劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學(xué) 241000)

1 問題的提出

《高考評(píng)價(jià)體系》指出：高考要從“知識(shí)立意”轉(zhuǎn)向“能力立意”，考查學(xué)生的“關(guān)鍵能力”和“核心素養(yǎng)”.這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題，達(dá)到從“解題”向“解決問題”的轉(zhuǎn)變.筆者在一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)高斯函數(shù)頻頻出現(xiàn)在一些數(shù)學(xué)題中，學(xué)生面對(duì)此類問題常因方法不當(dāng)，或運(yùn)算過程繁雜，導(dǎo)致雖做對(duì)但耗時(shí)太多，或做錯(cuò)丟分，成績(jī)不理想，而若能熟練掌握高斯函數(shù)的定義與性質(zhì)，將其運(yùn)用到解題中，定會(huì)事半功倍，提高解題正確率與效率.如何幫助學(xué)生在高考復(fù)習(xí)備考中，遇到與高斯函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，能夠準(zhǔn)確、快速、高效地解答呢？筆者通過梳理，現(xiàn)將該類問題整理成文，與讀者交流，以期拋磚引玉.

2 高斯函數(shù)的介紹

2.1 高斯函數(shù)的定義

設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則稱y=[x]為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).顯然，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)閆.高斯函數(shù)的定義域是連續(xù)的，但值域是離散的.

我們把一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分記作{x}，則有x=[x]+{x}，顯然0≤{x}<1.一般地，我們稱y={x}為小數(shù)函數(shù).

2.2 高斯函數(shù)的性質(zhì)

(1)若x≤y，則[x]≤[y]；

(2)[n+x]=n+[x]，其中n∈Z；

(3)x-1<[x]≤x<[x]+1；

(4)[x]+[y]≤[x+y]；

(5)若x,y≥0，則[xy]≥[x][y]；

3 例析高斯函數(shù)與其他知識(shí)的交匯問題

3.1 利用高斯函數(shù)解函數(shù)問題

3.1.1 求函數(shù)解析式

例1 某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用高斯函數(shù)y=[x]可以表示為( ).

評(píng)注該題主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，另外該題可以用特殊值驗(yàn)證法.

3.1.2 求函數(shù)值

解析求導(dǎo)得f′(x)=x2(3lnx+1).

又因?yàn)閒(e2)=2e6，所以x>e2.

當(dāng)20，

當(dāng)t>e時(shí)h′(t)<0，

所以函數(shù)h(t)在(2,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減.

評(píng)注該題的難度較大，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與值域，換元法求復(fù)合函數(shù)值域等，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.1.3 求函數(shù)的值域(或最值)

評(píng)注該題屬于新定義題，解答的關(guān)鍵在于對(duì)定義的理解及變量的分段討論，這也體現(xiàn)了高斯函數(shù)是一種分段函數(shù)的屬性，考查了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

例4 定義在R上的函數(shù)f(x)=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f(x),0≤x<1}，則A中元素的最大值和最小值之和為____.

故最大值和最小值之和為11.

評(píng)注集合A為函數(shù)y=f(x)(0≤x<1)的值域，由此問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值與最小值的和，求該函數(shù)最值的關(guān)鍵在于，根據(jù)高斯函數(shù)的定義恰當(dāng)?shù)胤侄斡懻?，該題很好地考查了分類討論思想.

3.1.4 判斷函數(shù)的性質(zhì)

例5 已知函數(shù)f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]，關(guān)于f(x)有下列四個(gè)結(jié)論：

①f(x)的一個(gè)周期為2π；

②f(x)是非奇非偶函數(shù)；

③f(x)在(0,π)上單調(diào)遞減；

其中所有結(jié)論正確的編號(hào)是( ).

A.①②④ B.②④ C.①③ D.①②

解析由f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]+cos[sin(x+2π)]=sin[cosx]+cos[sinx]=f(x)，得f(x)的一個(gè)周期為2π，則編號(hào)①正確；

由f(-x)=sin[cos(-x)]+cos[sin(-x)]=sin[cosx]+cos[-sinx]，知f(-x)+f(x)=0與f(-x)=f(x)兩式均不恒成立，則編號(hào)②正確；

評(píng)注該題是一道高斯函數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合的判斷函數(shù)性質(zhì)的問題，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.1.5 函數(shù)的零點(diǎn)問題

例6 已知函數(shù)f(x)=2x{x}-x-1，則函數(shù)的的所有零點(diǎn)之和為( ).

