劉思余，梁 言，馬明明

(中國飛行試驗研究院 發(fā)動機所，西安 710089)

0 引 言

飛行試驗是航空科學技術探索和研究的有效手段，是新型飛機研制和鑒定的重要環(huán)節(jié)，是對航空新型號產(chǎn)品摸索和積累使用經(jīng)驗的必經(jīng)之路[1]。由于飛行試驗是一項風險大、復雜度高、成本大的項目，為了降低研制風險，加快研發(fā)進度，開展試驗設計在飛行試驗中的應用研究是關鍵措施之一。

以中心復合設計為代表的現(xiàn)代試驗設計方法在航空航天領域有著大量的應用。美國NASA的Langley實驗室[2]在1997年就開始將現(xiàn)代試驗設計方法應用于風洞試驗，國內(nèi)的中國航天空氣動力技術研究院[3]與中國空氣動力研究與發(fā)展中心[4-6]分別針對亞聲速、跨聲速等高速風洞開展了一系列的試驗設計應用研究。試驗結(jié)果表明，采用試驗設計方法可以有效地降低試驗資源，提高試驗效率。

Jon[7]將中心復合設計應用于航空發(fā)動機進口導向葉片共振頻率試驗，并將中心復合設計試驗結(jié)果與全因子試驗進行對比，認為通過試驗設計方法可以得到更精確的物理模型；楊建華[8]采用均勻設計方法進行發(fā)動機性能試驗設計，得到的特性規(guī)律模型誤差不超過3%；范澤明[9]則采用正交設計方法進行航空發(fā)動機高空模擬試驗，獲得各試驗因素對試驗指標影響的顯著性及交互作用；AARON[10-11]與黃陳生[12]等將中心復合設計應用于飛行試驗中，得到了相關試驗科目的規(guī)律特性模型。

上述研究均表明了試驗設計在提升試驗效率與試驗結(jié)果上的有效性，但也反映了試驗設計中存在的一些共性問題：1）試驗設計過程存在對經(jīng)驗的依賴，具有一定的主觀性，缺少試驗設計的客觀評價。試驗設計的目的是得到一組試驗點，然后通過試驗點數(shù)據(jù)得到試驗對象的特性規(guī)律模型；該特性規(guī)律模型的精度取決于試驗設計好壞，因此特性規(guī)律模型的精度的可以作為試驗設計的評價標準；2）試驗對象本身存在使用限制，需要在限制范圍內(nèi)應用試驗設計方法來安排試驗[12]，但如何在限制條件內(nèi)尋找一組試驗點，使最終得到的特性規(guī)律模型的精度最高是試驗設計需要考慮的問題。

綜上所述，本文針對上述兩個問題進行試驗點優(yōu)化設計方法研究，通過優(yōu)化設計方法得到最優(yōu)試驗點組合集，使最終得到的被試對象規(guī)律特性模型精度最高。

1 試驗對象規(guī)律模型構(gòu)造方法

試驗設計需要得到試驗對象的特性規(guī)律模型，然后根據(jù)該模型進行試驗設計。但在進行實際應用中，試驗對象的特性規(guī)律模型可能存在缺失。因此，試驗設計首先需要進行試驗對象規(guī)律模型構(gòu)造方法研究。

多項式模型具有結(jié)構(gòu)簡單、求解方便、計算效率高的特點，可以賦予模型物理意義。試驗設計一般采用多項式模型來反映試驗自變量與因變量之間的規(guī)律[2-8,10-15]；由于不同自變量對模型精度的影響不同，可以通過顯著性檢驗量化自變量對模型影響性大小，剔除影響較小的自變量[16]，從而在保證模型精度的前提下簡化模型。因此，本文通過多項式模型與顯著性檢驗方法構(gòu)造試驗對象規(guī)律模型。

