樊 琦，潘覃毅，陳家偉，趙萬(wàn)良，成宇翔

（1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2.上海慣性工程技術(shù)中心，上海 201109）

科氏振動(dòng)陀螺是一種利用科氏效應(yīng)敏感基座相對(duì)慣性空間旋轉(zhuǎn)角速率或角度的慣性傳感器。根據(jù)工作模式的不同，科氏振動(dòng)陀螺可分為角速率陀螺[1]和全角陀螺[2-4]。其中角速率陀螺將諧振子的一個(gè)工作模態(tài)激勵(lì)至穩(wěn)定的幅度，當(dāng)陀螺旋轉(zhuǎn)時(shí)利用另一個(gè)工作模態(tài)的位移輸出或抑制該位移的反饋力表征角速率的大小。而全角陀螺同時(shí)激勵(lì)諧振子兩個(gè)工作模態(tài)，產(chǎn)生自由進(jìn)動(dòng)的駐波，當(dāng)陀螺旋轉(zhuǎn)時(shí)駐波能量在兩個(gè)工作模態(tài)上重新分配，根據(jù)駐波方位角表征基座旋轉(zhuǎn)的角度。相對(duì)于角速率陀螺，全角陀螺具有直接輸出角度信息、大動(dòng)態(tài)范圍、高測(cè)量帶寬及穩(wěn)定的標(biāo)度因數(shù)等優(yōu)勢(shì)，因此受到國(guó)內(nèi)外科研工作者的關(guān)注。

但是高性能全角陀螺對(duì)諧振子剛度對(duì)稱性、極板間距一致性、阻尼對(duì)稱性及檢測(cè)電路增益一致性有嚴(yán)格要求。英國(guó)紐卡斯特大學(xué)團(tuán)隊(duì)提出利用擴(kuò)展卡爾曼濾波方案[5]對(duì)全角陀螺模態(tài)增益誤差參數(shù)進(jìn)行離線處理，降低了因極板間距誤差、檢測(cè)電路增益誤差等因素引起的角速率漂移。美國(guó)加州大學(xué)歐文分校團(tuán)隊(duì)針對(duì)全角陀螺增益誤差提出開環(huán)掃頻法進(jìn)行參數(shù)確定及補(bǔ)償[6]。增益誤差自校準(zhǔn)[7]及單路復(fù)用法[8]可實(shí)時(shí)消除全角陀螺的增益誤差。英國(guó)紐卡斯特大學(xué)團(tuán)隊(duì)針對(duì)全角陀螺剛度非對(duì)稱提出利用粗調(diào)和精調(diào)模態(tài)頻率調(diào)諧方案[9]，將頻率降低至10 mHz。南京理工大學(xué)團(tuán)隊(duì)提出一種利用虛擬旋轉(zhuǎn)進(jìn)行實(shí)時(shí)頻率匹配的方案[11]，將角度輸出誤差在全溫范圍從6.1 °降低至1 °。上海航天控制技術(shù)研究所團(tuán)隊(duì)在主軸失準(zhǔn)條件下，對(duì)半球諧振陀螺進(jìn)行了電剛度補(bǔ)償[11]。目前針對(duì)全角陀螺阻尼誤差的相關(guān)研究相對(duì)缺乏，阻尼誤差是通過(guò)工作模態(tài)間的振動(dòng)速度進(jìn)行耦合，而科氏效應(yīng)也是基于工作模態(tài)間的振動(dòng)速度進(jìn)行駐波能量的轉(zhuǎn)化，因此阻尼誤差很難與科氏效應(yīng)進(jìn)行區(qū)分。Horsley 等人針對(duì)阻尼誤差提出了電學(xué)反饋補(bǔ)償方案[12]，對(duì)能量分布矩陣進(jìn)行了差異化調(diào)整，將角度輸出誤差降低了30 倍。中國(guó)國(guó)防科技大學(xué)團(tuán)隊(duì)提出基于阻熱消散法對(duì)陀螺的非對(duì)稱阻尼進(jìn)行了抑制[13]，并應(yīng)用在全角陀螺中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明非對(duì)稱阻尼降低了87%。蘇州大學(xué)團(tuán)隊(duì)基于傅里葉擬合技術(shù)及多次迭代技術(shù)[14]，對(duì)MEMS 蜘蛛網(wǎng)狀陀螺誤差參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，經(jīng)補(bǔ)償后的最小速率閾值為0.05 °/s。但以上研究成果表明，目前全角陀螺阻尼誤差抑制主要是通過(guò)虛擬旋轉(zhuǎn)以及對(duì)阻尼誤差的離線辨識(shí)，但缺乏有效的自動(dòng)阻尼誤差補(bǔ)償方案。

