(gòu)模型均是整數(shù)階模型，在材料細(xì)微觀結(jié)構(gòu)的研究方面具有一定限制，無法較好反映復(fù)雜介質(zhì)的細(xì)微觀結(jié)構(gòu)對(duì)波傳播的影響規(guī)律。

傳統(tǒng)模型如Maxwell 模型、Kelvin 模型所預(yù)測(cè)的材料松弛和蠕變過程，應(yīng)力和應(yīng)變滿足時(shí)間的自然指數(shù)形式[16]。然而，大量的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，多數(shù)黏彈性材料的松弛和蠕變過程，應(yīng)力和應(yīng)變往往表現(xiàn)為時(shí)間的冪函數(shù)形式[17]。不同于傳統(tǒng)模型，分?jǐn)?shù)階模型的應(yīng)力和應(yīng)變滿足時(shí)間的冪函數(shù)形式，如分?jǐn)?shù)階Kelvin 模型在蠕變下的應(yīng)力應(yīng)變表達(dá)式為多個(gè)冪函數(shù)之和[16]。也有學(xué)者在傳統(tǒng)整數(shù)階模型的基礎(chǔ)上，通過引入多個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和材料參數(shù)來表征變形或應(yīng)力的歷史或演化，使得本構(gòu)模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)茌^好地貼合[18-23]，但模型也變得更加復(fù)雜了。而與傳統(tǒng)模型相比，分?jǐn)?shù)階模型參量少，并且能夠很好地涵蓋傳統(tǒng)本構(gòu)模型。例如當(dāng)Abel 分?jǐn)?shù)階模型（σ(t)∝dαε(t)/dtα）中的階數(shù)α=0 時(shí)，模型就是彈簧元件；當(dāng)α=1.0 時(shí)，模型則變?yōu)榕ｎD黏壺元件[16]。分?jǐn)?shù)階本構(gòu)關(guān)系也能更接近黏彈性的流變特性[24-25]。寇磊[26]通過矩形板蠕變的算例表明，分?jǐn)?shù)階黏彈性模型比經(jīng)典黏彈性模型的適應(yīng)性要好。尹耀得等[27]應(yīng)用分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt 模型建立了考慮記憶特征時(shí)間長度的黏彈性本構(gòu)關(guān)系，對(duì)8 組不同拉伸速率下的丙烯酸彈性體單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)擬合，得到了具有高擬合決定系數(shù)的材料參數(shù)。Zhao 等[28]針對(duì)介電彈性體的黏彈性問題，建立了一種基于分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt 黏彈性模型的三維本構(gòu)，可被用來預(yù)測(cè)材料在自由振蕩和激勵(lì)振蕩下的蠕變行為。牡蠣殼材料由于其內(nèi)部珍珠層和粉末層兩種成分的巨大差異，使得不同密度的牡蠣殼材料表現(xiàn)出較大的力學(xué)性能差異，并且由于其珍珠層-粉末層這種軟硬交替的結(jié)構(gòu)使得牡蠣殼材料表現(xiàn)出一定的黏彈性特性[15]。因此使用簡單的整數(shù)階模型并不能很好地表征其黏彈性特性，而分?jǐn)?shù)階黏彈性模型在復(fù)雜材料的動(dòng)力學(xué)研究工作中已經(jīng)取得了眾多成功[29]。

本文中，首先基于時(shí)間分?jǐn)?shù)階的微積分定義，分別以Abel 模型和分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型作為材料的本構(gòu)，結(jié)合一維波傳播理論得到材料的控制方程；然后利用Laplace 變換得到應(yīng)力與位置坐標(biāo)x、Laplace 變換參量s 的關(guān)系式，并通過數(shù)值Laplace 逆變換的方法，研究Abel 模型和分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型中各個(gè)參數(shù)對(duì)波衰減的影響；最后，基于Abel 模型和分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型，利用CO2脈沖激光加載技術(shù)和激光干涉測(cè)速裝置，從分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)的角度定量地分析相同加載條件下牡蠣殼試樣的動(dòng)力學(xué)特性與試樣密度/珍珠層占比的關(guān)系。

