于碩，潘燚，孫有偉，聶松林，尹方龍

(1.北京工業(yè)大學(xué)材料與制造學(xué)部，北京 100124；2.中國(guó)船舶第七〇五研究所昆明分部，云南昆明 650032)

0 前言

隨著對(duì)清潔能源的不斷重視以及人類環(huán)保意識(shí)的增加，水液壓技術(shù)快速發(fā)展。水液壓馬達(dá)作為重要的執(zhí)行元件，在當(dāng)今的水液壓系統(tǒng)中起著能量轉(zhuǎn)化的作用。在一些空間小的工作空間，對(duì)徑向柱塞馬達(dá)的設(shè)計(jì)和研制有了新的要求。

水液壓馬達(dá)的效率和穩(wěn)定性受到各種因素影響。徑向柱塞馬達(dá)具有體積小、扭矩大，啟動(dòng)效率高等優(yōu)勢(shì)[1-2]。而對(duì)于徑向柱塞水液壓馬達(dá)，定子曲線的設(shè)計(jì)和制造是決定馬達(dá)正常運(yùn)轉(zhuǎn)的關(guān)鍵，它直接決定著滾子與定子間的接觸應(yīng)力[3]，以及柱塞副的運(yùn)動(dòng)規(guī)律等。本文作者通過(guò)分析滾子與定子接觸存在的自鎖問(wèn)題，對(duì)壓力角進(jìn)行分析，并對(duì)定子曲線的設(shè)計(jì)方法和生成過(guò)程進(jìn)行研究，解決接觸存在的問(wèn)題，保證馬達(dá)在工況下平穩(wěn)運(yùn)轉(zhuǎn)。

1 滾子與定子接觸的自鎖問(wèn)題

針對(duì)之前加工的定子導(dǎo)軌進(jìn)行分析，重新對(duì)定子曲線的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行研究。定子曲線的設(shè)計(jì)直接影響馬達(dá)的運(yùn)轉(zhuǎn)情況及壽命，定子導(dǎo)軌的性能主要由曲線輪廓和定子的材料共同決定。圖1為馬達(dá)結(jié)構(gòu)，圖2為馬達(dá)側(cè)向視圖。在馬達(dá)運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，柱塞向上運(yùn)動(dòng)使得滾子與定子的內(nèi)曲面接觸，并隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)，沿著定子輪廓線運(yùn)動(dòng)。滾子在柱塞的推動(dòng)下沿著導(dǎo)軌面運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)軌曲面將承受較大的接觸應(yīng)力，甚至?xí)霈F(xiàn)磨損[4]，嚴(yán)重時(shí)會(huì)影響馬達(dá)的壽命。滾子與定子內(nèi)曲面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)以滾子的滑動(dòng)為主，在此忽略滾子自身的滾動(dòng)，以滑動(dòng)進(jìn)行研究。定子曲線的輪廓通過(guò)壓力角的大小影響滾子的滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)壓力角小于接觸的摩擦角時(shí)，會(huì)在接觸時(shí)發(fā)生自鎖。并且定子與滾子的材料配對(duì)會(huì)影響之間的摩擦因數(shù)，從而影響其相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況。

圖1 內(nèi)曲線式水液壓馬達(dá)的結(jié)構(gòu)

圖2 馬達(dá)的側(cè)向視圖

1.1 滾子的受力分析

文中的內(nèi)曲線式徑向柱塞馬達(dá)中，滾子的材料為氮化硅(Si3N4)，屬于高溫結(jié)構(gòu)陶瓷。氮化硅硬度大，自身具有潤(rùn)滑性，并且耐磨損。而之前的定子曲線導(dǎo)軌為9Gr18不銹鋼，屬于耐磨、耐腐蝕的金屬材料。根據(jù)文獻(xiàn)[5-6]在液氮介質(zhì)中對(duì)Si3N4/9Gr18的配對(duì)副摩擦磨損研究，常溫條件下，Si3N4/9Gr18的配對(duì)副摩擦因數(shù)為0.5。

圖3所示為液壓馬達(dá)內(nèi)部的滾子與定子導(dǎo)軌接觸示意。定子導(dǎo)軌的內(nèi)部輪廓為定子曲線，在滾子與定子接觸的時(shí)候，在垂直于接觸面處存在壓力。因此在接觸面會(huì)存在靜摩擦力，且靜摩擦力與壓力和壓力角有關(guān)。由于定子曲線輪廓的特點(diǎn)，決定著滾子與定子導(dǎo)軌在接觸時(shí)的壓力角是不斷變化的。對(duì)滾子與定子導(dǎo)軌接觸狀態(tài)進(jìn)行研究，并對(duì)接觸壓力角進(jìn)行分析。

