賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級(jí)中學(xué) 835400)

1 問題呈現(xiàn)

題目(新疆維吾爾自治區(qū)2022年普通高考第二次適應(yīng)性檢測(cè)理科卷第10題)若函數(shù)f(x)=x3-ax2+ex-lnx有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為( ).

2 總體分析

本題題設(shè)簡(jiǎn)潔，將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)等知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來，多層次、多角度地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng)，同時(shí)考查了學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決問題的能力，對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等提出了較高的要求.本題解法多樣，可以直接利用參變分離法求解；也可以利用分離函數(shù)法解答，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即切線的斜率求解入手，再從相切逆推至函數(shù)圖象相交的情況，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍；可以根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，分類討論細(xì)化解題，求出a的范圍；作為選擇題，還可以借助題設(shè)和選項(xiàng)的特點(diǎn)，利用排除法得出正確答案.但每種方法操作均不容易，在解題過程中會(huì)碰到一些障礙.下面具體分享一下，希望能幫助學(xué)生找到解決這類問題的突破口.

3 試題解答

視角1 分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù).

解法1 因?yàn)閤>0，所以函數(shù)f(x)=x3-ax2+ex-lnx有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(x)=0有兩個(gè)正根.

分離參數(shù),得

令h(x)=x3-ex+2lnx-1，則

從而h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

①

又當(dāng)x→0時(shí)，

由洛必達(dá)法則知g(x)→+∞；

②

當(dāng)x→+∞時(shí)，

則g(x)→+∞.

②

故選B.

下列關(guān)于函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex的判斷正確的是( ).

(1)f(x)>0的解集是{x|0

(3)f(x)沒有最小值，也沒有最大值.

為了降低①的風(fēng)險(xiǎn)，我們有新的處理方式如下：

解法2 結(jié)合解法1，

下同解法1.

評(píng)注此種處理方法需要較高的觀察能力和配湊思維，值得我們思考和借鑒，提高解題能力.導(dǎo)數(shù)中有的零點(diǎn)是較難處理的，需要很多代數(shù)技巧作支撐，也要充分利用零點(diǎn)解題，尤其是隱零點(diǎn)，它可以幫助我們化超越函數(shù)為基本初等函數(shù)，還可能起到降次的作用，整體代換后還可能達(dá)到消元的目的.

視角2 分裂原函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù).

解法3 令f(x)=x3-ax2+ex-lnx=0(x>0)，

“信息中心就‘選擇哪些考評(píng)維度，數(shù)據(jù)如何分類’等核心問題廣泛征詢各部門意見，形成建設(shè)思路；幾經(jīng)例會(huì)討論確定管理平臺(tái)初步框架，多次深入各職能科室及臨床一線征詢意見，達(dá)成一致并上線運(yùn)行?！?中心副主任趙前前回顧了平臺(tái)“由思到行”、逐步完善的建設(shè)歷程。試運(yùn)行階段，平臺(tái)界面又經(jīng)歷了4～5次較大改版，最終形成了各方普遍認(rèn)同的，覆蓋全院、科室、醫(yī)生的三級(jí)績效評(píng)價(jià)體系。

令φ(x)=2x3-1+lnx，

所以φ(x)=2x3-1+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，g′(x)<0，

當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)，g′(x)>0，

所以g(x)在(x0，+∞)上單調(diào)遞增.

整理,得切線斜率

整理,得t3+2lnt-et-1=0.

③

代入直線y=ax-e中，得

故選B.

解法4 由x3-ax2+ex-lnx=0(x>0),得

同理可解.

評(píng)注解法4和解法3有異曲同工之妙，本質(zhì)是兩個(gè)函數(shù)圖象整體平移，不再贅述，感興趣的同仁可以自行試驗(yàn)一下.事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù)沒有特殊的要求，關(guān)鍵在于新函數(shù)易于研究，直觀形象就好.這一點(diǎn)對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)挑戰(zhàn)，形異質(zhì)同解法會(huì)帶來解題創(chuàng)新思路，對(duì)學(xué)生的能力提升大有裨益.

當(dāng)然我們也可以直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=x3-ax2+ex-lnx的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，分類討論求出參數(shù)a的范圍，此法求解原則上可行，但運(yùn)算量較大.討論中要保證分類的科學(xué)性，做到既不重復(fù)，又不遺漏，是求解此問題的關(guān)鍵，限于篇幅，不再贅述.

視角3 特值驗(yàn)證，小題速解.

解法5觀察選項(xiàng)與lnx無關(guān)，不妨設(shè)f(et)=0，則e3t-ae2t+et+1-t=0.

而a=0時(shí)，f(x)=x3+ex-lnx，

又ex>lnx，此時(shí)f(x)>0，無零點(diǎn)，不符合題意，排除選項(xiàng)D.

故選B.

評(píng)注作為選擇題，為了節(jié)約考試時(shí)間，我們期待小題能小做，速戰(zhàn)速?zèng)Q，所以結(jié)合題設(shè)及選項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，巧妙換元，特征值可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，進(jìn)而快速找到正確選項(xiàng).這也需要學(xué)生有扎實(shí)的功底，在較短時(shí)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)非正確項(xiàng)的破綻.

4 高考鏈接

題1(2016年全國Ⅱ卷第21題第(1)問)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有2個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍；

題2 (2017年全國Ⅱ卷第21題第(2)問)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

通過對(duì)此題多種解題方法的探究和比較，能很好地提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，提升學(xué)習(xí)效率，讓學(xué)生所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化.另外，分離變量、分離函數(shù)借助于數(shù)形結(jié)合是突破此類題的關(guān)鍵，尤其是曲線與直線相切地恰當(dāng)使用.可以說，題目從知識(shí)立意、能力立意向價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變，很好地體現(xiàn)了試題的甄別功能.因此，我們的教學(xué)，絕不能夠僅僅停留在刷題的層面，一定要在能力和素養(yǎng)上下功夫.