1 牡蠣材料與CO2 脈沖激光加載技術(shù)

牡蠣殼材料具有與貝殼相似的磚泥結(jié)構(gòu)特征和力學(xué)性質(zhì)，由珍珠層和粉末層組成，其中的CaCO3含量在95%以上[30]。但是，牡蠣殼結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不同部位的珍珠層和粉末層含量和厚度差異大。粉末層具有多孔的細(xì)觀結(jié)構(gòu)特性，從放大的粉末層結(jié)構(gòu)剖面中可以看到排列不規(guī)則的片狀和絲狀的方解石成分；珍珠層結(jié)構(gòu)相對(duì)比較光滑，具有平整的紋理，放大的珍珠層結(jié)構(gòu)剖面可以看到排列整齊的方解石柱。其中，珍珠母內(nèi)單個(gè)文石片的平均厚度約為0.45 μm，各文石片層邊沿之間間距平均約為2.35 μm，具有典型的磚泥結(jié)構(gòu)特征[31]。本文中所選材料為東海出產(chǎn)的牡蠣殼（圖1(a)）。使用帶有空心鉆孔的電鉆在牡蠣上鉆下圓柱形試樣，然后分別采用電磨機(jī)、砂紙逐次進(jìn)行打磨。制備得到圓片形牡蠣殼試樣，直徑為(13.0±0.5) mm，厚度為0.4～1.0 mm（圖1(a)）。圖1(b)為對(duì)應(yīng)的牡蠣殼試樣縱剖面的掃描電鏡（scanning electron microscope，SEM）照片。

圖1 牡蠣殼材料、圓形實(shí)驗(yàn)試樣、試樣縱剖面電鏡照片與局部放大Fig.1 Oyster shell material, circular sample, longitudinal section electron microscopy (SEM) and local magnification

由于制備的牡蠣殼試樣密度分布變異性很大，采用常規(guī)SHPB 裝置中直徑較大的入射桿進(jìn)行實(shí)驗(yàn)（即便采用4～6 mm 直徑的入射桿）不能很好地反映牡蠣殼試樣結(jié)構(gòu)的局部動(dòng)態(tài)力學(xué)性能。因此，本文中應(yīng)用CO2脈沖激光加載技術(shù)，將其光斑聚集到直徑1 mm，對(duì)牡蠣殼試樣進(jìn)行加載，結(jié)合激光干涉測(cè)速（laser interferometer velocimetry system，VISAR）裝置進(jìn)行自由表面粒子速度波形的測(cè)量。

圖2 為CO2脈沖激光對(duì)貝殼試樣進(jìn)行沖擊加載及速度信號(hào)采集的示意圖。實(shí)驗(yàn)中，在試樣沖擊面放置光電傳感器作為實(shí)驗(yàn)信號(hào)的觸發(fā)源，在試樣的另一面放置VISAR 系統(tǒng)中的光纖探頭（光纖探頭與試樣貼近但不接觸），VISAR 系統(tǒng)中的光纖探頭可以發(fā)射測(cè)速激光并收集試樣表面反射回的激光信號(hào)，反射光信號(hào)通過與VISAR 系統(tǒng)相連的示波器采集，利用反射光信號(hào)，就可以分析得到試樣表面的粒子速度。實(shí)驗(yàn)時(shí)，由CO2脈沖激光器發(fā)射一束激光，經(jīng)凸透鏡會(huì)聚后沖擊牡蠣殼試樣。當(dāng)激光沖擊試樣時(shí)，試樣前表面的光電傳感器觸發(fā)信號(hào)，光纖探頭連接的VISAR 系統(tǒng)開始采集牡蠣殼試樣表面的信號(hào)。通過改變透鏡與試樣之間的距離，可以調(diào)整激光光斑的大小與能量密度，以此來調(diào)整沖擊加載的強(qiáng)弱。本文中所有實(shí)驗(yàn)試樣與透鏡的距離均相同，并且激光沖擊試樣的區(qū)域也相同，以此來達(dá)到控制相同密度試樣相同加載的條件。

