劉華,陳娟

(1.上海電子信息職業(yè)技術(shù)學院,上海 201411;2.天津中德應用技術(shù)大學,天津 300350)

1.引言

設(shè)f是復平面C中單位圓D上的全純函數(shù).對任意1 ≤p<∞,f的均值積分定義為

經(jīng)典的Hardy凸定理指出Mp(f,r)對r ∈[0,1)是嚴格增的而logMp(f,r)是對數(shù)凸的[1].

Hardy凸定理是復分析和調(diào)和分析尤其是Hardy函數(shù)空間理論的重要工具.XIAO和ZHU在文[2]中討論了這些結(jié)果在體積分情形的推廣.實際上他們考慮的是更一般的單位球上的問題,即設(shè)

這里α是一個實數(shù)而dvα(z)=(1?|z|2)αdv(z)是單位球上的帶權(quán)測度.文[2]指出,雖然Mp,α(f,r)對r ∈[0,1)是嚴格增的,但logMp,α(f,r) 卻不是對數(shù)凸的.具體地說,logMp,α(f,r)是對數(shù)凸函數(shù)還是對數(shù)凹函數(shù)依賴于參數(shù)α的具體選取.進一步,他們猜想,當α≤0時,logMp,α(f,r)是對數(shù)凸函數(shù),反之則是對數(shù)凹函數(shù).

本文在多圓柱P2={z=(z1,z2)∈C2,|z1|<1,|z2|<1}上討論這個問題.由于多圓柱的特征邊界的拓撲與單位球有很大差別,其上的函數(shù)空間性質(zhì)也存在較大的差別.[3]

設(shè)1 ≤p <∞,f(z)是P2上的全純函數(shù),dσ(z)是單位圓盤上標準化的Borel測度,我們定義f(z)的帶權(quán)體積分均值為

其中dvα,β(z)=dσα(z1)dσβ(z2)且

我們在本文中僅討論α=β情形,此時vα,α記為vα,其它符號同樣處理.特別地,當p=∞時,可以按通常意義下理解為

當α >?1,1 ≤p <∞時,帶權(quán)Bergman空間是P2上全純函數(shù)空間H(P2)和Lp(P2,dvα)的交集.上的范數(shù)是

我們還需要Hardy空間的一些知識.對任意1 ≤p <∞,單位多圓柱P2上的Hardy空間Hp包含P2上滿足下列條件的全純函數(shù):||f||p=sup{Mp(f,r):0 ≤r <1}<∞,其中

是f的面積分均值,而dσ(ζ)是特征邊界?cP2的標準化Lebesgue測度即,這里需要指出的是,多圓柱上的Hardy空間與球上情形有較大差別,如n維復球上Hardy空間的函數(shù)的范數(shù)是在實2n ?1維球面上積分,而n維多圓柱上的Hardy空間的函數(shù)的范數(shù)是在實n維環(huán)面上積分.

我們將在本文討論Mp(f,r)=Mp(f,r,r)和Mp,α(f,r)的單調(diào)性質(zhì)及其對數(shù)函數(shù)的對數(shù)凸問題.由于多圓柱的對稱性不如單位球,文[2]中的方法并不能簡單平移過來.我們需要重新尋找新方法予以證明,同時,也會有一些新的結(jié)論.

2. Mp(f,r)及Mp,α,β(f,r)的單調(diào)性及其應用

我們在下面的定理敘述中并不提及Hardy空間或Bergman空間,但證明中需要用到這兩個空間性質(zhì).原因在于,如果f是單位圓盤上全純函數(shù),則f(rz)(0

定理1設(shè)1 ≤p <∞,且f是P2上非常值的全純函數(shù).那么體積積分均值函數(shù)(f,r)在[0,1)上是嚴格遞增函數(shù).

證文[4]已經(jīng)證明了單位圓盤上的相同定理.這個多圓柱上的問題并不容易轉(zhuǎn)化到單位圓盤上.也不同于文[2]中單位球上情形,多圓柱的的對稱性不足以使用片函數(shù)(slice),我們需要另外的處理.

