呂 振，張偉偉，寇家慶

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

0 引 言

圓柱繞流是一個(gè)經(jīng)典的流體力學(xué)問題。眾所周知，靜止圓柱繞流在雷諾數(shù)Recr≈ 47時(shí)開始變得不穩(wěn)定，出現(xiàn)周期性的旋渦脫落[1-2]。但是當(dāng)圓柱處于強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)或彈性支撐狀態(tài)時(shí)，其臨界雷諾數(shù)可能會(huì)進(jìn)一步降低[3-4]。其中，彈性支撐的圓柱在一定來流條件下會(huì)發(fā)生振動(dòng)，且其尾跡中會(huì)產(chǎn)生周期性渦脫，這一現(xiàn)象被稱為渦致振動(dòng)[3,5-6]。

Bufoni[7]在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中研究了強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)圓柱在低雷諾數(shù)下的尾渦演化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)圓柱最低渦脫雷諾數(shù)可以降低至25。Cossu和Morino[4]通過全局線性穩(wěn)定性分析方法對亞臨界雷諾數(shù)下的渦致振動(dòng)開展了研究，發(fā)現(xiàn)在高質(zhì)量比時(shí)，彈性支撐圓柱的臨界雷諾數(shù)可以降低到靜止圓柱的一半。隨后，Mittal和Singh[8]在數(shù)值仿真環(huán)境下，也采用全局穩(wěn)定性分析方法研究了不同亞臨界雷諾數(shù)下圓柱發(fā)生渦致振動(dòng)的折減速度范圍，發(fā)現(xiàn)圓柱渦致振動(dòng)存在的最低雷諾數(shù)為20。同時(shí)，他們在發(fā)生亞臨界雷諾數(shù)渦致振動(dòng)的所有狀態(tài)下都觀測到了“鎖頻”現(xiàn)象。進(jìn)一步地，Zhang等[9-10]基于線性穩(wěn)定性分析方法研究了亞臨界雷諾數(shù)時(shí)圓柱在橫向和流向自由度上的渦致振動(dòng)特性，發(fā)現(xiàn)當(dāng)同時(shí)釋放這兩個(gè)自由度時(shí)，圓柱發(fā)生渦致振動(dòng)的雷諾數(shù)可進(jìn)一步降低到18。Kou等[11]采用動(dòng)態(tài)模態(tài)分解（DMD）獲取了不同亞臨界雷諾數(shù)下圓柱繞流的流動(dòng)模態(tài)。他們發(fā)現(xiàn)，與超臨界雷諾數(shù)圓柱繞流不同，亞臨界雷諾數(shù)圓柱繞流的流動(dòng)模態(tài)是穩(wěn)定，且其強(qiáng)度隨著雷諾數(shù)降低而降低，并最終在雷諾數(shù)小于18時(shí)消失。這一雷諾數(shù)與圓柱渦致振動(dòng)存在的最低雷諾數(shù)相一致，因而Kou等認(rèn)為亞穩(wěn)定流動(dòng)模態(tài)的消失是渦致振動(dòng)無法在Re＜18時(shí)存在的直接原因。最近，Bourguet[12]通過直接數(shù)值模擬的方法研究了三維柔性柱體在亞臨界雷諾數(shù)下的渦致振動(dòng)特性，發(fā)現(xiàn)其發(fā)生渦致振動(dòng)的最低雷諾數(shù)為20，與二維圓柱一致。另外，他們發(fā)現(xiàn)柔性柱體的高階結(jié)構(gòu)模態(tài)也會(huì)與流動(dòng)發(fā)生耦合，誘發(fā)高頻的渦致振動(dòng)。