圖2 CO2 脈沖加載與激光干涉測(cè)速系統(tǒng)(VISAR)Fig.2 CO2 pulse loading and laser interferometer velocimetry system (VISAR)

由于牡蠣殼試樣的密度可以反映所含珍珠層的占比，取密度為0.5、0.7、1.2 和1.4 g/cm3共4 種牡蠣殼試樣進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以此來探討不同珍珠層占比對(duì)牡蠣殼試樣黏彈性的影響。

由于牡蠣貝殼類材料內(nèi)部的磚泥結(jié)構(gòu)使其表現(xiàn)出微觀異構(gòu)、宏觀連續(xù)的特征，傳統(tǒng)的整數(shù)階微分本構(gòu)模型不能很好地描述它們的力學(xué)行為，而時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以更加準(zhǔn)確地體現(xiàn)復(fù)雜材料的力學(xué)行為[16]。因此，下面將結(jié)合分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，推導(dǎo)得到應(yīng)用分?jǐn)?shù)階模型的動(dòng)力學(xué)控制方程及其應(yīng)力解，基于此，結(jié)合激光沖擊實(shí)驗(yàn)來研究牡蠣材料的動(dòng)力學(xué)特性。

2 時(shí)間分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型及動(dòng)力學(xué)控制方程

2.1 時(shí)間分?jǐn)?shù)階微積分與黏彈性模型

從分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)被提出以來，不斷有學(xué)者從不同的角度出發(fā)提出幾種分?jǐn)?shù)階微積分定義。其中，Riemann-Liouville、Caputo、Grünwald-Letnikov 和Riesz 定義在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和工程應(yīng)用中比較常用。Grünwald-Letnikov 定義主要用于數(shù)值計(jì)算中差分格式的計(jì)算；Riesz 定義是關(guān)于空間分?jǐn)?shù)階的定義。Riemann-Liouville 定義和Caputo 定義均是基于多重積分思想的定義，Riemann-Liouville 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)理論分析中較常用，但具有超奇異性；而Caputo 定義具有弱奇異性，更適合地球物理建模。因此本文將采用Caputo 定義的分?jǐn)?shù)階微分定義來描述黏彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變行為。

對(duì)于任意實(shí)數(shù)α＞0，Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階積分定義[16,32]：

在式(1)的基礎(chǔ)上，Riemann-Liouville 型分?jǐn)?shù)階微分定義為：

Riemann-Liouville 型微分定義是先求積分再求微分，與此相反，Caputo 型微分定義是先求微分再求積分，其表達(dá)式[16]為：

將分?jǐn)?shù)階時(shí)間導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于分析黏彈性材料的力學(xué)行為，目前主要是將傳統(tǒng)模型中的牛頓黏壺替換為Abel 黏壺。Abel 黏壺模型示意圖如圖3(a)所示，本構(gòu)關(guān)系為：

圖3 幾種分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型Fig.3 Several fractional differential constitutive models

式中：σ(t)為模型整體受到的應(yīng)力；ε(t)為模型整體的應(yīng)變；η 為Abel 黏壺的黏性系數(shù)，其量綱隨著分?jǐn)?shù)階階數(shù)α 的變化而變化，單位可寫為Pa·sα[28]?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)α=0，Abel 黏壺變?yōu)閺椈稍?，代表彈性固體；當(dāng)α=1.0 時(shí)，Abel 黏壺變?yōu)榕ｎD黏壺，代表牛頓流體。

分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型由1 個(gè)彈簧元件和1 個(gè)Abel 黏壺串聯(lián)而成。模型示意圖如圖3(b)所示，本構(gòu)關(guān)系為：

式中：E 為模型中彈簧元件的彈性模量。

特別地，當(dāng)初始條件滿足σ(t)|t=0=0、ε(t)|t=0=0 時(shí)，則Abel 黏壺和分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型的Laplace 變換分別為：