本文針對(duì)全角陀螺的阻尼誤差，提出在阻尼主軸坐標(biāo)系中采用能量衰減法對(duì)阻尼誤差的影響進(jìn)行研究，確定了全角陀螺的速率死區(qū)指標(biāo)，并得到了在不同外界角速率下全角陀螺的進(jìn)動(dòng)特性。提出全角陀螺自適應(yīng)阻尼補(bǔ)償方案，建立了Simulink 模型并仿真驗(yàn)證了方案的有效性。最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用自適應(yīng)阻尼補(bǔ)償法對(duì)全角陀螺阻尼誤差進(jìn)行抑制，將MEMS多環(huán)陀螺的速率漂移從2 °/s 降低至0.25 °/s，性能提高了8 倍。

1 能量衰減法及全角陀螺速率死區(qū)

目前，國(guó)內(nèi)外大多數(shù)全角陀螺控制方案及角度誤差研究都是基于D.D.Lynch 的平均法，有關(guān)公式及定義可參考文獻(xiàn)[15]，在此不再贅述。我們利用旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)全角陀螺阻尼誤差矩陣進(jìn)行研究，提出利用能量衰減法確定阻尼誤差對(duì)全角陀螺駐波進(jìn)動(dòng)的影響，并確定了阻尼誤差引起的速率死區(qū)。

全角陀螺阻尼誤差模型如圖1 所示，其阻尼主軸所在坐標(biāo)系為x1-y1，陀螺兩工作模態(tài)阻尼系數(shù)分別為c1和c2，阻尼系數(shù)的不同將導(dǎo)致駐波能量在陀螺兩個(gè)工作模態(tài)上的衰減速率不同，此坐標(biāo)系下陀螺的阻尼矩陣C' 如式(1)所示。

圖1 全角陀螺阻尼誤差模型Fig.1 The damping error model of the WA gyro

而x-y坐標(biāo)系是陀螺驅(qū)動(dòng)、檢測(cè)電極所在位置，由于與坐標(biāo)系x1-y1之間相差角度β，因此導(dǎo)致陀螺兩個(gè)工作模態(tài)間存在能量耦合，干擾科氏效應(yīng)引起的駐波能量耦合。由于阻尼誤差引起的駐波能量耦合與科氏效應(yīng)引起的駐波能量耦合相位一致，因此很難將二者進(jìn)行區(qū)分，加大了阻尼誤差補(bǔ)償?shù)碾y度。

利用如式(2)所示的旋轉(zhuǎn)矩陣R，用于x-y 坐標(biāo)系下阻尼矩陣C及x1-y1坐標(biāo)系下阻尼矩陣C' 的互相轉(zhuǎn)換，坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)過(guò)程如式(3)所示。

最終得到x-y 坐標(biāo)系下陀螺的阻尼矩陣C為：

根據(jù)式(4)，阻尼矩陣中的對(duì)角元cxx和cyy引起全角陀螺兩軸振動(dòng)幅值的衰減，而非對(duì)角元cxy和cyx引起全角陀螺兩軸之間能量的耦合。

即使陀螺阻尼主軸所在坐標(biāo)系與激勵(lì)、檢測(cè)電極所在坐標(biāo)系不重合，采用式(2)及式(3)，可以將阻尼矩陣C轉(zhuǎn)換為阻尼矩陣C'，即在陀螺阻尼主軸坐標(biāo)系下研究陀螺駐波進(jìn)動(dòng)特性，這樣可以不考慮兩阻尼軸之間的阻尼耦合。在該坐標(biāo)系下，陀螺兩個(gè)工作模態(tài)的振動(dòng)位移x1(t)、y1(t)分別為：

其中A為駐波的幅值，θin是駐波相對(duì)阻尼主軸的初始角度，τx和τy分別是阻尼軸x1、y1的自由衰減時(shí)間常數(shù)。

當(dāng)陀螺兩個(gè)工作模態(tài)的阻尼不相等時(shí)，即τx≠τy，駐波能量在x1、y1軸上的衰減速度不同，因此導(dǎo)致駐波方位角的漂移，如式(6)所示。

