龍 堯， 張同文， 張家生， 肖源杰

(1.湖南高速鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鐵道工程學(xué)院，湖南 衡陽 421002;2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410075)

紅砂巖粗粒土一般形成于白堊紀(jì)或者第三紀(jì)，廣泛分布于我國華北、華東、中南以及西南地區(qū)。隨著我國高速鐵路建設(shè)的飛速發(fā)展，線路不可避免會(huì)通過紅砂巖地區(qū)。為了避免大量棄土造成環(huán)境污染和解決路堤填料缺乏問題，紅砂巖不可避免的被用作為鐵路路基的填料。紅砂巖在列車荷載作用下會(huì)產(chǎn)生動(dòng)力變形和顆粒破碎，對列車穩(wěn)定運(yùn)營產(chǎn)生影響。因此，針對紅砂巖粗粒土的動(dòng)力學(xué)特性和顆粒破碎模型的研究，顯得十分具有必須性。

針對紅砂巖動(dòng)力學(xué)特性的研究，目前研究方式主要從溫度環(huán)境、干濕循環(huán)、加載路徑、能量耗散等幾個(gè)方面進(jìn)行。楊陽等[1]采用分離式霍普金森壓桿(split hopkinson pressure bar，SHPB)試驗(yàn)進(jìn)行紅砂巖負(fù)溫試驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)其動(dòng)態(tài)強(qiáng)度與凍巖的靜載試驗(yàn)完全不同。紅砂巖的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度隨溫度降低呈先增后減的變化趨勢。杜彬等[2]利用SHPB試驗(yàn)對干濕循環(huán)下的紅砂巖動(dòng)態(tài)拉伸力學(xué)性能進(jìn)行了探討。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)不同加載速率下紅砂巖存在一個(gè)臨界加載速率。當(dāng)加載速率小于臨界值時(shí)，動(dòng)態(tài)拉伸強(qiáng)度隨加載速率的增加而提高；當(dāng)超過臨界值時(shí)，動(dòng)態(tài)拉伸強(qiáng)度保持穩(wěn)定。當(dāng)加載速率一定時(shí)，動(dòng)態(tài)拉伸強(qiáng)度隨干濕循環(huán)次數(shù)的增加而逐漸下降，下降速度先快后慢。張慧梅等[3-4]對紅砂巖進(jìn)行沖擊壓縮試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，動(dòng)態(tài)加載下紅砂巖原有結(jié)構(gòu)中的孔隙很難密實(shí)，動(dòng)態(tài)曲線沒有顯著的密實(shí)段，且飽和試樣在峰后段出現(xiàn)特殊的軟化特性。低速率擾動(dòng)沖擊試樣破碎程度較未擾動(dòng)和高速率擾動(dòng)更為嚴(yán)重，耗散能和能量耗散密度高于較高速率擾動(dòng)沖擊，低速率擾動(dòng)沖擊下試樣的能量利用率更高。金解放等[5]采用動(dòng)靜組合加載試驗(yàn)裝置對紅砂巖破碎和能耗進(jìn)行了研究。研究發(fā)現(xiàn)，沖擊荷載下無軸壓時(shí)的紅砂巖試件屬于張拉破壞，有軸壓時(shí)的紅砂巖試件屬于剪切破壞。試件耗散能隨沖擊速度的提升呈二次函數(shù)關(guān)系遞增，而軸向靜應(yīng)力越高，遞增幅度越小。周科平等[6]基于核磁共振技術(shù)研究了紅砂巖孔隙結(jié)構(gòu)演化特性。微波作用過程中，紅砂巖體內(nèi)部產(chǎn)生熱應(yīng)力差，內(nèi)部孔隙度增大、超聲波波速減小、單軸抗壓強(qiáng)度減小。隨著微波功率增大，巖體孔隙結(jié)構(gòu)及強(qiáng)度劣化程度加大。盧振宇等[7]針對紅砂巖和石灰?guī)r在不同應(yīng)變率下的壓縮特性，開展了動(dòng)態(tài)壓縮對比試驗(yàn)。研究發(fā)現(xiàn)，在沖擊荷載作用下紅砂巖破碎為粉末，而石灰?guī)r破碎呈多碎塊。紅砂巖試件在沖擊速度足夠大時(shí)，應(yīng)力值會(huì)直接達(dá)到破碎閾值而破碎，并非隨能量累積產(chǎn)生累進(jìn)式破壞。

