宋春蕾,陳偉,張國(guó)偉

(東北大學(xué)數(shù)學(xué)系,遼寧 沈陽 110819)

1.引言

本文研究下面二階邊值問題的正解,其邊值條件含有Stieltjes積分:

文[1]討論了邊值問題(1.1)正解的存在性,其中要求非線性項(xiàng)關(guān)于u,u′滿足線性增長(zhǎng)條件和與相應(yīng)線性算子有關(guān)的譜半徑條件.文[2]用類似的方法研究了如下更具一般性的二階邊值問題正解存在性:

其中a,b,c和d是非負(fù)常數(shù),滿足ρ=ac+ad+bc >0,是由有界變差函數(shù)B(t)給出的Stieltjes積分,但是文[1]和文[2]中定理的條件互不包含.最近,Webb在文[3]中利用文[4]證明的一個(gè)Gronwall型不等式,處理了(1.2)的非線性項(xiàng)中導(dǎo)數(shù)具有二次增長(zhǎng)但函數(shù)沒有增長(zhǎng)限制的二階非局部邊值問題,這種新型的Gronwall不等式可以替代通常使用的Nagumo條件來得到關(guān)于導(dǎo)數(shù)的先驗(yàn)估計(jì),但是要求A(t)和B(t)是單調(diào)增加的,即Stieltjes積分具有正測(cè)度.LI在文[5]中針對(duì)非線性函數(shù)具有二次增長(zhǎng)的二階局部邊值問題給出了正解存在的條件.與本文相關(guān)的工作也可見文[6-7].

在前述工作的基礎(chǔ)上,本文采用文[3]中的方法,討論邊值問題(1.1)正解的存在性,其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)u′為二階增長(zhǎng)而對(duì)于函數(shù)項(xiàng)u沒有增長(zhǎng)條件的約束,特別地,不需要有界變差函數(shù)A(t)單調(diào)的條件,即Stieltjes積分可以具有變號(hào)測(cè)度.最后通過例子表明,文[1]中的結(jié)論對(duì)本文所研究的問題不適用.

我們需要如下的引理,可見文[8–11].

2.正解的存在性

本文作如下假設(shè):

引理2.1[1]如果(C2)和(C3)滿足,則存在非負(fù)連續(xù)函數(shù)Φ0(s),使得對(duì)于t,s ∈[0,1],

用C1[0,1]表示在[0,1]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的全體函數(shù),在范數(shù)‖u‖C1=max{‖u‖C,‖u′‖C}下構(gòu)成Banach空間.如果(C1)-(C3)滿足,在C1[0,1]空間中定義算子S如下:

在C1[0,1]中定義錐

引理2.2[1]如果(C1)-(C3)滿足,那么S:K →K是全連續(xù)算子,并且邊值問題(1.1)的正解等價(jià)于S在K中的不動(dòng)點(diǎn).

引理2.3設(shè)(C1)-(C3)滿足,存在正常數(shù)p0,p3以及函數(shù)p1,,使得當(dāng)(t,x,y)∈時(shí),

顯然m

定理2.1設(shè)(C1)-(C3)滿足,f滿足增長(zhǎng)條件(2.5).如果下面的條件(F1)成立,則邊值問題(1.1)存在正解u ∈K,其中Q由(2.6)給出.

證 設(shè)(F1)滿足.定義相對(duì)于K的有界開集

Ur1相對(duì)于K的邊界?KUr1?Ur1,0∪Ur1,1,其中

下面將證明Su/=λu,?u ∈?KUr1,λ ≥1.否則,存在u ∈?KUr1和λ ≥1,使得λu(t)=(Su)(t).

于是根據(jù)引理2.3,‖u′‖C ≤Q(r1),從而u/∈Ur1,1.根據(jù)引理2.1和(2.7),當(dāng)u ∈Ur1,0時(shí),

在[0,1]上取最大值,可得矛盾λr1

根據(jù)引理1.1,不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)i(S,Ur1,K)=1.

