鄧明香，馮永平

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣州廣東 510006)

微積分課程是高等數(shù)學(xué)的一門重要的基礎(chǔ)課程，不少同學(xué)學(xué)習(xí)感到比較困難。微分是一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的一個主要內(nèi)容，微分是在解決實際問題的實踐中不斷抽象出來的，在計算函數(shù)的近似值、函數(shù)的局部線性近似化方面有重要的應(yīng)用。微分討論的是在因變量有增量時一元函數(shù)增量的刻畫問題，要精確計算函數(shù)的增量確有難度，能否簡單、定量描述增量中起主要作用的那一部分量在解決實際問題中有重要的應(yīng)用價值。微分的思想方法對理工、經(jīng)管類各專業(yè)學(xué)生后續(xù)課程學(xué)習(xí)有引導(dǎo)作用。

“翻轉(zhuǎn)課堂”是近幾年來較流行的一種教學(xué)模式，該模式改變了傳統(tǒng)教師主導(dǎo)的教學(xué)方式，變“填鴨式”教育為學(xué)生為主的自主學(xué)習(xí)模式，可極大提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。如何設(shè)計該課堂的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，讓學(xué)生成為課堂的主持人，相關(guān)的文獻已進行了初步探討。[1]以“矩陣的初等變換”為例，對翻轉(zhuǎn)教學(xué)模式在大學(xué)課程中的應(yīng)用進行初步探討；[2]根據(jù)工科院校數(shù)學(xué)分析課程特點，嘗試進行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)設(shè)計，有效解決了數(shù)學(xué)分析課程抽象、理論性強帶來的困難，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；[3]探討了翻轉(zhuǎn)課堂視角下的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該如何設(shè)計，才能使大學(xué)數(shù)學(xué)成為學(xué)生樂于思考、不斷探索的課程呢?[4]以曲率的概念為例，探索基于APOS理論的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)新模式，依據(jù)APOS理論，通過活動、過程、對象、圖式等階段的逐層構(gòu)建，使學(xué)生在知識建構(gòu)的過程中實現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的完整認知，并通過翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式改革，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性；[5]在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的基礎(chǔ)上，分析實際教學(xué)中存在的問題并給出大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的案例，為進一步探討實施教學(xué)新模式提供幫助，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新熱情，并提高學(xué)生的應(yīng)用和動手能力；[6]總結(jié)近年來翻轉(zhuǎn)課堂模式在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及其取得的成效。

雖然，翻轉(zhuǎn)課堂模式在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但是，仍有部分教師受傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響并不注重翻轉(zhuǎn)課堂的應(yīng)用，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)效率不高。結(jié)合大學(xué)數(shù)學(xué)課程實際，本文主要從學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方法、教學(xué)設(shè)計等方面探討微分教學(xué)中如何提高學(xué)生的課堂參與度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，做好課堂的主人，以達到教書育人的目標(biāo)。

