董成林 蔡龍奇 李 毅 路 彤 張路科

中國核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都,610213

0 引言

動(dòng)力機(jī)械設(shè)備的振動(dòng)問題是影響核動(dòng)力裝置安全性與可靠性的重要因素之一。目前，對動(dòng)力機(jī)械設(shè)備的振動(dòng)控制主要是從振動(dòng)傳遞路徑入手，如采用雙層隔振、浮筏隔振等技術(shù)，可有效減小設(shè)備的振動(dòng)能量傳遞，在中高頻段起到很好的寬頻減振效果，但對低頻特征線譜的減振效果并不明顯。

動(dòng)力吸振器(dynamic vibration absorber，DVA)是一種通過自身振動(dòng)抑制主系統(tǒng)振動(dòng)的裝置，具有對環(huán)境依賴小、安裝簡單，以及可針對性地控制線譜振動(dòng)等優(yōu)點(diǎn)，為解決動(dòng)力機(jī)械設(shè)備低頻線譜振動(dòng)問題提供了一種重要技術(shù)選擇。國內(nèi)外學(xué)者對此開展了大量研究，研發(fā)出形式各樣的動(dòng)力吸振器[1-11]。例如，賀輝雄等[1]針對船舶輔機(jī)設(shè)備引起的振動(dòng)問題，應(yīng)用有理分式多項(xiàng)式法識(shí)別出安裝位置處主系統(tǒng)等效參數(shù)，并通過定點(diǎn)理論設(shè)計(jì)出組合式動(dòng)力吸振器，可將20～60 Hz頻段內(nèi)的合成聲功率降低9.55 dB。SNOWDON等[2]提出了十字懸臂梁結(jié)構(gòu)的連續(xù)型動(dòng)力吸振器，通過改變質(zhì)量塊位置調(diào)節(jié)固有頻率，可以同時(shí)衰減多個(gè)峰值。王文初等[4]基于Euler-Bernoulli梁假設(shè)推導(dǎo)了頻率方程的解析解，將懸臂梁上的質(zhì)量塊簡化成質(zhì)點(diǎn)，并據(jù)此設(shè)計(jì)出三向管路動(dòng)力吸振器，在水泵50 Hz軸頻上，管路的三向減振效果均在5 dB以上。

值得指出的是，動(dòng)力機(jī)械設(shè)備的線譜振動(dòng)在垂向、水平方向往往是相互耦合的，需采用多維動(dòng)力吸振器(multi-dimensional dynamic vibration absorber，MDDVA)對其進(jìn)行治理?，F(xiàn)有的動(dòng)力吸振器多為單向動(dòng)力吸振器，少數(shù)多維動(dòng)力吸振器本質(zhì)上也是由多個(gè)單向動(dòng)力吸振器組合而成的。此類動(dòng)力吸振器僅利用了吸振振子的單向運(yùn)動(dòng)來抑制振動(dòng)，雖具有設(shè)計(jì)簡單、安裝方便等優(yōu)點(diǎn)，但存在空間尺寸大、引入附件質(zhì)量大等不足。事實(shí)上，吸振振子相對于主系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)六維運(yùn)動(dòng)(三轉(zhuǎn)動(dòng)三平動(dòng))，故理論上通過合理設(shè)計(jì)能夠同時(shí)抑制主系統(tǒng)多個(gè)方向的線譜振動(dòng)[12]。因此，針對動(dòng)力機(jī)械設(shè)備多維線譜耦合振動(dòng)問題，充分發(fā)揮吸振振子的多維運(yùn)動(dòng)能力，研發(fā)新型多維動(dòng)力吸振器，提高吸振效率，是一項(xiàng)頗具挑戰(zhàn)性的工作。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種由兩個(gè)或兩個(gè)以上分支運(yùn)動(dòng)鏈并聯(lián)而成的多環(huán)機(jī)構(gòu)[13]，具有結(jié)構(gòu)緊湊、精度高、動(dòng)態(tài)特性好等優(yōu)點(diǎn)，其動(dòng)平臺(tái)可實(shí)現(xiàn)多維運(yùn)動(dòng)，若采用彈簧阻尼系統(tǒng)安裝于驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，并將動(dòng)平臺(tái)視為公共振子，則整個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)即為一個(gè)多維動(dòng)力吸振器。據(jù)此，本文突破現(xiàn)有動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)思路，提出一種基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的新型三維動(dòng)力吸振器，并開展其動(dòng)力學(xué)各向同性設(shè)計(jì)研究，在此基礎(chǔ)上探討該動(dòng)力吸振器在動(dòng)力機(jī)械設(shè)備線譜振動(dòng)控制應(yīng)用中的效果與優(yōu)勢，為其研發(fā)與工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 新型三維動(dòng)力吸振器簡介及動(dòng)力學(xué)建模