圖3 滾子與定子導(dǎo)軌接觸示意

如果作用于滾子的壓力的作用線在摩擦角之內(nèi)，則無(wú)論滾子受到多大的力，總會(huì)有一個(gè)與之等大的全反力和其相抵消，從而滾子會(huì)靜止不動(dòng)，發(fā)生自鎖現(xiàn)象，在此情況下馬達(dá)不能轉(zhuǎn)動(dòng)。此時(shí)涉及到定子曲線的輪廓設(shè)計(jì)問(wèn)題，要保證接觸的壓力角大于自鎖臨界角。

為了進(jìn)一步分析滾子與定子導(dǎo)軌的接觸情況，對(duì)滾子的受力情況進(jìn)行研究，如圖4所示。滾子與定子接觸的面為具有一定角度的曲面，都具有一定的壓力角，可在分析固定位置時(shí)看做斜面來(lái)分析。如圖4所示：F為滾子所受柱塞對(duì)其的推力，將其分解為沿斜面的力Fx以及垂直于斜面的力Fy，F(xiàn)N為定子對(duì)滾子的支撐力，f為滾子所受的摩擦力。根據(jù)對(duì)滾子的受力分析，對(duì)定子與滾子接觸進(jìn)行研究。在之前的設(shè)計(jì)中，滾子為Si3N4:陶瓷球，定子的材料為9Gr18，Si3N4/9Gr18的配對(duì)副摩擦因數(shù)為0.5。對(duì)滾子的受力進(jìn)行計(jì)算，可知滾球質(zhì)量為8.85×10-4kg，重力為8.67×10-3N(滾球材料為Si3N4，滾球半徑r為4 mm，密度ρ為3.3 g/cm3)。而文中馬達(dá)的工作壓力為1～10 MPa，由于實(shí)際情況中，柱塞滾子組件所受的重力相對(duì)于此壓力小之又小[7]，因此在對(duì)滾子進(jìn)行受力分析時(shí)將其忽略。

對(duì)圖4中滾子受力進(jìn)行分析：沿斜面的分力Fx=Fsinα，垂直于斜面的力Fy=Fcosα。由于FN=Fy，且摩擦力f=μFN=μFcosα。為保證滾子的運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)Fx>f，即sinα>μcosα?xí)r才能產(chǎn)生沿斜面向下的加速度，使其正常運(yùn)動(dòng)。最終簡(jiǎn)化為滾子與定子導(dǎo)軌間材料的摩擦因數(shù)μ與壓力角α的數(shù)值關(guān)系，即需要保證tanα>μ，才能避免自鎖發(fā)生。

圖4 滾子受力分析

1.2 解決自鎖的方案設(shè)計(jì)

對(duì)之前定子曲線中摩擦因數(shù)μ與壓力角α的關(guān)系進(jìn)行分析。通過(guò)測(cè)量，壓力角α的最大值為11.38°，因此sinα=0.197，cosα=0.980，μcosα=0.490。因此Fx

(1)若避免自鎖，使Fx>f，則sinα>μcosα，即μ

(2)若避免自鎖，使Fx>f，則sinα>μcosα，即μarctanμ=16.5°。

對(duì)兩種解決方案進(jìn)行分析：方案一通過(guò)改變定子的材料，從而進(jìn)一步改變滾子與定子材料的摩擦因數(shù)，來(lái)避免自鎖；方案二在保證定子材料不變的情況下，對(duì)定子曲線的輪廓進(jìn)行改進(jìn)，使?jié)L子正常運(yùn)動(dòng)。作者采用方案二，通過(guò)重新設(shè)計(jì)定子曲線，改變定子導(dǎo)軌輪廓，從而改變接觸壓力角的方式，達(dá)到避免自鎖的目的。如圖5為改進(jìn)前后的定子曲線輪廓對(duì)比，改進(jìn)后的滾子與定子導(dǎo)軌接觸的壓力角有了明顯變化。

圖5 改進(jìn)前后的定子輪廓對(duì)比

2 定子曲線的設(shè)計(jì)及方法

改變定子導(dǎo)軌的輪廓，需要重新對(duì)定子曲線進(jìn)行設(shè)計(jì)。由于馬達(dá)工作過(guò)程中，滾子與定子曲線相接觸，為了設(shè)計(jì)出合適的定子曲線，對(duì)接觸壓力角有一定的要求。

