彭 琛, 王 碩, 蒲虹宇, 吳祺煊, 張 鵬, 賀曉華, 張金鵬

(1.電子科技大學(xué) 航空航天學(xué)院, 成都 611731; 2.江西洪都航空工業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司, 南昌 330096; 3.中國空空導(dǎo)彈研究院, 河南 洛陽 471009; 4.空基信息感知與融合全國重點實驗室, 河南 洛陽 471009)

0 引 言

近年來無人機(jī)因其具有體型小、 隱蔽性強(qiáng)、 靈活性高、 造價較低等優(yōu)勢, 被廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域中的搜索、 檢測、 偵察、 拍攝、 快速鎖定目標(biāo)等工作[1]。 然而, 研究人員在進(jìn)行實機(jī)驗證時, 可能會出現(xiàn)種種風(fēng)險導(dǎo)致運動體的損壞, 從而造成損失。 為了減少這種損失, 仿真實驗平臺便應(yīng)運而生。 有機(jī)構(gòu)以四旋翼無人機(jī)為藍(lán)本研發(fā)了三自由度(3 Degree of Freedom, 3DOF)四旋翼實驗平臺[2-3]。 四旋翼實驗平臺保留了實際飛行器的基本特性, 但這些實驗平臺仍有以下問題: ①過驅(qū)動結(jié)構(gòu)帶來的控制分配問題; ②實驗平臺只能通過角位置編碼器獲取角度測量信息, 而不能獲取角速度測量信息; ③實驗平臺會受到未知不可測的擾動; ④實驗平臺的電機(jī)具有明顯的死區(qū)及飽和非線性特性。 本文以如圖1所示的四旋翼飛行器仿真實驗平臺為研究對象。 該四旋翼飛行器實驗平臺的輸入是四個旋翼電機(jī)的電壓, 輸出是四旋翼飛行器的三自由度姿態(tài)角, 屬于典型的過驅(qū)動系統(tǒng)。

圖1 四旋翼實驗平臺實物圖Fig.1 The quadrotor experimental platform

(1)

式中:B為控制矩陣; (ui)min為第i個執(zhí)行機(jī)構(gòu)操縱量的下限; (ui)max為第i個執(zhí)行機(jī)構(gòu)操縱量的上限。

偽逆矩陣法是由BODSON提出的經(jīng)典控制方法[5], 選擇的優(yōu)化指標(biāo)為操縱量的二次范數(shù), 從Bu=v的無數(shù)組解中選取離原點最近的解為最優(yōu)解[6]。 通過構(gòu)建的權(quán)重矩陣W實現(xiàn)對操縱量進(jìn)行加權(quán)的目的, 增大控制效率較低的執(zhí)行器的權(quán)重值, 可增大執(zhí)行器輸出量, 避免飽和現(xiàn)象在效率較高的執(zhí)行器中過早出現(xiàn)[4]。

考慮操縱面有約束存在的情況時, 研究人員提出了再分配加權(quán)偽逆法[7]。 這種方法具有計算效率高、 實時性好的特點, 但可能會出現(xiàn)結(jié)果不收斂的問題[8]。 Hang等[9]提出了一種基于偽逆法的零空間控制分配方法來處理控制輸入的約束。 Stephen等[10]基于復(fù)用偽逆法的方式改進(jìn)了級聯(lián)廣義逆法。 Yang等[11]針對航天器的反作用輪提出了一種動態(tài)加權(quán)偽逆分配方法。 宋佳等[12]設(shè)計了一種固定推力器開啟數(shù)的改進(jìn)再分配偽逆法的控制分配系統(tǒng)。

此外, 20世紀(jì)90年代Durham提出一種直接分配法[13], 通過控制量的最優(yōu)近似分配控制輸入。 Page等[14]提出無約束最小二乘控制分配方法, 通過速度與位置的限制設(shè)計代價函數(shù)。 Doman等[15]將線性控制分配問題推廣到仿射問題。 Harkegard[16]使用二次規(guī)劃考慮控制分配問題。 針對非線性控制分配方案, 楊恩泉等[17]提出了一種新的多目標(biāo)非線性規(guī)劃控制分配方法, 并對非線性控制分配問題的評價指標(biāo)與方法進(jìn)行了研究。 閆驍絹[18]提到了一種分段線性規(guī)劃法, 該方法中首先要對代價函數(shù)進(jìn)行分段線性逼近, 將其轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解得到最優(yōu)控制分配結(jié)果。 Naderi等[19]將其控制分配問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)劃問題, 并采用矩陣形式變換將非線性的可行域進(jìn)行簡化, 最終得到最優(yōu)控制分配結(jié)果。

在實際應(yīng)用場景中, 帶動槳葉轉(zhuǎn)動的電機(jī)存在死區(qū)飽和等非線性特性, 正是由于這些非線性特性的存在, 才使得控制律在實際中的控制效果達(dá)不到預(yù)期。