動(dòng)力荷載下紅砂巖粗粒土?xí)a(chǎn)生破碎，導(dǎo)致原始級(jí)配發(fā)生改變，進(jìn)而影響土體本身的物理、力學(xué)性質(zhì)。許多學(xué)者針對常見粗粒土建立了考慮顆粒破碎的演化模型。郭萬里等[8]基于土體兩參數(shù)級(jí)配方程，將級(jí)配曲線定量表示為兩參數(shù)的函數(shù)，建立了反映粗粒土在剪切過程中顆粒破碎演化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。蔡改貧等[9]針對巖石內(nèi)部顆粒非均勻性分布、聚集的特點(diǎn)，采用巖石軸壓破碎試驗(yàn)和巖石巖相分析試驗(yàn)，基于黏結(jié)鍵斷裂判據(jù)，構(gòu)建了反映巖石內(nèi)部特征的多尺度內(nèi)聚顆粒模型及其顆粒破碎演化模型。丁建源等[10]引入存活概率與破碎概率比值，采用對數(shù)幾率回歸方法，構(gòu)建了基于對數(shù)幾率回歸的顆粒級(jí)配曲線演化模型。該模型能較好的對顆粒級(jí)配的演化中間過程進(jìn)行預(yù)測。童晨曦等[11]基于兩參數(shù)Weibull分布函數(shù)，提出了有效破碎概率概念，構(gòu)建的Markov破碎模型能較好地描述多粒徑組顆粒破碎演化規(guī)律。Das等[12]基于超塑性方法研究了道砟粗顆粒材料的顆粒破碎演化規(guī)律。Chen等[13]分析了殘積土剪脹變形隨顆粒破碎時(shí)間效應(yīng)變化的規(guī)律。張宗堂等[14]開展了紅砂巖室內(nèi)靜態(tài)與擾動(dòng)崩解試驗(yàn)，基于Weibull分布建立了紅砂巖顆粒崩解破碎級(jí)配曲線演化模型。董宗磊等[15]針對傳統(tǒng)數(shù)值方法中子顆粒數(shù)量和粒徑分布選擇較為主觀的不足，基于Hill分布函數(shù)構(gòu)建了反映不同粒徑組顆粒破碎演化規(guī)律的級(jí)配轉(zhuǎn)移矩陣。

從上述研究成果可知，針對紅砂巖粗粒土在循環(huán)動(dòng)力荷載下的動(dòng)力特性研究較少，尤其是紅砂巖在反復(fù)動(dòng)荷載作用下的顆粒破碎演化規(guī)律更少有研究。因此，本文采用大型三軸試驗(yàn)針對紅砂巖粗粒土的動(dòng)力特性以及破碎規(guī)律展開研究，在研究粒徑大小、加載次數(shù)對粗粒土動(dòng)力響應(yīng)和顆粒破碎影響的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了動(dòng)力破碎概率密度函數(shù)f，并基于Markov鏈建立了顆粒破碎模型，期望能為紅砂巖地區(qū)的鐵路路基填料設(shè)計(jì)、施工以及運(yùn)營監(jiān)測提供理論依據(jù)。

1 試驗(yàn)材料、設(shè)備及方案

根據(jù)TB 10001—2016 《鐵路路基設(shè)計(jì)規(guī)范》[16]，實(shí)際工程中路基顆粒材料填料宜選用A、B組填料和C組碎石、礫石類填料，且路基基床以下部位填料最大粒徑不宜大于300 mm。填料大多是由大小不同粒徑顆粒組成，相比單一粒徑顆粒，多粒徑組顆粒自身性質(zhì)過于復(fù)雜，比如顆粒大小，顆粒形狀，風(fēng)化程度等，很難分別研究每個(gè)粒徑組顆粒的破碎規(guī)律。從單一粒徑開展試驗(yàn)研究，有助于簡化研究難度，為開展多粒徑組破碎規(guī)律研究提供重要參考。制成單一粒徑的紅砂巖顆粒為不良級(jí)配，根據(jù)規(guī)范分類應(yīng)為B級(jí)填料。