對(duì)式(6)相對(duì)于時(shí)間進(jìn)行微分，可以得到駐波漂移速率：

并將式(5)帶入式(7)中，便可以得到駐波漂移速率關(guān)于駐波方位角θ的函數(shù)，如式(8)所示。

其中 Δ(1/)τ是陀螺兩個(gè)工作模態(tài)之間的阻尼誤差：

由于式(8)中，駐波的漂移速率是在阻尼主軸所在坐標(biāo)系中求得，考慮阻尼主軸坐標(biāo)系與陀螺激勵(lì)、檢測(cè)電極坐標(biāo)系之間的角度β，并考慮標(biāo)度因數(shù)κ的作用，根據(jù)能量衰減法得到駐波受到阻尼誤差的影響在電極坐標(biāo)系下的漂移速率，如式(10)所示。

根據(jù)式(10)，得到全角陀螺受到阻尼誤差導(dǎo)致的速率死區(qū)，如式(11)所示，即陀螺若想工作于全角模式下，必須突破該速率死區(qū)Ωth的限制。

2 阻尼誤差對(duì)全角陀螺駐波進(jìn)動(dòng)的影響

（1）Ω=0 時(shí)

為了驗(yàn)證阻尼誤差對(duì)駐波方位角漂移的影響，令τx=1s 且τy=2s，當(dāng)無(wú)外界角速率輸入時(shí)，不同初始方位角駐波的漂移如圖2 所示。

圖2 陀螺駐波受阻尼誤差影響產(chǎn)生漂移Fig.2 Gyro standing wave drift due to damping error

由圖2 可以發(fā)現(xiàn)，由于陀螺兩個(gè)工作模態(tài)存在阻尼誤差，初始方位角不同的駐波最終都漂移至陀螺阻尼主軸。

為了研究不同阻尼誤差大小對(duì)陀螺駐波漂移的影響，設(shè)置τx=1s，而τy比τx大10%～100%，駐波初始方位角為89 °，駐波漂移如圖3 所示。

圖3 陀螺駐波受不同阻尼誤差影響產(chǎn)生漂移Fig.3 Gyro standing wave drift under different damping errors

由圖3 可以發(fā)現(xiàn)，陀螺阻尼誤差的大小影響駐波漂移的速率，且阻尼誤差越大，駐波漂移至阻尼主軸所用時(shí)間越短，即駐波漂移的速度越快。

設(shè)置陀螺諧振頻率為8800 Hz，陀螺的品質(zhì)因數(shù)Qx=40000，Qy=30000，在陀螺阻尼主軸坐標(biāo)系中，在不同方位角下駐波受阻尼誤差產(chǎn)生的漂移如圖4 所示，其中最大漂移速率發(fā)生在45 °，為6.6 °/s，該駐波最大漂移速率便是由于阻尼誤差導(dǎo)致的速率死區(qū)Ωth。

圖4 陀螺駐波在不同位置處的漂移速率Fig.4 Gyro standing wave drift at different positions

因此當(dāng)外界沒(méi)有角速率輸入時(shí)，陀螺的駐波便朝著阻尼主軸進(jìn)行漂移，并停留在該軸所在方位角。

（2）0＜Ω≤Ωth時(shí)

當(dāng)外界角速率輸入大于零而小于速率死區(qū)Ωth時(shí)，駐波雖然可以產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)，當(dāng)進(jìn)動(dòng)到某一方位角，且在該方位角駐波的漂移速率與外界角速率產(chǎn)生的駐波進(jìn)動(dòng)速率相等時(shí)，駐波便停留在此位置，不再進(jìn)動(dòng)。此時(shí)陀螺無(wú)法工作于全角模式下。

當(dāng)只考慮阻尼誤差對(duì)駐波進(jìn)動(dòng)的影響，當(dāng)駐波無(wú)法進(jìn)動(dòng)時(shí)，駐波的進(jìn)動(dòng)速率為零，即=0，帶入式(10)即可得到此時(shí)駐波所在方位角θlock。

設(shè)置阻尼誤差引起的速率死區(qū) 0.5×Δ(1/τ)=15 °/s，角度增益為κ=0.8，阻尼主軸方位角β=0，當(dāng)外界角速率Ω為1 °/s、5 °/s、10 °/s和15 °/s 時(shí)，陀螺駐波產(chǎn)生的進(jìn)動(dòng)如圖5 所示。

圖5 陀螺駐波未突破速率死區(qū)在不同角速率下的進(jìn)動(dòng)Fig.5 Precession of gyro standing wave at different angular rates without breaking through rate dead zone