目前針對電機(jī)存在死區(qū)飽和特性時的控制問題有很多處理方案, 一種方案是可以將死區(qū)飽和非線性問題視為容錯控制問題, 進(jìn)行容錯控制分配律的設(shè)計: 文獻(xiàn)[20]針對執(zhí)行器存在死區(qū)和齒隙非線性的場景, 提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法模型的自適應(yīng)滑模容錯控制器, 實現(xiàn)了執(zhí)行器存在非線性條件下多操縱面飛機(jī)的容錯控制; 文獻(xiàn)[21]考慮執(zhí)行器飽和特性, 將其與模型不確定性一起看作是執(zhí)行器故障的一種, 設(shè)計一個由固定控制分配動作以及自適應(yīng)控制動作組成的控制分配方案, 來補(bǔ)償執(zhí)行器故障帶來的控制性能偏差; 文獻(xiàn)[22]將死區(qū)以及效率下降看作是執(zhí)行器故障, 結(jié)合容錯控制設(shè)計得到一種非并聯(lián)分布式補(bǔ)償形式控制器補(bǔ)償執(zhí)行器故障帶來的控制效能損失。

另外一種方案是結(jié)合自適應(yīng)控制對執(zhí)行器非線性問題進(jìn)行自適應(yīng)補(bǔ)償; 文獻(xiàn)[23]針對具有執(zhí)行器飽和的不確定過驅(qū)動系統(tǒng), 采用一種元素非對稱投影算法約束自適應(yīng)參數(shù)的自適應(yīng)控制, 彌補(bǔ)了執(zhí)行器非線性帶來的影響; 文獻(xiàn)[24]針對具有執(zhí)行器飽和的過驅(qū)動系統(tǒng), 提出一種自適應(yīng)控制分配方法, 該方法不需要進(jìn)行故障估計, 可以在不使用控制輸入矩陣估計的情況下容忍執(zhí)行器的有效性損失, 因此不需要通過持續(xù)激勵或附加傳感器來確定執(zhí)行器的有效性; 文獻(xiàn)[25]主要研究了在存在流體動力學(xué)不確定性、 推進(jìn)器死區(qū)和飽和情況下的水下航行器的自適應(yīng)深度跟蹤控制問題, 其中結(jié)合梯度投影算法提出自適應(yīng)有界深度控制律, 達(dá)到抑制推進(jìn)器固有飽和特性的目的; 文獻(xiàn)[26]設(shè)計了自適應(yīng)有限時間控制器, 解決了具有全狀態(tài)約束和死區(qū)的嚴(yán)格反饋非線性連續(xù)時間系統(tǒng)的跟蹤控制問題; 文獻(xiàn)[27]通過構(gòu)造輸入飽和參數(shù)相關(guān)的泛函, 設(shè)計得到自適應(yīng)的增益調(diào)度控制器, 保證輸入在飽和約束范圍內(nèi)。

通過總結(jié)可發(fā)現(xiàn), 上述文獻(xiàn)中的過驅(qū)動系統(tǒng)都不涉及角度信息不可測的問題, 并且未把執(zhí)行機(jī)構(gòu)的非線性特性與系統(tǒng)所受到擾動進(jìn)行同時考慮。 因此在本文中, 針對如圖1所示的過驅(qū)動四旋翼實驗平臺, 采用自適應(yīng)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Adaptive Extend State Observer, AESO)對不可測的角速度信息以及擾動信息進(jìn)行估計, 基于AESO以及PID(Proportional-Integral-Derivative)設(shè)計控制律, 之后再采用輔助系統(tǒng)對電機(jī)死區(qū)飽和非線性特性進(jìn)行補(bǔ)償, 并通過偽逆矩陣分配法對系統(tǒng)進(jìn)行控制分配, 最終實現(xiàn)四旋翼實驗平臺在無角速度測量信息、 未知擾動影響、 電機(jī)存在死區(qū)飽和非線性條件下的角度跟蹤控制, 并通過仿真以及實驗結(jié)果驗證控制律的有效性。

1 問題描述

根據(jù)圖1, 定義四旋翼實驗平臺的1號螺旋槳電機(jī)位置為頭部, 4號螺旋槳電機(jī)位置為尾部, 2、 3號電機(jī)分別為實驗平臺的左側(cè)和右側(cè)。

如圖2所示, 針對四旋翼實驗平臺, 可將地面坐標(biāo)系定義為Γi={O;i,j,k}, 其中,i、j兩軸的正向分別表示正北以及正東方向,k軸正向表示與重力加速度相反的方向。 此外, 定義四旋翼實驗平臺的機(jī)體坐標(biāo)系為Γb={G;ib,jb,kb},ib指向機(jī)頭方向,kb表示垂直于機(jī)身向上的方向,jb表示滿足右手螺旋定則且與軸成垂直夾角指向?qū)嶒炂脚_左側(cè)的方向。

圖2 四旋翼實驗平臺模型原理圖Fig.2 Schematic diagram of the quadrotor experimental platform model