圖6為定子導(dǎo)軌的局部輪廓，在極坐標(biāo)下，定子曲線的中心到定子曲線上一點(diǎn)的距離為極徑ρ，極徑與Y軸方向極角為φ。

2.1 定子曲線類型選取

內(nèi)曲線式液壓馬達(dá)柱塞副的運(yùn)動(dòng)完全取決于定子曲線的設(shè)計(jì)。而定子曲線設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于：降低定子內(nèi)表面的接觸應(yīng)力；減少慣性沖擊，降低噪聲；扭矩脈動(dòng)小，輸出扭矩恒定[8]。國(guó)內(nèi)外在內(nèi)曲線式馬達(dá)的設(shè)計(jì)中，常用的定子曲線有：等加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線、加速度按余弦變化運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線、加速度按正弦變化運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線、加速度按拋物線變化運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線、加速度按梯形變化運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線、有等速過(guò)渡區(qū)的等加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線等幾種類型[9]。

選用具有等速過(guò)渡區(qū)的等加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線對(duì)定子曲線進(jìn)行設(shè)計(jì)。具有等速過(guò)渡區(qū)的等加速運(yùn)動(dòng)包括零速區(qū)段、加速區(qū)段、等速區(qū)段、減速區(qū)段、等速區(qū)段5個(gè)階段。這種運(yùn)動(dòng)規(guī)律能充分利用幅角進(jìn)行加速，加速度值較小。圖7所示為具有等速過(guò)渡區(qū)的等加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線，分別為滾子相對(duì)位移Δρ、速度vφ和加速度aφ隨轉(zhuǎn)角φ在半個(gè)作用內(nèi)的變化規(guī)律。在半個(gè)作用中，Δρ逐漸上升到最大位移h處，速度呈梯形趨勢(shì)變化，加速度穩(wěn)定。這種規(guī)律決定了馬達(dá)的扭矩?zé)o脈動(dòng)，轉(zhuǎn)速十分均勻，軟沖現(xiàn)象有所減小，馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)[10]。

圖7 具有等速過(guò)渡區(qū)的等加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線

2.2 定子曲線的表達(dá)式

定子曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線方程

(1)

式中：φ為滾子中心繞缸體中心轉(zhuǎn)過(guò)的相位角；aφ為柱塞副相對(duì)運(yùn)動(dòng)的角加速度；vφ為柱塞副徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)的角速度；ρ為滾子到缸體中心的距離，隨相位角不斷變化(極徑)；ρ0為滾子中心最低點(diǎn)的極徑。

等加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線是由“等加速-阿基米德螺旋線-等減速”曲線構(gòu)成的，其中阿基米德螺旋線的使用可以使流量脈動(dòng)減少或?yàn)榱悖鸬骄彌_作用，保證運(yùn)轉(zhuǎn)的平穩(wěn)性。定子曲線的幅角分配如圖8所示。

圖8 定子曲線的幅角分配

根據(jù)馬達(dá)轉(zhuǎn)子的相關(guān)尺寸，對(duì)柱塞的行程和初始位移進(jìn)行初步確定：柱塞行程h=6 mm，初始位移ρ0=72 mm。所研究的內(nèi)曲線馬達(dá)為六作用十柱塞，作用次數(shù)x=6，柱塞數(shù)z=10。對(duì)各區(qū)段幅角、速度等參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

一個(gè)作用幅角：

(2)

角模數(shù)(周期角)：

(3)

式中：m為作用次數(shù)與柱塞數(shù)的最大公約數(shù)。所研究的為六作用十柱塞徑向馬達(dá)，因此m=2。

零速區(qū)：

(4)

加速區(qū)段：

(5)

等速區(qū)段：

(6)

減速區(qū)段：

(7)

工作幅角：

(8)

各區(qū)段運(yùn)動(dòng)參數(shù)，加速區(qū)段的加速度：

(9)

最大速度：

(10)

加速區(qū)段位移：

(11)

加速區(qū)段最大位移：

(12)

等速區(qū)段：

(13)

等速區(qū)段最大位移：

(14)

減速區(qū)段位移：

(15)

通過(guò)對(duì)定子曲線的各個(gè)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，得到滾子在定子曲線運(yùn)動(dòng)中每個(gè)區(qū)段對(duì)應(yīng)的角速度、角加速度以及相對(duì)位移的具體值，如表1所示。在零速區(qū)段時(shí)，角速度、角加速度都為零；在加速區(qū)段結(jié)束后，具有最大的角速度，相對(duì)位移逐漸增大；減速區(qū)段結(jié)束后，角速度減小到零，相對(duì)位移增至最大。

表1 定子曲線各區(qū)段的角速度、角加速度、相對(duì)位移

3 定子曲線的生成

3.1 定子曲線函數(shù)方程

由于內(nèi)曲線式水壓馬達(dá)為十柱塞六作用馬達(dá)，每個(gè)作用過(guò)程中轉(zhuǎn)過(guò)60°的作用角。以60°為一個(gè)作用周期，將柱塞的運(yùn)動(dòng)過(guò)程劃分為上升期和運(yùn)動(dòng)下降區(qū)各為30°。由于每個(gè)周期中柱塞的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，因此這里以第一個(gè)作用周期為例，對(duì)柱塞的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及前60°的曲線方程進(jìn)行分析。

