丁鵬鵬，和青山

（福州大學 先進制造學院，福建 泉州 362200）

0 引言

為了應對高移動性場景的挑戰(zhàn)，HADANI R 提出了正交時頻空（Orthogonal Time Frequency Space，OTFS）新型調(diào)制方案[1]。與傳統(tǒng)的正交頻分復用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）調(diào)制相比[2]，OTFS 展現(xiàn)出更為卓越的性能。在OTFS 中，所有的傳輸符號都可以在延遲多普勒（Delay Doppler，DD）域復用，并在時頻域擴展，充分利用了快時變信道的特性。同時，OTFS 利用了快時變信道中的延遲和多普勒維度上的分集增益能夠?qū)⒖鞎r變信道轉(zhuǎn)化為DD 域中的二維準時不變信道，極大地降低了接收端信道估計和符號檢測的復雜度[3]。

索引調(diào)制（Index Modulation，IM）是無線通信中一種非常有前景的調(diào)制技術，具有高頻譜效率和高能量效率。IM 方案中，除了通過星座符號載波傳輸信息比特外，還可以通過子塊的索引傳輸[4]。在該方案中，多種類型的傳輸實體（如天線[5]、頻率時隙[6]等）均可用于承載索引比特而不需要額外的能量消耗。考慮到IM 的顯著優(yōu)越性，文獻[7]提出了新型結(jié)合索引調(diào)制的正交時頻空（Orthogonal Time Frequency Space with Index Modulation，OTFS-IM）系統(tǒng)。OTFS-IM 不僅繼承了OTFS 對多普勒頻移不敏感的優(yōu)點，而且在高移動場景下展現(xiàn)出比OTFS技術更為卓越的誤碼率（Bit Error Rate，BER）性能。最小均方誤差結(jié)合最大似然方案（Minimum Mean Squared Error with Maximum Likelihood，MMSE-ML）在文獻[7]中被提出，但該算法的復雜度極高，不利于在圖像傳輸場景中的實現(xiàn)。

OFDM技術在圖像傳輸方面的應用已經(jīng)成熟[8]，但是OFDM 技術本身難以對抗較大的多普勒頻偏?？紤]到OTFS 和IM 的優(yōu)勢，本文擬將OTFS-IM 應用到圖像傳輸中。廣義近似消息傳遞（Generalized Approximate Message Passing，GAMP）算法[9]已被證明能夠在OTFS 系統(tǒng)中在BER 性能和計算復雜度之間進行靈活的權衡，故本文提出的算法是在GAMP 算法上進行改進。

1 OTFS-IM 系統(tǒng)

1.1 IM 調(diào)制

原始圖像經(jīng)過像素值處理，得到二進制比特流，傳入OTFS-IM 系統(tǒng)中。OTFS-IM 系統(tǒng)如圖1 所示。假設一個完整的OTFS-IM 幀中，子載波數(shù)為M，符號數(shù)為N，總帶寬為MΔf，Δf是子載波頻率。共有二進制B比特流信息被平均分成G組，每組有b=B/G比特被映射到OTFS 的子塊中。每個OTFS子塊中的符號長度為n=MN/G，選擇其中k個數(shù)據(jù)點作為傳輸星座符號，n-k個數(shù)據(jù)點處于靜默位置（即默認傳輸?shù)臄?shù)據(jù)為0）；每個組中b比特由DD 域索引比特b1和符號比特b2組成。b1比特被用來選擇索引位置，b2比特則用于選擇發(fā)射的星座符號。

圖1 OTFS-IM 系統(tǒng)框圖

在IM 調(diào)制之前，第β個子塊的索引選擇表示為

式中：iβ,γ∈{1,…,n}，β={1,…,G}，γ={1,…,k}。剩下的b2比特選擇發(fā)射的星座符號表示為

式中：sβ(γ)∈Q，β和γ的取值與式相同，Q 表示調(diào)制后的星座符號集合。

本文采用的索引選擇方案是查表法，參數(shù)采用文獻[7]中的參數(shù)，當n=4，k=2 時，所有的激活方案共有C42=6 種組合，但是采用2 比特信息作為索引比特長度，只能選擇22=4 種激活組合，會產(chǎn)生其他兩種無效的索引組合{1，3}、{2，4}，對檢測信號產(chǎn)生干擾。

