晉智斌，陸 軍，金 秋，張宇杰，何 鑫

(1.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，成都 610031； 2.中國市政工程西南設(shè)計研究總院有限公司，成都 610084)

引言

我國沿海沿江地區(qū)提出了建造高速鐵路超大跨度橋梁的需求，目前已建成2座千米級主跨的高鐵橋梁，即滬蘇通大橋(主跨1 092 m)和五峰山大橋(主跨1 092 m)。超大跨度橋梁大多采用纜索承重體系，其結(jié)構(gòu)剛度小，溫度和列車荷載引起的變形顯著。高速列車在橋上的走行性成為超大跨橋梁方案的控制因素。

為控制橋梁下?lián)?，呼?zhǔn)鐵路黃河特大橋(預(yù)應(yīng)力混凝土剛構(gòu)連續(xù)梁)采用調(diào)整鋼束張拉順序、二期恒載上橋時間及預(yù)留體外預(yù)應(yīng)力束等措施[1]。三內(nèi)丸山跨線橋選用剛度較大的矮塔斜拉橋結(jié)構(gòu)體系，并采用了斜拉索防曬隔熱系統(tǒng)來控制與季節(jié)相關(guān)的橋梁變形[2]。

《鐵路橋涵設(shè)計規(guī)范》[3]中以撓跨比控制中小跨度橋梁剛度；對于大跨度橋梁，一般認(rèn)為可以放松其撓跨比限值；陳克堅等[4]認(rèn)為大跨度鐵路鋼桁梁斜拉橋豎向剛度可適當(dāng)偏低，豎向撓跨比設(shè)計值可取為1/500或1/800；陳卓[5]認(rèn)為車輛經(jīng)過大跨度橋梁時，車輛最大響應(yīng)并非出現(xiàn)在跨中，撓跨比不適合作為大跨度橋梁豎向剛度控制指標(biāo)。

高芒芒、趙會東等[6]指出弦測法適合作為大跨度橋面靜態(tài)不平順的控制指標(biāo)，建議用40 m中點弦測矢度控制高速鐵路橋梁變形；鄭曉龍等[7]以某上承式鐵路拱橋為研究對象，研究了溫度和收縮徐變引起的長波不平順對列車動力響應(yīng)的影響，建議以40 m弦測矢度5.5 mm作為橋梁變形的控制限值；劉超等[8]以百合郁江特大橋為例，采用60 m弦測評價梁面線形；楊飛等[9]還根據(jù)軌檢車實測數(shù)據(jù)，擬合出60 m弦測幅值與車輛振動加速度的關(guān)系，據(jù)此給出了弦測矢度的限值；魏賢奎等[10]采用10 m弦測法評價某大跨度斜拉橋高低和水平偏差；柏華軍、文望青等[11]建議當(dāng)鐵路橋跨度增大時，可采取設(shè)置過渡梁、增加輔助跨等方法控制梁端轉(zhuǎn)角。

近年來，弦測矢度逐漸被接納作為大跨橋梁變形控制的指標(biāo)。弦測法的弦長和矢度限值主要依靠軌檢車實測數(shù)據(jù)歸納和經(jīng)驗判斷。雖然路基與橋梁上軌道不平順的特征有較大差別，在缺少大跨橋上實測數(shù)據(jù)時，只能采用路基線路數(shù)據(jù)進(jìn)行推算。當(dāng)運營車型、車速、軌道不平順等條件發(fā)生變化時，尚需重新積累實測數(shù)據(jù)擬定弦長和矢度限值。對于如何確定最優(yōu)弦長和矢度限值這一基本問題，理論研究尚顯不足。

從車輛振動頻域理論入手，闡釋弦測法反映車輛振動水平的基本原理。從頻響函數(shù)相似的角度，給出最優(yōu)弦長的確定方法，并用頻域響應(yīng)給出車輛振動加速度與弦測值矢度的關(guān)系。

1 中點弦測法及其頻響函數(shù)

弦測法是一種測量軌道高低、軌向不平順的方法，利用車體與3個輪對，在車輛上建立測量“基準(zhǔn)線”進(jìn)行軌道高低和軌向測量[12-16]。將檢測車前后兩輪與軌道接觸點的連線作為測量基準(zhǔn)線，中間輪與軌道接觸點偏離基準(zhǔn)線的大小作為高低不平順的測量結(jié)果，即矢度值。圖1為弦測法測量原理。