四旋翼飛行器的三自由度姿態(tài)運動為:

(1) 俯仰(pitch)運動: 螺旋槳電機(jī)1、 2、 3通過槳葉的旋轉(zhuǎn)獲得升力, 當(dāng)升力不平衡時, 螺旋槳電機(jī)1會繞著萬向節(jié)進(jìn)行上下的擺動, 稱這種運動為俯仰運動, 俯仰運動的幅度定義為俯仰角(pitch angle), 使用符號ε表示。

(2) 滾轉(zhuǎn)(roll)運動: 當(dāng)螺旋槳電機(jī)2、 3產(chǎn)生的升力不同時, 四旋翼飛行器會以螺旋槳電機(jī)1、 4所在的連接桿為軸, 進(jìn)行上下的擺動, 將這種運動稱為滾轉(zhuǎn)運動, 滾轉(zhuǎn)運動的幅度定義為滾轉(zhuǎn)角(roll angle), 使用符號θ表示。

(3) 偏航(yaw)運動: 稱四旋翼飛行器繞萬向節(jié)所在的垂直軸進(jìn)行的左右擺動為偏航運動, 擺動幅度為偏航角(yaw angle), 使用符號ψ表示。

根據(jù)圖2構(gòu)建四旋翼實驗平臺的動力學(xué)模型如下:

(2)

式(2)中所有符號表示意義見表1。

表1 四旋翼實驗平臺相關(guān)符號Table 1 Symbols of quadrotor experimental platform

定義轉(zhuǎn)動慣量矩陣J∈R3×3為

定義控制矩陣B∈R3×4為

式中:a1=Lcosθ,a2=Lcosε,a3=Lsinθ·cosε,a4=Lcosθ·cosε。

定義重力矩陣G∈R3×1為

定義系統(tǒng)的控制輸入變量U∈R4×1為

定義外部擾動D∈R3×1為

將系統(tǒng)的三軸姿態(tài)角向量ρ∈R3×1定義為

則可將式(2)可以改寫為

(3)

變換可得

(4)

令

uρ=J-1BU+J-1G

dρ=J-1D

(5)

(6)

通過以上步驟, 建立了四旋翼實驗平臺的數(shù)學(xué)模型, 并將其轉(zhuǎn)化為如式(6)所示的線性受擾雙積分系統(tǒng)形式。 令ρd=[εd,θd,ψd]T∈R3×1表示三軸姿態(tài)角期望值, 則本文的目的是設(shè)計控制律使得三軸姿態(tài)角的實際值能對期望值進(jìn)行跟蹤, 即當(dāng)t→∞時, 有ρ→ρd。

2 基于AESO方法的實驗平臺控制

目前, 針對系統(tǒng)中某些狀態(tài)信息以及擾動信息的估計問題, 常采用的一種解決方法是利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extend State Observer, ESO)。 ESO在高增益參數(shù)下雖然穩(wěn)態(tài)誤差小, 但瞬態(tài)超調(diào)顯著變大; 在小增益參數(shù)下雖然瞬態(tài)超調(diào)較小, 但相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差變大。 因此本小節(jié)在不考慮輸入非線性補(bǔ)償情況下, 采用AESO進(jìn)行控制律設(shè)計, 并對其進(jìn)行穩(wěn)定性分析。 下節(jié)中將進(jìn)一步考慮輸入非線性補(bǔ)償情況下的控制律設(shè)計。

整體的控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。 控制律由AESO輸出得到的角速度估計信息和擾動估計信息、 期望姿態(tài)角信號、 實際姿態(tài)角信號構(gòu)建得到; 之后控制律輸入到控制分配環(huán)節(jié); 最后將分配的各旋翼電壓輸入到四旋翼實驗?zāi)Ｐ椭序?qū)動其運動并得到實際姿態(tài)角信號。 此外, AESO模塊中輸入實際姿態(tài)角信息以及設(shè)計的控制律, 得到角速度以及擾動信息的估計值。

圖3 無輸入補(bǔ)償下的控制律設(shè)計Fig.3 Control law design without input compensation

圖中,U∈R4×1表示四旋翼實驗平臺各個旋翼電機(jī)被分配的升力,uM=BU∈R3×1表示進(jìn)行控制分配的控制指令,uM通過偽逆矩陣法可得到控制分配后的升力U:

(7)

2.1 基于AESO控制律設(shè)計

首先將式(6)中所提到的線性雙積分系統(tǒng)改寫如下:

(8)

(9)

定義:

式中:03×3表示維數(shù)為3×3的零矩陣;I3表示維數(shù)為3×3的單位矩陣, diag(…)代表將括號中的向量按順序以分塊對角的形式羅列起來形成一個高維矩陣, 并且通過diag(…)得到的矩陣不一定是對角矩陣。 根據(jù)上述定義可將式(9)改寫為如下形式

(10)

借鑒文獻(xiàn)[29], 設(shè)計自適應(yīng)AESO的時變增益:

(1)令ρ1=-ω0,ρ2=(-0.5+0.866j)ω0,ρ3=(-0.5-0.866j)ω0, 其中ω0∈R3×3是一個對角矩陣, 對角線元素表示3個姿態(tài)通道的AESO最大帶寬。

(2)定義:

式中:ka為一個小于1的正數(shù);Tω為設(shè)計的變化時間。

式中:ξi(i=1,2)為巴特沃斯濾波器的設(shè)計參數(shù), 則AESO的帶寬可以表示為ωn(t)=ω0ω(t)∈R3×3。

(3)取中間變量ai∈R3×3(i=1, 2, 3)為

(11)

(4)時變增益可設(shè)計為

(12)

(13)

標(biāo)稱控制律u0采用PID控制進(jìn)行設(shè)計:

(14)

式中:eρ=(y-ρd)∈R3×1表示實際角度值與期望值之間的誤差;Kp、KD、KI∈R3×3均為對角矩陣, 對角元素表示PID控制參數(shù)。 則控制律uρ可表示為

將式(15)代入式(5), 再結(jié)合式(7)中的偽逆矩陣法進(jìn)行控制分配, 可以反解得到實際輸入到模型中的升力為

U=BT(BBT)-1(Auρ-G)

(16)

2.2 穩(wěn)定性分析

(17)

則可根據(jù)式(7)及式(17)推導(dǎo)得到

(18)

令

則可將式(18)改寫為如下形式

(19)

根據(jù)文獻(xiàn)[28]中的引理1可得到如下結(jié)論:

則有:

1) 跟蹤誤差e對?t>t0是有界的;

(20)

則可證明結(jié)論2)。

注釋1根據(jù)文獻(xiàn)[29]可知,ci(i=1,2,…,5)值的大小與AESO的帶寬大小ωn(t), 以及觀測器增益設(shè)置參數(shù)l1(t),l2(t),l3(t)有關(guān)。 選擇合適的觀測器增益, 可以影響AESO估計值的精度, 進(jìn)而影響跟蹤誤差界值大小, 最終影響基于AESO設(shè)計的控制律的控制效果。

3 輸入非線性下的實驗平臺控制

在實際的機(jī)械結(jié)構(gòu)中, 電機(jī)對輸入電壓的響應(yīng)很少具有標(biāo)準(zhǔn)的線性關(guān)系, 電機(jī)的輸入非線性主要包括三種: 齒隙非線性、 死區(qū)非線性、 飽和非線性, 這些非線性因素導(dǎo)致設(shè)計控制律的控制效果大打折扣。 由于齒隙非線性帶來的控制效果削弱非常小, 因此在本節(jié)中主要討論在電機(jī)死區(qū)及飽和影響下, 如何對其進(jìn)行控制律的設(shè)計。

本節(jié)中采用輔助系統(tǒng)對死區(qū)飽和帶來的控制效能損失進(jìn)行補(bǔ)償, 具體的控制結(jié)構(gòu)如圖4所示。 其中, 經(jīng)過控制分配后得到的控制輸入電壓先經(jīng)過死區(qū)飽和環(huán)節(jié)對其大小進(jìn)行限制, 再輸入到四旋翼實驗?zāi)Ｐ椭小?經(jīng)過死區(qū)飽和環(huán)節(jié)前后的電壓轉(zhuǎn)變?yōu)榭刂浦噶顄M、UMc輸入到輔助系統(tǒng)中, 得到補(bǔ)償控制律ΔU, 其作用就是抵消電機(jī)死區(qū)飽和現(xiàn)象帶來的控制削弱。 ΔU與期望姿態(tài)角信號以及AESO的輸出共同構(gòu)成新的抗電機(jī)死區(qū)飽和非線性的控制律。

圖4 輸入非線性補(bǔ)償下的控制結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Control structure diagram under input nonlinear compensation

3.1 死區(qū)飽和非線性測定

針對四旋翼實驗平臺, 電機(jī)存在死區(qū)及飽和等非線性現(xiàn)象, 將對控制器的控制效果產(chǎn)生不利的影響。 在小電壓下, 電機(jī)由于摩擦力等影響導(dǎo)致電機(jī)并不能正常啟動, 將電機(jī)無轉(zhuǎn)動響應(yīng)時對應(yīng)的輸入電壓區(qū)間稱為電機(jī)死區(qū)。 當(dāng)電壓超過某個值后, 電機(jī)的轉(zhuǎn)速不再隨電壓的增加而增加的現(xiàn)象稱為飽和現(xiàn)象。 在進(jìn)行控制器設(shè)計前需要對四旋翼實驗平臺電機(jī)的死區(qū)飽和范圍進(jìn)行測定。