雖然上述的數(shù)值模擬工作對亞臨界雷諾數(shù)渦致振動(dòng)問題展開了較為全面和深入的研究，但是到目前為止研究者還未能在實(shí)驗(yàn)中證實(shí)亞臨界雷諾數(shù)渦致振動(dòng)的存在。在公開發(fā)表的文獻(xiàn)中，所有渦致振動(dòng)實(shí)驗(yàn)[3,13-15]的雷諾數(shù)都大于100。其主要有以下兩個(gè)原因：1）在一般的風(fēng)洞和水洞中很難實(shí)現(xiàn)很低流速的流動(dòng)；2）亞臨界雷諾數(shù)實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ统叽缧?，彈性支撐機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)難度大。針對以上問題，本文設(shè)計(jì)并開展了低雷諾數(shù)實(shí)驗(yàn)，研究了結(jié)構(gòu)支撐頻率和雷諾數(shù)對圓柱渦致振動(dòng)的影響，分析了亞臨界雷諾數(shù)渦致振動(dòng)的存在性。

1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

1.1 旋轉(zhuǎn)水槽

本文試驗(yàn)所需的雷諾數(shù)很低，如何實(shí)現(xiàn)足夠低速（幾厘米每秒量級）的穩(wěn)定流動(dòng)是本文研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。因傳統(tǒng)循環(huán)水槽/水洞中幾乎不可能實(shí)現(xiàn)如此低速的流動(dòng)，本文借鑒地球物理學(xué)研究中的圓形水槽[16-17]研發(fā)了如圖1所示的旋轉(zhuǎn)水槽[18]。該旋轉(zhuǎn)水槽由兩個(gè)一端粘貼在圓形底板上的同心圓筒所組成，兩個(gè)圓筒的直徑分別為500 mm和380 mm。圓形底板在其圓心處與一個(gè)步進(jìn)電機(jī)的軸相連，因而整個(gè)水槽可以在步進(jìn)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下在0到0.306 rad/s（對應(yīng)水槽中央處速度為0～7.0 cm/s）的角速度范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)中所采用的步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)速控制精度很高，從而保證了水槽可以按設(shè)定的角速度平穩(wěn)轉(zhuǎn)動(dòng)。在開展實(shí)驗(yàn)前，首先需要在兩個(gè)圓筒圍成的水槽中注入一定高度的水；然后，啟動(dòng)步進(jìn)電機(jī)使旋轉(zhuǎn)水槽以一定的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)。約10 min后，在黏性力的作用下，水槽中水的流速就會(huì)和水槽轉(zhuǎn)動(dòng)速度保持一致，形成穩(wěn)定的低速流動(dòng)。在本文實(shí)驗(yàn)中，為了消除溫度對水黏性系數(shù)的影響，將水槽中水的溫度嚴(yán)格控制在20±0.1℃。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置Fig. 1 Setup of experiments

為了評估旋轉(zhuǎn)水槽中流場的品質(zhì)，本文采用2DPIV測量了不同水平截面處的流場速度分布。圖1（c）給出了水槽中坐標(biāo)系的定義，其中坐標(biāo)系原點(diǎn)位于水槽中央，水流方向?yàn)閤軸，垂直于水流方向的橫向?yàn)閥軸。圖2給出了轉(zhuǎn)速Ω =0.102 rad/s時(shí)，水槽中間區(qū)域在典型水平截面上的瞬時(shí)速度分布，可以看出其流場的均勻性較好。需要注意的是，圖2中不同y軸占位處到水槽旋轉(zhuǎn)軸的距離不同，因而流速會(huì)沿著y軸正方向逐漸增加。進(jìn)一步地，圖3給出了該狀態(tài)下的湍流度分布云圖，可以看出水槽中區(qū)域整體湍流度水平在1%左右，與一些低速水洞的湍流度相當(dāng)[19]，滿足本文實(shí)驗(yàn)需求。另外，還需要考察旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對流動(dòng)的影響。在地球物理學(xué)中，一般用Rossy數(shù)[20-21]來度量旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對流動(dòng)的影響，其定義式為Ro = U/(2ωL)= R/(4d)，其中R為模型到水槽旋轉(zhuǎn)軸的距離，d為模型特征長度。Ro數(shù)越小，旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對流動(dòng)的影響就越顯著。一般地，當(dāng)Ro大于1時(shí)，可以忽略旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對流動(dòng)的影響。在本文實(shí)驗(yàn)中，Ro為58.75，遠(yuǎn)大于1，說明旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對流動(dòng)的影響很弱，可以將其忽略。

