李 勇

(貴州省貴陽市息烽縣第一中學(xué) 551100)

1 真題呈現(xiàn)

題目在△ABC中，AB=9，BC=6，CA=7，則BC邊上中線長(zhǎng)度為____.

此題乍看十分普通，細(xì)細(xì)品味后卻發(fā)現(xiàn)內(nèi)涵豐富，給人啟迪.深刻而不深?yuàn)W的一道試題既考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，又考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力.

2 解法探究

如圖1，取BC邊的中點(diǎn)為D，連接AD，即求AD的長(zhǎng).

圖1

視角1 借助公共角B(或角C).

解析不妨借助公共角B.

在△ABC中，由余弦定理有

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB.

所以49=81+36-2×9×6×cosB.

在△ADB中，由余弦定理有

AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB

視角2借助∠ADB+∠ADC=180°.

解析在△ADB中，由余弦定理有

AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠ADB.

即AD2-6AD·cos∠ADB-72=0.

①

在△ADC中，由余弦定理有

AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠ADC.

所以AD2-6AD·cos∠ADC-40=0.

因?yàn)椤螦DB+∠ADC=180°，

故cos∠ADC=cos(180°-∠ADB)=-cos∠ADB.

所以AD2+6AD·cos∠ADB-40=0.

②

由①+②，得2AD2=112.

視角3 借助三角形的射影定理.

解析在△ADB中，由余弦定理，得

在△ADC中，由余弦定理，得

在△ABC中，由射影定理,得

a=ccosB+bcosC.

所以6=9cosB+7cosC.

視角4 借助S△ADB=S△ADC.

解析設(shè)AD=x,

因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以S△ADB=S△ADC.

由海倫公式,得

視角5 構(gòu)造三角形的中位線，借助余弦定理.

解析如圖2，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E.

在△ABC中，由余弦定理有

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC.

所以36=81+49-2×9×7·cos∠BAC.

圖2

由DE∥AB，所以∠BAC+∠AED=180°.

由DE∥AB，且D為BC的中點(diǎn)，AB=9，AC=7，

所以AD2=AE2+DE2-2AE·DE·cos∠AED

視角6 構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理.

解析因?yàn)锳B2

如圖3，過點(diǎn)A作AE⊥BC，交線段BC于點(diǎn)E.

圖3

設(shè)CE=x，則由勾股定理可得

AC2-EC2=AB2-BE2.

即72-x2=92-(6-x)2.

又由勾股定理可得

AD2-DE2=AC2-CE2.

解析在△ABC中，由余弦定理，得

因?yàn)锳D是BC邊上的中線，

視角8 借助平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于平行四邊形的兩鄰邊的平方和的2倍.

解析如圖4，延長(zhǎng)AD于點(diǎn)E，使AD=DE，連接BE，CE，易知四邊形ABEC是平行四邊形.

圖4

由平行四邊形的性質(zhì)，得

BC2+AE2=2(AB2+AC2).

所以62+AE2=2(92+72).

視角9 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，借助兩點(diǎn)間的距離公式.

解析如圖5，建立平面直角坐標(biāo)系.

圖5

則B(-3，0)，C(3，0)，D(0，0).

設(shè)A(x，y),

則AB2=(x+3)2+y2=81，

③

AC2=(x-3)2+y2=49.

④

由③+④，得x2+y2=56.

視角10 借助三角形的中線長(zhǎng)公式.

解析由三角形的中線長(zhǎng)公式,得

3 尋根探究

本題來源于人教A版教材必修第二冊(cè)第53頁第15題.

△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，利用余弦定理證明

從表達(dá)形式可以看出，這道強(qiáng)基計(jì)劃試題是教材中的試題進(jìn)行數(shù)據(jù)改編而得的.近幾年的自主招生，強(qiáng)基計(jì)劃，各種競(jìng)賽試題的命制越來越新穎多變、形式多樣，但萬變不離其宗，它們都可以在教材中找到原型.因此，需要我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過程中留意對(duì)課本例題、習(xí)題、練習(xí)題的訓(xùn)練，要熟練地進(jìn)行求解，掌握問題求解的通性通法，同時(shí)進(jìn)行一題多解和多變練習(xí)，抓住實(shí)質(zhì)，做到“胸中有本”，以不變應(yīng)萬變，一題一世界，一題可破萬題山.

4 同源變式

變式1 (2017年北京大學(xué)自主招生第6題)若三角形三條中線長(zhǎng)度分別為9，12，15，則該三角形面積為( ).

A.64 B.72 C.90 D.前3個(gè)答案都不對(duì)

解析如圖6，設(shè)△ABC的三邊分別為AB=c，BC=a，CA=b，三條中線分別為AD=9，BE=12，CF=15.

圖6

由三角形的中線長(zhǎng)公式,得

解析記M為AC的中點(diǎn)，由中線長(zhǎng)公式，得

4BM2+AC2=2(AB2+BC2).

由余弦定理,得

解析設(shè)點(diǎn)B在面ACM上的射影為點(diǎn)O，則

由余弦定理，可得

因而∠OMC=150°.

對(duì)二面角B-MC-A的大小分類討論.

①若二面角B-MC-A的大小為銳角，

則∠AMO=∠OMC-∠AMC=90°.

②若二面角B-MC-A的大小為鈍角，

則∠AMO=360°-∠OMC-∠AMC=150°.

由余弦定理，可得

AO2=MA2+MO2-2MA·MO·cos150°

故選B，C.

變式4 (2021年復(fù)旦大學(xué)自主招生第3題)AD是△ABC的角平分線，AB=3，AC=8，BC=7，求AD的長(zhǎng).

解析1由三角形內(nèi)角平分線定理得

所以3DC=8BD.

解析2 由角平分線長(zhǎng)公式,得

5 解題啟示

教材是專家們花費(fèi)大量心血進(jìn)行千錘百煉、字斟句酌編寫而成的，教材具有示范性和權(quán)威性，縱觀近幾年的自主招生、強(qiáng)基計(jì)劃試題，可以發(fā)現(xiàn)許多試題都能找到課本習(xí)題、練習(xí)、例題的影子，試題中不變的是知識(shí)和思想方法，變化的無非是呈現(xiàn)的方式、問題的結(jié)構(gòu)方式.這就要求我們平時(shí)在教學(xué)中，要對(duì)教材中經(jīng)典的題目、具有代表性的題目特別關(guān)注，關(guān)注其解法，關(guān)注其變式，使學(xué)生知一題而懂一類.在提煉這些問題的基本方法、常規(guī)方法的同時(shí)，還要掌握不同題型的“秒殺法”，不論試題構(gòu)思如何新穎，學(xué)生都能自如應(yīng)對(duì).