圖1 弦測法原理示意

軌道不平順里程x處的弦測矢度值用M(x)來表示。設(shè)弦測中測點位置為x，則前后測點位置分別為x+L/2和x-L/2；相應(yīng)位置軌道不平順值為f(x+L/2)和f(x-L/2)。由于軌道不平順f(x)遠(yuǎn)小于弦測長度L，弦測矢度值M(x)和軌道不平順f(x)的關(guān)系如下

(1)

(2)

弦測法幅值的頻響函數(shù)HL(Ω)是弦測矢度與簡諧激勵的比值，即

(3)

圖2 簡諧激勵下的弦測法原理

根據(jù)式(3)，畫出10，30，40，60 m弦長中點弦測法幅值的頻響函數(shù)，如圖3所示。從圖3及式(3)分析，弦測法的頻響函數(shù)有如下特征：在波長為弦長奇數(shù)分之一處取得最大值2，波長為弦長偶數(shù)分之一處取得最小值0；在波長大于弦長后，頻響函數(shù)單調(diào)遞減。

圖3 弦測法頻響函數(shù)

2 車輛振動加速度頻響函數(shù)

車輛振動加速度頻響函數(shù)推導(dǎo)茲簡述如下[17]，兩系懸掛垂向振動模型如圖4所示。模型共有6個自由度，分別為車體沉浮與點頭，前后轉(zhuǎn)向架的沉浮與點頭。圖4中，Mc為車體質(zhì)量；Jc為車體點頭轉(zhuǎn)動慣量；Mb為轉(zhuǎn)向架質(zhì)量；Ks和Kp分別為二系垂向懸掛剛度和一系垂向懸掛剛度；Cs和Cp分別為二系垂向懸掛阻尼和一系垂向懸掛阻尼；zc和φc分別為車體豎向位移和點頭位移；zb1和zb2分別為前后轉(zhuǎn)向架的沉浮位移；lc為列車定距之半；lt為轉(zhuǎn)向架軸距之半。

圖4 兩系懸掛車輛豎向振動模型

根據(jù)上述車輛模型，推導(dǎo)車輛加速度的頻響函數(shù)。每個輪對下的軌面變形輸入具有固定的相位差。若第1個輪對下的軌道簡諧輸入為eiωt(其中，i為虛數(shù)單位；ω為軌面變形激勵的頻率ω=2πν/λ；λ為激勵波長；ν為車速)，則第2個輪對的輸入為ei(ωt-β1)，第3個輪對的輸入為ei(ωt-β2)，第4個輪對的輸入為ei(ωt-β3)。其中，β1，β2，β3為第2，第3和第4輪對輸入相對于第1輪對輸入的滯后相位。由圖4中各輪對之間的距離關(guān)系可知：β1=4πl(wèi)t/λ，β2=4πl(wèi)c/λ，β3=β1+β2。

車體加速度的測量位置是在轉(zhuǎn)向架正上方，因而，車體的沉浮和點頭振動對測量加速度均有貢獻(xiàn)。

(1)車體沉浮運動頻響函數(shù)

式(4)中，z1=(zb1+zb2)/2，為前后兩個轉(zhuǎn)向架沉浮的均值；qzeiωt為4個輪對下的軌道輸入車輛平均沉浮激勵，即

(5)

式(4)可進(jìn)一步寫成

(6)

由式(6)可以求得車輛沉浮振動頻率響應(yīng)函數(shù)為

Hz(ω)=

(7)

根據(jù)加速度頻響函數(shù)與位移頻響函數(shù)的關(guān)系，可得沉浮加速度頻響函數(shù)為

(8)

(2)車體點頭運動頻響函數(shù)

在簡諧激勵下，車體點頭與前后轉(zhuǎn)向架沉浮差值的耦合振動方程為

(9)

式(9)中，z2=(zb1-zb2)/2，為前后轉(zhuǎn)向架沉浮差值；qφeiωt為4個輪對下軌道對車體的點頭激勵，是前后轉(zhuǎn)向架下垂向激勵差值的一半，即

(10)

(11)

(3)轉(zhuǎn)向架上方車體加速度頻響函數(shù)