A.-1 B.0 C.1 D.2

3.2 高斯函數(shù)與方程交匯問題

解法2由3x<[3x+1]≤3x+1，得

[3x+1]=-1，-2，-3，-4.

綜上，方程全部實(shí)根和為-2.

評(píng)注解答該題的關(guān)鍵在于對(duì)高斯函數(shù)定義和性質(zhì)的理解，是一道較簡(jiǎn)單的方程題，考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

3.3 高斯函數(shù)與不等式交匯問題

例8 已知x>0，不等式[x]{x}

解析由x=[x]+{x}，不等式[x]{x}

所以不等式等價(jià)于[x]-1>0.

即[x]>1，即x≥2.

所以不等式解集為[2,+∞).

評(píng)注解答該題的關(guān)鍵在于對(duì)不等式的合理變形，及高斯函數(shù)性質(zhì)x<[x]+1的運(yùn)用，考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.4 高斯函數(shù)與數(shù)列交匯問題

3.4.1 數(shù)列通項(xiàng)問題

解析當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)=[x[x]]=0；當(dāng)x∈[k,k+1)(k∈N*且k≤n-1)時(shí)，x[x]=kx∈[k2,k2+k)，則f(x)=k2,k2+1,…,k2+k-1，共有k個(gè)取值.

易知當(dāng)n=13或14時(shí)取得最小值為13.

評(píng)注解答該題的關(guān)鍵在于抓住高斯函數(shù)的定義，將區(qū)間進(jìn)行分段討論.

3.4.2 數(shù)列求和問題

解析當(dāng)n≥2時(shí)，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n+2(n-1)+…+4+3=n2+n+1.

又a1=3滿足an=n2+n+1，

所以an=n2+n+1.

3.5 高斯函數(shù)與平面幾何交匯問題

例11 已知點(diǎn)集P={(x,y)|[x]2+[y]2=1}，則點(diǎn)集P表示的平面區(qū)域的面積是____.

易知相應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)樗膫€(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，故面積和為4.

評(píng)注根據(jù)高斯函數(shù)的定義，逐一表示出平面區(qū)域?qū)?yīng)的不等式組，便可發(fā)現(xiàn)平面區(qū)域?yàn)?個(gè)正方形.

3.6 高斯函數(shù)與二項(xiàng)式定理交匯問題

則a+b= 2(2k+1)=4k+2.

所以c2022=[a]=[4k+2-b]=4k+1+[1-b]= 4k+1.

故c2022除以4的余數(shù)為1.

4 有關(guān)高考復(fù)習(xí)備考的兩點(diǎn)建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：在數(shù)學(xué)高考命題中，考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、方法的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法.在高考備考教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，以達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.基于此，筆者提出以下高考備考建議.

4.1 夯實(shí)基本知識(shí)，以不變應(yīng)萬變

通過文中對(duì)與高斯函數(shù)有關(guān)問題的整理發(fā)現(xiàn)，該類問題主要考查高斯函數(shù)的概念與基本性質(zhì)，考查的形式主要以選擇、填空為主，難度也以中等、容易題為主.因此，我們?cè)趶?fù)習(xí)備考的過程中，要通過對(duì)該類試題的研究，歸納總結(jié)出高考考查的典型題型及其解題方法，構(gòu)建完整的知識(shí)脈絡(luò)和方法體系，熟練掌握與高斯函數(shù)有關(guān)的典型問題的通性通法，形成解題模型.只有扎實(shí)掌握了這些通性通法，才能在高考中游刃有余地處理該類問題.

4.2 滲透思想方法，提高核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)的精髓，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)能力之間的一座“橋梁”.通過上文的梳理，我們發(fā)現(xiàn)與高斯函數(shù)有關(guān)的問題主要考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，如文中的例4考查了分類討論的思想，例6將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.筆者認(rèn)為復(fù)習(xí)備考的教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，可以幫助學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵包括數(shù)學(xué)核心知識(shí)、核心能力、核心品質(zhì)，主要由數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面組成，這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是具體的知識(shí)和技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力，它基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，但高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能.因此，筆者認(rèn)為在高考復(fù)習(xí)備考中，我們廣大一線教師不僅要重視解題方法的指導(dǎo)，更要重視對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的提高，“授之以魚不如授之以漁”，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高了，解題能力和解題效率自然提高，無論高考題型如何變化，也定能在高考中“以不變應(yīng)萬變”，順利取得高考的勝利.