1.1 試驗(yàn)儀器

本文針對粗粒土進(jìn)行動(dòng)力顆粒破碎研究，考慮顆粒尺寸效應(yīng)的影響，需要采用大直徑試件筒的動(dòng)三軸儀。為了避免顆粒尺寸效應(yīng)的影響，獲取真實(shí)可靠的數(shù)據(jù)，文中采用中南大學(xué)高速鐵路建造技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室TAJ-2000大型動(dòng)靜三軸試驗(yàn)儀[17]進(jìn)行紅砂巖粗粒土的動(dòng)強(qiáng)度特性研究，該三軸試驗(yàn)儀容許進(jìn)行試驗(yàn)的最大粒徑為60 mm，如圖1所示。

圖1 大型動(dòng)靜三軸試驗(yàn)儀

1.2 試驗(yàn)材料及方法

本文紅砂巖粗粒土材料采自湖南長沙地區(qū)。采用室內(nèi)動(dòng)靜三軸儀進(jìn)行研究時(shí)，考慮消除尺寸效應(yīng)的影響，一般試樣直徑大于材料最大粒徑的5倍～6倍[18]，本研究取倍數(shù)6，試件直徑為300 mm，控制粒徑大小為50 mm。綜上考慮，為了研究粒徑大小對顆粒破碎的影響規(guī)律，本文取3種單一粒徑粗粒土，分別為D=31.5～45.0 mm,D=16～25 mm以及D=7.1～16.0 mm。對所采用紅砂巖進(jìn)行了比重瓶法和搓條法等，得到了土粒比重和液、塑限等物理參數(shù)，紅砂巖相關(guān)物理力學(xué)參數(shù)具體數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 紅砂巖物理力學(xué)參數(shù)

本文主要為了探討紅砂巖粗粒土動(dòng)力條件下的破碎規(guī)律，要求在制樣時(shí)不產(chǎn)生或者極少產(chǎn)生破碎，從而避免影響試驗(yàn)結(jié)果。根據(jù)TB 10001—2016 《鐵路路基設(shè)計(jì)規(guī)范》，碎石類土路堤填料壓實(shí)標(biāo)準(zhǔn)可采用孔隙率控制，其中規(guī)范要求孔隙率n(%)≤32，因此文中采用控制孔隙率的方法進(jìn)行制樣。紅砂巖粗粒土采用天然狀態(tài)含水量率進(jìn)行制樣，進(jìn)行不排水三軸試驗(yàn)。試樣時(shí)固結(jié)比為1.0，固結(jié)2 h，設(shè)計(jì)孔隙率為30%。

圖2 振動(dòng)成型過程

對于動(dòng)力穩(wěn)定狀態(tài)，文獻(xiàn)[19]認(rèn)為穩(wěn)定的標(biāo)準(zhǔn)為：若振動(dòng)次數(shù)超過30 000次，塑性變形與振動(dòng)次數(shù)的關(guān)系曲線趨于平緩，塑性變形的增量在作用2 000次內(nèi)小于1 mm(軸向塑性應(yīng)變?chǔ)興<0.17%)。綜合考慮，為了研究紅砂巖粗粒土的動(dòng)力特性以及方便數(shù)據(jù)分析，本文的荷載作用次數(shù)分別取5 000次、10 000次、20 000次、30 000次、40 000次以及50 000次。

根據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)研究成果，路基基床底層和路基本體填料動(dòng)荷載作用主頻在2～8 Hz[20]，其中高速列車荷載的作用頻率在2.5 Hz左右[21]。為方便研究動(dòng)力特性以及后續(xù)的顆粒破碎規(guī)律，本文列車荷載取頻率3 Hz。根據(jù)文獻(xiàn)[22]對路基動(dòng)應(yīng)力分布情況的研究，路基基床部分的動(dòng)偏應(yīng)力為40～100 kPa，本文取100 kPa；粗粒土路基填料處于基床頂層以下，即約1 m深度以下。研究的路基深度范圍為3～5 m，對應(yīng)圍壓為60～100 kPa。文中取路基深度4 m為代表值,對應(yīng)圍壓80 kPa。考慮軌道板和基床上部的質(zhì)量，擬定動(dòng)三軸試驗(yàn)靜偏應(yīng)力為20 kPa。