圖2 轉(zhuǎn)速Ω = 0.102 rad/s 時(shí)，水槽橫截面速度云圖Fig. 2 Velocity contours in a cross-section of the channel rotating at a speed Ω = 0.102 rad/s

圖3 轉(zhuǎn)速Ω = 0.102 rad/s 時(shí)，水槽橫截面湍流度分布Fig. 3 Turbulence intensity in a cross-section of the channel rotating at a speed Ω = 0.102 rad/s

1.2 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ图皽y量方法

實(shí)驗(yàn)中使用的模型為直徑d= 1 mm、長度L=100 mm的鋁質(zhì)圓柱。如圖1所示，圓柱的頂端由兩個(gè)平行的彈性PVC片支撐，使得圓柱只能沿垂直于來流方向做橫向振動(dòng)，消除了圓柱在其他方向的自由度。實(shí)驗(yàn)中通過調(diào)節(jié)PVC片的長度和寬度來改變圓柱的支撐頻率。為了消除重力對圓柱渦致振動(dòng)響應(yīng)的影響，實(shí)驗(yàn)中將圓柱豎直地安裝于水槽中，其末端距離水槽底面高度為2 mm，浸水高度l =90 mm。

如圖1所示，在實(shí)驗(yàn)中使用布置于圓柱正下方的高速相機(jī)測量圓柱振動(dòng)位移，其拍攝幀率為100幀/s，對振動(dòng)位移測量的分辨率為1.4 μm。同時(shí)，采用2維時(shí)間解析的PIV測量圓柱尾跡區(qū)流場。在水槽中布撒密度為1.03 g/mm3、直徑約20 μm的聚酰胺樹脂顆粒作為示蹤粒子；而后，采用一臺功率為5 W的連續(xù)式半導(dǎo)體激光器在距離水槽底面45 mm的平面上產(chǎn)生厚度約1 mm的片光照亮待測流場區(qū)域。最后，使用Pointgrey GS3-U3-23S6M-C型高速相機(jī)采集粒子流動(dòng)的圖像，其分辨率為1 920×1 200。 每個(gè)實(shí)驗(yàn)狀態(tài)下，PIV系統(tǒng)以100 Hz的頻率連續(xù)記錄了9 000張流場快照?；陂_源的PIVlab v2.31軟件對粒子圖像進(jìn)行后處理，采用的詢問窗口大小為24 pixel×24 pixel，重疊率為50%，空間矢量分辨率為0.385 mm，對速度場測量的不確定度小于2%。

在地面實(shí)驗(yàn)中，給圓柱施加橫向的脈沖激勵(lì)并測量其在空氣中的位移衰減響應(yīng)。通過對位移衰減響應(yīng)進(jìn)行頻譜分析和時(shí)域減幅率計(jì)算，分別得到圓柱的支撐頻率fn和系統(tǒng)的阻尼比ζ。地面實(shí)驗(yàn)中測得不同支撐頻率下系統(tǒng)的阻尼比在0.006至0.008之間變化。2021年1月份，在旋轉(zhuǎn)水槽分別開展了固定支撐頻率變來流速度和固定來流速度變支撐頻率的兩組實(shí)驗(yàn)[18]，研究了雷諾數(shù)和支撐頻率對圓柱渦致振動(dòng)特性的影響。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