(12)

式中，“±”號分別為前后轉(zhuǎn)向架上方的車體測點加速度。

按式(12)計算，圖5給出某高速車輛轉(zhuǎn)向架上方車體加速度的頻響函數(shù)曲線，車輛運行速度為250 km/h。

圖5 車輛加速度頻響函數(shù)曲線

從圖5可見，車輛垂向加速度頻響曲線有2個峰值點，激勵波長λν1=42.7 m處對應(yīng)于車輛的第一階自振頻率，激勵波長λν2=11.4 m處對應(yīng)于車輛的第二階自振頻率。

3 弦測法最優(yōu)弦長的頻響函數(shù)相似原則

從振動頻域分析理論可知，若兩個物理系統(tǒng)的頻響函數(shù)在所有波長范圍內(nèi)成比例關(guān)系，則無論輸入的頻譜如何，在相同的輸入下，兩個系統(tǒng)響應(yīng)總是成比例的。據(jù)此原理，為使得弦測法確切地反映車輛加速度，應(yīng)令弦測法頻響函數(shù)盡量接近車輛振動頻響函數(shù)。弦測法和車輛加速度頻響函數(shù)逼近原則如下。

(1)弦測法能反映車輛頻響函數(shù)的長波單調(diào)衰減段。弦測法單調(diào)衰減段是激勵波長大于弦長的區(qū)段(即λ>L)。車輛頻響函數(shù)的單調(diào)衰減段是波長大于車輛第一階頻率對應(yīng)波長的區(qū)段(即λ>λν1)。因此，弦測法的弦長L應(yīng)不超過λν1；否則弦測法頻響函數(shù)在超過λν1后還有一個峰值，不滿足單調(diào)衰減條件。

(2)弦測法能反映車輛頻響函數(shù)短波段的峰值。弦測法在λ=(1，1/3，1/5，1/7，…)L，即弦長奇數(shù)分之一處取得最大值；車輛頻響函數(shù)在短波段λ=λν2處取得峰值，其中，λν2為車輛第二階自振頻率對應(yīng)的激勵波長。因此，弦測法的弦長應(yīng)等于車輛第二階自振頻率對應(yīng)波長的奇數(shù)倍，即L=(1，3，5，7，…)λν2。

以某速度250 km/h的車輛為例，用上述思路確定最優(yōu)波長。按式(12)算出車輛加速度頻率響應(yīng)函數(shù)，表達(dá)為幅值-波長關(guān)系如圖6所示。從圖6中可見，車輛兩個敏感波長分別是42.7 m和11.4 m，則弦測法弦長應(yīng)選擇(1，3，5，7，…)×11.5 m<42.7 m，篩選出弦長為3×11.4 m=34.2 m。

圖6 列車頻響函數(shù)與弦測幅值頻響函數(shù)的最佳逼近

由于軌道對車輛激勵時間的頻率ω與車速ν及激勵波長λ之間的關(guān)系是ω=2πν/λ，車輛的敏感波長與車速成正比。因此，弦測最優(yōu)弦測也與車速成正比。以圖6中車輛頻響函數(shù)為例，在車速200～350 km/h范圍內(nèi)，其最優(yōu)弦長見表1。

表1 車速200～350 km/h對應(yīng)的弦測法最優(yōu)弦長

4 弦測矢度與車輛加速度的關(guān)系

弦測法評價橋梁變形的思路是認(rèn)為軌面弦測矢度與車輛加速度之間呈線性關(guān)系，通過限定弦測幅值來間接控制車輛加速度，通過動檢車實測數(shù)據(jù)回歸出這一線性關(guān)系[9]。本節(jié)從隨機振動理論出發(fā)，給出弦測矢度與車輛加速度的關(guān)系，以便在缺乏實測數(shù)據(jù)的場合應(yīng)用。

設(shè)中點弦測法矢度值的標(biāo)準(zhǔn)差為σ2，則其與軌道不平順功率譜密度的關(guān)系為

(13)

式中，S(Ω)為軌道不平順譜空間域表達(dá)式；HL(Ω)為弦測法幅值的頻響函數(shù)，見式(3)。

根據(jù)隨機振動理論，車輛豎向振動加速度的標(biāo)準(zhǔn)差σp與不平順譜關(guān)系為

(14)