1.1 吸振器簡介

圖1所示為本文所提新型三維動(dòng)力吸振器的CAD模型，該吸振器由機(jī)架、振子以及三個(gè)機(jī)架與振子的相同支鏈組成，每條支鏈包含一個(gè)滑鞍、兩個(gè)平行布置的連桿與一組彈簧。其中，連桿兩端通過球鉸分別與滑鞍、振子連接，滑鞍通過直線軸承與彈簧、機(jī)架連接，相對機(jī)架僅做沿上下方向的彈性運(yùn)動(dòng)。值得指出的是，該新型三維動(dòng)力吸振器本質(zhì)上是3-P(SS)2并聯(lián)機(jī)構(gòu)，P、S分別表示移動(dòng)副與球鉸。根據(jù)旋量理論，吸振器中的振子(即動(dòng)平臺(tái))具有三個(gè)平動(dòng)自由度，故該吸振器可抑制振源設(shè)備沿三個(gè)垂直方向的振動(dòng)。與采用多個(gè)單向動(dòng)力吸振器組合而成的多維動(dòng)力吸振器相比，本文所提新型三維動(dòng)力吸振器充分利用了吸振振子的多維運(yùn)動(dòng)能力，具有模塊化程度高、附加質(zhì)量小等優(yōu)點(diǎn)。

圖1 新型三維動(dòng)力吸振器CAD模型

1.2 雅可比矩陣構(gòu)造

雅可比矩陣構(gòu)造的目的在于建立關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)(彈簧振動(dòng))與末端操作運(yùn)動(dòng)(振子振動(dòng))之間的映射關(guān)系?？紤]到每條支鏈中兩個(gè)平行布置的連桿運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同，故可在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)將動(dòng)力吸振器簡化為圖2所示的等效機(jī)構(gòu)。為便于描述各參考點(diǎn)位置矢量，在機(jī)架底面形心處建立固定參考系Bxyz。在該坐標(biāo)系下，動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)A的位矢rA可表示為

圖2 動(dòng)力吸振器等效機(jī)構(gòu)

(1)

bi=BBi=b(cosγi，sinγi，0)T

ai=AAi=a(cosγi，sinγi，0)T

于是，給定rA可求解出：

(2)

將式(1)等號(hào)兩端對時(shí)間求導(dǎo)，有

(3)

(4)

式中，J為該動(dòng)力吸振器所采用并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣。

1.3 動(dòng)力學(xué)建模與模態(tài)解析

忽略連桿質(zhì)量，同時(shí)僅計(jì)及彈簧的形變，則動(dòng)力吸振器的總動(dòng)能和總彈性勢能可分別表示為

(5)

式中，ms、mp分別為滑鞍質(zhì)量和動(dòng)平臺(tái)(即振子)質(zhì)量；k為與滑鞍連接的彈簧組的剛度。

將式(4)代入式(5)，并計(jì)及P副處的阻尼，則可整理得到動(dòng)力吸振器的三自由度微幅振動(dòng)微分方程：

(6)

MDVA=mpJTJ+msE3KDVA=diag[kkk]

CDVA=diag[ccc]

式中，E3為三階單位陣；fq為振動(dòng)主系統(tǒng)傳遞到P副(彈簧組)的激振力矢量；c為P副處的阻尼。

容易發(fā)現(xiàn)，動(dòng)力吸振器的剛度矩陣KDVA是常數(shù)矩陣，但質(zhì)量矩陣MDVA是機(jī)構(gòu)位形的函數(shù)。因此，該裝置嚴(yán)格來說是一非線性系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)特性除了與系統(tǒng)尺度參數(shù)、質(zhì)量和剛度參數(shù)有關(guān)外，還取決于機(jī)構(gòu)的初始位形。然而，考慮到該裝置作為動(dòng)力吸振使用，各彈簧在選定的平衡位置附近做微幅振動(dòng)，故可將MDVA視為常數(shù)矩陣，系統(tǒng)近似處理為線性系統(tǒng)。

特殊地，當(dāng)rA=(0，0，z)T時(shí)，有

(7)