綜上所述，動(dòng)三軸試驗(yàn)參數(shù)為：圍壓σ3為80 kPa，動(dòng)幅值σd為100 kPa，荷載頻率v為3 Hz，初始靜偏應(yīng)力σs為20 kPa，動(dòng)力試驗(yàn)方案如表2所示。半正弦波能較好的模擬列車荷載的作用波形[23]，因此文中動(dòng)三軸試驗(yàn)采用半正弦波形式進(jìn)行加載,如圖3所示。

表2 動(dòng)力試驗(yàn)方案

圖3 動(dòng)力方式加載示意圖

2 試驗(yàn)結(jié)果及分析

2.1 粒徑大小對動(dòng)力變形的影響

紅砂巖動(dòng)力變形與顆粒破碎的程度有很大關(guān)系，為了表征顆粒破碎程度，本文采用Marsal[24]提出的Br值表征顆粒破碎率。采用試驗(yàn)前、后各粒組的含量差值W，然后取W的正值之和，如式(1)

Br=∑ΔWk

(1)

式中:Br為破碎率，%；ΔWk=Wki-Wkf，Wki為試驗(yàn)前粗粒土級(jí)配曲線上某粒徑組的含量，%，Wkf為試驗(yàn)后粗粒土級(jí)配曲線上某粒徑組的含量，%。

為了研究粒徑大小與軸向應(yīng)變、顆粒破碎之間的關(guān)系，采用動(dòng)三軸試驗(yàn)得到三者之間的關(guān)系曲線，如圖4和圖5所示。從圖4可知，整體上顆粒粒徑越小，相同加載次數(shù)下軸向應(yīng)變越小。當(dāng)加載次數(shù)為50 000次時(shí)，31.5～45.0 mm粒徑組的軸向變形值為8.7%，而粒徑組7.1～16.0 mm軸向變形值僅為7.2%，31.5～45.0 mm顆粒在50 000次的軸向應(yīng)變?yōu)?.1～16.0 mm的1.3倍左右。同時(shí)，圖5可以得出，隨著顆粒粒徑的減小，顆粒破碎率隨之減小。31.5～45.0 mm粒徑顆粒在加載次數(shù)為40 000次時(shí)，顆粒破碎率開始趨于穩(wěn)定，50 000次加載對應(yīng)的破碎率為36.2%；另外，16～25 mm和7.1～16.0 mm粒徑顆粒在加載次數(shù)為20 000次時(shí),顆粒破碎率逐漸趨于穩(wěn)定，50 000次加載對應(yīng)的顆粒破碎率分別為25.8%和23.2%。說明小粒徑顆粒土體顆粒破碎相較大粒徑顆粒土體易于趨于穩(wěn)定。

圖4 粒徑大小與軸向應(yīng)變的關(guān)系

圖5 粒徑大小與顆粒破碎率Br的關(guān)系

此外，結(jié)合圖4和圖5可以得到顆粒破碎情況下動(dòng)力變形主要原因?yàn)椋捍诸w粒土的接觸方式主要為點(diǎn)-點(diǎn)接觸，土顆粒所承受的平均應(yīng)力與接觸點(diǎn)的數(shù)量有關(guān)，單位體積的土顆粒粒徑越小，其比表面積越大。因此大粒徑土顆粒相較小粒徑土顆粒，其比表面積較小，接觸點(diǎn)數(shù)也相對較小，使得大粒徑土顆粒承受的平均應(yīng)力較大，從而更容易破碎。

2.2 應(yīng)變軟化分析

動(dòng)三軸試驗(yàn)過程中，發(fā)現(xiàn)顆粒在不斷破碎的同時(shí)，土體也在發(fā)生應(yīng)變軟化。本文的材料處于干燥狀態(tài)，應(yīng)變軟化主要循環(huán)荷載作用下的主應(yīng)力方向不斷改變導(dǎo)致土體結(jié)構(gòu)重塑，引起應(yīng)變軟化。參考Idriss等[25]對動(dòng)力軟化指數(shù)的定義，本文動(dòng)三軸試驗(yàn)采用應(yīng)力控制模式，故新定義動(dòng)三軸試驗(yàn)條件下的軟化系數(shù)，如式(2)

(2)