2.1 靜止圓柱

為了驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的可靠性，本文首先研究了靜止圓柱臨界雷諾數(shù)的大小。圖4給出了不同雷諾數(shù)下圓柱尾跡的渦量云圖。如圖4（a、b）所示，當(dāng)雷諾數(shù)小于47時(shí)，可以清晰地看出圓柱后有兩條互不交叉的剪切層，這說明此時(shí)圓柱后沒有產(chǎn)生渦脫，流動(dòng)沒有發(fā)生失穩(wěn)。而當(dāng)雷諾數(shù)大于47時(shí)，如圖4（c、d）所示，圓柱后開始產(chǎn)生交替脫落的旋渦，說明流動(dòng)發(fā)生了失穩(wěn)。由此可見，本實(shí)驗(yàn)中圓柱的臨界雷諾數(shù)是47，與經(jīng)典實(shí)驗(yàn)和直接數(shù)值模擬結(jié)果[1-2,22]一致。進(jìn)一步地，圖5給出了不同雷諾數(shù)下圓柱繞流的斯特勞哈爾數(shù)。可以看出，本文實(shí)驗(yàn)結(jié)果與均勻流中經(jīng)典實(shí)驗(yàn)結(jié)果[23-24]吻合很好，這充分說明了本文實(shí)驗(yàn)平臺的可靠性和測試精度。

圖4 不同雷諾數(shù)下靜止圓柱的尾渦云圖Fig. 4 Wakes of a fixed cylinder at various Reynolds numbers

圖5 不同雷諾數(shù)下圓柱繞流的斯特勞哈爾數(shù)Fig. 5 Strouhal number for flow around a cylinder at various Reynolds numbers

2.2 彈性支撐圓柱

第一組實(shí)驗(yàn)研究了支撐頻率fn =1.92 Hz的圓柱在不同來流速度下的渦致振動(dòng)響應(yīng)。該組實(shí)驗(yàn)中支撐系統(tǒng)的阻尼比為ζ =0.006 6，質(zhì)量比為m*= 4.87，其中質(zhì)量比的定義式為：m* =4m/(πρld2)。式中，m為包含模型和支撐系統(tǒng)在內(nèi)所有運(yùn)動(dòng)部件的等效質(zhì)量，ρ為水的密度，l為圓柱浸沒在水中的長度，d為圓柱的直徑。

一般采用無量綱位移和無量綱振動(dòng)頻率來描述渦致振動(dòng)的響應(yīng)，其定義式分別為：h* = h/d和F* = f/fn。其中，h為圓柱的有量綱位移，f為圓柱的有量綱振動(dòng)頻率。另外，還需要對來流速度予以無量綱化得到折減速度，其定義式為：U* = U/（fnd），其中U為來流速度。需要注意的是，在本組實(shí)驗(yàn)中，改變來流速度會(huì)同時(shí)改變雷諾數(shù)和折減速度。

圖6（a）展示了彈性支撐圓柱的無量綱位移和振動(dòng)頻率隨折減速度的變化曲線。從圖中可以看出U*＜6.06時(shí)，圓柱振動(dòng)的振幅基本為0；而在U*=6.06時(shí)，圓柱突然開始大幅振動(dòng)，且隨著U*的增加，振幅急劇增加，并在U*= 6.76時(shí)達(dá)到峰值；當(dāng)U*＞6.76時(shí)，振幅隨著折減風(fēng)速增加而逐漸減小。圖6（b）給出了圓柱發(fā)生渦致振動(dòng)時(shí)，其無量綱振動(dòng)頻率隨折減風(fēng)速變化的曲線。可以看出，無量綱振動(dòng)頻率始終在1附近。這種結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率跟隨結(jié)構(gòu)固有頻率的現(xiàn)象被稱為“鎖頻”，其存在于整個(gè)低雷諾數(shù)圓柱渦致振動(dòng)過程中。這一發(fā)現(xiàn)與Mittal、Singh等[8]的數(shù)值仿真結(jié)果相一致。

圖6 不同折減速度下的渦致振動(dòng)振幅和頻率Fig. 6 Amplitude and frequency responses of VIV at various reduced velocities