式中，Hp(ω)為車體轉(zhuǎn)向架上方加速度對軌道高低不平順的頻響函數(shù)，見式(12)；S(ω)為軌道不平順譜的時間表達(dá)，其與軌道不平順譜空間域S(Ω)的表達(dá)關(guān)系為

S(ω)=S(Ω)/v

(15)

(16)

式中，ν為均值穿越率，即每米范圍內(nèi)樣本歷程正向穿過均值次數(shù)；T為樣本長度。

按第3節(jié)頻響函數(shù)相似原則選定最優(yōu)弦長，其弦測矢度頻響函數(shù)與車輛加速度頻響函數(shù)形狀接近；在相同的軌道不平順激勵下，車輛加速度和弦測矢度實測的平均頻率接近。因此，這兩個過程可以采用相同的峰值系數(shù)。據(jù)此，車輛加速度峰值與弦測法峰值之比就是二者的標(biāo)準(zhǔn)差比，即

r=σ2/σp

(17)

上述比值也可以采用時域方法統(tǒng)計得到。即按給定軌道不平順激勵(實測或模擬)，再輸入車輛-軌道動力仿真程序[19]，進(jìn)行時域動力分析得到車輛加速度歷程y(x)。同時，計算軌道激勵的弦測矢度歷程z(x)，則弦測矢度與加速度比值r為max|z(x)|/max|y(x)|。

以德國低干擾譜、中國高速有砟譜和中國高速無砟譜為激勵，按照時域法計算的比值r如圖7所示。其中，弦測法弦長為40 m，車速為250 km/h。鑒于軌道激勵的隨機性，不同樣本算出的r值略有差異，文中生成30個樣本進(jìn)行統(tǒng)計，圖中還給出了r值95%、90%以及85%分位數(shù)(分別為均值減去1.65、1.28和1.03倍的標(biāo)準(zhǔn)差)。

圖7 40 m弦測法的r時域統(tǒng)計

時域法和頻域法得到的弦測矢度與車輛加速度比值對比見表2。時域樣本具有一定的離散性，由表2可得，其平均值為11 mm·s2/m。

表2 軌道隨機不平順激勵下比值r的頻域解與時域解對比(弦測40 m，車速250 km/h)

5 最優(yōu)弦長檢驗

弦測法最優(yōu)弦長在頻域上使得弦測矢度和車輛加速度頻響函數(shù)盡量接近，在時域上表現(xiàn)為：

①弦測矢度歷程z(x)和車輛加速度歷程y(x)的波形相似；②二者幅值max|z(x)|/max|y(x)|(即r值)較穩(wěn)定，對激勵波長范圍和波長成分不敏感。

5.1 波形相似系數(shù)

考察不同弦長的弦測矢度值時程和車體加速度時程的相似性，來評判弦測法弦長選取的優(yōu)劣。根據(jù)德國低干擾譜生成軌道不平順樣本，計算該樣本的弦測法矢度；另外將軌道不平順樣本輸入車輛-軌道動力分析程序[19]，計算得出車體轉(zhuǎn)向架上方的加速度。分別比較34，40，60 m弦長矢度值與車輛加速度的相似性。車輛加速度頻響函數(shù)如圖5所示，車速為250 km/h。軌道不平順的矢度與車輛加速度歷程見圖8。大致可看出，車體加速度時程與34 m和40 m弦測矢度值較為接近，而與60 m弦測法矢度值偏差較大。說明車速為250 km/h下，34，40 m弦測法矢度值均可較好地反映列車加速度響應(yīng)規(guī)律。

圖8 轉(zhuǎn)向架上方車體加速度與弦測矢度時程曲線

為定量評估弦測法矢度值的時程曲線與車體加速度時程曲線的相關(guān)性，以弦測法矢度與車體加速度時程的互相關(guān)函數(shù)作為波形相似系數(shù)Ryz

(18)