θ=arccos((b-a)/l)

其中，θ表示連桿與動(dòng)平臺(tái)平面的夾角。據(jù)此，可寫出質(zhì)量矩陣MDVA的顯示表達(dá)式：

(8)

通過求解廣義特征值問題‖KDVA-ω2MDVA‖=0，可得到動(dòng)力吸振器的三階模態(tài)固有頻率：

(9)

所對應(yīng)的振型向量為

(10)

根據(jù)關(guān)節(jié)空間與操作空間微分運(yùn)動(dòng)之間的雅可比映射關(guān)系，吸振振子在參考系Bxyz下的振型向量為

(11)

由式(9)～式(11)可見，動(dòng)力吸振器的三階模態(tài)振型分別表現(xiàn)為動(dòng)平臺(tái)沿z方向的平動(dòng)，以及沿平行于xy坐標(biāo)平面的兩個(gè)正交方向的平動(dòng)，前者由三組彈簧的同向振動(dòng)引起，后兩者由三組彈簧中的兩組的反向振動(dòng)引起。其中，z向振動(dòng)的模態(tài)固有頻率f1僅與彈簧剛度、慣性參數(shù)有關(guān)；兩階橫向振動(dòng)的模態(tài)固有頻率f2、f3大小相等，不僅與彈簧剛度、慣性參數(shù)有關(guān)，還與機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)相關(guān)。

2 動(dòng)力吸振器各向同性設(shè)計(jì)

合理設(shè)計(jì)三維動(dòng)力吸振器的尺度參數(shù)及彈性/慣性參數(shù)，使其具有各向同性的動(dòng)力學(xué)性能，是有效抑制振源設(shè)備在多個(gè)方向上相同頻率線譜振動(dòng)的關(guān)鍵。本節(jié)開展三維動(dòng)力吸振器動(dòng)力學(xué)各向同性設(shè)計(jì)，并借助有限元驗(yàn)證其有效性，進(jìn)而為動(dòng)力吸振器的應(yīng)用研究奠定基礎(chǔ)。

一方面考慮到動(dòng)力吸振器的幾何尺寸大多會(huì)受到安裝空間的約束，且振子質(zhì)量需滿足與主系統(tǒng)質(zhì)量的比值關(guān)系，故靜平臺(tái)尺寸b、振子質(zhì)量mp為設(shè)計(jì)輸入?yún)?shù)。另一方面為保證吸振器機(jī)械結(jié)構(gòu)的緊湊性，滑鞍質(zhì)量ms與動(dòng)平臺(tái)尺寸a一般在完成初步機(jī)械結(jié)構(gòu)方案設(shè)計(jì)后即可確定。就設(shè)計(jì)目標(biāo)而言，為有效抑制振源設(shè)備在多個(gè)方向上相同頻率線譜振動(dòng)，動(dòng)力吸振器的三階固有頻率應(yīng)相等，同時(shí)要與振源設(shè)備所產(chǎn)生的特征線譜頻率fobj接近。于是，三維動(dòng)力吸振器的參數(shù)設(shè)計(jì)問題可歸納如下：給定靜平臺(tái)尺寸b、動(dòng)平臺(tái)尺寸a及滑鞍質(zhì)量ms、振子質(zhì)量mp，設(shè)計(jì)連桿長度l、彈簧剛度k，使得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)各向同性，且固有頻率等于特征線譜頻率fobj。據(jù)此，通過求解f1=f2與f1=fobj可得

(12)

不難發(fā)現(xiàn)，動(dòng)力學(xué)各向同性僅取決于機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)，與彈簧剛度及振子質(zhì)量均無關(guān)。

當(dāng)給定b=130 mm、a=40 mm、mp=35 kg、ms=1.5 kg以及fobj=50 Hz時(shí)，根據(jù)式(7)可計(jì)算出l≈110.2 mm、k≈1304 N/mm，此時(shí)動(dòng)力吸振器動(dòng)力學(xué)性能各向同性，且固有頻率與特征線譜頻率fobj接近。采用上述參數(shù)后，三維動(dòng)力吸振器的各階模態(tài)振型和模態(tài)固有頻率如圖3所示。顯見，動(dòng)力吸振器的三階模態(tài)振型與2.3節(jié)中的解析解一致。圖4進(jìn)一步給出了根據(jù)上述參數(shù)所設(shè)計(jì)三維動(dòng)力吸振器有限元模型的模態(tài)分析結(jié)果?？梢姡c理論分析結(jié)果相比，各階模態(tài)振型均一致，模態(tài)固有頻率誤差小于0.6%。同時(shí)，有限元分析所得的三階模態(tài)固有頻率均接近50 Hz。上述分析結(jié)果有效驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。