在柱塞上升過(guò)程中，滾子中心的位移方程如式(16)所示，上升過(guò)程柱塞轉(zhuǎn)過(guò)30°。上升過(guò)程分為零速區(qū)、加速區(qū)、等速區(qū)、減速區(qū)和零速區(qū)。1°～13°為加速區(qū)段，13°～17°為等速區(qū)段，17°～29°為減速區(qū)段。此過(guò)程中滾子隨著柱塞向上運(yùn)動(dòng)，并在30°時(shí)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)。

(16)

30°～60°為柱塞的下降過(guò)程，滾子中心位移如式(17)所示，下降過(guò)程柱塞轉(zhuǎn)過(guò)30°。下降過(guò)程也分為零速區(qū)、加速區(qū)、等速區(qū)、減速區(qū)和零速區(qū)。31°～43°為加速區(qū)段，43°～47°為等速區(qū)段，47°～59°為減速區(qū)段。此過(guò)程中滾子隨著柱塞向上運(yùn)動(dòng)，并在60°時(shí)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)。

(17)

3.2 定子曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)及輪廓的生成

(1)基于MATLAB的輪廓曲線

在加工前需要對(duì)計(jì)算出的定子曲線進(jìn)行驗(yàn)證，因此將滾子的位移公式(即定子曲線公式)利用MATLAB軟件進(jìn)行編程。通過(guò)相應(yīng)程序運(yùn)行，得到對(duì)應(yīng)的定子曲線輪廓。圖9所示為運(yùn)行程序后0°～360°的定子曲線輪廓，徑向分度值為20 mm。對(duì)之前的相關(guān)公式進(jìn)行了驗(yàn)證，為之后定子的加工提供依據(jù)。

圖9 MATLAB程序運(yùn)行后的定子曲線

(2)數(shù)據(jù)點(diǎn)生成

選擇定子曲線的1/6進(jìn)行導(dǎo)入，即一個(gè)作用周期。通過(guò)MATLAB單獨(dú)運(yùn)行定子曲線的π/3～2π/3對(duì)應(yīng)區(qū)段的部分程序。運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)圖10，為定子曲線一個(gè)作用周期內(nèi)的輪廓。

圖10 一個(gè)作用周期內(nèi)的定子曲線輪廓

在MATLAB中提取該段定子曲線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并將提取數(shù)據(jù)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)。將圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)變量“s”按照X、Y、Z三列放入文本文檔(二維坐標(biāo)中，Z=0)，將其保存成‘.txt’格式。

(3)定子導(dǎo)軌三維實(shí)體的生成

需要將設(shè)計(jì)的定子曲線導(dǎo)入到繪圖軟件中，實(shí)質(zhì)上通過(guò)MATLAB得出的定子曲線是由大量的點(diǎn)組成的集合。數(shù)據(jù)點(diǎn)以坐標(biāo)的形式導(dǎo)入，并且符合函數(shù)的特性，一個(gè)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)縱坐標(biāo)，因此不能將曲線上所有的點(diǎn)全部導(dǎo)入，導(dǎo)入1/6的點(diǎn)坐標(biāo)。

使用SolidWorks中的曲線功能，將之前保存在文本文檔中定子曲線的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行插入。生成曲線如圖11所示，進(jìn)一步生成實(shí)體。然后通過(guò)圓周陣列，而在三維軟件中得到完整的定子曲線，進(jìn)一步對(duì)其做其他特征操作處理。圖12為最終馬達(dá)定子導(dǎo)軌的三維模型。

圖11 三維軟件中生成的定子曲線

圖12 定子導(dǎo)軌的三維模型

對(duì)比定子曲線改進(jìn)前后，柱塞轉(zhuǎn)過(guò)不同圓心角時(shí)滾子與定子接觸的壓力角如表2所示。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后接觸壓力角有了明顯的增大且均大于16.5°。

表2 定子曲線改進(jìn)前后的滾子與定子接觸的壓力角 單位：(°)

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)定子與滾子間自鎖問(wèn)題的分析，對(duì)比改進(jìn)前后的壓力角，并對(duì)滾子與定子導(dǎo)軌接觸時(shí)的受力情況進(jìn)行研究，提出避免自鎖現(xiàn)象的方案。利用MATLAB對(duì)定子曲線方程進(jìn)行設(shè)計(jì)和編程并提取點(diǎn)坐標(biāo)，借助三維軟件完成建模，完善了定子曲線設(shè)計(jì)過(guò)程中的不足，增大了滾子與定子導(dǎo)軌間的接觸壓力角，避免了馬達(dá)滾子與定子導(dǎo)軌接觸時(shí)發(fā)生自鎖現(xiàn)象。