由圖5 可知，當(dāng)外界角速率輸入小于陀螺速率死區(qū)時(shí)，駐波能夠離開阻尼主軸產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)，然而由于無(wú)法突破速率死區(qū)的限制，最終駐波被鎖定在對(duì)應(yīng)的方位角，且此時(shí)由于阻尼誤差產(chǎn)生的駐波漂移與外界角速率相抵消。因此陀螺若想工作于全角模式下，必須突破速率死區(qū)的限制。

（3）Ω＞Ωth時(shí)

當(dāng)外界角速率輸入大于此速率死區(qū)，且假設(shè)陀螺不受增益誤差及剛度誤差的影響，駐波便可以突破速率死區(qū)的限制，工作于全角模式下。然而陀螺駐波進(jìn)動(dòng)速率-κΩ還是受到阻尼誤差周期性的干擾，只有當(dāng)κΩ?0.5×Δ(1/τ)時(shí)，駐波進(jìn)動(dòng)速率所受干擾才可以忽略。

外界角速率輸入突破速率死區(qū)限制后，陀螺便可以直接輸出駐波方位角，將陀螺的理想輸出θ=κΩt代入式(10)，得到：

將式(13)相對(duì)于時(shí)間進(jìn)行積分，便可以得到陀螺的角度輸出，如式(14)所示。

因此從式(14)可以發(fā)現(xiàn)，全角陀螺雖然完成了對(duì)角速率輸入的積分，得到了角度輸出-κtΩ，但是該角度輸出受到周期性角度誤差的干擾，此周期性角度誤差幅值即為全角陀螺的角度分辨率θdamping：

設(shè)置外界角速率輸入為Ω=40 °/s，阻尼誤差導(dǎo)致的速率死區(qū)為18.75 °/s，角度增益κ=0.8，陀螺的角度輸出在理想條件和非理想條件下如圖6(a)所示，非理想條件下的角度輸出誤差如圖6(b)所示。

圖6 陀螺駐波在非理想及理想條件下的進(jìn)動(dòng)Fig.6 Precession of gyro standing wave under non-ideal and ideal conditions

從式(15)可以發(fā)現(xiàn)，阻尼誤差導(dǎo)致的陀螺角度輸出誤差與角速率輸入成反比關(guān)系，角速率輸入越大，陀螺角度輸出誤差越小，如圖7 所示，說(shuō)明全角陀螺更擅長(zhǎng)于檢測(cè)大角速率輸入。

圖7 全角陀螺角度輸出誤差與輸入角速率的關(guān)系Fig.7 Relationship between angle output error and input angular rate of WA gyro

從式(15)可以看出增大外界輸入角速率的好處，因此可以在實(shí)際角速率輸入Ωin上疊加已知的虛擬角速率Ωvir，使總角速率輸入Ωtotal滿足：

這樣即便角速率Ωin＜Δ(1/τ)/2κ，此時(shí)也可以進(jìn)行全角工作模式，最終只需要在陀螺的最終角度輸出減去虛擬角速率輸入部分便可。

3 自適應(yīng)阻尼補(bǔ)償

速率死區(qū)是全角陀螺的一個(gè)重要性能指標(biāo)，當(dāng)陀螺只受到阻尼誤差的干擾，其角度輸出如式(17)所示。

其中fqs可用于產(chǎn)生虛擬轉(zhuǎn)速，當(dāng)其滿足式(18)時(shí)，便可以消除阻尼誤差引起的駐波方位角的漂移。

因此需要對(duì)陀螺的角度輸出信號(hào)中的阻尼誤差項(xiàng)進(jìn)行自適應(yīng)參數(shù)辨識(shí)，以產(chǎn)生所需虛擬轉(zhuǎn)速fqs。針對(duì)式(17)，暫時(shí)忽略虛擬轉(zhuǎn)速項(xiàng)，其可以表達(dá)為：

引入觀察向量A和參數(shù)向量B，滿足式(20)：

陀螺阻尼誤差自適應(yīng)算法就是不斷采集陀螺駐波輸出角度和角速率，采用遞歸最小二乘法不斷調(diào)整參數(shù)向量B，利用現(xiàn)有參數(shù)向量B計(jì)算出陀螺角度輸出，并使該輸出不斷接近采集得到的角度輸出，最終參數(shù)向量B中的參數(shù)逐漸收斂于其真值。自適應(yīng)阻尼誤差補(bǔ)償方案如圖8 所示。

