劉海平， 張 俊， 申大山

(1. 北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 北京 100083； 2. 北京科技大學(xué) 順德研究生院， 廣東 佛山 528300)

由于線性吸振器工作頻帶窄，吸振效率低等缺點(diǎn)，極大限制了其在工程領(lǐng)域的適用范圍；而非線性能量阱作為一類典型的非線性動(dòng)力吸振器因其質(zhì)量輕、工作頻帶寬、吸振效率高、附加質(zhì)量小[1-4]等優(yōu)點(diǎn)而受到持續(xù)關(guān)注。

近年，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者將非線性能量阱的研究視野從基礎(chǔ)研究逐漸拓展到航空航天[5-6]、民用建筑[7-8]等應(yīng)用工程領(lǐng)域，并提出多種可行的實(shí)現(xiàn)方案[9-13]。

針對(duì)上述非線性吸振器的研究，主要包括減振性能評(píng)價(jià)[14-16](如：時(shí)域和頻域各部分的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和對(duì)應(yīng)的能量傳遞特征)和非線性特征(如：分岔特征)分析[17]。顯然，針對(duì)非線性系統(tǒng)分岔特征的研究，更利于從減振機(jī)制和工作機(jī)理方面，從源頭實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)參數(shù)最優(yōu)化。

截至目前，在理論研究方面，Starosvetsk等[18-19]率先使用復(fù)變量-平均法結(jié)合多尺度法對(duì)非線性系統(tǒng)的鞍結(jié)(saddle-node，SN)分岔和霍普夫(Hopf)分岔進(jìn)行研究。譚平等[20]采用多尺度法對(duì)基底受簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用非線性吸振器的分岔特性展開討論。李爽等[21]主要考慮簡(jiǎn)諧激勵(lì)力幅值變化對(duì)非線性吸振器全局分岔特性的影響。在應(yīng)用研究方面，甄冬等[22]將非線性吸振器應(yīng)用到汽車車身垂向振動(dòng)抑制中，并分別針對(duì)附加立方剛度和負(fù)剛度非線性吸振器的SN分岔特性進(jìn)行研究。

上述研究中，不考慮重力場(chǎng)的影響，非線性吸振器多采用橫向布置方案；然而，在實(shí)際工程中非線性吸振器往往需要垂向布置[23]；顯然，垂向布置方案必須考慮重力場(chǎng)的影響。

以航天器在軌飛行階段所受微振動(dòng)為例，星載飛輪作為一類典型的微振動(dòng)源，對(duì)保證高精度衛(wèi)星的技戰(zhàn)術(shù)指標(biāo)至關(guān)重要。Sun等嘗試采用非線性能量阱對(duì)星載飛輪在軌工作階段的輸出微振動(dòng)進(jìn)行抑制。實(shí)際中，星載飛輪將經(jīng)歷主動(dòng)發(fā)射段(包含地面重力場(chǎng)、大氣阻力等)和在軌工作段(包含空間微重力等)不同類型激勵(lì)(基礎(chǔ)激勵(lì)和力激勵(lì))和環(huán)境條件，進(jìn)而對(duì)非線性能量阱的減振效果產(chǎn)生顯著影響?？紤]重力的影響，Chen等[24]重點(diǎn)研究了基礎(chǔ)激勵(lì)條件下非線性能量阱的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和減振效果的變化規(guī)律；但是，針對(duì)該系統(tǒng)分岔特性的變化規(guī)律并未研究。此外，上述研究均未提出非線性能量阱的可實(shí)現(xiàn)形式。顯然，針對(duì)重力場(chǎng)對(duì)非線性能量阱影響的理論研究和應(yīng)用研究均不充分。屈曲梁作為一類典型的工程結(jié)構(gòu)，因具備獨(dú)特的非線性特征而得到廣泛研究[25]。從工程實(shí)際出發(fā)，劉海平等[26]采用歐拉屈曲梁構(gòu)建非線性吸振器，針對(duì)不同安裝方式對(duì)其減振效果的影響進(jìn)行對(duì)比并給出最佳設(shè)計(jì)方案。在此基礎(chǔ)上，本文重點(diǎn)針對(duì)力激勵(lì)條件下，重力場(chǎng)對(duì)歐拉屈曲梁非線性吸振器分岔特性的影響展開研究。首先，采用復(fù)變量-平均法獲得非線性系統(tǒng)的慢變方程；進(jìn)而推導(dǎo)出相應(yīng)的分岔邊界；最后，選擇歐拉屈曲梁非線性動(dòng)力吸振器的部分關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)討論重力場(chǎng)對(duì)其分岔特征的影響。相關(guān)研究成果，可為非線性吸振器的理論研究和工程應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

