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        漸進性優(yōu)化的尺度自適應(yīng)Cauchy穩(wěn)健估計模型及其應(yīng)用

        2023-02-18 01:17:20李加元張永軍艾明耀胡慶武
        測繪學(xué)報 2023年1期
        關(guān)鍵詞:權(quán)函數(shù)比率殘差

        李加元,張永軍,艾明耀,胡慶武

        武漢大學(xué)遙感信息工程學(xué)院,湖北 武漢 430079

        穩(wěn)健估計是幾何處理與平差系統(tǒng)中的一個核心基礎(chǔ)問題[1-5],在攝影測量與遙感、計算機視覺、機器人視覺等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。它是一種同時進行幾何模型擬合與異常值檢測的技術(shù),能夠從被污染的觀測值中正確估計出觀測值所滿足的幾何模型。由于實際觀測值中不可避免地存在粗差(異常值),該技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于誤匹配剔除[6]、光束法平差[7-8]、點云配準[9-10]、同時定位與制圖(simultaneous localization and mapping,SLAM)[11]等攝影測量任務(wù)中?;贛估計的迭代加權(quán)最小二乘(iterative reweighted least squares,IRLS)[12-19]和隨機采樣一致性方法(random sample consensus,RANSAC)[20-27]為最常采用的兩類穩(wěn)健估計方法[28]。

        IRLS又稱選權(quán)迭代法[12-13],相比RANSAC類方法,其優(yōu)點是運算效率高并且能夠確保局部最優(yōu)解[28],IRLS通常采用M估計作為穩(wěn)健核函數(shù)。在迭代過程中,IRLS的核心思想是基于觀測值殘差賦予粗差小權(quán)值,可靠觀測大權(quán)值,從而緩解粗差對平差系統(tǒng)的影響。IRLS的關(guān)鍵在于權(quán)函數(shù)的選取,常用的權(quán)函數(shù)包括Huber、Cauchy、Welsch、Tukey等M估計核[13]。文獻[15]基于驗后方差估計思想推導(dǎo)權(quán)函數(shù)。文獻[16]提出一種基于IGG(institute of geodesy and geophysics)權(quán)函數(shù)的迭代加權(quán)總體最小二乘法。文獻[18—19]分別從效率與穩(wěn)健性方面對傳統(tǒng)M估計進行改進。IRLS及現(xiàn)有變種都存在一個嚴重缺陷,即IRLS在理論上無法處理高于50%的粗差。一旦觀測值中粗差比率高于50%,此類方法完全失效。隨著自動化處理的普及,觀測值包含50%粗差的情形隨處可見,如影像特征匹配、點云特征匹配、SLAM閉環(huán)檢測等。因此,在這些任務(wù)中,對高粗差比率較為穩(wěn)健的RANSAC方法更受青睞。

        RANSAC是一種假設(shè)檢驗技術(shù)[20],它主要包括兩個步驟:①基于隨機最小子集的幾何模型估計;②基于一致性集的幾何模型驗證。RANSAC交替執(zhí)行上述兩個步驟直至滿足終止迭代條件,對應(yīng)于最大一致性集的幾何模型被認為是正確解。RANSAC存在大量改進算法[21-27]。MLESAC(maximum-likelihood estimation by random sampling consensus)[21]基于概率統(tǒng)計思想,采用最大化似然性來取代RANSAC方法的最大化一致集大小。LO-RANSAC(locally optimized RANSAC)[22]和FLO-RANSAC(fixing locally optimized RANSAC)[23]通過增加局部優(yōu)化過程來減少所需的采樣次數(shù)。GC-RANSAC(graph-cut RANSAC)[24]通過引入圖割技術(shù)來進一步提高局部優(yōu)化的可靠性。RECON(residual consensus)[25]利用殘差一致性來消除RANSAC對內(nèi)點閾值的依賴性。USAC(universal RANSAC)[26]將多種改進算法的特性納入一個通用框架內(nèi),包括工程及計算等方面的技巧。MAGSAC++(marginalizing sample consensus)[27]提出一種獨立于內(nèi)點閾值的打分函數(shù)。但是,RANSAC類方法存在3大缺點:①采用最小集估計幾何模型僅能獲得近似解,最優(yōu)解需全部觀測值參與解算;②隨著粗差比率的增加,此類方法的時間復(fù)雜度呈指數(shù)增長,運行效率低下;③RANSAC類方法難以直接應(yīng)用于測量平差系統(tǒng)中。