課程概述

課程 名稱：《高等數(shù)學(xué)Ⅲ》

課程 性質(zhì)：專業(yè)必修課、新授課

總學(xué)時數(shù)：72學(xué)時

教學(xué)內(nèi)容：微分及其運算（1學(xué)時）

選自章節(jié)：第3章 導(dǎo)數(shù)與微分/ 第4節(jié) 微分及其運算

教材信息：林偉初，郭安學(xué)，高等數(shù)學(xué)(經(jīng)管類上冊、第1版)，北京大學(xué)出版社，2018.07

授課對象

地理科學(xué)201、202、203班，共109人

課程素材準(zhǔn)備

（1）整理了微分相關(guān)的數(shù)學(xué)思想與方法；

（2）整理了微分的數(shù)學(xué)發(fā)展史。

學(xué)生課前準(zhǔn)備

(1) 復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義、計算與幾何意義；

(2) 查找“周三徑一”的史料、查找“以直代曲”的實例，諸如廣東科學(xué)中心外表面、FAST天眼望遠鏡表面設(shè)計等；

(3) 深刻理解物理學(xué)中的各類“質(zhì)點”；

(4) 學(xué)習(xí)微分的基本內(nèi)容與PPT課件；

(5)討論以下問題的計算；i) 在x=0附近y=sinx曲線與哪條直線最接近？ ii)的近似值？

(6) 根據(jù)學(xué)生學(xué)號順序，將全班同學(xué)分為四組。每一組同學(xué)集中坐在一起，以便討論問題。

教學(xué)內(nèi)容 微分是一元函數(shù)積分學(xué)的一個主要內(nèi)容，微分本質(zhì)上是函數(shù)一階線性近似，內(nèi)容具有高階抽象性，微分在各種知識領(lǐng)域中的應(yīng)用非常廣闊學(xué)情分析1.學(xué)生已有的知識與能力（1）已掌握導(dǎo)數(shù)定義、性質(zhì)、計算等內(nèi)容（2）掌握了連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2.學(xué)生可能存在的問題及困難學(xué)生對函數(shù)增量的精確表述具有一定挑戰(zhàn)度1.知識與能力目標(biāo)（1）理解微分的概念（2）掌握微分的計算、微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、微分的應(yīng)用等問題2.過程與方法目標(biāo)（1）通過類比連續(xù)與可導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生回顧“導(dǎo)數(shù)”公式及連續(xù)在研究函數(shù)性質(zhì)中起到的引領(lǐng)作用，為整節(jié)課架設(shè)一個基本思維框架（2）縱向類比導(dǎo)數(shù)與微分，從定義、計算、應(yīng)用等方面加深微分與導(dǎo)數(shù)的比較認識，實現(xiàn)知識目標(biāo)（3）借助熟悉的“連續(xù)”局部近似出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生處理學(xué)會“線性近似”“以直代曲”“特殊到一般”的處理問題方法，實現(xiàn)能力目標(biāo)的培養(yǎng)3.情感與價值觀目標(biāo)（1）引例直觀體會“以直代曲”的近似數(shù)學(xué)思想（2）再次認識“常數(shù)-線性”不同近似，感受數(shù)學(xué)的簡潔、形式美（3）從對FAST天眼、科學(xué)中心等重點題材建筑中包含的數(shù)學(xué)思想介紹培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣教學(xué)重點 微分的線性近似與應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)教學(xué)方法與策略本節(jié)理論課在教學(xué)設(shè)計中采取如下教學(xué)方法與策略1.講授式：講授基本概念，在對微分概念講授中，注重引導(dǎo)學(xué)生微分的本質(zhì)2.討論式：為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 ，課程采用分組討論模式，所有同學(xué)參與問題的解決，學(xué)生感知問題“具體”“有趣”，有成就感，主動參與課堂教學(xué)3.現(xiàn)實題材通俗化：通過將FAST天眼、科學(xué)中心表面的線性化、某些函數(shù)值的計算，學(xué)生對多種近似有直觀感悟，進而對微分公式的應(yīng)用形成一個完整的認知過程，實現(xiàn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的效果4.