(a)一階f1=50 Hz (b)二階f2=50 Hz

(a)一階 (b)二階

為證明將該三維動(dòng)力吸振器簡化為線性系統(tǒng)的合理性，在水平方向位移量為±0.5 mm、z軸方向位移量為±1 mm的范圍內(nèi)，系統(tǒng)三階模態(tài)固有頻率隨機(jī)構(gòu)位形變化的分布規(guī)律如圖5所示?？梢?，各階模態(tài)固有頻率均呈空間三對稱分布，一、二、三階固有頻率的變化范圍分別為49.6～50.1 Hz、49.9～50.4 Hz、50.1～50.6 Hz，相對于設(shè)計(jì)位形處固有頻率的波動(dòng)幅度均低于0.5 Hz。因此，本文將系統(tǒng)近似處理為線性系統(tǒng)是合理的。

(a)一階

3 動(dòng)力吸振器減振效果分析

為驗(yàn)證第2節(jié)設(shè)計(jì)的新型動(dòng)力吸振器對動(dòng)力設(shè)備線譜振動(dòng)的抑制效果，將其應(yīng)用于一種動(dòng)力機(jī)械設(shè)備隔振裝置中，借助商用有限元軟件ANSYS開展減振效果分析，并將其與單向動(dòng)力吸振器進(jìn)行對比。

如圖6所示，動(dòng)力設(shè)備機(jī)組安裝在底部的托架上，托架底部由4個(gè)均布的隔振器支承，在托架上與每個(gè)隔振器連接處均安裝一個(gè)三維動(dòng)力吸振器。其中，動(dòng)力設(shè)備機(jī)組及托架質(zhì)量約1700 kg，底部隔振器的剛度、阻尼參數(shù)如下：kx=ky=3406 N/mm，kz=4657 N/mm，cx=cy=6.6 N·s/mm，cz=5.97 N·s/mm。此外，在有限元建模中，采用Bushing單元模擬隔振器的剛度與阻尼，并將動(dòng)力機(jī)械設(shè)備作為剛體處理，忽略其內(nèi)部機(jī)械結(jié)構(gòu)的影響。

圖6 動(dòng)力機(jī)械設(shè)備減振裝置

有限元掃頻分析結(jié)果表明，上述隔振裝置共有18階模態(tài)固有頻率低于100 Hz，各階固有頻率見表1。其中，前6階主要表現(xiàn)為動(dòng)力機(jī)械設(shè)備機(jī)組的六階剛體模態(tài)，由隔振器彈性引起的，第7～18階均為動(dòng)力吸振器的局部振動(dòng)。

表1 安裝三維動(dòng)力吸振器的隔振裝置模態(tài)固有頻率

為評價(jià)吸振器的減振效果，采用基于振動(dòng)加速度響應(yīng)的插入損失構(gòu)造以下單向減振指標(biāo)：

(13)

式中，A′x、A′y、A′z與Ax、Ay、Az分別為安裝動(dòng)力吸振器前后，托架上4個(gè)隔振器支承點(diǎn)沿x、y、z三向加速度響應(yīng)的均方根。LAx、LAy、LAz可理解為吸振器對動(dòng)力設(shè)備機(jī)組的三向減振效果。

假設(shè)作用在動(dòng)力機(jī)械設(shè)備機(jī)組質(zhì)心的載荷f=f(1，1，1)Tejωt，在該載荷作用下，安裝本文所設(shè)計(jì)三維動(dòng)力吸振器后的減振效果如圖7所示?？梢姡涸诩ふ耦l率50 Hz附近，吸振器沿橫向(x向、y向)的最大減振效果均達(dá)15 dB，且可在2 Hz的帶寬內(nèi)實(shí)現(xiàn)12 dB的減振效果；吸振器沿垂向(z向)的減振效果接近10 dB，在2 Hz的帶寬內(nèi)實(shí)現(xiàn)7 dB的減振效果。