1 模型建立

分別建立有無(wú)重力場(chǎng)時(shí)安裝歐拉屈曲梁非線性吸振器的耦合動(dòng)力學(xué)模型。

1.1 無(wú)重力場(chǎng)情況

不考慮重力場(chǎng)的影響，建立非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。圖1中：M，K，c1分別為主振系的慣性質(zhì)量、剛度和阻尼；k和c2分別為非線性吸振器的剛度和阻尼；另外，x和y分別對(duì)應(yīng)主振系慣性質(zhì)量和非線性吸振器的位移；f為作用在主振系慣性質(zhì)量上的外力。

圖1 非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型(無(wú)重力場(chǎng))

根據(jù)牛頓第二定律，得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

(1)

1.2 有重力場(chǎng)情況

若考慮重力場(chǎng)的影響，主振系與非線性吸振器構(gòu)成的耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型(有重力場(chǎng))

由圖2可知，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

(2)

對(duì)比圖1和圖2可見(jiàn)，受重力場(chǎng)影響的非線性吸振器和主振系的慣性質(zhì)量均會(huì)下降一段距離，到達(dá)新的平衡位置。進(jìn)而，根據(jù)靜力平衡關(guān)系可知平衡點(diǎn)的位置方程為

(3)

推導(dǎo)得到靜平衡位置為

(4)

其中

為了便于計(jì)算，引入新變量將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到靜平衡位置

(5)

將上述定義的新變量代入式(2)后，可得

(6)

1.3 慢變流方程

為了方便分析，進(jìn)行坐標(biāo)變換并定義無(wú)量綱化參數(shù)

通常，非線性系統(tǒng)的分岔特性主要考慮激勵(lì)頻率接近主振系固有頻率1∶1∶1的內(nèi)共振情形，即：Ω=(1+μσ)。其中，σ為激勵(lì)頻率失調(diào)參數(shù)。

通過(guò)以上處理，式(1)和式(6)對(duì)應(yīng)不同模型的運(yùn)動(dòng)微分方程變換為

模型一：無(wú)重力場(chǎng)情況

(7)

模型二：有重力場(chǎng)情況

(8)

進(jìn)一步，利用復(fù)變量-平均法研究系統(tǒng)慢變動(dòng)力流，引入新的復(fù)變量

(9)

式中：i為單位虛數(shù)；φi為系統(tǒng)慢變幅值。若不考慮主振系的阻尼，將式(9)代入式(7)和式(8)，通過(guò)平均化處理，可消除快變響應(yīng)部分；同時(shí)，令φj=φje-iμστ(j=1，2)，可得系統(tǒng)慢變流。

模型一：無(wú)重力場(chǎng)情況

(10)

模型二：有重力場(chǎng)情況

(11)

2 分岔邊界

模型一：無(wú)重力場(chǎng)情況

iμσφ2+iφ2-iμσφ1-iφ1+2ξ2(1+1/μ)φ2-

(12)

模型二：有重力場(chǎng)情況

(13)

α3Z3+α2Z2+α1Z+α4=0

(14)

其中，模型一對(duì)應(yīng)參數(shù)為

模型二對(duì)應(yīng)參數(shù)為

求解式(14)所得的根即為不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程周期解。

2.1 SN分岔

SN分岔是非線性系統(tǒng)平衡點(diǎn)變化的一種形式，式(14)分別存在單個(gè)解和3個(gè)解的情況，其解的邊界與SN分岔相對(duì)應(yīng)。對(duì)式(14)求導(dǎo)，得到

3α3Z2+2α2Z+α1=0

(15)