式中，Δ為弦測法矢度值的時程曲線與車體加速度時程曲線里程差。

圖9給出不同弦長弦測矢度值與車體加速度的波形相似系數(shù)關(guān)系。由圖9可看出，60 m弦測法矢度時程曲線與車體加速度時程曲線的互相關(guān)系數(shù)較低，僅為0.40。而34 m和40 m弦測法矢度值的時程曲線與車體加速度的時程曲線互相關(guān)系數(shù)較高，其中，34 m弦測法矢度值的時程曲線與車體加速度時程曲線互相關(guān)系數(shù)最高，為0.64；40 m弦測法矢度值時程曲線與車體加速度時程曲線互相關(guān)系為0.61，略小于34 m弦測法。說明按照第3節(jié)原則可得到優(yōu)選的弦長。

圖9 不同弦長弦測法矢度時程曲線與車體加速度時程曲線的互相關(guān)系數(shù)

需要說明的是，3種弦測法時程與車體加速度時程的峰值有一定時間差，其原理見圖10。圖中箭頭代表輪對位置，弦測矢度值時程起點為軌檢車后輪對測點，而車體加速度時程起點為車輛第一輪對。由于弦測法測試的是弦長中心點，車體加速度測試位置是在構(gòu)架中心正上方，在圖10的測量起點下，弦測矢度和車輛加速度的初始相位差即為圖中的Δ。顯然，這一相位差并不影響弦測矢度與車輛加速度的相關(guān)性。為直觀起見，圖8和圖9是減掉這一初始相位差后的結(jié)果。

圖10 弦測法時程與車體加速度時程初始相位差Δ(單位：m)

另外，可從圖8中統(tǒng)計各時程的平均頻率(即均值穿越率)。在T=650 m的歷程中，34 m弦測矢度和車輛振動加速度的正向穿越次數(shù)vT分別為34次和35次，按式(16)換算成峰值系數(shù)差別為0.35%。這從樣本層面說明了推導(dǎo)式(17)時采用的相同峰值系數(shù)的合理性。

5.2 波長范圍敏感性

從圖6可知，在不同的波長范圍內(nèi)，弦測法頻響函數(shù)和車輛加速度頻響函數(shù)的接近程度不同，因此，隨機不平順的波長范圍對二者峰值比r有一定影響。車輛加速度頻響函數(shù)如圖5所示，其車速為250 km/h。隨機不平順的波長上限為5～80 m，波長下限為2 m。根據(jù)頻域理論(式(17))計算得到比值r。

34，40，60 m弦長弦測法在德國低干擾譜不同隨機不平順波段的r值如圖11所示。從圖11中可見，在波長上限超過40 m后，34 m弦長弦測法比值r的變化不明顯，最后持平于10.23左右，說明其對波長范圍敏感性不強。60 m弦測的r值隨波長范圍變動最明顯，而40 m弦長的r值隨波長范圍的變動程度居中?？梢?，從波長敏感度方面，第3節(jié)給出的是優(yōu)選弦長。

大跨度橋梁變形的長波成分顯著，若r值對波長上限不敏感，說明弦測矢度限值不依賴于橋梁具體跨度，通用性高。圖11中波長上限在40 m以下時r值波動較大，但由于軌道隨機不平順的波長上限一般大于40 m，因此，小于40 m波長部分的波動并不影響弦測法限值選定。

圖11 波長范圍對峰值比r的影響

5.3 譜型敏感性

在不同類型的軌道不平順譜激勵下，弦測矢度和車輛加速度比值r也會出現(xiàn)變動。比值r隨譜型的變動越小，則弦長選取越好。以德國低干擾譜、中國高速有砟譜以及中國高速無砟譜為激勵，按式(17)計算34，40，60 m弦長矢度的r值。計算中，車輛加速度頻響函數(shù)如圖5所示，車速為250 km/h，隨機不平順的波長范圍是2～80 m。

不同譜型不平順激勵下，各弦長測弦測法和車輛加速度峰值比r如圖12所示。34 m弦長弦測法比值r隨譜型的變化不明顯，最大偏差僅有3.55%；40 m弦測矢度的不同譜型間比值r最大偏差為8.79%；60 m弦測的r值對于不同譜型變動最顯著，不同譜型間比值r最大偏差達(dá)15.64%?？梢?，從譜型敏感度方面，第3節(jié)給出的是優(yōu)選弦長。

圖12 3種弦測法對于不同譜型的r值

6 工程實例

以某主跨1 092 m的高速鐵路斜拉橋為例，考察上述變形控制方法可行性。橋梁立面如圖13所示。統(tǒng)計該橋多次軌道實測不平順和根據(jù)實測不平順模擬的車輛加速度，計算橋上軌道實測不平順的弦測法幅值與加速度峰值比r，考察40 m弦測法弦測矢度與車輛加速度比值與理論比值是否相符。