定義相對(duì)于K的開集

令v0(t)≡1,注意到v0∈K.斷言u(píng)/=Su+σv0,?u ∈?KVr2,σ ≥0.如果斷言不成立,存在u ∈?KVr2和σ ≥0,使得u=Su+σv0.于是根據(jù)引理2.3,‖u′‖C ≤Q(r2),從而u/∈Vr2,1.當(dāng)u ∈Vr2,0時(shí),根據(jù)(2.4)可得

于是r2a ≤u(t)≤r2,?t ∈[a,b].故從引理2.1和(2.8)可知,

關(guān)于t ∈[a,b]取最小值,有矛盾r2a>r2a+σ.

根據(jù)引理1.2,不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)i(S,Vr2,K)=0.

根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的可加性,中存在不動(dòng)點(diǎn),顯然它是非平凡的,是邊值問題(1.1)的正解.

定理2.2設(shè)(C1)-(C3)滿足,f滿足增長(zhǎng)條件(2.5).如果下面的條件(F2)成立,則邊值問題(1.1)存在正解u ∈K,其中Q由(2.6)給出.

(F2) 存在0

對(duì)(t,x,y)∈[a,b]×[r1a,r1]×[0,Q(r1)],

證設(shè)(F2)滿足.由于Mr1

Ur2相對(duì)于K的邊界?KUr2?Ur2,0∪Ur2,1,其中

下面將證明Su/=λu,?u ∈?KUr2,λ ≥1.否則,存在u ∈?KUr2和λ ≥1,使得λu(t)=(Su)(t).于是根據(jù)引理2.3,‖u′‖C ≤Q(r2),從而.根據(jù)引理2.1和(2.9),當(dāng)時(shí),

在[0,1]上取最大值,可得矛盾λr2

根據(jù)引理1.1,不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)i(S,Ur2,K)=1.

定義相對(duì)于K的開集

令v0(t)≡1,注意到v0∈K.斷言u(píng)/=Su+σv0,?u ∈?KVr1,σ ≥0.如果斷言不成立,存在u ∈?KVr1和σ ≥0,使得u=Su+σv0.于是根據(jù)引理2.3,‖u′‖C ≤Q(r1),從而.當(dāng)時(shí),仍有(2.11)成立,于是r1a ≤u(t)≤r1,?t ∈[a,b].故從引理2.1和(2.10)可知,

關(guān)于t ∈[a,b]取最小值,有矛盾r1a>r1a+σ.

根據(jù)引理1.2,不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)i(S,Vr1,K)=0.

根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的可加性,中存在不動(dòng)點(diǎn),顯然它是非平凡的,是邊值問題(1.1)的正解.

3.幾個(gè)例子

考察具有變號(hào)系數(shù)四點(diǎn)邊值條件的二階問題

再考察具有變號(hào)核積分邊值條件的二階問題

例3.1如果f(t,x,y)=20(x2+ty2),則邊值問題(3.1)和(3.2)存在正解.

證顯然(C1)滿足.取p0=0.01,p1(t)≡20,p2(t)≡0,p3=20,g(x)=x2,于是當(dāng)(t,x,y)∈時(shí),f(t,x,y)≤p0+p1(t)g(x)+p2(t)y+p3y2,即f滿足增長(zhǎng)條件(2.5).令a=1/4,b=3/4,再取r1=0.01,r2=4,故r1

對(duì)于邊值問題(3.1),m=160/83,M=80/21,于是當(dāng)(t,x,y)∈[0,1]×[0,r1]×[0,Q(r1)]時(shí),

當(dāng)(t,x,y)∈[a,b]×[r2a,r2]×[0,Q(r2)]時(shí),

對(duì)于邊值問題(3.2),m=(1/2+1/π2)?1,M=(1/4+1/(2π2))?1,于是當(dāng)(t,x,y)∈[0,1]×[0,r1]×[0,Q(r1)]時(shí),

當(dāng)(t,x,y)∈[a,b]×[r2a,r2]×[0,Q(r2)]時(shí),

于是根據(jù)定理2.1,邊值問題(3.1)和(3.2)存在正解.

于是根據(jù)定理2.2,邊值問題(3.1)和(3.2)存在正解.

注對(duì)于例3.2中的非線性函數(shù)f,如果t=1,x=0,y →∞,那么f(t,x,y)≤a0x+a1y+C0不滿足;如果x →0+,y=0,那么f(t,x,y)≤b0x+b1y不滿足,其中ai,bi(i=0,1)和C0是正常數(shù).因此文[1-2]中定理的條件不滿足.