聯(lián)立式(14)和式(15)，將Z消除，得到

f=3α3(α1α2-9α3α4)2+

(16)

式(16)即為SN分岔邊界，因式(16)中所有參數(shù)均與A，ξ2，δ有關(guān)，所以上述方程可寫成

f(A,ξ2,δ)=0

(17)

通過(guò)求解式(17)容易求得參數(shù)A，ξ2，δ對(duì)應(yīng)的SN分岔邊界。

2.2 Hopf分岔

SN分岔只能表征系統(tǒng)平衡點(diǎn)數(shù)目隨參數(shù)的變化特征，而解的穩(wěn)定性還需進(jìn)一步判斷。在平衡點(diǎn)附近引入微小擾動(dòng)

φ1=φ10+θ1，φ2=φ20+θ2

(18)

將式(18)代入式(10)和式(11)，忽略關(guān)于擾動(dòng)量的高階小量，可得到系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的擾動(dòng)方程

模型一：無(wú)重力場(chǎng)情況

(19)

模型二：有重力場(chǎng)情況

(20)

求解出式(19)和式(20)對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式方程

μ4+γ1μ3+γ2μ2+γ3μ+γ4=0

(21)

式中：μ為特征值；γ1，γ2，γ3，γ4太過(guò)復(fù)雜，詳見(jiàn)附錄A。

周期解穩(wěn)定性可根據(jù)特征值μ判斷，當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分岔時(shí)，特征值滿足純虛數(shù)條件μ=±iω0，ω0為非零實(shí)數(shù)。代入式(21)，通過(guò)分離實(shí)部與虛部，化簡(jiǎn)可得

(22)

將γ1，γ2，γ3，γ4代入式(22)，可得關(guān)于平衡點(diǎn)的方程，整理后可得關(guān)于Z的形式

v1Z2+v2Z+v3=0

(23)

其中，v1，v2，v3相對(duì)復(fù)雜，可由MATLAB軟件或Maple軟件求解。

由式(23)可得

(24)

同時(shí)，Z也應(yīng)滿足式(14)，將式(24)代入式(14)，得

(25)

式(25)為系統(tǒng)Hopf分岔邊界應(yīng)滿足的參數(shù)條件。

3 結(jié)果討論與分析

通過(guò)第2章推導(dǎo)已給出安裝歐拉屈曲梁非線性吸振器耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)不同類型分岔的邊界條件表達(dá)式?？紤]研究工作的一致性，本章將結(jié)合已有研究給出的非線性耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)(如表1所示)展開討論，具體分析重力場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)的頻響特性以及不同類型分岔特征的影響。

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)值

3.1 重力場(chǎng)對(duì)頻響特性的影響

結(jié)合表1的設(shè)計(jì)參數(shù)，通過(guò)復(fù)變量-平均法得到力激勵(lì)條件下，考慮重力場(chǎng)影響的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，如圖3和圖4所示。

為了驗(yàn)證解析計(jì)算結(jié)果的正確性，本部分首先采用四階龍格庫(kù)塔法通過(guò)數(shù)值方法計(jì)算得到力激勵(lì)條件下系統(tǒng)響應(yīng)幅值的穩(wěn)態(tài)解，見(jiàn)圖3。由圖3可知，數(shù)值解與解析解吻合良好，證明本文給出的解析解正確。然后，考慮有無(wú)重力場(chǎng)條件下，計(jì)算得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，見(jiàn)圖4。由圖4可知，在力激勵(lì)條件下，重力場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響主要集中于諧振頻率附近，相應(yīng)幅值和峰值頻率略有差異，但影響不明顯。

圖3 幅頻響應(yīng)曲線(考慮重力場(chǎng))

圖4 幅頻響應(yīng)曲線(有/無(wú)重力場(chǎng))

3.2 重力場(chǎng)對(duì)分岔特性的影響

選取參數(shù)μ=0.02和δ=0.5，在二維平面(A，ξ2)繪制系統(tǒng)的SN分岔和Hopf分岔，如圖5所示?？梢?jiàn)，受重力場(chǎng)影響，實(shí)現(xiàn)相同類型分岔所需激勵(lì)幅值更大，且相應(yīng)分岔特征邊界所包圍的面積也更大。