因此，第β個子塊的實際DD 域傳輸表示為

其他子塊也執(zhí)行相同的操作，實際的OTFS-IM信號表示為

1.2 OTFS 調(diào)制解調(diào)

對信號x處理，得到DD 域發(fā)送符號Xdd∈CM×N，首先經(jīng)過逆辛有限傅里葉變換（Inverse Symplecticfinite Fourier Transform，ISFFT）將DD 域信號轉(zhuǎn)化為時頻（Time-Frequency，TF）域信號Xtf為

式中：FM是M×M的歸一化離散傅立葉變換矩陣，(·)H為共軛轉(zhuǎn)置運算。

然后通過海森堡變換生成時域信號，表達式為

式中：在矩形脈沖整形中有Gtx=IM。時域信號傳輸?shù)娇鞎r變信道之前需要進行向量化，表達式為

式中：?表示克羅內(nèi)克積運算。經(jīng)過信道后，接收的時域信號可以表示為

式中：Yt=invec(yt)。Ytf經(jīng)過辛有限傅立葉變換（Symplecticfinite Fourier Transform， SFFT）得到DD域接收信號為

在DD 域上接收符號和發(fā)送符號關聯(lián)為

式中：y是Ydd的向量化形式，He=(FN?IM)Ht是信道矩陣，且w滿足均值為0、方差為σ2I的噪聲矢量。

2 OTFS-IM 低復雜度算法設計

文獻[7]中提出了一種MMSE-ML。MMSE 均衡的目的是得到接近發(fā)送向量x的估計值x，能夠滿足兩者之間的均方誤差在統(tǒng)計上達到最小，表達式為

式中：ρsnr是DD 域的平均信噪比，y是接收的DD域符號。由于涉及矩陣求逆運算，在硬件實現(xiàn)方面對計算要求較高，不利于實際使用。

2.1 低復雜度的GAMP 算法

由于信道矩陣具有稀疏性，可以采用信道矩陣的稀疏性來進行信號檢測。消息傳遞（Message Passing，MP）算法能夠?qū)崿F(xiàn)優(yōu)異的性能，但是其復雜度過高仍然不能夠直接使用[10]。在信號檢測問題中，發(fā)送向量x的先驗概率密度為px，接收符號向量y是服從p(y|x)=p(y|Hex)的似然函數(shù)，其中v=Hex是無噪聲形式的線性變換輸出。信號檢測是為了從已知的接受向量y和信道矩陣He中恢復出發(fā)送向量x，若采用最小化條件期望來進行建模，可表示為

分析可知，由于計算px|y(x|y)處理難度大，造成算法復雜度較高。傳統(tǒng)的MP 算法通過在因子圖的變量節(jié)點和觀測節(jié)點之間迭代更新來傳遞消息，從而求出px|y(x|y)。雖然MP 算法的性能較優(yōu)，但是該算法的因子圖中需要傳遞的消息數(shù)量更多，復雜度仍然很高。

由于MP 算法復雜度高，文獻[11] 提出了GAMP 算法。針對MP 算法的干擾項，GAMP 算法將其近似為高斯隨機變量，應用泰勒展開做了近似，從而降低算法的復雜度。GAMP 算法消息傳遞也采用因子圖進行計算。不同于MP 算法中的觀測節(jié)點y，這里的觀測節(jié)點是px|v(y|Hex)，x仍然是因子圖中的變量節(jié)點。

雖然GAMP 算法能夠降低復雜度，但是快時變信道的信道矩陣不服從獨立同分布，所以存在收斂性問題。為了解決GAMP 的收斂性，文獻[9]證明，當阻尼因子數(shù)目足夠多時，收斂性可以得到保證。

2.2 改進的阻尼因子GAMP 算法

在式（11）的基礎上，本文采用的檢測算法是采用4 個阻尼因子的GAMP 算法，輸入是信道矩陣He、接受向量y，最大迭代次數(shù)T，流程如下。

步驟1：初始化。設置迭代序號t=1，初始化xj的均值和方差τjx(t)：，τjx(t)=1。

步驟2：對每個i=1,…,2MN，設置s^(0)=0，計算vi的近似均值和方差τip(t)。

步驟3：令yi的似然函數(shù)對每一個i，計算Gi的導數(shù)和二階導數(shù)τis，計算公式為

步驟4：令rj=xj+表示含有高斯白噪聲的xj，均值為0，方差為τjr。對每個j，計算rj的均值和方差τjr(t)。

步驟5：更新和τjx(t)。對每個j，計算

式中：pc(t) 是第t次迭代的符號sc(t) 的概率，C=|Q|。在發(fā)送端，pc(t)的更新公式為

步驟6：更新迭代，令t=t+1，返回步驟2 進行下一次迭代，直到達到預先設置的最大迭代次數(shù)T次。

改進的GAMP 算法通過阻尼因子ξs、ξx、ξt以及ξp對s、x^、τx和pc四個變量加權計算，同時控制更新。阻尼因子選擇合理，便能夠提高GAMP 算法的收斂性。