2.2 基于分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型的動(dòng)力學(xué)控制方程求解

對(duì)于一個(gè)半無限長的復(fù)雜介質(zhì)（內(nèi)部含有孔洞、間隙、界面等細(xì)微觀結(jié)構(gòu)），應(yīng)用時(shí)間分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型（以Abel 黏壺為例），則一維應(yīng)變下的控制方程組為：

式中：σ、ε、v 分別為單元體的應(yīng)力、應(yīng)變和速度，x 為Euler 坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，t 為時(shí)間，ρ 為材料密度，α、η 為Abel 黏壺的分?jǐn)?shù)階階數(shù)和黏性系數(shù)。

當(dāng)初始條件滿足σ(t)|t=0=0、ε(t)|t=0=0 時(shí)，應(yīng)用式(6a)，并對(duì)式(7)進(jìn)行Laplace 變換，整理得到：

可以發(fā)現(xiàn)，式(8)滿足Euler 方程的形式，求解得到其解析解為：

式中：A(s)為經(jīng)過Laplace 變換的積分常量。

同理，可以得到分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型下控制方程的應(yīng)力解為：

式中：E 為模型中彈簧元件的彈性模量，B(s)為經(jīng)過Laplace 變換的積分常量。

對(duì)于式(9)～(10)中的Lapalce 積分常量A(s)、B(s)，可以通過x=0 處的邊界條件得到。以式(9)為例，假定一個(gè)函數(shù)p(t)作為x=0 處的邊界條件，通過Laplace 變換將p(t)轉(zhuǎn)變?yōu)镻(s)，最后代入式(9)得到：

將式(11)代回式(9)，得到：

同理，利用邊界條件，由式(10)也可以得到：

為簡化問題，以圖4 所示的單個(gè)半脈寬正弦函數(shù)作為x=0 處的邊界條件，其相應(yīng)的Laplace 變換式為：

圖4 單個(gè)半脈寬正弦函數(shù)Fig.4 Single half pulse width sine function

式中：A0和w0分別為正弦函數(shù)的幅值和頻率，u(t)為單位階躍函數(shù)，圖中T=2π/w0為正弦函數(shù)的周期。

同樣，以Abel 黏壺模型為例。假定材料密度ρ 為1 000 kg/m3，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)α 為0.5，η 為1 MPa·s0.5。若輸入正弦信號(hào)的幅值和脈寬分別為100 MPa 和100 μs，可得到波傳播到各個(gè)位置處的波形，如圖5(a)所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著傳播距離的增大，波的幅值逐漸減小，體現(xiàn)出了分?jǐn)?shù)階模型的黏彈性特性。從圖5(b)可以看出，正弦波傳播到x=20 mm 處的波形脈寬遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于100 μs，相比加載的時(shí)間，波形卸載的時(shí)間要遠(yuǎn)比入射波長，這同樣體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階模型的黏彈性特性。

圖5 正弦波在Abel 黏壺模型介質(zhì)的衰減Fig.5 Attenuation of a single half pulse width sine wave in Abel model media

2.3 分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)敏感性分析

對(duì)于Abel 黏壺而言，當(dāng)α=0 時(shí)，σ=ηε=ηΔl/l，此時(shí)應(yīng)力與介質(zhì)的變形量Δl 有關(guān)，反映出模型的彈性特性；當(dāng)α=1.0 時(shí)，σ=ηdε/dt=ηv/l，此時(shí)應(yīng)力與介質(zhì)的速度v 有關(guān)，反映出模型的黏性特性；當(dāng)α=2.0 時(shí)，σ=ηd2ε/dt2=ηa/l，此時(shí)應(yīng)力與介質(zhì)的加速度a 有關(guān)，可以認(rèn)為模型此時(shí)反映的是介質(zhì)的慣性特性。若介質(zhì)是完全彈性的（α=0），系數(shù)η 為彈性模量，此時(shí)波傳播不會(huì)產(chǎn)生衰減；若介質(zhì)是黏性的（α=1.0），系數(shù)η 為黏性系數(shù)，此時(shí)波傳播會(huì)產(chǎn)生衰減。那么當(dāng)介質(zhì)是慣性（α=2.0）的時(shí)，其波傳播同彈性介質(zhì)和黏性介質(zhì)會(huì)有什么區(qū)別？