        近年來,許多研究工作試圖突破上述M估計的瓶頸問題。例如,M估計被pbM估計器[29]和廣義pbM估計器[30]重新表述為基于投影的優(yōu)化問題,并基于變量誤差(EIV)模型進行求解。加權(quán)Q范數(shù)[31]估計器進一步提高了Q范數(shù)模型(0

        本文旨在構(gòu)建一種同時繼承IRLS的優(yōu)點(高效且最優(yōu))與RANSAC的優(yōu)點(能處理高于50%的粗差)的模型,提出了基于漸進優(yōu)化的尺度自適應(yīng)Cauchy穩(wěn)健估計模型(注:本文所提尺度自適應(yīng)模型具有通用性,并不僅限定于Cauchy估計,也適用于Huber、Tukey等M估計)。所提模型引入尺度因子來不斷過濾大殘差觀測值并調(diào)節(jié)Cauchy核函數(shù)的穩(wěn)健性,采用由粗到精的方式進行漸進優(yōu)化。與前期工作[33]的不同之處主要表現(xiàn)為兩個方面:①本文模型與統(tǒng)一代價函數(shù)的數(shù)學(xué)模型不同。本文模型是M估計模型的推廣,為非分段函數(shù),不存在奇異點問題;②在模型優(yōu)化求解過程中,每次迭代利用控制參數(shù)剔除一部分大殘差觀測值,因此,在本文的優(yōu)化過程中,觀測值是動態(tài)變化的。而在統(tǒng)一代價函數(shù)模型中,盡管觀測值在某次迭代中獲取了很小的權(quán)值,但在后續(xù)迭代中有可能重新獲得較大權(quán)值,導(dǎo)致迭代震蕩現(xiàn)象。此外,本文還給出了其在經(jīng)典攝影測量任務(wù)中的應(yīng)用,包括匹配剔除、后方交會及點云配準。試驗結(jié)果表明,該模型明顯優(yōu)于基于M估計的IRLS模型和RANSAC類方法。

        1 經(jīng)典M估計與IRLS

        M估計是最大似然估計的泛化形式,其數(shù)學(xué)表達如下(以線性回歸為例)

        (1)

        式中,ρ(vi)為穩(wěn)健核函數(shù),vi=(f(xi,θ)-yi)為觀測值(xi,yi)的殘差;f(·)是觀測值所滿足的幾何模型(此處為線性模型);θ為待求模型參數(shù);N為觀測值數(shù)目。

        表1 常用的M估計核函數(shù)ρ(v)和權(quán)函數(shù)w(v)(v為觀測值殘差,c為常量)Tab.1 Several commonly used M-estimators and their weight functions (v is the residuals of observations,c is a constant)

        式(1)通常轉(zhuǎn)換為下述IRLS問題進行求解

        (2)

        (1) 變量估計:給定權(quán)值w(vi)t-1作為已知量(t為迭代計數(shù)器),采用加權(quán)最小二乘法求解問題(3)

        (3)

        (3) 交替迭代執(zhí)行步驟(1)和(2),直至滿足算法終止條件。

        2 尺度自適應(yīng)Cauchy穩(wěn)健估計模型

        動機:經(jīng)典Cauchy估計只能處理低粗差比率問題。如果粗差比率較高(>50%),則初始估計(首次迭代)模型將大幅偏離真值,從而造成正確觀測值的殘差較大,權(quán)重很小。圖1(a)為經(jīng)典Cauchy估計的權(quán)函數(shù),可以看出,當殘差為20時,其權(quán)重僅為0.01。在如此苛刻的條件下,許多正確觀測值并沒有實際參與優(yōu)化過程。因此,理想的穩(wěn)健估計代價函數(shù)應(yīng)該首先讓所有觀測值都參與到優(yōu)化過程,然后,隨著迭代的進行逐漸提高代價函數(shù)的穩(wěn)健性,最終變?yōu)榻?jīng)典的M估計函數(shù)。具體如圖1(b)所示,觀測值取得小權(quán)值(假設(shè)為0.01)所對應(yīng)的殘差閾值應(yīng)隨著迭代的進行不斷縮小。開始時所有觀測值都參與優(yōu)化,盡管初始模型可能不準確,但殘差較大的正確觀測值仍會對優(yōu)化過程做出較大貢獻。每次迭代后由于閾值減小,一部分具有最大殘差的觀測值將會被賦予小權(quán)值,這些具有最大殘差的觀測值通常都是粗差觀測。因此,隨著代價函數(shù)的變化,許多粗差觀測被剔除,真實的粗差比率會不斷降低。當代價函數(shù)變?yōu)榻?jīng)典M估計時,真實粗差比率將會小于50%。