通過實驗測定, 得到的螺旋槳電機(jī)輸入電壓與輸出升力之間的關(guān)系如圖5所示。 點劃線為根據(jù)原始測量數(shù)據(jù)擬合得到的電壓拉力曲線, 黑色實線為根據(jù)點劃線得到的標(biāo)準(zhǔn)死區(qū)飽和電壓拉力曲線。 根據(jù)圖5中黑色線可以判定-2～+3 V的電壓區(qū)間為電機(jī)死區(qū), -10 V以下以及10 V以上的電壓區(qū)間為電機(jī)的飽和區(qū)。 以上分析結(jié)果表明, 該實驗臺是作動器具有明顯的非線性特性的過驅(qū)動系統(tǒng), 因此對其設(shè)計姿態(tài)控制器時, 需要對作動器死區(qū)以及飽和特性進(jìn)行補(bǔ)償。

圖5 電壓拉力模型Fig.5 Voltage pull model

結(jié)合以上作動器死區(qū)以及飽和的特性分析, 可以得到死區(qū)飽和函數(shù)表達(dá)式:

(21)

式中: 當(dāng)v>dr時,kf=kr; 當(dāng)v

3.2 輸入非線性補(bǔ)償下的控制律設(shè)計

圖6 死區(qū)飽和環(huán)節(jié)的輸入輸出電壓對應(yīng)圖Fig.6 Correspondence diagram of input and output voltage in dead zone saturation link

對死區(qū)飽和環(huán)節(jié)的說明: ①其主要作用就是對控制分配后的電壓進(jìn)行死區(qū)飽和的限制, 具體表現(xiàn)為: 當(dāng)控制分配電壓在死區(qū)區(qū)間時, 輸出電壓大小為0, 當(dāng)電壓在飽和范圍內(nèi)時, 輸出電壓就是飽和范圍的邊界值。 ②該死區(qū)飽和環(huán)節(jié)本質(zhì)上可以看作是對電機(jī)本身固有死區(qū)飽和非線性特性的數(shù)學(xué)建模。 無該環(huán)節(jié)時, 控制分配的電壓直接輸入到電機(jī)中, 此時電壓需要經(jīng)過電機(jī)本身固有的死區(qū)飽和范圍, 才能進(jìn)行響應(yīng)。 若輸入電機(jī)的電壓常在死區(qū)區(qū)間或者飽和區(qū)間內(nèi), 電機(jī)的壽命會變短, 而且會對電機(jī)的物理特性產(chǎn)生改變。 增加死區(qū)飽和環(huán)節(jié)時, 對控制分配后的電壓進(jìn)行死區(qū)飽和范圍對應(yīng), 使得輸入電機(jī)的電壓不再經(jīng)過電機(jī)本身具有的死區(qū)飽和范圍, 使得輸入電機(jī)的電壓一直在圖5的線性響應(yīng)范圍內(nèi)。 ③根據(jù)電機(jī)本身固有死區(qū)飽和數(shù)學(xué)模型, 由控制指令uM得到的電壓V經(jīng)過電機(jī)死區(qū)飽和后的實際電壓為Vds,Vds經(jīng)過式(7)所示控制分配的逆過程得到UMc, 利用UMc與控制指令uM之間的差值計算需要補(bǔ)償?shù)目刂坡纱笮　?/p>

將輔助系統(tǒng)設(shè)計為

(22)

式中: ΔM=uM-UMc;ζ∈R3×1為中間變量;c∈R3×3為需要設(shè)計的參數(shù)。 將ΔM轉(zhuǎn)變?yōu)樾枰a(bǔ)償?shù)目刂坡搔:

ΔU=Kζ

(23)

式中:K∈R3×3為一個對角矩陣, 對角元素是待設(shè)計的補(bǔ)償控制律增益參數(shù)。

結(jié)合2.1小節(jié)中所設(shè)計的控制律uρ, 設(shè)計考慮輸入非線性補(bǔ)償下的控制律為

(24)

需要說明的是, 式(24)中基于AESO設(shè)計并使用的控制律uρ與式(15)形式一致, 而uM未參與AESO的作用過程, 因此uρ與基于AESO所設(shè)計控制律的穩(wěn)定性緊密相關(guān), 結(jié)合定理1可知該系統(tǒng)下跟蹤誤差是有界的。

4 仿真以及實驗結(jié)果

4.1 模擬環(huán)境下的仿真

進(jìn)行該仿真的目的為: ①驗證基于AESO控制律能否在角速度測量信息未知、 存在擾動條件下實現(xiàn)對期望姿態(tài)角的跟蹤; ②驗證AESO對角速度信息以及擾動估計的準(zhǔn)確性。

將期望姿態(tài)角(單位: rad)設(shè)置為

PID的參數(shù)取:

KI=03×3

AESO的最大帶寬參數(shù)ω0=30, 對四旋翼實驗平臺仿真模型的三軸施加時變擾動信息(單位: N)為

仿真結(jié)果如圖7～9以及表3～5所示。

表3 時變擾動下三軸角度跟蹤誤差統(tǒng)計數(shù)據(jù)表Table 3 Statistical data table of three-axis angle tracking error under time-varying disturbance