當(dāng)α 分別為0、1.0 和2.0 時(shí)，式(12)變?yōu)椋?/p>

以圖4 所示的正弦波為輸入信號(hào)，分別計(jì)算了階數(shù)α 為1.0 和2.0 時(shí)，波傳播在各個(gè)系數(shù)η 下的波形，如圖6(a)所示。當(dāng)α=1.0、η=1 kPa·s 時(shí)，波產(chǎn)生了衰減，并且波的脈寬變得很長，表現(xiàn)出明顯的黏彈性特征。隨著系數(shù)η 的上升，波的脈寬逐漸接近輸入信號(hào)的脈寬（100 μs），并且波的衰減也很小，說明介質(zhì)黏性（α=1.0）對(duì)波的衰減和波長均會(huì)產(chǎn)生影響。從圖6(b)可以看出，當(dāng)α=2.0、η=1 kPa·s2或η=1 MPa·s2時(shí)，波也會(huì)產(chǎn)生衰減，但衰減的程度很小，波形和α=1.0、η=1 MPa·s 的形狀相似，說明這兩種情況對(duì)波衰減的作用相近。雖然當(dāng)α=2.0、η=0.1 Pa·s2時(shí)，得到的波形的幅值與α=1.0、η=1 kPa·s 的相近，但脈寬或者說波長相差甚大，十分接近輸入信號(hào)的脈寬（100 μs）。這體現(xiàn)了慣性特性與黏性特性的不同之處，即介質(zhì)的黏性會(huì)使波的幅值和波長均改變，而慣性特性僅僅改變波的幅值。

圖6 當(dāng)α 分別為1.0 和2.0 時(shí)的波傳播特性Fig.6 The property of wave propagation when the order α is 1.0 and 2.0 , respectively

為了進(jìn)一步探究階數(shù)α 和系數(shù)η 的取值對(duì)波傳播的影響，仍以圖4 所示的正弦波為輸入信號(hào)，分別以 Abel 模型和分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型作為材料本構(gòu)，討論其中的參數(shù)對(duì)波傳播幅值衰減的影響。

假定材料密度ρ 為1 000 kg/m3，α 從0 變化到1.4，設(shè)η 為1、2 和3 MPa·sα等3 種情況。若輸入信號(hào)的幅值和脈寬分別為100 MPa 和100 μs，可得到其傳播至x=10 mm 處的應(yīng)力波幅值與α、η 之間的關(guān)系，如圖7(a)所示。

圖7 參數(shù)α、η 和E 對(duì)幅值衰減的影響Fig.7 Influence of parameters α, η and E on amplitude attenuation

從圖7(a)可以看出，在η 不變的情況下，應(yīng)力波的幅值衰減程度隨著階數(shù)α 的增大呈現(xiàn)出非單調(diào)的變化，α 存在一個(gè)中間值，能使波的衰減達(dá)到最大。此外，當(dāng)階數(shù)α 不變時(shí)，η 越大，波的幅值衰減程度越小。

與Abel 黏壺模型相比，分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型更加多樣化，與控制方程聯(lián)立得到的應(yīng)力解形式也更加復(fù)雜。分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型含有3 個(gè)參數(shù)：彈簧彈性模量E、黏性系數(shù)η 和分?jǐn)?shù)階階數(shù)α。同樣設(shè)定材料密度ρ 為1 000 kg/m3，α 從0 變到1.4；在E 值（10 GPa）不變時(shí)，取η 為1、2 和3 MPa·sα等3 種值；在η 值（1 kPa·sα）相對(duì)較小時(shí)，取E 為1、5、10 和100 GPa。若輸入正弦波信號(hào)的幅值和脈寬分別為100 MPa 和100 μs，可得到傳播至x=10 mm 處的應(yīng)力波幅值與α 之間的關(guān)系如圖7(b)和圖7(c)所示。