        圖1 傳統(tǒng)Cauchy M估計與理想穩(wěn)健估計的權(quán)函數(shù)曲線對比Fig.1 Comparison of traditional M-estimation function and the ideal function for robust estimation

        模型:為實現(xiàn)上述過程,本文提出了尺度自適應(yīng)Cauchy穩(wěn)健估計模型。在經(jīng)典Cauchy估計中引入尺度參數(shù)α來控制代價函數(shù)的穩(wěn)健性,其數(shù)學(xué)公式為

        (4)

        與其對應(yīng)的權(quán)函數(shù)為

        (5)

        圖1(b)顯示了不同尺度下的權(quán)函數(shù)曲線??梢钥吹剑敠寥≈翟酱髸r,越多的觀測值能夠參與優(yōu)化過程;反之,當α取值越小時,只有殘差很小的觀測值參與優(yōu)化,模型估計精度越高。

        求解:所提模型為經(jīng)典M估計的變種,可采用“由粗到精”的IRLS優(yōu)化策略。首先,將α初始化為大值(本文將初始尺度α0設(shè)為初始估計模型的最大殘差),進行模型估計、粗差剔除和權(quán)值更新;然后,隨著迭代過程α不斷減小,并執(zhí)行上述步驟直至模型收斂。

        (1)變量估計:給定尺度αt-1和觀測值權(quán)值w(vi,αt-1)t-1作為已知量,采用加權(quán)最小二乘法求解問題,見式(6)

        (6)

        (3)尺度更新:減小尺度αt=αt-1/τ,其中τ為步距常數(shù)(本文設(shè)為1.3)。

        (4) 交替迭代執(zhí)行步驟(1)—(3)直至滿足終止條件。

        可以看出,所提模型的優(yōu)化過程與傳統(tǒng)IRLS相似,僅多出粗差剔除與尺度更新過程。因而,其也具有傳統(tǒng)IRLS方法的優(yōu)點,如優(yōu)化效率高、具有最優(yōu)解、適用于平差系統(tǒng)等。

        3 模型應(yīng)用

        穩(wěn)健估計在攝影測量與遙感任務(wù)中具有重要作用,本節(jié)將所提尺度自適應(yīng)Cauchy模型應(yīng)用于誤匹配剔除、相機位姿估計及點云配準中。

        3.1 誤匹配剔除

        yi=f(xi,θ)=Axi+t

        (7)

        式中,A為2×2仿射矩陣;t為2×1平移向量;θ=(A,t)為仿射變換模型參數(shù)。誤匹配剔除的尺度自適應(yīng)Cauchy權(quán)函數(shù)為

        (8)

        3.2 后方交會

        (9)

        式中,P=K[R,T]為3×4相機投影矩陣;Pk(k=1,2,3)為P的第k行;θ=(R,T)為位姿參數(shù)。

        后方交會的尺度自適應(yīng)Cauchy權(quán)函數(shù)為

        (10)

        3.3 點云配準

        Yi=f(Xi,θ)=RXi+T

        (11)

        式中,θ=(R,T)為配準參數(shù);R為三維旋轉(zhuǎn)矩陣;T為三維平移向量。

        誤匹配剔除的尺度自適應(yīng)Cauchy權(quán)函數(shù)為

        (12)

        如果在模型f中加入尺度因子,該問題即變?yōu)閿z影測量中經(jīng)典的絕對定向問題。

        4 試驗結(jié)果與分析

        采用模擬試驗和真實數(shù)據(jù)試驗來評估本文模型的穩(wěn)健性、精度及效率?;谡`匹配剔除、相機位姿估計及點云配準3個任務(wù),將所提模型與Cauchy估計、Welsch估計、RANSAC、FLO-RANSAC及MAGSAC++進行對比分析。試驗選用均方根誤差(RMSE)、成功率及運行時間作為定量評價指標。每種方法的詳細配置信息(參數(shù)與代碼來源)見表2。所有方法的運行時間均在單核1.8 GB赫茲CPU i7-8550U上統(tǒng)計得到。

        表2 對比方法參數(shù)設(shè)置與代碼實現(xiàn)Tab.2 The parameter settings and implement details of each compared method