1.1 模型顯著性檢驗方法

通過計算樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和SST、回歸離差平方和SSM、剩余離差平方和SSL以及相應的自由度，然后再結(jié)合F檢驗就可以判斷模型的顯著性。具體計算公式如式（1～6）所示。其中，dfT是SST的自由度，dfM是SSM的 自 由 度，dfL是SSL的 自 由 度，下標i代表樣本序號。F檢驗具體流程為：計算F=(SSM/dfM)/(SSL/dfL)， 然后將其帶入F(dfL，dfM)計算對應的概率PF。一般PF≤0.05是顯著性可接受的標準。

1.2 自變量顯著性檢驗方法

模型顯著不能表明自變量的顯著性。因此，需要進行偏回歸系數(shù)分析以確定不同自變量的影響大小[16]，一般P≤0.05是顯著性可接受的標準。具體方法如下：

1）計算信息矩陣A的逆矩陣C，其中，A=XTX，C=A-1；

2）計算第j個變量的偏回歸平方和Uj，Uj=βj/cjj，cjj為C矩陣主對角線上的第j個元素；

3）計算第j個變量的F值以及對應的概率Pj，F(xiàn)j=Uj/SSL，帶入F(1，dfM)中計算Pj。

2 試驗設計結(jié)果評估方法

試驗設計的目的是獲得試驗對象的特性規(guī)律，但不同的試驗點集合會得到不同的數(shù)學模型。因此，數(shù)學模型能否有效反映試驗對象的特性規(guī)律是試驗設計關注的重點。

3 限制條件下的試驗設計方法

對于飛行試驗而言，由于試驗對象、試驗平臺存在使用限制，中心復合設計等試驗設計方法得到的試驗點不能很好地覆蓋全包線；由于實際飛行中飛行條件存在波動，飛行員一般需要試驗點的速度、高度取整，以便快速衡量試驗點執(zhí)行時的偏差。因此，飛行包線的不規(guī)則與試驗點因變量取整是飛行試驗設計的限制條件。

本文通過在飛行試驗限制條件建立試驗點庫，組合不同試驗點生成試驗點組合集，然后以D-最優(yōu)準則為評估方法，進行試驗點優(yōu)化設計，得到最有試驗點組合集。

3.1 飛行試驗點庫建立方法

飛行試驗中存在諸多限制，需要根據(jù)飛行試驗限制條件建立飛行試驗點庫。具體流程為：1）確定飛行試驗的試驗因子，然后將試驗因子的限制條件轉(zhuǎn)換為試驗點庫的邊界；2）選取合適的步長建立試驗點庫。

3.2 試驗點組合集編碼

本文的離散優(yōu)化算法是在遺傳算法的基礎上改進的，替換了遺傳算法中變量的編碼過程，通過組合不同區(qū)域離散點序號得到試驗點組合集編碼，具體過程如圖1所示：1）建立試驗點庫；2）劃分試驗點區(qū)域，并對區(qū)域內(nèi)的試驗點進行排序；3）依次在不同試驗點區(qū)域中選取1個試驗點，按照試驗點區(qū)域順序進行排列組合，完成編碼過程。

圖1 試驗點組合編碼過程Fig. 1 Encoding process of the test point combination

3.3 離散優(yōu)化算子

生成新樣本的優(yōu)化算子分為選擇、交叉、變異三個步驟[17]，具體過程如圖2所示：1）選擇過程：根據(jù)樣本適應度選擇父代，個體適應度越大，被選中的概率越大；母代為隨機選擇；2）交叉過程：根據(jù)父代/母代中的最大適應度判斷是否進行交叉，適應度越大，交叉的概率越大；若滿足交叉條件，則組合父代和母代的部分編碼片段，得到新樣本；3）變異過程：根據(jù)新樣本的適應度判斷是否進行變異。新樣本適應度越大，變異概率越小。