圖5 重力場(chǎng)對(duì)分岔特性的影響

3.3 線性剛度對(duì)分岔特性的影響

本文所提出的歐拉曲梁非線性吸振器相比于嚴(yán)格意義上的純立方剛度非線性能量阱，還包含一個(gè)線性剛度項(xiàng)，本部分即重點(diǎn)討論線性剛度對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響。含線性剛度項(xiàng)前后不同失諧參數(shù)δ對(duì)應(yīng)系統(tǒng)SN分岔特性的變化規(guī)律，分別如圖6(a)、圖6(b)所示。

相較于無(wú)重力場(chǎng)模型，考慮重力場(chǎng)影響耦合系統(tǒng)所含線性剛度項(xiàng)增加。由圖6可知，含線性剛度項(xiàng)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的SN分岔，隨著失諧參數(shù)減小而增大，與不含線性剛度項(xiàng)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)SN分岔變化規(guī)律正好相反。此外，不考慮線性剛度模型SN分岔的變化規(guī)律與譚平所得結(jié)論一致，證明本文所建模型及分析結(jié)果的正確性。

(a) 含線性剛度

3.4 激勵(lì)幅值對(duì)分岔特性的影響

考慮外激勵(lì)對(duì)非線性系統(tǒng)響應(yīng)特征的影響，保證設(shè)計(jì)參數(shù)不變，針對(duì)不同激勵(lì)幅值對(duì)非線性系統(tǒng)分岔特性的影響展開討論。結(jié)合第3.2節(jié)的分析結(jié)論，重力場(chǎng)僅改變分岔特征邊界的大小，其變化趨勢(shì)與無(wú)重力場(chǎng)相似，故，本節(jié)僅考慮有重力場(chǎng)工況，所得SN分岔與Hopf分岔，如圖7所示?？梢?jiàn)：隨著ξ2變化，當(dāng)ξ2<0.011 3時(shí)，SN分岔與Hopf分岔同時(shí)存在；當(dāng)0.011 3<ξ2<0.014 8，僅存在SN分岔；當(dāng)ξ2>0.014 8時(shí)系統(tǒng)的分岔特征完全消失。圖7僅給出一組設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)應(yīng)的情況，若改變?cè)O(shè)計(jì)參數(shù)，相應(yīng)SN分岔和Hopf分岔曲線會(huì)呈現(xiàn)不同的重合方式。因此，分別選擇ξ2=0.005和ξ2=0.013兩種工況，觀察系統(tǒng)響應(yīng)幅值隨激勵(lì)幅值變化的規(guī)律，如圖8所示。

圖7 SN分岔與Hopf分岔

(a) ξ2=0.005

選擇ξ2=0.005時(shí)，當(dāng)激勵(lì)幅值逐漸變大時(shí)，系統(tǒng)由一個(gè)解變化為3個(gè)解，且會(huì)出現(xiàn)SN分岔和Hopf分岔共存的情況見(jiàn)圖8(a)。其中，SN分岔點(diǎn)為A=0.017和A=0.036；Hopf分岔點(diǎn)為A=0.026和A=0.035。

當(dāng)選擇ξ2=0.013時(shí)，當(dāng)激勵(lì)幅值逐漸變大時(shí)，系統(tǒng)由一個(gè)解變化為3個(gè)解；此時(shí)，僅存在SN分岔，Hopf分岔不存在。其中，SN分岔點(diǎn)為A=0.043和A=0.045。

考慮重力場(chǎng)影響，當(dāng)激勵(lì)幅值增大時(shí)，響應(yīng)幅值也會(huì)不斷增大，且多解情況和不穩(wěn)定區(qū)域會(huì)持續(xù)存在，當(dāng)幅值達(dá)到一定程度，上層大幅值響應(yīng)和下層小幅值響應(yīng)會(huì)重合，但多解區(qū)間并未消失，反而會(huì)增大，如圖9所示。