進(jìn)一步地，圖7給出了四個(gè)典型折減速度下彈性支撐圓柱的尾渦云圖。當(dāng)U*= 6.06 （Re= 37.6）時(shí)，圓柱沒有發(fā)生振動(dòng)，在尾跡中也沒有發(fā)現(xiàn)渦脫。當(dāng)U*= 6.12（Re= 38.0）和U*= 6.76（Re= 41.9）時(shí)，圓柱發(fā)生了周期性振動(dòng)。雖然此時(shí)圓柱的雷諾數(shù)小于47，但仍然可以在其尾跡中觀測到卡門渦街。當(dāng)U*=10.23時(shí)，圓柱振動(dòng)的振幅變得很小，在尾跡中仍然觀測到了清晰的卡門渦街。這是因?yàn)榇藭r(shí)圓柱的雷諾數(shù)Re= 72.1，大于靜止圓柱的臨界渦脫雷諾數(shù)。另外，圓柱發(fā)生渦致振動(dòng)時(shí)，其尾渦脫落頻率始終與圓柱振動(dòng)頻率保持一致，且都在圓柱支撐頻率附近。這些實(shí)驗(yàn)觀測到的“鎖頻”特性與數(shù)值模擬得出的結(jié)論完全相同。

圖7 典型折減速度下，圓柱的尾渦云圖（左）及時(shí)域位移響應(yīng)（右）Fig. 7 Wake (left) and displacement responses (right) of the elastically supported cylinder at typical reduced speeds

值得注意的是，U*＜7.58時(shí)，圓柱的雷諾數(shù)小于47，但是渦致振動(dòng)現(xiàn)象仍然存在，證明了Mittal[8]和Zhang[9]在數(shù)值仿真環(huán)境下發(fā)現(xiàn)的亞臨界雷諾數(shù)渦致振動(dòng)現(xiàn)象是真實(shí)存在的。另外，在亞臨界雷諾數(shù)渦致振動(dòng)的過程中伴隨著周期性的旋渦脫落，說明彈性支撐會(huì)降低圓柱繞流的穩(wěn)定性，使得流動(dòng)在低于47的雷諾數(shù)下提前失穩(wěn)。該結(jié)論與我們先前采用線性穩(wěn)定性分析方法得出的結(jié)果[9-10]一致。

2.3 圓柱渦致振動(dòng)的最低雷諾數(shù)

為了進(jìn)一步研究圓柱渦致振動(dòng)存在的最低雷諾數(shù)，本文分別在Re= 20、23、30和40四個(gè)不同的亞臨界雷諾數(shù)下開展實(shí)驗(yàn)。每個(gè)雷諾數(shù)下，來流速度是恒定的，通過改變圓柱的支撐頻率來改變折減速度。因支撐頻率的改變是通過改變PVC片長度來實(shí)現(xiàn)的，故PVC片的附加質(zhì)量會(huì)隨著支撐頻率的增加而降低，使得模型的質(zhì)量比在7.73～9.19范圍內(nèi)變化。另外，PVC片長度增加時(shí)，支撐系統(tǒng)的阻尼比也會(huì)變小，使得實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)阻尼比在0.006～0.008范圍內(nèi)變化。

圖8（a）給出了四個(gè)不同雷諾數(shù)下圓柱渦致振動(dòng)無量綱振幅隨折減速度的變化?？梢钥闯?，Re= 20時(shí)圓柱在各個(gè)折減速度下的振動(dòng)振幅都基本為0，說明此時(shí)并沒有發(fā)生渦致振動(dòng)；而當(dāng)Re＞20時(shí)，在一定的折減速度范圍內(nèi)圓柱會(huì)發(fā)生極限環(huán)振動(dòng)，說明此時(shí)發(fā)生了渦致振動(dòng)。另外，隨著雷諾數(shù)的增加，發(fā)生渦致振動(dòng)的折減速度范圍和渦致振動(dòng)最大振幅會(huì)逐漸增大。以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，亞臨界雷諾數(shù)下，圓柱橫向渦致振動(dòng)存在的最低雷諾數(shù)為23，與Mittal等在數(shù)值模擬中得出的Recr= 20接近。