式中:Gs1和Gsn分別為第1次和第N次的割線動(dòng)應(yīng)變率；εdn和εd1為作用次數(shù)Nn和N1對應(yīng)的累積動(dòng)應(yīng)變。加載次數(shù)與軟化系數(shù)的關(guān)系,如圖6所示。軟化系數(shù)為累積軸向應(yīng)變曲線上作用N次的割線斜率與作用第1次的割線斜率的比值。軟化系數(shù)越小說明土體初始軸向應(yīng)變越大，顆粒破碎程度越大，曲線初始割線斜率相對較大，而加載后期軸向應(yīng)變相對較小，顆粒破碎程度越小，曲線割線斜率較小。

圖6 加載次數(shù)與軟化系數(shù)δ的關(guān)系

從圖6可知，在加載初期軟化系數(shù)衰減較快，當(dāng)加載達(dá)到20 000次后，軟化曲線逐漸趨于平緩。說明，20 000次之后大部分的顆粒破碎已經(jīng)完成，土體結(jié)構(gòu)重新分布基本完成。此外，隨著加載次數(shù)的增加，粗粒土土體的軟化程度越高，兩者成半對數(shù)曲線形式，這與Matasovic等[26]研究的黏土軟化指數(shù)隨加載次數(shù)增加而線性減小結(jié)果不同。這是因?yàn)榇至Ｍ猎陬w粒破碎過程中，級(jí)配產(chǎn)生自適應(yīng)調(diào)整，試樣結(jié)構(gòu)強(qiáng)度不斷趨于穩(wěn)定，軟化系數(shù)并不會(huì)呈線性持續(xù)衰減，而是呈半對數(shù)曲線并趨于一個(gè)極限值。

此外，當(dāng)加載次數(shù)一定時(shí)，隨著粒徑的增大，軟化系數(shù)越小，說明大粒徑顆粒相對小粒徑顆粒初期破碎更快，初始軸向應(yīng)變較大。而隨著加載次數(shù)的增大，不同粒徑的軟化系數(shù)之間的差值減小，軟化系數(shù)趨于穩(wěn)定值，說明加載后期不同粒徑大小的顆粒都基本破碎完成，累積應(yīng)變曲線趨于緩和。

2.3 土體級(jí)配和破碎率變化分析

2.3.1 級(jí)配變化分析

動(dòng)力作用下紅砂巖粗粒土不斷破碎，土體級(jí)配發(fā)生變化。對不同荷載次數(shù)下的土體進(jìn)行篩分，得到加載次數(shù)與各檔粒徑質(zhì)量百分?jǐn)?shù)的關(guān)系，如圖7所示。從圖7可知，動(dòng)力荷載作用下，隨著加載次數(shù)的增加，最大粒徑檔的質(zhì)量百分含量減??；其余粒徑檔的細(xì)顆粒質(zhì)量百分?jǐn)?shù)隨著加載次數(shù)的增加而增加，但是當(dāng)增加到一定程度時(shí)，顆粒含量保持穩(wěn)定，不再大幅增長，存在一個(gè)極限含量。動(dòng)力荷載作用下，大粒徑的破碎量主要分配到下一級(jí)粒徑當(dāng)中，其余較小粒徑的分配比例較少。說明在動(dòng)力作用下，顆粒破碎初始狀態(tài)在不斷演變，初始粒徑在動(dòng)力下產(chǎn)生細(xì)小顆粒以及大部分本體，這部分細(xì)小顆粒來源于顆粒邊角的斷裂以及顆粒表面的研磨。隨著加載次數(shù)不斷增加，大粒徑顆粒除了不斷磨耗和邊角斷裂，其本身內(nèi)部先天缺陷——裂縫不斷發(fā)生，使其主要斷裂成下一級(jí)的粒徑檔。

(a) 粒徑31.5～45.0 mm

2.3.2 顆粒破碎率變化分析

不同粒徑顆粒破碎率Br變化情況,如圖8所示。從圖8可知：粒徑越大對應(yīng)的破碎率越大，隨著荷載作用次數(shù)的增加，31.5～45.0 mm的破碎率與其他兩組粒徑破碎率值差值變大。7.1～16.0 mm和16～25 mm粒徑達(dá)到20 000次的時(shí)候，曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)，顆粒破碎率基本完成70%；而31.5～45.0 mm的粒徑達(dá)到30 000次之前，曲線基本為直線，30 000次時(shí)才出現(xiàn)拐點(diǎn)，說明在其他同等試驗(yàn)條件下，大粒徑破碎狀態(tài)達(dá)到穩(wěn)定相比小粒徑需要更大的加載次數(shù)和作用功，大粒徑破碎后級(jí)配達(dá)到穩(wěn)定需要更長時(shí)間。