圖13 某高速鐵路斜拉橋立面(單位：m)

本實例的軌道幾何采用軌檢小車參照CPⅢ點測得，數(shù)據(jù)中包含長波成分。將波長200 m以上由曲率控制的成分濾掉；再將濾波后的斜拉橋軌道實測不平順輸入車輛-軌道動力學(xué)模擬程序[19]計算車輛加速度。圖14給出了濾波后的1條軌道實測不平順及其激勵下的模擬車輛加速度。車輛加速度的觀測點位于車體轉(zhuǎn)向架正上方的位置。根據(jù)車速(250 km/h)和橋上軌道不平順波長范圍(2～200 m)，可知圖14中車輛加速度的頻率范圍是0.35～35 Hz?！稒C車車輛動力學(xué)性能評定及試驗鑒定規(guī)范》[18]要求車體加速度傳感器的工作頻率范圍為0～100 Hz，車輛垂向加速度的截斷頻率范圍是0.4～40 Hz，這與車輛模擬加速度頻段范圍接近，因此，對模擬加速度不再作濾波處理。

圖14 軌道實測不平順值和模擬的車輛加速度

按照上述過程，計算多次實測橋上軌道不平順樣本的弦測峰值與車體垂向加速度峰值，求出二者的比值r，如圖15所示。圖中還給出了r值95%、90%以及85%分位數(shù)(分別為均值減去1.65、1.28和1.03倍的標(biāo)準(zhǔn)差)。

圖15 實測軌道不平順40 m弦測法峰值比

實測比值與理論比值數(shù)據(jù)對比見表3，表3中理論值是對應(yīng)于中國有砟軌道隨機不平順的結(jié)果。從表中可以看出，實測比值與理論比值的偏差較小(僅1.98%)。

《高速鐵路有砟軌道線路維修規(guī)則》[20]的車體垂向加速度av劃分為4級：經(jīng)常保養(yǎng)1.0 m/s2，舒適度1.5 m/s2，臨時補修2.0 m/s2，限速2.5 m/s2。車輛垂向加速度限值可根據(jù)表3的比值r換算為弦測矢度限值av×r。其中，r的平均值為11 mm·s2/m。

表3 弦測矢度與車輛加速度比值r的實測與理論值 mm·s2/m

7 結(jié)論

近年來，工程界逐漸認(rèn)識到弦測法矢度是反映大跨橋梁行車舒適性的有效指標(biāo)。但弦測法橋梁變形控制的關(guān)鍵參數(shù)依賴實測數(shù)據(jù)和工程經(jīng)驗。從頻域分析出發(fā)，為基于弦測法的大跨橋梁變形控制提供一些理論依據(jù)，主要研究成果如下。

(1)闡明了弦測法控制大跨橋梁變形的原理。發(fā)現(xiàn)了弦測矢度與車輛加速度二者頻響函數(shù)之間形狀相似，是弦測法有效的主要原因。

(2)給出了弦測法最優(yōu)弦長的選取原則。最優(yōu)弦長為車輛第二階自振頻率對應(yīng)激勵波長的奇數(shù)倍，接近但小于車輛第一階自振頻率對應(yīng)的激勵波長。

(3)基于隨機振動理論，得到了弦測矢度與車體加速度峰值之比的表達(dá)式。根據(jù)該峰值比，可將車輛加速度限值轉(zhuǎn)化為弦測矢度的限值。

(4)從時域波形相似性、峰值比穩(wěn)定性等角度，論證了最優(yōu)弦長的選取原則。發(fā)現(xiàn)最優(yōu)弦長的弦測波形與車輛加速度波形相似性最好；最優(yōu)弦長的峰值比對不平順波長范圍及軌道隨機不平順譜函數(shù)形式均不敏感。

(5)以車速250 km/h的高速車輛為例，建議實際工程中采用40 m弦長，峰值比為11 mm·s2/m。利用某超大跨度鐵路橋梁實測軌道線形數(shù)據(jù)，檢驗了峰值比表達(dá)式的準(zhǔn)確性。