圖7 時變擾動下, 三軸角度跟蹤誤差Fig.7 Under time-varying disturbance, three-axis angular tracking error

圖7以及表3中的結(jié)果顯示, 仿真中三軸實際角度的跟蹤誤差均在[-0.002 1, 0.002 1]rad范圍內(nèi), 三軸角度的均方根誤差也非常小, 說明基于AESO設(shè)計得到的控制律是有效的。

圖8以及表4中的結(jié)果顯示, 時變擾動仿真條件下, 三軸擾動的估計值與實際值的大小基本一致, 10 s后三軸擾動的估計誤差均為-0.000 4 N; 在常值擾動的仿真條件下, 三軸的擾動估計誤差在10-17量級, 擾動估計的均方根誤差在10-14量級。 說明AESO能夠?qū)Χ喾N形式的擾動進(jìn)行準(zhǔn)確估計。 此外可以通過增大AESO最大帶寬參數(shù)ω0的方式縮小擾動的估計誤差。

表4 時變擾動下, 擾動估計誤差統(tǒng)計數(shù)據(jù)表Table 4 Statistical data table of disturbance estimation error under time-varying disturbance

圖8 時變擾動下, 擾動估計誤差Fig.8 Under time-varying disturbances, the disturbance estimation error

圖9以及表5中的結(jié)果顯示, 仿真中三軸角速度的估計值與實際角速度之間的誤差均達(dá)到10-5數(shù)量級, 均方根誤差也達(dá)到了10-4數(shù)量級, 說明角速度估計值可與實際值之間進(jìn)行精確估計, 說明AESO可對角速度信息進(jìn)行準(zhǔn)確估計。

表5 時變擾動下, 角速度估計誤差統(tǒng)計數(shù)據(jù)表Table 5 Statistical data table of angular velocity estimation error under time-varying disturbance

圖9 時變擾動下, 角速度估計誤差Fig.9 Under time-varying disturbance, the angular velocity estimation error

4.2 實機(jī)實驗一

進(jìn)行該實驗的目的為: 驗證基于AESO控制律相對于基于ESO控制律以及無干擾估計PID控制律的優(yōu)越性以及AESO的作用。

進(jìn)行實機(jī)實驗時, 將期望姿態(tài)角(單位: rad)設(shè)置為

將式(14)中標(biāo)稱控制器PID的參數(shù)設(shè)計為

KI=03×3

選取的分段函數(shù)為

圖10 AESO帶寬參數(shù)變化曲線Fig.10 AESO bandwidth parameter change curve

得到的實驗結(jié)果如圖11～14以及表6～7所示。

表6 基于AESO設(shè)計控制律與無擾動估計控制律下的角度跟蹤誤差數(shù)據(jù)統(tǒng)計表Table 6 Angle tracking error data statistics table based on AESO design control law and disturbance-free estimation control law

圖11 基于AESO設(shè)計控制律下三軸跟蹤誤差Fig.11 Three-axis tracking error based on AESO design control law

圖11中展示了在基于AESO的控制律下, 三軸姿態(tài)角跟蹤誤差曲線, 結(jié)合表6中的角度跟蹤誤差數(shù)據(jù)可知三軸姿態(tài)角的實際值能夠跟蹤期望值。 故可驗證該控制律的有效性。

圖12與表7說明在ωn(t)下限值時, 基于ESO設(shè)計控制律產(chǎn)生的控制效果時瞬態(tài)的超調(diào)小, 但后續(xù)穩(wěn)態(tài)的誤差震蕩幅度大, 瞬態(tài)的控制效果好。

表7 帶寬參數(shù)上限與下限時, 基于ESO設(shè)計控制律下的角度跟蹤誤差數(shù)據(jù)統(tǒng)計表Table 7 Statistical table of angle tracking error data under ESO design control law for the upper and lower limits of bandwidth parameters

圖12 帶寬參數(shù)下限值時, 基于ESO設(shè)計控制律下的三軸角度跟蹤誤差Fig.12 Three-axis angle tracking error based on ESO design control law when the lower limit of the bandwidth parameter

圖13與表7說明在ωn(t)上限值時, 基于ESO設(shè)計控制律產(chǎn)生的控制效果時瞬態(tài)的超調(diào)很大, 但后續(xù)穩(wěn)態(tài)的誤差震蕩幅度較小, 穩(wěn)態(tài)的控制效果相對較好。

圖13 帶寬參數(shù)上限值時, 基于ESO設(shè)計控制律下的三軸角度跟蹤誤差Fig.13 Three-axis angle tracking error based on ESO design control law when the upper limit of the bandwidth parameter

