許 文

(湖北省華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 430074)

復(fù)合場(chǎng)是指電場(chǎng)、磁場(chǎng)、重力場(chǎng)中的兩種或三種場(chǎng)的疊加.關(guān)于帶電粒子或帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，中學(xué)階段一般討論的是勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)或類拋體運(yùn)動(dòng)等特殊情況.對(duì)于帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做一般的曲線運(yùn)動(dòng)，往往由于知識(shí)缺陷或思維障礙很少討論曲線的性質(zhì).本文對(duì)2022年全國(guó)甲卷第18題關(guān)于帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的問(wèn)題進(jìn)行研究，拓展并深化帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做一般的曲線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.

1 試題與問(wèn)題

題目(2022全國(guó)甲卷第18題)空間存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于紙面(xOy平面)向里，電場(chǎng)的方向沿y軸正方向.一帶正電的粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的作用下，從坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng).下列四幅圖中，可能正確描述該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的是( ).

圖1

答案解析在xOy平面內(nèi)電場(chǎng)的方向沿y軸正方向，在坐標(biāo)原點(diǎn)O靜止的帶正電粒子在電場(chǎng)力作用下會(huì)向y軸正方向運(yùn)動(dòng).磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，根據(jù)左手定則知，向y軸正方向運(yùn)動(dòng)的帶正電的粒子會(huì)受到沿x軸負(fù)方向的洛倫茲力，故帶電粒子向x軸負(fù)方向偏轉(zhuǎn)，選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中在電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做功，粒子速度大小發(fā)生變化，粒子受的洛倫茲力方向始終與速度方向垂直，洛倫茲力不做功.當(dāng)粒子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到再次運(yùn)動(dòng)到x軸時(shí)，電場(chǎng)力做功為零，粒子再次回到x軸時(shí)的速度為零，然后又重復(fù)向左偏轉(zhuǎn)，選項(xiàng)B正確、D錯(cuò)誤.

有關(guān)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做一般曲線運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，在一些新高考地區(qū)的高考中出現(xiàn)的頻率較高，如往年的江蘇卷、山東卷、重慶卷等曾多次出現(xiàn)，今年的廣東卷第8題也出現(xiàn)此類問(wèn)題.

2 軌跡研究

在以上全國(guó)卷甲第18題中，設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于xOy平面向里；勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向沿y軸正方向；帶正電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0).

定性分析1 如圖2所示，設(shè)粒子速度為v，沿x軸負(fù)方向的速度為vx時(shí)，洛倫茲力沿y軸向下的分量大小滿足Bqvx=Eq，此時(shí)粒子繼續(xù)向左上方運(yùn)動(dòng).由于洛倫茲力不做功，由動(dòng)能定理可知粒子運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力做功最大，此時(shí)粒子的速度最大.可知粒子在最高點(diǎn)受到豎直向下的洛倫茲力大于電場(chǎng)力，粒子又會(huì)從最高點(diǎn)向左下方運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理知粒子運(yùn)動(dòng)到與釋放點(diǎn)等高處即x軸上時(shí)其速度為零，然后粒子又重復(fù)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)；可知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的情況大致如題給出的選項(xiàng)B所示.

圖2

圖3

定量分析如圖4所示，粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)t時(shí)刻粒子的速度為v，其水平分速與豎直分速分別為vx、vy，由牛頓第二定律有：

圖4

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

將(5)式微分后代入(2)式得：

(6)

(7)

(8)

(9)

對(duì)(8)式、(9)式分別積分得：

(10)

(11)

以上第(10)、(11)式即為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的參數(shù)方程，由數(shù)學(xué)知識(shí)得，這種曲線為擺線.

3 問(wèn)題拓展

在以上粒子運(yùn)動(dòng)軌跡研究的基礎(chǔ)上，求粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度vm大小及向上運(yùn)動(dòng)(離x軸)的最大距離h.

方法3 如圖2所示，將粒子在某一時(shí)刻的速度v分解為水平速度vx和豎直速度vy，其水平分速vx產(chǎn)生的洛倫茲力沿y軸向下，豎直分速vy產(chǎn)生的洛倫茲力水平向左.將粒子從釋放運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程分成很多小微小單元，由動(dòng)量定理可知，此過(guò)程中粒子在水平方向上的動(dòng)量改變?yōu)椋?mvm=-ΣBqvyΔt=-BqΣvyΔt=-Bqh；

4 變式應(yīng)用

若質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電的小球從磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中靜止釋放(如圖5所示)，求小球下降的最高度h與小球運(yùn)動(dòng)的最大速率vm.

圖5

應(yīng)用如圖6，兩極板間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，靜止在負(fù)極板附近的帶負(fù)電微粒質(zhì)量為m1、電量為-q，在MN間突然加上勻強(qiáng)電場(chǎng)E時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，水平擊中速度為零的中性粒子m2后，粘合在一起恰好沿一段圓弧運(yùn)動(dòng)到N極板上，求

圖6

(1)m1擊中m2時(shí)的高度h1及m1擊中m2前瞬時(shí)速度大小v1；

(2)m2的質(zhì)量及m1和m2粘合體做圓弧運(yùn)動(dòng)的半徑R.

如果復(fù)合場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)、磁場(chǎng)、重力場(chǎng)三種場(chǎng)的疊加，可以將重力場(chǎng)與電場(chǎng)合成一個(gè)“等效場(chǎng)”，求出“等效重力加速度”，我們?nèi)匀豢梢杂脛?dòng)能定理與動(dòng)量定理、運(yùn)動(dòng)的合成與分解、一元二次方程根的判別式等方法，分析求解帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做一般曲線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)問(wèn)題，也可將以上結(jié)論遷移應(yīng)用.