圖2 離散優(yōu)化算子Fig. 2 Discrete optimization operator

3.4 試驗優(yōu)化設計

在試驗點數(shù)量不變的條件下，離散優(yōu)化能夠得到該試驗點數(shù)量下最優(yōu)試驗點組合集，但由于試驗點數(shù)量的限制，該最優(yōu)試驗點組合集不一定滿足最終的優(yōu)化目標。因此，需要增加試驗點的數(shù)量，然后在新試驗點數(shù)量下重新進行離散優(yōu)化，直到最優(yōu)試驗點分布滿足優(yōu)化目標，具體過程如圖3所示：1）根據(jù)試驗點數(shù)量n劃分試驗點區(qū)域；2）根據(jù)劃分的試驗點區(qū)域生成編碼長度為n的初始樣本；3）通過離散優(yōu)化計算最優(yōu)試驗點組合；4）若該試驗點分布達到優(yōu)化目標，則優(yōu)化完成；否則增加試驗點數(shù)量，返回步驟1）重新計算。

圖3 試驗點優(yōu)化設計流程Fig. 3 Flow chat of the test design optimization process

4 算例應用

4.1 顯著性檢驗案例應用

本文以某型發(fā)動機推力模型進行顯著性檢驗案例應用。首先分析影響發(fā)動機推力的試驗因子，然后再對發(fā)動機推力數(shù)據(jù)進行顯著性檢驗，最終得到發(fā)動機推力模型。

航空發(fā)動機飛行試驗中的試驗因子分為外界因子與內(nèi)部因子，外界因子包括飛行高度、飛行馬赫數(shù)、大氣溫度、飛機過載、迎角、側(cè)滑角等，內(nèi)部因子包括發(fā)動機的供油量、尾噴口面積、高/低壓壓氣機轉(zhuǎn)速等。由于航空發(fā)動機飛行試驗一般更為關注飛機平飛狀態(tài)下的性能特性，飛機過載、迎角、側(cè)滑角等機動狀態(tài)參數(shù)可暫不考慮。因此，外界因子可只考慮飛行高度、飛行馬赫數(shù)、大氣溫度。

航空發(fā)動機狀態(tài)與低壓壓氣機轉(zhuǎn)速N1、高壓壓氣機轉(zhuǎn)速N2、高壓壓氣機出口總壓低壓渦輪出口總溫等多個參數(shù)有關，由于航空發(fā)動機自身存在特定的控制規(guī)律。因此，在外界環(huán)境一定的情況下，上述參數(shù)中的某一個參數(shù)確定，發(fā)動機狀態(tài)也隨之確定。

因此，對于某型發(fā)動機推力性能飛行試驗而言，可以選定4個參數(shù)作為試驗因子，分別是飛行高度H、飛行馬赫數(shù)Ma、大氣溫度T、燃油流量W或高壓壓氣機轉(zhuǎn)速N2。一般選取發(fā)動機的典型狀態(tài)進行試驗，即固定發(fā)動機的N2，通過不同飛行條件下的發(fā)動機推力數(shù)據(jù)建立發(fā)動機推力性能規(guī)律模型。

假設發(fā)動機推力模型可以表現(xiàn)為如式（7）所示的3階多項式，根據(jù)某型發(fā)動機額定狀態(tài)的推力數(shù)據(jù)進行發(fā)動機推力模型顯著性檢驗。該發(fā)動機與試驗設計所針對的發(fā)動機為同一型號系列發(fā)動機，構(gòu)建得到的推力模型在這一型號系列中具有通用性；顯著性檢驗所需數(shù)據(jù)要較為全面，以保證顯著性檢驗的有效性。根據(jù)顯著性檢驗結(jié)果依次剔除最不符合要求的變量，直到所有變量的顯著性均滿足Pi≤0.05的要求。最終得到的發(fā)動機推力模型變量如表1所示。