另外，圖8中黑色實(shí)線給出了李新濤[22]在Re=40、m*= 10狀態(tài)下通過直接數(shù)值模擬方法得出的圓柱渦致振動(dòng)振幅及頻率響應(yīng)。數(shù)值仿真得出的渦致振動(dòng)退出邊界和本文在Re= 40時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，而渦致振動(dòng)始發(fā)邊界及最大振幅與本文實(shí)驗(yàn)結(jié)果有一定差別。李新濤[22]和Blevins[25]在超臨界雷諾數(shù)下的圓柱渦致振動(dòng)中發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)阻尼會(huì)顯著影響渦致振動(dòng)發(fā)生的折減速度區(qū)間及其振動(dòng)幅值。而本文實(shí)驗(yàn)存在一定的結(jié)構(gòu)阻尼，但李新濤的數(shù)值模擬中結(jié)構(gòu)阻尼為0。這種結(jié)構(gòu)阻尼的不同可能直接導(dǎo)致了實(shí)驗(yàn)結(jié)果與直接數(shù)值模擬結(jié)果的差別。

圖8 不同雷諾數(shù)下，渦致振動(dòng)振幅和頻率響應(yīng)的對比Fig. 8 Comparison of amplitude and frequency responses of VIV at different Reynolds numbers

圖8（b）給出了四個(gè)不同雷諾數(shù)下無量綱結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率隨折減風(fēng)速的變化曲線。值得注意的是：不同雷諾數(shù)下，發(fā)生渦致振動(dòng)時(shí)的無量綱結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率都在1附近。這說明“鎖頻”現(xiàn)象在亞臨界渦致振動(dòng)中持續(xù)存在，與Mittal[8]和李新濤[22]的數(shù)值仿真結(jié)果一致。

3 結(jié) 論

本文針對數(shù)值模擬中所發(fā)現(xiàn)的亞臨界雷諾數(shù)渦致振動(dòng)問題開展了水槽實(shí)驗(yàn)，分別研究了不同結(jié)構(gòu)支撐頻率和雷諾數(shù)下圓柱渦致振動(dòng)的響應(yīng)，在實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了亞臨界雷諾數(shù)渦致振動(dòng)現(xiàn)象的存在。研究的主要結(jié)論如下：

1）為了實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)所需的低雷諾數(shù)流動(dòng)，本文研發(fā)了旋轉(zhuǎn)水槽，其可產(chǎn)生流速范圍為0～7.0 cm/s的穩(wěn)定流動(dòng)，且湍流度水平在1%左右，其對低雷諾數(shù)下的相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究有重要的參考價(jià)值。

2）實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)圓柱渦致振動(dòng)可在雷諾數(shù)低于47的亞臨界雷諾數(shù)下存在，且其發(fā)生的折減速度區(qū)間和最大振幅會(huì)隨著雷諾數(shù)的降低而減小。另外，實(shí)驗(yàn)中圓柱渦致振動(dòng)存在的最低雷諾數(shù)為23，與Mittal等[8]數(shù)值仿真結(jié)果接近。

3）發(fā)生亞臨界雷諾數(shù)渦致振動(dòng)時(shí)，圓柱下游會(huì)產(chǎn)生頻率與圓柱振動(dòng)頻率相一致的周期性渦脫。這說明彈性支撐會(huì)使得流動(dòng)的穩(wěn)定性降低，從而使得流動(dòng)在雷諾數(shù)小于47時(shí)提前失穩(wěn)，證實(shí)了我們先前采用線性穩(wěn)定性分析方法得出的結(jié)論[9-10]。

本研究通過實(shí)驗(yàn)證實(shí)了亞臨界雷諾數(shù)渦致振動(dòng)的存在，并獲取了其存在的最低雷諾數(shù)，但并未能解釋其誘發(fā)機(jī)理。故后續(xù)工作將基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)建渦致振動(dòng)的物理模型，對其誘發(fā)機(jī)理進(jìn)行剖析。