圖8 不同粒徑顆粒破碎率Br變化情況

7.1～16.0 mm和16～25 mm粒徑的作用次數(shù)達(dá)到20 000次之前，顆粒破碎增長率較大；當(dāng)作用次數(shù)超過20 000次后，顆粒破碎率趨于穩(wěn)定，破碎率增長率減小，31.4～45.0 mm 的顆粒破碎率穩(wěn)定在35%，16～25 mm和7.1～16.0 mm的破碎率穩(wěn)定在24%。說明動(dòng)力作用下，紅砂巖粗粒土不是永無止境的破碎，在級(jí)配演化過程中存在一個(gè)極限級(jí)配。

3 顆粒破碎演化模型

3.1 動(dòng)力破碎函數(shù)構(gòu)建

由文中動(dòng)力破碎試驗(yàn)可知，顆粒破碎是一個(gè)由大粒徑顆粒破碎為小粒徑顆粒的不可逆過程，對于任意由單一粒徑組Di(粒徑范圍為Di～Di-1)組成的材料，其將破碎到較小粒徑組Dj(1≤j≤i-1)。定義小于Dj的顆粒累積質(zhì)量占總破碎質(zhì)量的百分?jǐn)?shù)為F，即破碎百分率。同時(shí)，令粒徑比xij=Dj/Di-1，則在xij與F的關(guān)系中，0

對動(dòng)力破碎級(jí)配的變化進(jìn)行分析，這里根據(jù)動(dòng)力試驗(yàn)圖7的數(shù)據(jù)，得到粒徑比xij與破碎百分率F在坐標(biāo)系中的關(guān)系，如圖9所示。

(a) 粒徑31.5～45.0 mm

從圖9可知，粒徑比xij與破碎百分率F可以用指數(shù)分布函數(shù)進(jìn)行描述，如式(3)

F=a·eb·xij

(3)

式中:a與b為指數(shù)分布函數(shù)的參數(shù);F為破碎百分率，%；xij為粒徑比。對式(3)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到指數(shù)分布函數(shù)的概率密度函數(shù)f，如式(4)

f=F′=a·b·eb·xij

(4)

f的物理意義為該檔粒徑組破碎至較小粒徑組的概率密度，粒徑比xij的范圍即為積分區(qū)間。從式(4)中可以看出，概率密度函數(shù)f根據(jù)a,b的不同而發(fā)生變化，a,b值對f曲線的影響如圖10所示。

(a) 參數(shù)b為1時(shí)

從圖10可知，a值和b值共同決定了概率密度函數(shù)f的峰值大小和曲線彎曲程度，但是當(dāng)b值在小范圍內(nèi)變化時(shí)，曲線形態(tài)變化較大，因此b值的影響明顯較a值要大。說明b值對顆粒破碎總量和各檔粒徑破碎分配比例的變化比較敏感，a值的敏感性相對較弱。

對式(3)兩端取對數(shù)，得到式(5)

ln(F)=lna+ln(eb·xij)

(5)

即轉(zhuǎn)化為式(6)

ln(F)=lna+b·xij

(6)

其中，令Y=ln(F)，X=xij，c=lna，可得式(7)

Y=c+bX

(7)

由動(dòng)力試驗(yàn)數(shù)據(jù)能夠得到式(7)中的Y和X值，反演得到式(3)中的a和b值，最終確定描述動(dòng)力破碎狀態(tài)的指數(shù)函數(shù)式。

3.2 多粒徑組破碎模型

根據(jù)童晨曦等的研究，多粒徑組破碎與單一粒徑組不同，多粒徑組顆粒破碎最顯著的特點(diǎn)就是各粒徑檔的破碎概率很難確定，基本不可能得到各粒徑的補(bǔ)償量和破碎量。而實(shí)際情況中，很多時(shí)候只需弄清楚巖土材料總體破碎情況即可。多粒徑組由有限個(gè)單一粒徑組構(gòu)成，單一粒徑顆粒破碎形式符合指數(shù)分布函數(shù)的特點(diǎn)，因此多粒徑組顆粒破碎可以看成是有限個(gè)指數(shù)分布函數(shù)的疊加，為了簡化模型，根據(jù)動(dòng)力試驗(yàn)結(jié)果可以假定不同粒徑顆粒破碎符合相同的指數(shù)函數(shù)分布。