由f(z)=f(z1,z2)不是常值函數(shù),則或者fz1(z2)=f(z1,z2)對幾乎處處的z1∈S1是z2的非常值全純函數(shù),或者fz2(z1)=f(z1,z2)對幾乎處處的z2∈S1是z1的非常值全純函數(shù).不妨設(shè)為前者.我們不直接處理Mp(f,r),轉(zhuǎn)而先研究二元實函數(shù)[5]

其中0 ≤r1,r2<1.固定r2和ζ2時,(2.1)中的內(nèi)層積分

就是作為一元全純函數(shù)fz2(z1)=f(z1,z2)對應的.因此關(guān)于r1是遞增函數(shù),即

同樣,關(guān)于r2是遞增函數(shù),特別地,由于fz2(z1)=f(z1,z2)是非常值全純函數(shù),關(guān)于r2是嚴格增的,故

即Mp(f,r)是嚴格遞增函數(shù).

定理2設(shè)1 ≤p<∞,α是實數(shù),且f(z)是P2上非常值的全純函數(shù).函數(shù)(f,r)在[0,1)上是增函數(shù),特別地,當f不是常值函數(shù)時,它還是嚴格遞增的.

證我們先做一些變形

這里等號成立當且僅當f是常函數(shù).

由(2.4),(2.7),(2.8)和上式,我們有

而且由前面僅當f是常函數(shù)時(2.9)中等號成立.故(f,r)或Mp,α(f,r)是r的增函數(shù),如f不是常函數(shù),它還是嚴格遞增的.

3.對數(shù)凸性

定理3設(shè)1 ≤p <∞,且f(z)是P2上非常值的全純函數(shù),則函數(shù)logMp(f,r)是logr的凸函數(shù).

證類似于文[4]中定理1.6的證明,對任意實數(shù)λ,設(shè)

令0

由次調(diào)和函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系有

對u(r1,r2)求二階混合偏導數(shù),并交換求積分和偏導秩序得

上式中?n1表示第一個變量的法向?qū)?shù)且ds1=r1dθ1.由格林公式和U是調(diào)和函數(shù),(3.3)的內(nèi)層積分的值與r1無關(guān),因此它是r2eiθ2的一元函數(shù).對這個一元函數(shù)繼續(xù)同樣操作,我們得到式等于

其中ds1=r′dθ1,ds2=r′dθ2.

由(3.4)知,u(r1,r2)為如下形式的函數(shù)

因此,我們得到

上式顯然是logr的凸函數(shù).由(3.2),我們有

即mp(f,λ,r,r)是對數(shù)凸的與文[2]中的討論類似,由(3.7)和文[4]中的第10頁可得logMp(f,r)也是logr的凸函數(shù),證畢.

定理3的證明與文[2]證明單位球情形有所不同,除了證明中提到的多圓柱上對稱性不足導致片函數(shù)工具不能使用之外,從(3.6)還可以看出,這里的證明并不能處理三元多圓柱的情形.

受文[2]中定理3及不帶權(quán)積分均值Mp(f,r)的凸性啟發(fā),XIAO和ZHU很自然地提出單位球上體積積分均值Mp,α(f,r)對logr的對數(shù)凸性問題.他們發(fā)現(xiàn)此時對數(shù)凸問題要復雜得多,即對某些α,logMp,a(f,r)是logr的凸函數(shù),而對另一些α它則是凹的.在多圓柱上,由于兩個參數(shù)α,β相互關(guān)聯(lián),問題變得更為復雜.我們來看看下面的一些例子.

例1設(shè)f是P2上的全純函數(shù).如果1≤p<∞,則logMp,0(f,r)是logr的凸函數(shù).

證首先我們有

繼續(xù)改寫為

由定理3,(3.8)的最內(nèi)側(cè)積分的對數(shù)是對數(shù)凸的,從而由[6]中的方法知道logMp,0(f,r)是logr的凹函數(shù).

例2設(shè)f是P2上的全純函數(shù).如果p=2,α=1且f(z)=z1z2,則logMp,α(f,r)是logr的凸函數(shù).

證由文[2]中例10,單位圓盤上的體積均值積分Mp,α(z1,r)和Mp,α(z2,r)的對數(shù)都是logr的凹函數(shù),而簡單的計算給出logMp,α(f,r)=logMp,α(z1,r)+logMp,α(z2,r),故它也是logr的凹函數(shù)