表1 發(fā)動機推力模型顯著性檢驗Table 1 Significance test of the engine thrust model

4.2 試驗點優(yōu)化設計案例應用

本文以某型發(fā)動機推力性能試驗為對象，進行試驗點優(yōu)化設計。根據(jù)4.1節(jié)中的某型發(fā)動機推力模型，再結(jié)合各類試驗因子中的限制條件，就可以完成試驗點優(yōu)化設計。

一般選取發(fā)動機的典型狀態(tài)進行試驗，即固定發(fā)動機的N2，然后在不同飛行條件下進行發(fā)動機推力性能試驗。因此，試驗點設計需要考慮的試驗因子為飛行高度H、飛行馬赫數(shù)Ma、大氣溫度T。對某機場四季大氣溫度進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如圖4所示，最終得到的某機場四季大氣溫度規(guī)律如圖5所示。某機場大氣溫度限制可根據(jù)圖5所示的規(guī)律得到；飛行高度H、飛行馬赫數(shù)Ma根據(jù)飛行平臺的包線進行約束。以上述限制條件作為約束建立試驗點庫，最終得到的試驗點分布如圖6所示。試驗點庫一共包含826個試驗點。

圖4 某機場四季大氣溫度分布統(tǒng)計結(jié)果Fig. 4 Ambient temperature statistics of an airport

圖5 某機場四季大氣溫度分布統(tǒng)計規(guī)律Fig. 5 Statistical law of the ambient temperature of an airport

圖6 試驗點庫Fig. 6 Test point dataset

發(fā)動機推力模型包含12個模型參數(shù)，至少需要12個試驗點才能計算得到發(fā)動機推力模型。因此，試驗點初始數(shù)量值為12；優(yōu)化目標為lg(|M|/|M0|)＞4，即最優(yōu)試驗點組合集的信息矩陣行列式比初始試驗點組合集提高4個數(shù)量級。給定試驗點數(shù)量后，通過第3.4節(jié)中的試驗優(yōu)化計算方法進行計算。其中，離散優(yōu)化次數(shù)上限值給定為500，優(yōu)化樣本總數(shù)為500。優(yōu)化過程采用自適應遺傳算法[18]進行計算，以提高算法的尋優(yōu)能力與收斂速度。

若當前試驗點數(shù)量下得到的最優(yōu)試驗點組合集不能滿足優(yōu)化目標，則增加1個試驗點，然后再次進行優(yōu)化計算。優(yōu)化計算過程中需要注意的是：重新劃分試驗點區(qū)域時，需要保證不同試驗點區(qū)域所包含的試驗點數(shù)量基本一致，否則會引入誤差。不同試驗點數(shù)量的優(yōu)化計算過程如圖7所示，每次計算過程均收斂至當前試驗點數(shù)量下的最優(yōu)解。

圖7 不同試驗點數(shù)量下的優(yōu)化計算過程Fig. 7 Calculation process for the optimization with different numbers of test points

當試驗點數(shù)量增加11個試驗點后，所得到的最優(yōu)試驗點組合集滿足優(yōu)化目標要求；最優(yōu)試驗點組合集優(yōu)化過程如圖8所示。得到的最優(yōu)試驗點組合集包含23個試驗點，具體分布情況分別如圖9、圖10所示，所得試驗點均在飛行包線與大氣溫度范圍內(nèi)。

圖8 試驗點組合集優(yōu)化設計過程Fig. 8 Optimal design process for the test point combination

圖9 試驗點組合集優(yōu)化結(jié)果（馬赫-高度面）Fig. 9 Optimal result of the test point combination (Mach-altitude plane)

圖10 試驗點組合集優(yōu)化結(jié)果（溫度-高度面）Fig. 10 Optimal result of the test point combination(temperature-altitude plane)