圖7 三維動(dòng)力吸振器減振效果

與之對比，將系統(tǒng)中的4個(gè)三維動(dòng)力吸振器替換為4個(gè)剛度為3912 N/mm、吸振質(zhì)量為39.5 kg的單向動(dòng)力吸振器。模態(tài)分析結(jié)果表明，采用單向動(dòng)力吸振器后，系統(tǒng)僅有10階模態(tài)固有頻率低于100 Hz，各階模態(tài)固有頻率見表2。其中，前6階同樣主要表現(xiàn)為動(dòng)力設(shè)備機(jī)組的六階剛體模態(tài)，是由隔振器彈性引起的，第7～10階為動(dòng)力吸振器的局部振動(dòng)，可見在50 Hz附近由吸振器局部振動(dòng)引起的模態(tài)數(shù)顯著減少。圖8進(jìn)一步給出了單向動(dòng)力吸振器對動(dòng)力設(shè)備機(jī)組的三向減振效果?？梢?，在50 Hz附近單向動(dòng)力吸振器僅對z向的振動(dòng)有減振效果，減振效果與三維動(dòng)力吸振器接近，然而沿x與y向的減振效果不到2 dB。

表2 安裝單向動(dòng)力吸振器的減振裝置模態(tài)固有頻率

圖8 單向動(dòng)力吸振器減振效果

考慮到振動(dòng)的傳遞本質(zhì)上是能量的傳遞，故進(jìn)一步采用基于振動(dòng)功率流理論[14]的方法來分析新型動(dòng)力吸振器的減振效果。定義功率流傳遞率為

ηP=10log(P′/P)

(14)

在動(dòng)力機(jī)械設(shè)備機(jī)組質(zhì)心的作用載荷為f=f(1，1，1)Tejωt時(shí)，安裝三維動(dòng)力吸振器、單向動(dòng)力吸振器的功率流傳遞率對比如圖9所示?？梢姡涸?0 Hz附近2 Hz的帶寬范圍內(nèi)，三維動(dòng)力吸振器的功率流傳遞率要高于單向動(dòng)力吸振器4 dB左右。這意味著安裝三向動(dòng)力吸振器后，傳遞至隔振器的功率流要小于安裝單向動(dòng)力吸振器后所傳遞的功率流，且兩者均小于未安裝動(dòng)力吸振器的情況。

圖9 功率流傳遞率對比

綜上，可得到本文所提新型三維動(dòng)力吸振器與單向動(dòng)力吸振器綜合性能的對比情況，見表3。可見，相比單向動(dòng)力吸振器，本文所提新型三維動(dòng)力吸振器在吸振質(zhì)量相同的前提下，可同時(shí)有效抑制振源設(shè)備三個(gè)垂直方向的線譜振動(dòng)，吸振效率更高，在動(dòng)力機(jī)械設(shè)備的多線譜振動(dòng)控制中具有顯著優(yōu)勢。

表3 三維動(dòng)力吸振器與單向動(dòng)力吸振器的性能對比

4 結(jié)論

(1)本文提出一種基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的新型三維動(dòng)力吸振器，充分利用了吸振振子的多維運(yùn)動(dòng)能力，具有模塊化程度高、附加質(zhì)量小等優(yōu)點(diǎn)。

(2)提出一種可實(shí)現(xiàn)新型三維動(dòng)力吸振器動(dòng)力學(xué)各向同性的設(shè)計(jì)方法，該方法將參數(shù)設(shè)計(jì)問題歸納為：給定靜、動(dòng)平臺(tái)尺寸及滑鞍、振子質(zhì)量，設(shè)計(jì)連桿長度、彈簧剛度，使得系統(tǒng)的三階固有頻率與特征線譜頻率接近。在此基礎(chǔ)上，通過算例分析驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。

(3)探討了該新型動(dòng)力吸振器在動(dòng)力機(jī)械設(shè)備多維線譜振動(dòng)控制中的有效性及優(yōu)勢。分析結(jié)果表明：采用本文所提新型三維動(dòng)力吸振器，在激振頻率50 Hz附近，三個(gè)方向的減振效果均高于10 dB，且可在2 Hz的帶寬內(nèi)實(shí)現(xiàn)7 dB以上的減振效果；與單向動(dòng)力吸振器相比，在吸振質(zhì)量相同的前提下可同時(shí)有效抑制振源設(shè)備3個(gè)垂直方向的線譜振動(dòng)，且功率流傳遞率對比分析結(jié)果表明其吸振效率更高，在動(dòng)力機(jī)械設(shè)備的多維線譜耦合振動(dòng)控制中具有顯著優(yōu)勢。