思維導(dǎo)圖式：課程課時多，容量大，利用思維導(dǎo)圖形式對小知識點進行小結(jié)，有利于學(xué)生把握每節(jié)課的脈絡(luò)，感受蘊含的思想方法，為課后復(fù)習(xí)提供指引本課程以“全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務(wù)”為指導(dǎo)思想，用“問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)理念”統(tǒng)領(lǐng)課程教學(xué)，力求在教學(xué)中實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生具備“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達世界”的最終能力目標(biāo)教學(xué)結(jié)合生活現(xiàn)實，將驅(qū)動教學(xué)目標(biāo)的數(shù)學(xué)本源性問題通過情境展現(xiàn)探究，把現(xiàn)實世界中與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部；通過邏輯推理得到研究對象的性質(zhì)；用數(shù)學(xué)語言、符號描述復(fù)雜現(xiàn)實世界，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題教學(xué)過程“科研化”，在教師的指導(dǎo)下，以學(xué)生為主體，掌握認識和解決問題方法和步驟，讓學(xué)生通過“觀察、思考、討論”等獨立探究，形成相應(yīng)的概念，發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的原理。引導(dǎo)學(xué)生完成“1.做什么？2.為什么做？3.怎么做？”三個基本問題，實現(xiàn)對知識的理解與應(yīng)用的融會貫通教 學(xué) 過 程教學(xué)環(huán)節(jié) 教師活動 學(xué)生活動 設(shè)計意圖教學(xué)思想1.引例1：周三徑一（若圓的半徑增加0.1米，周長大約增減多少？面積大約增加多少）一、概念引入及問題分析（5分鐘）2.引例2：在x=0附近y=sinx曲線與哪條直線最接近？比較總結(jié)兩個引例思想方法、過程與結(jié)構(gòu)式提煉共性形成共性。1.回答問題（第一組同學(xué)： 有關(guān)周三徑一的歷史）注：約2000年前，中國的古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就有“周三徑一”的說法，圓的周長是它直徑的3倍。約1500年前，中國有一位偉大的數(shù)學(xué)家、天文家祖沖之，他計算出圓周率應(yīng)在3.1415326和3.1415927之間，成為世界上第一個把圓周率的值精確到7位小數(shù)的人。這項偉大成就比國外數(shù)學(xué)家得出這樣精確數(shù)值的時間，至少要早1000年2.思考新問題（有些疑慮）3.參與互動，積極總結(jié)（引例2讓第二組同學(xué)參與討論并進行實時分享補充）1.情境—問題教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生思考兩個問題，逐層推進，逐步深入，使學(xué)生充分認識到近似計算的思想2.實例引入，激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生自行探索，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的愉悅感3. 回答問題：學(xué)生切身體驗到數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用二、講授及探討定理（15分鐘）1. 微分概念的介紹（PPT課件）2. 強調(diào)定義中的關(guān)鍵表述（函數(shù)在局部有定義、函數(shù)增量的一種刻畫）3.由一點處微分推廣到區(qū)域內(nèi)的微分，說明微分是函數(shù)的主要分析性質(zhì)描述4. 介紹可微、連續(xù)、可導(dǎo)的關(guān)系1.定理講授時主要以聆聽為主2.講解連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系，學(xué)生制作三者概念關(guān)系圖并進行總結(jié)，再進行對照加深理解。（找第三組同學(xué)展示他們所做的關(guān)系圖，及時進行修正補充）強調(diào)這是重點1.從多個方面進行深入探討，加深對概念的理解2. 增量近似、函數(shù)逼近的數(shù)學(xué)思想