采用某型發(fā)動機額定狀態(tài)的推力性能計算程序計算得到試驗點數(shù)據(jù)，該推力性能計算程序已通過某型飛行臺數(shù)據(jù)進行校正，計算得到的數(shù)據(jù)具有可信度。根據(jù)試驗點數(shù)據(jù)得到某型發(fā)動機額定狀態(tài)的推力模型，并對推力模型誤差進行統(tǒng)計，模型誤差計算方法為：（試驗點數(shù)據(jù)-模型數(shù)據(jù)）/試驗點數(shù)據(jù)×100%，誤差統(tǒng)計如圖11所示，大部分模型數(shù)據(jù)誤差絕對值小于0.5%，僅個別模型數(shù)據(jù)誤差達到0.8%。

圖11 模型誤差統(tǒng)計Fig. 11 Statistical errors of the model

一般試驗設計會設置驗證點檢驗所得模型的精度[10-11]，本文設置6個驗證點進行模型誤差檢驗。6個驗證點與試驗設計結(jié)果中的試驗點不重復，二者為相互獨立關系；驗證點分布于試驗設計空間的不同邊界處，具體分布如圖12、圖13所示。驗證點誤差如表2所示。通過最終試驗點最優(yōu)組合集得到的推力模型，其驗證點誤差絕對值均小于0.5%。因此，采用試驗點優(yōu)化設計方法得到的推力模型精度是遠遠滿足工程與科研需求的。

圖12 驗證點分布圖（馬赫-高度面）Fig. 12 Verification point distribution (Mach-altitude plane)

圖13 驗證點分布圖（速度-溫度面）Fig. 13 Verification point distribution(temperature-altitude plane)

表2 發(fā)動機推力模型驗證點誤差Table 2 Engine thrust model errors at verification points

為了對比本文提及的試驗點優(yōu)化方法的有效性，將初始試驗點最優(yōu)組合集與最終試驗點最優(yōu)組合集所得到的模型誤差進行對比，對比結(jié)果如表2所示。在6個驗證點中，初始試驗點最優(yōu)組合集由于試驗點數(shù)量的限制，所得的推力模型最大誤差絕對值達到2.45%，而最終試驗點最優(yōu)組合集得到的推力模型最大誤差絕對值為0.45%。這表明了本文所用的試驗點優(yōu)化方法的有效性，同時也說明了試驗點優(yōu)化設計不僅與試驗點的分布有關，也與試驗點的數(shù)量有關。

5 結(jié) 論

本文基于離散優(yōu)化進行了飛行試驗點優(yōu)化設計，采用D-最優(yōu)準則評估試驗點組合集的優(yōu)劣，采用自適應遺傳算法算法進行試驗點離散優(yōu)化，并以試驗點組合的方式取代遺傳算法中的二進制編碼過程，離散優(yōu)化得到的試驗點是當前試驗點數(shù)量下的最優(yōu)組合集。

以航空發(fā)動機飛行試驗為例，最終試驗點最優(yōu)組合集得到的推力模型最大誤差不超過0.81%，滿足工程使用需求，表明本文采用的試驗點優(yōu)化設計方法能夠有效地得到試驗點最優(yōu)組合集，并且試驗點高度、馬赫數(shù)為規(guī)則的整數(shù)或小數(shù)，有利于飛行員執(zhí)行相應的飛行動作。

通過研究發(fā)現(xiàn)，試驗點的數(shù)量及分布均會影響試驗點設計結(jié)果。試驗點數(shù)量一定時，試驗優(yōu)化設計可以得到當前條件下的最優(yōu)分布，若當前條件下的最優(yōu)分布不能滿足試驗設計要求，可以進一步增加試驗點數(shù)量并重新進行優(yōu)化設計。本文算例中的試驗點數(shù)量由12增加到23時，推力模型的最大誤差由2.45%下降到0.81%。

同時，試驗點優(yōu)化設計需要根據(jù)試驗點的數(shù)量將試驗點庫劃分為不同區(qū)域。當試驗點試驗點數(shù)量增加時，需保證新劃分的不同試驗點區(qū)域所包含的試驗數(shù)量基本一致，否則會降低試驗優(yōu)化設計的效果。