從圖7(b)可以看出，對(duì)于分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型，階數(shù)α 和黏性系數(shù)η 對(duì)幅值衰減的影響同Abel 黏壺相同。從圖7(c)可以看出，在黏性系數(shù)η 相對(duì)較小時(shí)，E 對(duì)波衰減的影響很小。因此，可以認(rèn)為，應(yīng)力波的衰減主要由分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型中的Abel 黏壺控制。

3 沖擊下牡蠣材料的黏彈性特性

3.1 牡蠣材料在激光沖擊下的力學(xué)特性

圖8 所示為不同密度、不同厚度的牡蠣殼試樣在脈沖激光沖擊下的速度時(shí)間信號(hào)，從圖中可以看出，輸出信號(hào)的幅值隨著試樣厚度的增大而變小，這反映了牡蠣殼試樣的黏彈性特性。比較特別的是：通過對(duì)不同密度牡蠣殼試樣的輸出信號(hào)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)試樣密度越大，其粒子速度的幅值衰減得也越大。這與一般認(rèn)為的密度越大、材料黏彈性越小相反。其原因在于：CO2激光脈沖器發(fā)射的激光波長約為1.064 μm，產(chǎn)生的沖擊脈沖寬度為幾個(gè)微米，這與珍珠層中文石片邊沿的平均間距（2.35 μm）比較接近，即與磚泥結(jié)構(gòu)間的縫隙尺寸相近，使得激光脈沖在珍珠層中發(fā)生較大的散射，產(chǎn)生更大的能量損耗。此外，由于牡蠣材料具有較復(fù)雜的層狀結(jié)構(gòu)的特征，局部存在一定的交互層錯(cuò)結(jié)構(gòu)。當(dāng)存在這種交互層錯(cuò)結(jié)構(gòu)時(shí)，由激光脈沖激發(fā)的短脈沖波就會(huì)在局部產(chǎn)生反射波和透射波，這些復(fù)雜波系的相互作用，會(huì)使速度信號(hào)產(chǎn)生局部的極值。

圖8 各個(gè)密度下不同厚度牡蠣試樣的速度信號(hào)及擬合曲線Fig.8 Velocity signals and fitting curves of oyster samples with different thicknesses and densities

3.2 牡蠣材料的分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)擬合方法

由于激光干涉測(cè)速系統(tǒng)只能測(cè)得牡蠣殼試樣背面的速度信號(hào)（即輸出信號(hào)）。對(duì)于沖擊信號(hào)（即輸入信號(hào)），無法得到其具體數(shù)值。因此下面將基于輸出信號(hào)，推導(dǎo)在CO2激光加載實(shí)驗(yàn)中獲取牡蠣殼試樣分?jǐn)?shù)階黏彈性參數(shù)的方法。

利用式(22) 等號(hào)右邊和擬合得到的相同密度、不同厚度牡蠣殼試樣的速度時(shí)間曲線，用數(shù)值Laplace 進(jìn)行計(jì)算得到一組數(shù)據(jù)后，再用式(22)等式左邊（即ρtα+1/[ηΓ(α+2)]）對(duì)其進(jìn)行擬合可得到對(duì)應(yīng)密度牡蠣殼試樣的Abel 黏壺模型參數(shù)α 和η。

同理，可以得到分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型參數(shù)的擬合式為：

與獲取Abel 黏壺模型參數(shù)的過程相同，同樣可以得到分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型參數(shù)α、η 和E。此外，擬合得到的參數(shù)中，分?jǐn)?shù)階階數(shù)0＜α＜2.0，其中的整數(shù)0、1.0 和2.0 分別對(duì)應(yīng)了材料的彈性、黏性和慣性。黏性系數(shù)η 和彈性模量E 為大于0 的實(shí)數(shù)，彈性模量E 應(yīng)與材料的楊氏模量量級(jí)相當(dāng)。