圖11 顆粒破碎概率示意圖

根據(jù)自然界巖土材料的特點(diǎn)，將顆粒材料的界限粒徑分為i檔，粒徑從小到大為D1,D2,…,Di。同時(shí)，定義Markov鏈{Xn,n∈T}，狀態(tài)空間I={D1,D2,…,Di}。此外，條件概率Pij(n)=p{Xn+1=Dj|Xn=Di}為Markov鏈{Xn，n∈T}在時(shí)刻n的一步轉(zhuǎn)移概率，且Dj,Di∈I。RT(0)=[r1(0),r2(0),…,ri(0)]為顆粒初始各級(jí)配百分含量向量，即初始概率向量；RT(n)=[r1(n),r2(n),…,ri(n)]為顆粒破碎后n時(shí)刻對應(yīng)的各級(jí)配百分含量向量，即終止概率向量。根據(jù)破碎試驗(yàn)特征，顆粒破碎一般為試驗(yàn)一次后的破碎情況，即n=1。從上述可知，Markov鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，如式(8)

(8)

式中，ηij為破碎概率系數(shù)，指粒徑為Di粒徑顆粒破碎到Dj粒徑顆粒的量與Di粒徑顆粒總破碎量的比值，如式(9)

(9)

此外，由顆粒破碎矩陣可知

(10)

由式(3)可以得到

ηij=F(xij)-F(xij-1),xi0=0

(11)

初始概率向量和終止向量之間存在以下關(guān)系，如式(12)

RT(n)=RT(0)P

(12)

通過式(12)即可得到破碎后的各粒徑質(zhì)量百分含量。RT(0)和RT(n)分別為初始概率向量和終止概率向量，P為一步破碎概率矩陣。式中含有3個(gè)參量，即指數(shù)函數(shù)參數(shù)a,b和死亡概率Ps-t。a,b值可以通過式(7)得到，Ps-t可以通過最小二乘法得到。通過實(shí)際破碎后的終止概率向量與式(12)得到的計(jì)算終止概率向量之間無限逼近，采用最小二乘法構(gòu)造以下目標(biāo)函數(shù)，如式(13)

(13)

對目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)，即可求得相應(yīng)的死亡概率Ps-t，代入式(12)即可得到破碎后各粒徑質(zhì)量百分?jǐn)?shù)的計(jì)算值。

3.3 顆粒破碎模型驗(yàn)證

3.3.1 顆粒破碎模型有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的Markov鏈破碎模型，采用文中動(dòng)力三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。參數(shù)a,b以及Ps-t如圖12～圖14所示。其中：a，b值由最終狀態(tài)決定；Ps-t由初始狀態(tài)和最終狀態(tài)共同決定。

(a) 加載5 000次→10 000次

(a) 加載5 000次→10 000次

(a) 加載5 000次→10 000次

從圖12～圖14可知，本文提出的Markov鏈破碎模型能較好地描述不同粒徑大小顆粒在動(dòng)力作用下的顆粒破碎演化規(guī)律。對于原始粒徑的減少以及次級(jí)粒徑的增加都能進(jìn)行較好的預(yù)測，充分證明了所提模型的有效性。該模型參數(shù)較少，只有3個(gè)參數(shù)，且容易從試驗(yàn)中獲取，使得該模型能夠較為簡便的應(yīng)用。為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的有效性，采用文獻(xiàn)[27]的碳酸鹽砂環(huán)剪試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，如圖15所示。

(a) 剪切應(yīng)變9 040%→23 900%

從圖15可知，該模型同樣較好地描述了環(huán)剪試驗(yàn)的小粒徑鈣質(zhì)砂的破碎演化過程，得到了多粒徑組的不同初始狀態(tài)和終止?fàn)顟B(tài)的級(jí)配變化過程。但是由于應(yīng)力狀態(tài)和巖性的不同，預(yù)測準(zhǔn)確度相比動(dòng)力試驗(yàn)還需提高。

