郭俊財(cái)，牛軍川，2，謝冰冰

(1.山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東濟(jì)南 250061；2.山東大學(xué)高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東濟(jì)南 250061)

0 前言

為適應(yīng)現(xiàn)代化生產(chǎn)方式，高精度工業(yè)機(jī)器人將逐漸取代傳統(tǒng)的人工生產(chǎn)方式。當(dāng)前，我國(guó)工業(yè)機(jī)器人的性能仍停留在輕載、低精度的水平，發(fā)展高性能機(jī)器人是我國(guó)工業(yè)現(xiàn)代化的必然選擇[1-3]。

傳統(tǒng)機(jī)器人建模多采用剛性模型或僅考慮單一變量，常用計(jì)算力矩控制、PID控制、模糊控制、自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、反演控制等控制策略[4-9]，但當(dāng)引入關(guān)節(jié)柔性及不確定性時(shí)[10-11]，常會(huì)造成大量傳統(tǒng)控制方法失效或難以達(dá)到控制要求[12]。為此，考慮柔性關(guān)節(jié)和不確定性等復(fù)雜模型和條件的控制策略對(duì)實(shí)現(xiàn)高精度機(jī)器人具有重要意義。

對(duì)于考慮柔性關(guān)節(jié)和不確定性的機(jī)器人而言，其模型的非線性和剛?cè)釓?qiáng)耦合增加了建模的復(fù)雜性，同時(shí)也給控制器的設(shè)計(jì)帶來(lái)了困難。EL-NAGAR等[13]針對(duì)二自由度機(jī)械臂提出了一種嵌入式模糊PD控制策略，該控制方法能夠有效提高機(jī)器人的軌跡跟蹤精度，同時(shí)對(duì)不確定性具有較好的魯棒特性，但并未考慮關(guān)節(jié)柔性對(duì)控制性能的影響。SUN等[14]針對(duì)具有全狀態(tài)約束的非線性柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人，提出了自適應(yīng)模糊跟蹤控制策略，通過(guò)拉雅普諾夫函數(shù)及仿真證明了控制策略的穩(wěn)定性和有效性，但未考慮不確定性的影響。AHMADI和FATEH[15]針對(duì)非線性柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人，提出了一種自適應(yīng)泰勒級(jí)數(shù)模糊魯棒漸進(jìn)跟蹤控制策略，具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、關(guān)節(jié)跟蹤誤差小的優(yōu)點(diǎn)，仿真結(jié)果表明控制策略具有較高的跟蹤能力，但缺乏不確定性影響及振動(dòng)效果分析。

模糊自適應(yīng)控制對(duì)柔性關(guān)節(jié)的非線性及不確定性具有良好的補(bǔ)償能力，能夠有效降低不確定性的干擾。PD控制可以保證系統(tǒng)的快速響應(yīng)和穩(wěn)定性。本文作者結(jié)合模糊自適應(yīng)控制算法和PD控制算法的優(yōu)點(diǎn)，并在原有算法基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，提出了改進(jìn)模糊自適應(yīng)補(bǔ)償PD控制方法，探討了該控制策略在具有不確定性的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人中的軌跡跟蹤及振動(dòng)控制效果。

1 機(jī)器人建模及模糊自適應(yīng)控制

對(duì)于考慮不確定性且具有2N自由度的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人，動(dòng)力學(xué)方程可表達(dá)為

(1)

在該模型中，連桿的動(dòng)力學(xué)部分具有和剛體機(jī)器人相同的性質(zhì)：

性質(zhì)1：慣性矩陣M(q)是正定對(duì)稱且嚴(yán)格有界的；

模糊自適應(yīng)控制基于傳統(tǒng)模糊邏輯控制方法，包括變量模糊化、模糊規(guī)則、模糊推理、反模糊化和自適應(yīng)律設(shè)計(jì)5個(gè)部分。

模糊自適應(yīng)控制器[16]可表達(dá)為

τ=τD(x|J)=JTξ(x)