值得注意的是，由于式(22)～(23)中含有1/(hk-hk?)2項(xiàng)，因此需要選擇相近密度下厚度不同的牡蠣殼試樣的速度信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)的擬合。并且為了統(tǒng)一實(shí)驗(yàn)信號(hào)的擬合條件，設(shè)定信號(hào)范圍從0 開始，至峰值點(diǎn)結(jié)束，且同一密度的牡蠣殼試樣的實(shí)驗(yàn)信號(hào)的時(shí)間范圍均取一致。圖8 所示的不同密度、不同厚度牡蠣殼試樣的輸出速度信號(hào)，其形狀類似正弦形，因此，類比式(12)～(13)的結(jié)果，在單個(gè)正弦函數(shù)的基礎(chǔ)上乘上時(shí)間衰減項(xiàng)ebt，即：

式中：Δt=Δx/c=(hkˊ-hk)/c 為波在厚度分別為hkˊ和hk的牡蠣殼試樣中傳播的時(shí)間差，c 為波速。根據(jù)李毅[15]對(duì)牡蠣殼試樣的研究，c 可取為(0.369 m4·s-1·kg-1) ρ + 1 744 m·s-1。

3.3 牡蠣材料的分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)及黏彈性分析

通過3.2 節(jié)的擬合方法，應(yīng)用式(26)對(duì)0.5、0.7、1.2 和1.4 g/cm3密度的牡蠣殼試樣分別進(jìn)行Abel 黏壺模型和分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型的參數(shù)擬合，記式(26)中等號(hào)右側(cè)為aL，單位為s3/m2。

圖9(a)～(b)所示為不同密度牡蠣殼試樣對(duì)應(yīng)曲線的擬合情況，曲線擬合的結(jié)果良好。表1 給出了各密度牡蠣殼試樣的Abel 黏壺模型和分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型的擬合參數(shù)值。對(duì)于0.5 和0.7 g/cm3等較低密度的牡蠣殼試樣，擬合得到的分?jǐn)?shù)階階數(shù)小于1.0，此時(shí)材料的性質(zhì)表現(xiàn)為黏彈性特性；對(duì)于1.2 和1.4 g/cm3等密度較高的牡蠣殼試樣，擬合得到的分?jǐn)?shù)階階數(shù)大于1.0，此時(shí)材料的性質(zhì)逐漸向慣性靠攏。

分?jǐn)?shù)階階數(shù)、黏性系數(shù)隨密度變化的趨勢(shì)如圖9(c)所示，階數(shù)與密度的關(guān)系近似呈線性關(guān)系，而黏性系數(shù)與密度的關(guān)系近似呈指數(shù)衰減關(guān)系。牡蠣殼試樣的珍珠層占比與試樣的密度是成正比的，這說明擬合得到的階數(shù)α 可以側(cè)面反映牡蠣殼試樣的結(jié)構(gòu)特性。

由于不同密度試樣對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階階數(shù)和黏性系數(shù)均不同，無法對(duì)不同密度的牡蠣殼試樣的黏彈性進(jìn)行定量的比較。因此固定分?jǐn)?shù)階階數(shù)α，對(duì)不同密度的牡蠣殼試樣的黏彈性參數(shù)進(jìn)行擬合。固定的分?jǐn)?shù)階階數(shù)α 取為表1 中4 種密度試樣擬合得到的α 平均值。對(duì)于Abel 黏壺模型來說，固定的分?jǐn)?shù)階階數(shù)為1.0；對(duì)于分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型來說，其值為0.94。當(dāng)α=1.0 時(shí)，Abel 黏壺模型變?yōu)榕ｎD黏壺模型，此時(shí)模型沒有了彈性部分，因此對(duì)此種情形不進(jìn)行擬合。當(dāng)α=0.94 時(shí)，用分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型得到擬合的結(jié)果如圖9(d)中所示，對(duì)應(yīng)的擬合參數(shù)如表2 所示。

表1 牡蠣殼試樣分?jǐn)?shù)階模型的擬合參數(shù)Table1 Fitting parameters of the fractional model of the oyster sample