將表6～7中的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比可發(fā)現(xiàn): ①基于AESO設(shè)計控制律下的俯仰軸與偏航軸超調(diào), 比ωn(t)上限值時基于ESO設(shè)計控制律下的要小; ②基于AESO設(shè)計控制律下的三軸穩(wěn)態(tài)誤差最值、 均值、 均方根誤差值, 均比ωn(t)下限值時基于ESO設(shè)計控制律下的要小。 因此可以說明基于AESO設(shè)計的控制律結(jié)合了兩種不同大小帶寬參數(shù)下基于ESO設(shè)計控制律的優(yōu)點, 對基于ESO設(shè)計控制律的控制效果有著明顯的改善效果。

圖14是無擾動估計控制律下的角度跟蹤誤差曲線, 結(jié)合表6以及圖11進(jìn)行對比, 可以發(fā)現(xiàn)相同的控制參數(shù)下, 基于AESO設(shè)計控制律的控制效果在穩(wěn)態(tài)誤差最值、誤差均值、 均方根誤差值方面均優(yōu)于無擾動估計控制律的控制效果, 如基于AESO設(shè)計控制律得到的俯仰軸穩(wěn)態(tài)誤差最值比無擾動估計控制律得到的控制效果要小0.040 6 rad; 基于AESO設(shè)計控制律得到的滾轉(zhuǎn)軸均方根誤差值是無擾動估計控制律得到的控制效果的1/11倍。 說明了控制律中考慮擾動信息的必要性以及基于AESO設(shè)計控制律的優(yōu)越性。

圖14 無擾動估計標(biāo)稱PID控制律下, 三軸姿態(tài)角跟蹤誤差Fig.14 Three-axis attitude angle tracking error under nominal PID control law without disturbance estimator

4.3 實機(jī)實驗二

進(jìn)行該實驗的目的為: ①驗證結(jié)合輔助系統(tǒng)設(shè)計的抗死區(qū)飽和控制律的有效性; ②與其他抗死區(qū)飽和控制律對比, 驗證本文控制律的優(yōu)越性。

進(jìn)行實機(jī)實驗時, 將期望姿態(tài)角(單位: rad)設(shè)置為

將PID的參數(shù)設(shè)計為

Kp=diag(30 30 30)

KD=diag(30 30 30)

KI=03×3

選取的分段函數(shù)為

控制效果如圖15～23以及表8所示。

表8 各實驗條件下三軸角度跟蹤誤差數(shù)據(jù)統(tǒng)計表Table 8 Statistical table of three-axis angle tracking error data under various experimental conditions

圖15 無死區(qū)飽和環(huán)節(jié)且無輔助系統(tǒng)下, 三軸角度跟蹤誤差Fig.15 Without dead zone and saturation link and without auxiliary system, the three-axis angle tracking error

圖16 無死區(qū)飽和環(huán)節(jié)且無輔助系統(tǒng)下, 控制分配的電壓Fig.16 Without dead zone and saturation link and without auxiliary system, the control allocated voltage

文獻(xiàn)[3]中將死區(qū)飽和非線性看作一種擾動, 基于不確定及干擾估計器 (Uncertainty and Disturbance Estima-tor, UDE)設(shè)計了針對四旋翼實驗平臺的抗死區(qū)非線性以及擾動的魯棒控制律。 作為對比, 分別無死區(qū)及飽和環(huán)節(jié)、 有死區(qū)飽和環(huán)節(jié)但無輔助系統(tǒng)、 基于文獻(xiàn)[3]中UDE所設(shè)計控制律條件下的實驗。 其中UDE的參數(shù)為

Kp=diag(30 30 30)

KD=diag(30 30 30)

TUDE=diag(100 100 100)

圖15～16展示的是不施加死區(qū)飽和環(huán)節(jié)下的控制效果, 其主要作為對比實驗。 可以看到此時控制分配后的電壓在一瞬間出現(xiàn)大尖峰值。

圖17～18展示的是只施加死區(qū)飽和環(huán)節(jié)下的控制效果。 其中結(jié)合表8將圖17與圖15進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn): 俯仰軸和滾轉(zhuǎn)軸的超調(diào)明顯降低、 穩(wěn)態(tài)誤差的最值縮小、 均值縮小、 均方根誤差縮小, 偏航軸的跟蹤效果基本一致,穩(wěn)態(tài)誤差均值稍有變大。 結(jié)合圖18說明實驗平臺的輸入電壓全在死區(qū)飽和電壓范圍內(nèi)時, 可提升控制律的控制效果。 產(chǎn)生這種現(xiàn)象的主要原因是: 施加的死區(qū)飽和環(huán)節(jié)對分配的電壓進(jìn)行了限制, 不會再出現(xiàn)圖16中大電壓尖峰值的情況, 使得三軸的角度跟蹤超調(diào)變小。 在偏航軸的控制中, 4號電機(jī)比較特殊, 其是垂直于水平面安裝的, 使得它在偏航軸的控制中能起到?jīng)Q定性作用, 因此死區(qū)飽和環(huán)節(jié)對偏航軸在穩(wěn)態(tài)時的負(fù)面影響較明顯, 使得偏航軸穩(wěn)態(tài)誤差均值等參數(shù)稍有變化。 圖18主要展示了死區(qū)飽和環(huán)節(jié)對電壓的限制, 可見死區(qū)飽和環(huán)節(jié)可以把控制分配后的電壓限制在除0外的非死區(qū)區(qū)間以及非飽和區(qū)間的范圍內(nèi)。