從上述試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算值的對比可以得出，該破碎模型為多粒徑組的破碎演化預(yù)測提供了一種可行的方法，適用于不同巖質(zhì)的顆粒破碎材料的破碎演化預(yù)測。同時(shí)，該模型不僅可以描述破碎材料動(dòng)力破碎狀態(tài)，其他應(yīng)力狀態(tài)下的多粒徑組破碎狀態(tài)演化也可以進(jìn)行描述。但是，由于顆粒破碎受多種因素的影響，模型針對不同巖性、應(yīng)力狀態(tài)等破碎材料的預(yù)測準(zhǔn)確性有待提高，需要進(jìn)一步研究。

3.3.2 Marsal破碎率Br與顆粒死亡率Ps-t的關(guān)系

此外，Marsal破碎率Br也是表征顆粒破碎的量化指標(biāo)，其可以通過篩分試驗(yàn)直接得到，為了研究Marsal破碎率Br與顆粒死亡率Ps-t之間的關(guān)系，針對31.5～45.0 mm，16～25 mm和7.1～16.0 mm 3種粒徑，以加載5 000次對應(yīng)的質(zhì)量百分?jǐn)?shù)為初始狀態(tài)，結(jié)合圖8依次分析了不同動(dòng)力加載次數(shù)后Br與Ps-t之間的關(guān)系，如圖16所示。

圖16 Marsal破碎率Br與死亡率Ps-t的關(guān)系

從圖16可知，Marsal破碎率Br與死亡率Ps-t的關(guān)系可以用線性函數(shù)進(jìn)行擬合，如式(14)

Rs-t=A·Br+B

(14)

式中:31.5～45.0 mm對應(yīng)的A和B分別為1.06和 7.06；16～25 mm對應(yīng)的A和B值分別為0.827和0.646；7.1～16.0 mm對應(yīng)的A和B值分別為0.024和0.102，三者相關(guān)關(guān)系R2達(dá)到0.92以上。將式(14)代入式(8)，即可得到關(guān)于Marsal破碎率Br的顆粒破碎模型。

4 結(jié) 論

本文采用動(dòng)靜三軸試驗(yàn)系統(tǒng)，針對紅砂巖粗粒土進(jìn)行了不同粒徑大小和加載次數(shù)下的動(dòng)力破碎試驗(yàn)，研究了紅砂巖粗粒土的動(dòng)力破碎現(xiàn)象和顆粒破碎演化規(guī)律，構(gòu)建動(dòng)力破碎概率密度函數(shù)，建立了顆粒破碎模型并進(jìn)行了驗(yàn)證，模型預(yù)測有效性較好。得到以下結(jié)論：

(1) 粒徑組顆粒越大，動(dòng)力變形值越大；7.5～16.0 mm和16～25 mm粒徑加載至20 000次時(shí)，顆粒破碎達(dá)到穩(wěn)定，而31.5～45.0 mm粒徑加載至30 000次時(shí)，顆粒破碎達(dá)到穩(wěn)定，小粒徑組比大粒徑組土體顆粒破碎完成較早，土體結(jié)構(gòu)易于趨于穩(wěn)定。

(2) 粗粒土軟化系數(shù)與加載次數(shù)的關(guān)系與黏土的不同，粗粒土呈半對數(shù)關(guān)系，而黏土呈線性關(guān)系。粒徑組顆粒越大，軟化系數(shù)越小。

(3) 動(dòng)力作用下粗粒土破碎率存在一個(gè)極限值，顆粒組存在一個(gè)極限級(jí)配。大粒徑顆粒破碎后主要演化呈下一檔粒徑顆粒和細(xì)小粒徑顆粒，其余粒徑組顆粒分配量較少。

(4) 建立的顆粒破碎模型能對不同應(yīng)力狀態(tài)下的多粒徑粗粒土破碎演化進(jìn)行描述，但是由于破碎影響因素的多樣性，對于不同巖性和應(yīng)力狀態(tài)下的顆粒破碎預(yù)測準(zhǔn)確性還需進(jìn)一步提高。

(5) 構(gòu)建了常用破碎指標(biāo)Marsal破碎率Br與顆粒死亡率Ps-t之間的關(guān)系，兩者呈線性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系R2達(dá)到0.92以上。