2.3 基于概率排序的阻尼GAMP 算法

OTFS-IM 方案不同于OTFS 方案，發(fā)送向量x中存在著0 符號，其余部分為星座符號。接收端在GAMP 檢測時，需要在變量節(jié)點x中添加0 元素，變量節(jié)點的取值集合Ω∈{0 ∪Q}。本文提出了一種概率排序的補償措施，以確保檢測端獲得正確的激活數(shù)目[12]。具體方案是在使用GAMP進行迭代后，在進行數(shù)據(jù)符號判決之前，考慮子塊的激活數(shù)目是否正確，并對每個數(shù)據(jù)符號進行判決。

式中：Pc(aj)表示一幀中第c個數(shù)據(jù)符號判決為aj的概率，可以通過式（21）迭代完成后計算得到。在判決第β個子塊中n個數(shù)據(jù)符號取值的概率分布為{{Pc[Xβ(i)=aj,aj∈Q]},Pc[Xβ(i)=0]},i∈{1,…,n} （23）式中：Xβ(i)表示第β個子塊中的第i個數(shù)據(jù)符號，{Pc[Xβ(i)=aj,aj∈Q]}、Pc[Xβ(i)=0]分別表示第β個子塊中的第i個數(shù)據(jù)符號判決為aj和0 的概率。概率排序的補償?shù)? 步就是先計算出子塊中每個數(shù)據(jù)符號所有取值為星座符號的概率分布占總體的比值，第i個數(shù)據(jù)符號取值為星座符號aj的概率的比重表示為

全部計算當前子塊中n個數(shù)據(jù)符號后，第2 步是對每個數(shù)據(jù)符號取值為星座符號的比重進行排序，第β個子塊第i個數(shù)據(jù)符號的所有取值的排序情況為

第3 步是比較子塊中n個數(shù)據(jù)符號比重進行排序，取前k個最大值作為激活的數(shù)據(jù)符號。這保證了激活索引的數(shù)量正確，提升了系統(tǒng)的性能。

最后，得到檢測后的信息比特，進行比特合并，恢復出原始圖像。

3 仿真結(jié)果及分析

本章目的是評估基于概率排序的GAMP 算法的BER 性能，在相同的條件下與基于概率排序的MP 和MMSE-ML 算法進行比較。在圖像傳輸過程中，模擬了5 條路徑，調(diào)制方式采用4QAM，載波頻率為4 GHz，子載波間隔設為15 kHz，最大速度設置為600 km·h-1，M=64，N=16，n=4，k=1。如圖2所示，基于概率排序的阻尼GAMP 算法與基于概率排序的MP 算法性能相差不大，相比于MMSE-ML算法有明顯的性能提升。

圖2 不同算法的誤碼率表現(xiàn)

SNR=20 dB 時，OTFS-IM 系統(tǒng)的圖像如圖3所示，BER=0.000 35。

圖3 OTFS-IM 系統(tǒng)的發(fā)送圖像和恢復圖像對比

對這幾種常見的算法進行比較。MMSEML 的計算復雜度為o[(MN)3]，MP 算法復雜度是o(NMP|Q|T)，其中|Q|表示星座符號的個數(shù)，T表示迭代的次數(shù)，阻尼GAMP 算法的計算復雜度是o(NMPT)。結(jié)合圖3 可知，基于概率排序的阻尼GAMP 算法相比于其他算法在計算復雜度上有著明顯的優(yōu)勢。

4 結(jié)語

針對圖像傳輸中OTFS-IM 的算法復雜度過高問題，本文在阻尼GAMP 算法的基礎上提出了一種基于概率排序的阻尼GAMP 算法，降低了算法的復雜度。對于概率排序的阻尼GAMP 算法可以有效地防止接收端檢測出現(xiàn)判決索引數(shù)目出錯的情況，進而提升了系統(tǒng)的誤碼率性能。仿真結(jié)果表明，本文提出的基于概率排序的阻尼GAMP 算法在相對OTFS-IM 系統(tǒng)有一定的優(yōu)勢，更適用于圖像傳輸方向的應用。