        4.1 誤匹配剔除

        試驗結(jié)果如圖2所示,Cauchy和Welsch估計在粗差比率低于50%的情況下精度與速度均為最優(yōu)。但是,一旦粗差比率超過50%,其性能將急劇下降,成功率曲線現(xiàn)斷崖式下跌至0。這也與M估計在理論上只能處理低于50%的粗差觀測的結(jié)論相吻合。與M估計相比,RANSAC類方法(RANSAC、FLO-RANSAC和MAGSAC++)和本文模型則對高粗差比率較為穩(wěn)健,能處理高達90%的粗差觀測。由于RANSAC類方法無法獲得最優(yōu)解,RANSAC和FLO-RANSAC的模型估計精度相對較差(RMSE最大)。雖然MAGSAC++也是RANSAC的一種變體,但是其在算法中采用了M估計來提升模型精度。本文方法精度與M估計相當,運行效率僅次于M估計。在粗差比率為90%時,本文模型比RANSAC方法快將近3個數(shù)量級,比采用C++實現(xiàn)的MAGSAC++快將近2個數(shù)量級。

        圖2 誤匹配剔除模擬試驗結(jié)果Fig.2 Comparison of mismatch removal results on the simulated data

        真實試驗:選取6種類型(包括可見光-可見光、紅外-可見光、SAR-可見光、深度圖-可見光、地圖-可見光、夜光-白天)的多模態(tài)影像對進行試驗對比。本文采用RIFT算法提取初始匹配點集。由于多模態(tài)影像存在嚴重的非線性輻射畸變,初始匹配點的粗差比率較高(>80%),傳統(tǒng)M估計無法成功解算,故只與其他3種方法進行對比,試驗結(jié)果見表3。本文模型同時取得了最佳模型精度與運行速度。模型精度相比排名第二的方法提升了15.6%;運行效率比采用C++實現(xiàn)的MAGSAC++快25倍,比RANSAC和FLO-RANSAC快350多倍。本文模型在每種影像對上的定性定量結(jié)果如圖3所示。

        表3 誤匹配剔除真實試驗結(jié)果Tab.3 The results of mismatch removal on real data

        注:n為初始匹配數(shù)量,γ為粗差比率,黃線表示正確匹配對。圖3 本文方法在多模態(tài)影像上的匹配結(jié)果Fig.3 Our feature matching results on the multi-modal image dataset

        4.2 后方交會

        圖4 后方交會模擬試驗結(jié)果Fig.4 Comparison of image orientation results on the simulated data

        真實試驗:選用2張由SWDC傾斜相機所攝影像作為測試數(shù)據(jù),影像大小為5406×7160像素,攝影比例尺約為1∶8000,相對航高接近700 m。其中,第1幅影像由中心垂直攝影相機拍攝所得,焦距為12 102.1像素;第2幅影像由傾斜攝影相機獲取,焦距為14 671.5像素。采用GPS-RTK技術(shù)在第1幅影像覆蓋測區(qū)內(nèi)布設(shè)了36個控制點,第2幅影像測區(qū)布設(shè)了60個控制點。然后,由人工刺點方式獲取這些控制點所對應(yīng)的像點坐標。然而,由于人工刺點錯誤,兩幅影像中正確像點觀測個數(shù)分別僅為12和15,即兩幅影像的粗差比率分別為66.7%和75%。實現(xiàn)結(jié)果見表4,本文方法再次在RMSE和運行時間兩個指標上取得了最優(yōu),解算精度約為1個像素。

        表4 后方交會真實試驗結(jié)果Tab.4 The results of image orientation on real data

        4.3 點云配準

        模擬試驗:模擬過程與誤匹配剔除類似,不同之處在于點云配準的觀測值為三維坐標點,并且?guī)缀文P蜑閮H包含三維旋轉(zhuǎn)和平移的剛體變換。三維點由正態(tài)分布N(0,1002)獲得,旋轉(zhuǎn)角在區(qū)間[-π/2,π/2]內(nèi)隨機生成,平移量在區(qū)間[-100,100]內(nèi)生成,高斯噪聲標準差為0.1 m。試驗結(jié)果如圖5所示,M估計(Cauchy和Welsch)在粗差比率超過40%后,性能開始急劇下降。反觀本文方法,即使在90%的粗差比率下,其解算成功率依然接近100%。

        圖5 點云配準模擬試驗結(jié)果Fig.5 Comparison of point cloud registration results on the simulated data