圖17 有死區(qū)飽和環(huán)節(jié)但無輔助系統(tǒng)下, 三軸角度跟蹤誤差Fig.17 With dead zone and saturation link but without auxiliary system, the three-axis angle tracking error

圖18 有死區(qū)飽和環(huán)節(jié)但無輔助系統(tǒng)下, 經(jīng)過死區(qū)飽和環(huán)節(jié)后的電壓Fig.18 With dead zone and saturation link but without auxiliary system, the voltage after dead zone and saturation

圖19～20展示的是既施加死區(qū)飽和環(huán)節(jié)又施加輔助系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償下的控制效果。 其中結(jié)合表8將圖19與圖17進(jìn)行比較, 三軸的穩(wěn)態(tài)誤差范圍、 均值、 均方根誤差值基本一致, 俯仰軸和偏航軸角度跟蹤的超調(diào)均明顯降低, 偏航軸穩(wěn)態(tài)誤差的最值減小, 說明偏航軸跟蹤的波動幅度降低, 此時圖20中顯示輸入到實驗平臺中的電壓也不在除0外的非死區(qū)區(qū)間以及非飽和區(qū)間的范圍內(nèi)。 以上結(jié)果驗證了輔助系統(tǒng)抗死區(qū)飽和非線性的作用, 同樣驗證了考慮非線性補(bǔ)償下設(shè)計的控制律的有效性。

圖19 有死區(qū)飽和環(huán)節(jié)且有輔助系統(tǒng)時, 三軸角度跟蹤誤差Fig.19 With dead zone and saturation link and with auxiliary system, the three-axis angle tracking error

圖20 有死區(qū)飽和環(huán)節(jié)且有輔助系統(tǒng)時, 經(jīng)過死區(qū)飽和環(huán)節(jié)后的電壓Fig.20 With dead zone and saturation link and with auxiliary system, the voltage after dead zone and saturation

結(jié)合圖21～23以及表8中的數(shù)據(jù), 發(fā)現(xiàn)3.2節(jié)中所設(shè)計控制律得到的控制效果優(yōu)于基于UDE設(shè)計得到的魯棒控制律下, 俯仰角以及滾轉(zhuǎn)角的超調(diào)、 穩(wěn)態(tài)誤差等表現(xiàn), 說明基于UDE設(shè)計控制律在對俯仰以及滾轉(zhuǎn)角進(jìn)行跟蹤時, 其瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能差; 偏航角的誤差均值雖小, 但其均方根誤差大于本小節(jié)中控制律下偏航角控制效果, 說明其穩(wěn)態(tài)誤差偏離均值較大; 因此驗證了本小節(jié)中所設(shè)計控制律的優(yōu)越性。

圖21 基于UDE與基于AESO+輔助系統(tǒng)控制律俯仰角跟蹤誤差對比Fig.21 Comparison of pitch angle tracking error based on UDE and AESO+Auxiliary System control law

圖22 基于UDE與基于AESO+輔助系統(tǒng)控制律滾轉(zhuǎn)角跟蹤誤差對比Fig.22 Comparison of roll angle tracking error based on UDE and AESO+Auxiliary System control law

圖23 基于UDE與基于AESO+輔助系統(tǒng)控制律偏航角跟蹤誤差對比Fig.23 Comparison of yaw angle tracking error based on UDE and AESO+Auxiliary System control law

以上3組仿真以及實驗可說明, 本文中基于AESO所設(shè)計的控制律相較于基于ESO和UDE所設(shè)計的控制律, 具有瞬態(tài)超調(diào)小、 穩(wěn)態(tài)誤差小的特點; 本文中基于AESO以及輔助系統(tǒng)設(shè)計的控制律, 削弱了死區(qū)飽和非線性特性帶來的影響, 提升了控制效果。

5 結(jié) 論

本文在存在未知擾動、 無角速度測量信息、 電機(jī)存在死區(qū)及飽和非線性情況下, 針對四旋翼實驗平臺的三軸角度跟蹤控制問題, 做出以下工作:

(1) 利用AESO對未知的擾動以及角速度信息進(jìn)行估計, 并基于其估計值設(shè)計了一種有效的控制器, 保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的同時, 改善了閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)性能以及穩(wěn)態(tài)性能。 并且對閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行理論分析, 給出了跟蹤誤差的最終界。

(2) 基于AESO以及輔助系統(tǒng)提出了一種可對電機(jī)死區(qū)飽和非線性特性帶來影響進(jìn)行補(bǔ)償?shù)慕嵌雀櫩刂破鳌?設(shè)計并實現(xiàn)多組仿真以及實驗, 通過仿真以及實驗驗證所提控制器的有效性。