鐘國(guó)城

(廣東省梅縣東山中學(xué) 514017)

1 試題呈現(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)如圖1,已知點(diǎn)F(1,0),直線l:x=4與x軸交于點(diǎn)D,直線AM與l交于點(diǎn)N,是否存在常數(shù)λ,使得∠MFD=λ∠NFD?若存在,求λ的值;若不存在,說(shuō)明理由.

2 解法探究

分析1將角轉(zhuǎn)化為向量夾角,通過(guò)數(shù)量積表示出來(lái),實(shí)現(xiàn)角度的數(shù)量化,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)化,從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

設(shè)N(4,n)(n≠0),

圖1

故直線AM與BM的方程分別為

即∠MFN=∠NFB=∠NFD.

故∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此存在常數(shù)λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)充分挖掘題設(shè)條件,聯(lián)立兩直線方程求解點(diǎn)M的坐標(biāo)是一個(gè)亮點(diǎn),既避免了繁雜的運(yùn)算,又讓求解過(guò)程顯得更為自然.

分析2考慮與角關(guān)聯(lián)的直線及其傾斜角,將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)聯(lián)直線傾斜角之間的關(guān)系,進(jìn)而通過(guò)使用斜率來(lái)求解問(wèn)題.但需討論傾斜角為90°的情況.

由于對(duì)稱(chēng)性,只需考慮點(diǎn)M在x軸上方的情況.

故∠NFD=45°.

所以∠MFD=2∠NFD.

因此λ=2.

所以∠MFD=2∠NFD.因此λ=2.

綜上,存在常數(shù)λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

分析3將∠MFN表示為∠MFD-∠NFD,從角關(guān)聯(lián)的直線及其傾斜角入手,利用斜率與兩角差的正切公式,找到∠MFN與∠NFD的關(guān)系,進(jìn)而得到∠MFD與∠NFD的關(guān)系,從而求解問(wèn)題.

由于對(duì)稱(chēng)性,只需考慮點(diǎn)M在x軸上方的情況.

故∠NFD=45°.

所以∠MFD=2∠NFD,因此λ=2.

故∠MFN=∠NFD.

則∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此λ=2.

綜上,存在常數(shù)λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

分析4 通過(guò)特殊情況對(duì)題目進(jìn)行分析,可以猜測(cè)λ=2,即∠MFN=∠NFD,從而只需說(shuō)明直線NF為∠MFD的角平分線,因此考慮使用角平分線逆定理來(lái)求解問(wèn)題.

直線BM與NF的方程分別為

圖2

設(shè)直線BM與NF的交點(diǎn)為P，如圖2.

由角平分線逆定理,得∠MFN=∠NFD.

則∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此,存在常數(shù)λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

分析5根據(jù)分析4,也可采用角平分線性質(zhì)逆定理來(lái)解決問(wèn)題.

故直線MF的方程為6nx+(n2-9)y-6n=0.

如圖3，點(diǎn)N到直線FM的距離為

圖3

因?yàn)辄c(diǎn)N到直線FD(即x軸)的距離為d2=|n|,所以d1=d2.

由角平分線性質(zhì)逆定理,得∠MFN=∠NFD.

則∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此,存在常數(shù)λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

分析6如圖4，過(guò)點(diǎn)M,D分別作NF的垂線,構(gòu)造兩個(gè)直角三角形.通過(guò)證明這兩個(gè)直角三角形相似,得到∠MFN=∠NFD,從而求解問(wèn)題.

直線NF的方程為nx-3y-n=0.

所以點(diǎn)M與D到直線FE的距離分別為

圖4

如圖4，過(guò)點(diǎn)M與D分別作MQ⊥NF于點(diǎn)Q,DS⊥NF于點(diǎn)S,則|MQ|=d,|DS|=d′.

所以Rt△MQF∽R(shí)t△DSF.

故∠MFQ=∠DFS.

即∠MFN=∠NFD.

則∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此,存在常數(shù)λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

分析7從對(duì)稱(chēng)的角度入手,如圖5，若點(diǎn)D關(guān)于直線NF對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在直線MF上,則∠MFN=∠NFD,最終解決問(wèn)題.

直線NF的方程為nx-3y-n=0.

設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線NF對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為D′(x0,y0),

圖5

即F,D′,M三點(diǎn)共線.

故∠MFN=∠NFD.

則∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此,存在常數(shù)λ=2,使得∠MFD=2∠NFD.

分析8由于題設(shè)條件涉及到右焦點(diǎn)與右準(zhǔn)線,利用橢圓的第二定義,結(jié)合平行、相似等平面幾何知識(shí),找到相關(guān)的幾何性質(zhì)與關(guān)系,從而求解問(wèn)題.

圖6

解法8如圖6,過(guò)點(diǎn)M作MG⊥l于點(diǎn)G,交NF于點(diǎn)E.

由于直線l:x=4為橢圓的右準(zhǔn)線,根據(jù)橢圓的第二定義,得

由MG∥AD,得

所以|ME|=|MF|.

故∠MFE=∠MEF=∠EFD.

故∠MFN=∠NFD.

則∠MFD=∠MFN+∠NFD=2∠NFD.

因此,存在常數(shù)λ=2,

使得∠MFD=2∠NFD.

3 試題推廣

通過(guò)對(duì)第(2)問(wèn)的求解,筆者發(fā)現(xiàn)可將其作進(jìn)一步延伸,經(jīng)過(guò)整理得到如下幾個(gè)結(jié)論.

由橢圓類(lèi)比雙曲線、拋物線,也有一致結(jié)論.

參照試題第(2)問(wèn)的求解,讀者不難驗(yàn)證命題1-5的正確性,此處從略.

4 解題反思

4.1重視一題多解,提升學(xué)生思維

在平時(shí)解題教學(xué)中,不僅要幫助學(xué)生解決問(wèn)題,更要教會(huì)學(xué)生從多個(gè)視角進(jìn)行分析,注重知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系,做到融會(huì)貫通,這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力能起到潛移默化的作用.如本試題的解決,聯(lián)系了向量夾角、直線傾斜角與斜率、兩角差的正切公式、角平分線、對(duì)稱(chēng)與三點(diǎn)共線,以及橢圓的第二定義等相關(guān)知識(shí),既讓學(xué)生掌握了基礎(chǔ)知識(shí),又有效鍛煉了學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創(chuàng)新性,提升思維能力.

4.2 挖掘問(wèn)題本質(zhì),以求觸類(lèi)旁通

我們不僅要注重一題多解,更要對(duì)典型問(wèn)題進(jìn)行深度探究,挖掘問(wèn)題的本質(zhì),并進(jìn)一步做出一般化的推廣.如通過(guò)對(duì)本試題的研究,找到了一般化的結(jié)論,既發(fā)揮了題目的最大價(jià)值,更能讓學(xué)生“做一題,會(huì)一類(lèi)”,讓學(xué)生跳出題海戰(zhàn)術(shù),減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),提高學(xué)習(xí)效率,從而達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的解題水平和能力,進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)思想,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).