表2 固定分?jǐn)?shù)階階數(shù)情況下，牡蠣殼試樣分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型的擬合參數(shù)Table2 Fitting parameters of fractional Maxwell model for oyster shell samples in the case of fixed fractional order

圖9 牡蠣試樣分?jǐn)?shù)階模型的擬合曲線及參數(shù)與牡蠣試樣密度的關(guān)系Fig.9 The fitting curve of the fractional model of the oyster sample and relationship between parameters and oyster sample density

可以看出，在固定分?jǐn)?shù)階階數(shù)的情況下，隨著牡蠣殼試樣的密度的增大，分?jǐn)?shù)階模型的黏性系數(shù)在減小，試樣的黏性在增大。并且黏性系數(shù)與試樣密度的關(guān)系并不是線性關(guān)系，而是近似呈現(xiàn)指數(shù)衰減關(guān)系，在牡蠣殼試樣的密度達(dá)到1.2～1.6 g/cm3時(shí)，黏性系數(shù)的數(shù)值趨于平穩(wěn)。這進(jìn)一步說明，牡蠣殼試樣的密度越大，或者說牡蠣殼試樣中珍珠層的占比越高，試樣的黏性越大；但當(dāng)密度達(dá)到一定數(shù)值后，或者說珍珠層占比達(dá)到一定值后，珍珠層占比的增加對(duì)波衰減的提升將不再顯著。這對(duì)復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義。

4 結(jié) 論

本文中從波傳播理論出發(fā)，基于Caputo 分?jǐn)?shù)階微分的定義，以Abel 黏壺模型和分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型作為材料本構(gòu)，得到了相應(yīng)的波傳播控制方程，通過Laplace 變換得到了控制方程的解析解。結(jié)合解析解，通過Laplace 數(shù)值逆變換分別分析了Abel 黏壺模型和分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型中分?jǐn)?shù)階階數(shù)α、黏性系數(shù)η 及彈性模量E 對(duì)波衰減的貢獻(xiàn)；結(jié)合CO2脈沖激光實(shí)驗(yàn)測(cè)試信號(hào)給出了擬合分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型參數(shù)的方法。在相同的加載條件下，分別得到了4 種密度（0.5、0.7、1.2 和1.4 g/cm3）的牡蠣殼試樣的分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)。得到的主要結(jié)論如下。

(1) Abel 模型和分?jǐn)?shù)階Maxwell 模型中分?jǐn)?shù)階階數(shù)α 和黏性系數(shù)η 對(duì)應(yīng)力波的衰減均有貢獻(xiàn)，而彈性模量E 對(duì)波衰減的影響很小。波的衰減并不隨著階數(shù)α 的增大而單調(diào)變化，α 存在一個(gè)中間值，能使波的衰減達(dá)到最大。特別地，當(dāng)α=2.0 時(shí)，波傳播表現(xiàn)出幅值衰減、形狀不變的特征。

(2)在相同的加載條件下，牡蠣殼試樣的密度越大，或者說牡蠣殼試樣中珍珠層的占比越高，試樣的黏性越大。這是由于CO2激光脈沖器發(fā)射的激光波長與牡蠣殼試樣珍珠層的磚泥結(jié)構(gòu)間的縫隙尺寸相近，使得激光在沖擊牡蠣殼試樣中的珍珠層時(shí)發(fā)生較大的散射。

(3)在不固定階數(shù)α 的情況下，擬合得到的階數(shù)α 反映出牡蠣殼試樣隨著密度的增大由黏彈性機(jī)制向慣性轉(zhuǎn)變的趨勢(shì)。在固定階數(shù)α 的情況下，隨著牡蠣殼試樣密度的增大，分?jǐn)?shù)階模型的黏性系數(shù)η 減小，但關(guān)系并不是線性的，而是近似為指數(shù)衰減。這說明當(dāng)密度達(dá)到一定數(shù)值后，或者說珍珠層占比達(dá)到一定閾值后，珍珠層占比的增加對(duì)波衰減的提升將不再顯著。