1.例 1. 求函數(shù)計算 3 y=x當(dāng) 3 y=x由1改1. 例1講解中仔細聽講解過程。聽完解題過程后分組討論增量與微分的關(guān)系。（第四組同學(xué)討論，然后找代表說明兩者之間的關(guān)系）2. 例2的講解重點說明微分的計算，并間接說明微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。提出問題： 一般函數(shù)的微分如何計算？提示：1）定義； 2) 先計算導(dǎo)數(shù)，再計算微分（第一組同學(xué)討論然后找代表說明計算方法）3. 通過幾何意義表述，學(xué)生討論實際中“以直代曲”的典型例子，如FAST天眼望遠鏡與足球的剖面圖1，圖2三、概念、性質(zhì)的應(yīng)用（20分鐘）變到1.01的微分(板書講解，分組討論)注：重點強調(diào)微分與增量的不同.2.講解微分計算的基本法則.（PPT逐條公式講解，與導(dǎo)數(shù)計算法則做對比、分類討論）3.例2. 求函數(shù) 3 y=x的微分(板書講解、提問討論)4.講解微分的幾何意義（PPT講述，重點強調(diào)“以直代曲”的思想，局部用線性函數(shù)代替一般函數(shù)的思想）（PPT講解，討論分享）5.例3. 計算images/BZ_92_1081_640_1368_920.pngimages/BZ_92_1462_683_1856_914.png圖1 足球的剖面圖 圖2 FAST天眼望遠鏡417的近似值（先講解，再分組討論）（全體同學(xué)討論導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，找出它們的異同點，第二組同學(xué)歸納總結(jié)； 讓第三組的同學(xué)討論預(yù)留的問題“在x=0附近y=sinx曲線與哪條直線最接近？”補充修正）4.計算1.板書講解：鞏固定義，強調(diào)計算注意點，重點講解增量與微分的不同注：應(yīng)對學(xué)生的討論及時總結(jié)、糾正2. 幾何意義的介紹，學(xué)生理解以直代曲的思想，通過直觀的圖形，加深近似數(shù)學(xué)思想在實際中的廣泛應(yīng)用3. 幾何意義介紹后，學(xué)生分清微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，它們間有區(qū)別、有聯(lián)系，提示從定義、計算、幾何意義、應(yīng)用等方面比較導(dǎo)數(shù)與微分的異同點4.通過417的近似值時，找第四組同學(xué)回答問題，如何近似計算提示：近似度要求低時局部用常數(shù)2代替（以常量代替變量的思想）；近似度要求高時局部用線性近似（微分的思想）417的近似值時學(xué)生討論與回答，更深刻理解微分是一種局部近似的思想，是用局部的簡單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)的思想四、思想方法與知識總結(jié)（3分鐘）1）以直代曲、線性近似的思想2）導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別與聯(lián)系（從定義、性質(zhì)、計算、幾何意義、應(yīng)用幾方面比較）五、課后作業(yè)布置及預(yù)習(xí)（2分鐘）作業(yè)：課后習(xí)題1；3(2)(4)(5)；4(2)小組任務(wù)：思維導(dǎo)圖制作（提示：知識結(jié)構(gòu)、與導(dǎo)數(shù)類比、思想方法等）1.在教學(xué)理念方面：課程以學(xué)生為中心，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)的情境，讓學(xué)生在課堂上充當(dāng)主角，教師轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。課堂多次進行分組討論、提問、組內(nèi)討論分享，極大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣2.在知識目標(biāo)方面:做到教學(xué)思路清晰、突出重點、突破難點。通過熟知的廣東科學(xué)中心（可觀察的身邊實例）、FAST天眼望遠鏡（國家科技攻關(guān)工程）讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用3.由于班級人數(shù)較多，分了四組后每組20多人， 大部分同學(xué)無法分享自己的感受，建議對于人數(shù)超過100人的班級分組教學(xué)時注意做好詳細規(guī)劃，設(shè)計相應(yīng)的提問、分組等環(huán)節(jié)課程資源1.參考資料菲赫金哥爾茨，微積分學(xué)教程，人民教育出版社，2006.01 2.課程團隊與教學(xué)資源（1）2019年5月成立了“大學(xué)數(shù)學(xué)”教學(xué)團隊（2）2010年至今的課程教學(xué)大綱、年度教學(xué)進度表、試題庫教學(xué)評價與反思

隨著課堂改革的不斷深入，教師要對大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂的設(shè)計與實施進行深入研究，以便找到更適合時代特征、新一代青年人認知需求以及目前教學(xué)現(xiàn)狀的教學(xué)策略。通過生活中實際例子切入研究主題，循序漸進地講解微分的概念、微分蘊含的數(shù)學(xué)思想與科學(xué)方法。通過生活中的例子與當(dāng)前的FAST“天眼”計劃，學(xué)生更深刻理解“微分”中“以直代曲”、局部近似的科學(xué)方法用途。