劉華榮

(江蘇省泰州市姜堰區(qū)溱潼中學(xué)，225500)

解析幾何的綜合題是學(xué)生圖形分析、推理演繹、數(shù)據(jù)處理以及交錯(cuò)運(yùn)算的綜合能力展示.而對(duì)于選擇題或填空題無(wú)需呈現(xiàn)詳細(xì)的解答過(guò)程,我們?nèi)裟芨鶕?jù)題型的特點(diǎn)選擇精巧的方法,往往會(huì)讓解題事半功倍.本文介紹的臨界法就是解題中常用的巧法,意在尋找題干中滿足某一幾何特性的動(dòng)態(tài)變化的對(duì)象,例如變化的點(diǎn)、線、三角形、圓等,根據(jù)其變化尋找相應(yīng)的臨界位置，找出滿足題意的數(shù)量關(guān)系,使問(wèn)題獲解.下面筆者借助例題做一些淺陋的分析.

一、求離心率的取值范圍

離心率問(wèn)題是圓錐曲線題中頻繁出現(xiàn)的問(wèn)題,常見題型是圓錐曲線上存在一動(dòng)點(diǎn)滿足某一幾何特性(比如角的大小、三角形的形狀或其他數(shù)量關(guān)系),需要結(jié)合已知條件找出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與幾何特性變化的關(guān)系,而臨界法易于從動(dòng)點(diǎn)的臨界位置探索出其關(guān)鍵要素,使解題過(guò)程事半功倍.

反思實(shí)際上,根據(jù)蘇教版《數(shù)學(xué)(必修1)》中對(duì)于函數(shù)最值的定義,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在常數(shù)M滿足:① 對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≤M;② 存在x0∈I,使f(x0)=M,那么M是函數(shù)y=f(x)的最大值(最小值類似可定義).所以,函數(shù)的最值問(wèn)題實(shí)際上蘊(yùn)含了不等式恒成立的思想,故可以采用類似不等式恒成立的方法通過(guò)尋找必要條件,利用定義域中某些特殊點(diǎn)的值,進(jìn)一步縮小參數(shù)范圍,簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

解?PMQ是鈍角三角形的臨界情況為直角三角形. 如圖3,過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于y軸于點(diǎn)N,只要∠PMQ≥90°,即∠PMN≥45°即滿足題意.

二、求值問(wèn)題

例4已知圓C:x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值是______.

三、求參數(shù)的取值范圍

例5已知直線l:3x+4y+a=0,圓C:(x-2)2+y2=2.若圓C上存在兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q,且直線l上存在點(diǎn)M,使得∠PMQ=90°,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

綜上,實(shí)數(shù)a∈[-16,4].

通過(guò)以上實(shí)例分析,我們發(fā)現(xiàn)臨界法在解幾問(wèn)題求解中屢建奇功,解題效率不容小視.