(2)

(3)

系統(tǒng)誤差方程可表達(dá)為

(4)

(5)

式中：

Λ11=O(n-1)×1

Λ12=I(n-1)×(n-1)

Λ21=[-kn]

Λ22=-[kn-1,kn-2,…,k1]1×(n-1)

定義最優(yōu)參數(shù)：

(6)

定義最小逼近誤差：

ω=τD(x|J*)-τ*

(7)

則根據(jù)式(4)，系統(tǒng)誤差方程可表達(dá)為

(8)

即

(9)

為使系統(tǒng)誤差足夠小，則需要保證最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)的有效性并采用合適的模糊基函數(shù)。

2 控制器設(shè)計(jì)

模糊自適應(yīng)控制具有良好的非線性和不確定性補(bǔ)償能力，PD控制具有良好的穩(wěn)定性和響應(yīng)速度。但2種控制策略的軌跡跟蹤精度及振動(dòng)抑制性能仍然較弱。為此，作者結(jié)合2種控制策略的優(yōu)勢(shì)，提出了改進(jìn)模糊自適應(yīng)補(bǔ)償PD控制器(以下簡(jiǎn)稱新型控制器)。

新型控制器可表達(dá)為

(10)

新型控制器τ的構(gòu)造步驟：

(11)

(2)采用乘積推理機(jī)、單值模糊器和中心平均解模糊器設(shè)計(jì)模糊控制器，得到：

(12)

(3)定義自適應(yīng)律為

(13)

ΔTP+PΔ=-Q

(14)

式中：Δ=ΛT；Q為任意n×n階正定矩陣。

(4)設(shè)計(jì)并調(diào)試PD控制器參數(shù)，使其到達(dá)較好的跟蹤控制效果，采用上述改進(jìn)模糊自適應(yīng)控制器進(jìn)行補(bǔ)償。

為討論系統(tǒng)穩(wěn)定性，定義Lyapunov函數(shù)：

(15)

對(duì)上式求導(dǎo)，則：

(16)

因pn表示矩陣P的最后一列，由參數(shù)向量b可知eTPb=eTpnb，則上式可寫為

(17)

代入自適應(yīng)律(13)可得：

(18)

eTQe≥2|eTpnbω|

(19)

新型控制器系統(tǒng)流程如圖1所示。

圖1 新型控制器框圖Fig.1 Block diagram of the new controller

3 仿真結(jié)果分析

以單關(guān)節(jié)柔性機(jī)器人為分析對(duì)象，則動(dòng)力學(xué)方程(1)退化為如下形式：

(20)

為驗(yàn)證文中方法的有效性，對(duì)具有一個(gè)柔性關(guān)節(jié)自由度的機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 機(jī)器人系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Robot system parameters

(21)

圖2—圖4所示為無(wú)不確定性條件下的仿真結(jié)果。圖2為分別采用PD控制、模糊自適應(yīng)控制以及新型控制下的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤。圖3所示為各種控制下的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差，可見(jiàn)：相比PD控制，模糊自適應(yīng)控制具有較好的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度，但是在初始階段模糊自適應(yīng)控制會(huì)使跟蹤誤差產(chǎn)生震蕩，初始階段新型控制的跟蹤誤差小于PD控制，大于模糊自適應(yīng)控制;但隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，新型控制的軌跡跟蹤誤差逐漸減小，明顯優(yōu)于PD控制和模糊自適應(yīng)控制。圖4所示為機(jī)器人關(guān)節(jié)無(wú)不確定性下的柔性變形量，此時(shí)模糊自適應(yīng)控制在初始時(shí)刻出現(xiàn)較大關(guān)節(jié)柔性變形而引起較大振動(dòng)，PD控制及新型控制的關(guān)節(jié)變形變化平穩(wěn)，可見(jiàn)新型控制綜合了PD控制初始變形小的優(yōu)點(diǎn)。