        真實試驗:從ETH公開激光點云數(shù)據(jù)集中選取3個點云匹配對進行試驗,每個匹配對間的真值剛體變換已知。這些激光點云的數(shù)據(jù)量非常大(千萬級點數(shù)),因此,首先利用格網(wǎng)濾波方法進行降采樣,采樣間隔為0.1 m。然后,采用ISS(intrinsic shape signatures)[36]算法和FPFH(fast point feature histograms)[37]算法分別進行特征檢測與特征描述,并通過最近鄰匹配得到初始3D特征匹配點。由于激光點云缺乏紋理信息,3D特征描述符的顯著性比較差,所以初始匹配集中粗差比率非常高(本文試驗中>96%)。在進行算法對比試驗之前,首先基于支持線投票策略進行初步篩選,過濾掉部分粗差觀測。試驗結(jié)果見表5,可知,本文模型的配準精度達到了0.2 m(兩倍的點云分辨率)。除開預(yù)處理部分(降采樣、初始匹配、支持線投票)的耗時外,本文模型僅需0.02 s即能實現(xiàn)配準參數(shù)解算。詳細的定性定量結(jié)果見圖6。

        表5 點云配準真實試驗結(jié)果Tab.5 The results of point cloud registration on real data

        注:n為初始匹配數(shù)量,γ為粗差比率,綠線表示正確匹配對。圖6 本文方法在三維激光點云上的配準結(jié)果Fig.6 Our registration results on 3D LiDAR point clouds

        4.4 參數(shù)τ敏感性分析

        基于點云配準模擬試驗來分析步長參數(shù)τ的最佳取值,試驗過程與3.3節(jié)類似,區(qū)別在于步長參數(shù)τ的取值不同,試驗結(jié)果如圖7所示。

        由圖7可知,當粗差比率小于80%時,τ在1.1~2.0間取值時均能取得100%的成功率;當粗差比率大于80%時,τ的取值越大,成功率越低。而算法所需的迭代次數(shù)與τ成反比,即τ越小,迭代次數(shù)越多,計算效率越低。綜合成功率和效率因素,τ的建議取值范圍為1.3~1.6,本文取1.3。

        圖7 參數(shù)τ敏感性分析試驗結(jié)果Fig.7 Results of sensitivity analysis of parameter τ

        4.5 模型缺陷

        本文模型存在一個隱含假設(shè)前提,即粗差觀測近似滿足均勻或者隨機分布(非對抗性粗差,non-adversarial outliers)。如果該假設(shè)前提不成立,則本文模型可能失效。比如,當粗差觀測大于50%,并且它們之間也滿足另一個幾何模型時,本文模型的解算結(jié)果將為粗差觀測所滿足的幾何模型。因此,其不適用于多幾何模型同時估計的情形。再比如,當正確觀測與粗差觀測在空間分布上各自聚為一團,并且相距較遠時,那么,由于初始估計偏差過大可能導(dǎo)致模型無法收斂。解決該類問題只需提供待求模型的良好初值。

        5 結(jié) 論

        本文提出了一種漸進優(yōu)化的尺度自適應(yīng)Cauchy穩(wěn)健估計模型。該模型引入了尺度控制參數(shù)來調(diào)節(jié)經(jīng)典Cauchy核函數(shù)的穩(wěn)健性。此外,該參數(shù)還發(fā)揮內(nèi)點閾值的作用。在優(yōu)化過程中,采用粗到精的迭代加權(quán)最小二乘法(IRLS)不斷提升核函數(shù)的穩(wěn)健性并過濾掉大殘差觀測值,降低真實粗差比率。采用大量模擬與真實數(shù)據(jù)對本文模型的正確性、解算精度、運行效率、通用性進行驗證,得到以下幾點結(jié)論:

        與采用M估計作為核函數(shù)的IRLS方法相比,本文模型能處理高粗差比率的情形。與RANSAC類方法相比,本文模型能獲取最優(yōu)解,模型求解精度更高,并且運行效率提升了2~3個數(shù)量級。本文模型具有較好的通用性,在誤匹配剔除、后方交會和點云配準任務(wù)中均取得了很好的效果。綜上所述,筆者認為該模型具有很好的實用性,在大多數(shù)攝影測量、計算機視覺等任務(wù)中能夠取代已被廣泛應(yīng)用的RANSAC方法。

        因為本文模型與經(jīng)典選權(quán)迭代法在形式上保持一致,筆者相信本文模型亦能用于平差系統(tǒng)中,進一步提升現(xiàn)有平差系統(tǒng)的抗差性能,這將是筆者下一步的研究重點。此外,IRLS方法比牛頓法的收斂速度慢,在高維度問題上尤為突出,后續(xù)筆者將進一步研究基于牛頓法的穩(wěn)健估計模型[38],提升平差系統(tǒng)運行效率。

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