圖8 全角陀螺自適應(yīng)阻尼誤差補(bǔ)償方案Fig.8 Adaptive damping error compensation for WA gyro

4 阻尼誤差自適應(yīng)補(bǔ)償驗(yàn)證

首先在Simulink 中對(duì)全角陀螺阻尼誤差自適應(yīng)補(bǔ)償算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，設(shè)置外界角速率輸入為50 °/s，角度增益κ=0.8，阻尼誤差 Δ(1/τ)/2=15°/s，阻尼主軸方位角θτ為60 °，采樣時(shí)間ts為1 ms。陀螺阻尼誤差參數(shù)辨識(shí)仿真結(jié)果如圖9 所示。

圖9 全角陀螺阻尼誤差參數(shù)自適應(yīng)仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results of adaptive damping error compensation for WA gyro

仿真結(jié)果表明，該陀螺阻尼自適應(yīng)補(bǔ)償算法能夠在2 s 內(nèi)完成對(duì)外界角速率輸入、阻尼誤差參數(shù)ad及bd的辨識(shí)。得到相關(guān)參數(shù)后，利用式(18)產(chǎn)生補(bǔ)償虛擬旋轉(zhuǎn)，抵消阻尼誤差引起的角度輸出誤差。如圖10所示仿真結(jié)果表明，利用阻尼自適應(yīng)補(bǔ)償能夠有效降低阻尼誤差導(dǎo)致的角度輸出誤差，其角度輸出誤差從未補(bǔ)償?shù)?1.2 °降低至補(bǔ)償后的0.009 °。

圖10 阻尼誤差補(bǔ)償前后全角陀螺角度誤差Fig.10 Simulation results of WA gyro angle error before and after damping error compensation

利用MEMS 多環(huán)陀螺搭建全角陀螺原理樣機(jī)，如圖11 所示，諧振子由40 個(gè)同心圓環(huán)組成，這些同心圓環(huán)通過(guò)分布的輻條相互連接，并最終連接到中心固體圓盤，諧振子的直徑為2 mm。采用圓片級(jí)真空封裝后，陀螺的品質(zhì)因數(shù)約為40000。該MEMS 多環(huán)陀螺采用2θ工作模態(tài)，具有8800 Hz 的標(biāo)稱諧振頻率。該多環(huán)陀螺具有16 個(gè)平行板電容電極，電極的間距為3 μm。進(jìn)行模態(tài)間增益誤差及剛度誤差的抑制后，增益誤差小于0.2%，頻差小于0.1 Hz。由于角度誤差與角速率輸入成反比，在此測(cè)試更能反映阻尼誤差的速率漂移值。

圖11 MEMS 多環(huán)全角陀螺原理樣機(jī)及測(cè)試設(shè)備Fig.11 Principle prototype and test equipment of MEMS multi-ring WA Gyro

此時(shí)陀螺駐波漂移主要受到阻尼誤差的影響，利用阻尼自適應(yīng)補(bǔ)償法對(duì)陀螺阻尼誤差進(jìn)行補(bǔ)償，陀螺駐波的角速率漂移如圖12 所示，可見速率漂移從阻尼誤差補(bǔ)償前的2 °/s 降低為補(bǔ)償后的0.25 °/s，性能提高了8 倍。

圖12 全角陀螺阻尼誤差補(bǔ)償前后的速率漂移Fig.12 Test results of WA gyro rate drift before and after damping error compensation

5 結(jié)論

本文針對(duì)全角陀螺的阻尼誤差，提出在阻尼主軸坐標(biāo)系中采用能量衰減法對(duì)阻尼誤差的影響進(jìn)行研究，確定了全角陀螺的速率死區(qū)指標(biāo)，進(jìn)而在不同外界角速率輸入情況下研究了阻尼誤差對(duì)陀螺駐波進(jìn)動(dòng)的影響。針對(duì)阻尼誤差的補(bǔ)償提出了阻尼自適應(yīng)補(bǔ)償法，通過(guò)Simulink 理論仿真，結(jié)果表明陀螺角度輸出誤差從未補(bǔ)償?shù)?1.2 °降低至補(bǔ)償后的0.009 °；采用MEMS 多環(huán)陀螺進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，結(jié)果表明駐波速率漂移從阻尼誤差補(bǔ)償前的2 °/s 降低為補(bǔ)償后的0.25 °/s，性能提高了8 倍，證明了阻尼誤差補(bǔ)償方案的有效性。