圖2 無(wú)不確定性時(shí)軌跡跟蹤Fig.2 Trajectory tracking without uncertainty

圖3 無(wú)不確定性時(shí)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差Fig.3 Joint trajectory tracking error without uncertainty

圖4 無(wú)不確定性時(shí)柔性關(guān)節(jié)變形量Fig.4 Deformation of flexible joints without uncertainty

圖5—圖7所示為存在不確定性條件下的仿真結(jié)果。圖5所示為不同控制下的關(guān)節(jié)跟蹤軌跡。圖6所示為機(jī)器人關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差，與圖3中的無(wú)不確定性條件下的軌跡跟蹤誤差相比，不確定性使各控制算法的跟蹤誤差增大；圖3中無(wú)不確定性條件下模糊自適應(yīng)控制與新型控制誤差達(dá)到相同的時(shí)間約為3.1 s，圖6中存在不確定性條件下模糊自適應(yīng)控制與新型控制誤差達(dá)到相同的時(shí)間約為2.7 s，可見(jiàn)相比模糊自適應(yīng)控制，新型控制策略對(duì)不確定性具有更強(qiáng)的自適應(yīng)能力和更小的跟蹤誤差。圖7所示為存在不確定時(shí)機(jī)器人關(guān)節(jié)的柔性變形，相比圖4可以看出：不確定性使機(jī)器人關(guān)節(jié)柔性變形幅值增大，模糊自適應(yīng)控制在初始時(shí)刻和機(jī)械臂換向時(shí)存在較大的關(guān)節(jié)變形和抖動(dòng)，新型控制和PD控制策略下的關(guān)節(jié)變形明顯優(yōu)于模糊自適應(yīng)控制。

圖5 存在不確定性時(shí)軌跡跟蹤Fig.5 Trajectory tracking in the presence of uncertainty

圖6 存在不確定性時(shí)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差

圖7 存在不確定性時(shí)柔性關(guān)節(jié)變形量

圖8所示為新型控制器中改進(jìn)模糊自適應(yīng)的力矩補(bǔ)償，存在不確定性下的力矩補(bǔ)償明顯大于無(wú)不確定性下的力矩補(bǔ)償，無(wú)不確定性條件時(shí)改進(jìn)模糊自適應(yīng)力矩補(bǔ)償逐漸增大，而存在不確定性條件時(shí)改進(jìn)模糊自適應(yīng)力矩補(bǔ)償在4 s內(nèi)快速增大并趨于穩(wěn)定，可見(jiàn)改進(jìn)模糊自適應(yīng)控制對(duì)不確定性具有更快的補(bǔ)償能力。

圖8 改進(jìn)模糊自適應(yīng)力矩補(bǔ)償Fig.8 Improved fuzzy adaptive torque compensation

4 結(jié)論

文中針對(duì)具有不確定性的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人，基于模糊自適應(yīng)控制和PD控制，提出了改進(jìn)模糊自適應(yīng)補(bǔ)償PD控制策略，以提高機(jī)器人關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤精度并在一定程度上抑制由關(guān)節(jié)柔性造成的振動(dòng)。主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)包括：

(1)對(duì)控制流程進(jìn)行優(yōu)化，提出了改進(jìn)模糊自適應(yīng)補(bǔ)償PD控制器，進(jìn)一步提高了機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡的跟蹤精度并在一定程度上抑制了柔性關(guān)節(jié)的抖動(dòng)。

(2)新型控制器中PD控制器和模糊自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)相互獨(dú)立，保留了傳統(tǒng)PD控制響應(yīng)速度快、穩(wěn)定性高的特點(diǎn)，也保留了模糊自適應(yīng)控制對(duì)不確定性有效補(bǔ)償?shù)奶攸c(diǎn)。

通過(guò)推導(dǎo)及仿真驗(yàn)證，表明了改進(jìn)模糊自適應(yīng)補(bǔ)償PD控制策略在提高機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡跟蹤精度及振動(dòng)抑制方面的良好性能，同時(shí)能夠保證系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性。