圖9 不同激勵(lì)幅值下頻響曲線

3.5 設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)分岔特征的影響

由于影響歐拉屈曲梁非線性吸振器的設(shè)計(jì)參數(shù)眾多，其中，相比其他非線性吸振器方案，初始撓度q0、長(zhǎng)度L以及斜置傾角θ為新增設(shè)計(jì)變量，故本部分重點(diǎn)針對(duì)上述3個(gè)變量對(duì)SN分岔與Hopf分岔特性的影響展開討論。

3.5.1 初始撓度q0的影響

考慮有重力場(chǎng)條件下，歐拉屈曲梁初始撓度對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響，選取參數(shù)μ=0.02，δ=0.5，計(jì)算結(jié)果如圖10所示。由圖10可知，初始撓度q0變化對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響不顯著。

3.5.2 梁長(zhǎng)度L的影響

考慮歐拉屈曲梁長(zhǎng)度L對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響，計(jì)算結(jié)果如圖11所示。由圖11可知，相較于初始撓度q0，歐拉屈曲梁長(zhǎng)度L對(duì)于系統(tǒng)分岔特性的影響較大。隨著梁長(zhǎng)度增加，系統(tǒng)SN分岔與Hopf分岔包圍范圍均不同程度減小。

3.5.3 斜置傾角θ的影響

歐拉曲梁斜置傾角θ對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響，如圖12所示?？梢?jiàn)，隨著斜置傾角θ增大，系統(tǒng)SN分岔所需的激勵(lì)幅值和3個(gè)周期解的邊界減小，且Hopf分岔不穩(wěn)定解所包圍的范圍減小。

圖12 不同斜置傾角對(duì)應(yīng)SN分岔和Hopf分岔

4 結(jié) 論

本文主要研究了考慮重力場(chǎng)影響，對(duì)歐拉屈曲梁非線性吸振器在1∶1∶1內(nèi)共振情形下隨參數(shù)變化的分岔特性。主要得到以下結(jié)論：

(1) 力激勵(lì)條件下，重力場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響主要集中于諧振頻率附近，相應(yīng)幅值和峰值頻率略有差異，但影響不明顯。

(2) 受重力場(chǎng)影響，安裝非線性吸振器系統(tǒng)的SN分岔和Hopf分岔邊界均有所擴(kuò)大。

(3) 考慮重力場(chǎng)影響，當(dāng)失諧參數(shù)變小時(shí)，安裝非線性吸振器系統(tǒng)的SN分岔和Hopf分岔所包圍范圍變大，原因在于非線性吸振器含有線性剛度；若不考慮線性剛度，與上述結(jié)論恰好相反。

(4) 隨著設(shè)計(jì)參數(shù)變化，系統(tǒng)存在SN分岔以及Hopf分岔共存的情況；而且，受阻尼比ξ2的影響，兩種分岔共存的情況會(huì)發(fā)生變化。

(5) 隨激勵(lì)幅值增大，重力場(chǎng)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)幅值Z變大；系統(tǒng)的解由一個(gè)變?yōu)槎鄠€(gè)并且整個(gè)解枝分為上下層；當(dāng)激勵(lì)幅值繼續(xù)增大，上下兩層重合并且多解區(qū)間不會(huì)消失。

(6) 眾多設(shè)計(jì)參數(shù)中，歐拉屈曲梁長(zhǎng)度及斜置傾角對(duì)考慮重力場(chǎng)情況下的系統(tǒng)分岔特性影響較大，隨著梁長(zhǎng)和斜置傾角增加，系統(tǒng)SN分岔所需的激勵(lì)幅值減小；SN分岔與Hopf分岔邊界均減小。

附錄A

無(wú)重力

有重力

γ3=4ξ2(δ2μ2+δ2μ+2μδ+1),

16L6δ2μ2ε2+32L5Peδ3μ2ε1+96L5Peδ2μ2zε3-32L5Peδ2μ2εε1-96L5Peδ2μzεε3+

32L6δμε2+32L5Peδ2με1-32L5Peδ2εε1+48L5Peδμzε3-64L5Peδμεε1-

96L3PeS2δ2με3+96L3PeS2δ2εε3+192L3PeS2δμεε3-96L2Pe2S2δ2ε1ε3-