周政鐸，周黎，李博

(1.中國鐵道科學(xué)研究院 研究生部，北京 100081；2.中國國家鐵路集團(tuán)有限公司 科技和信息化部，北京 100844；3.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 運(yùn)輸及經(jīng)濟(jì)研究所，北京 100081)

0 引言

列車運(yùn)行圖在實(shí)施過程中，不可避免地會受到各種隨機(jī)因素的影響，導(dǎo)致列車發(fā)生初始晚點(diǎn)，還可能進(jìn)一步傳播發(fā)生連帶晚點(diǎn)。鐵路編圖工程師在編制列車運(yùn)行圖時(shí)通常會進(jìn)行“撒點(diǎn)”，即在區(qū)間運(yùn)行標(biāo)尺基礎(chǔ)上設(shè)置額外運(yùn)行時(shí)間。定義此額外運(yùn)行時(shí)間為列車運(yùn)行圖冗余時(shí)間。輕度晚點(diǎn)發(fā)生時(shí)，調(diào)度員通常令列車按原計(jì)劃順序開行，利用冗余時(shí)間吸收晚點(diǎn)。然而冗余時(shí)間目前主要依人工經(jīng)驗(yàn)設(shè)置，對于列車在沿途各站發(fā)生晚點(diǎn)給旅客造成的影響考慮不全面，因此還需研究更精細(xì)化的冗余時(shí)間布局方法。

國內(nèi)外有許多學(xué)者已對冗余時(shí)間布局進(jìn)行了研究。Cacchiani等[1]通過拉格朗日松弛算法，改進(jìn)并實(shí)現(xiàn)了提升非周期性列車運(yùn)行圖輕魯棒性的方法。Jovanovi?等[2]固定列車區(qū)間運(yùn)行時(shí)分和停站作業(yè)時(shí)分，將列車間隔冗余時(shí)間優(yōu)化分配抽象為背包問題。Andersson等[3]提出了混合整數(shù)線性規(guī)劃模型進(jìn)行優(yōu)化。胡思繼等[4]建立排隊(duì)論模型，計(jì)算出必要平均列車運(yùn)行圖冗余時(shí)間。宗俊雅等[5]繪制連帶晚點(diǎn)與平均列車間隔冗余時(shí)間取值關(guān)系曲線，通過尋找曲線變緩點(diǎn)確定冗余時(shí)間的合理取值。孫焰等[6]將單線區(qū)段運(yùn)行圖抽象成工序圖，推算晚點(diǎn)概率計(jì)算必要冗余時(shí)間。孟令云[7]建立下層仿真補(bǔ)償上層計(jì)算的雙層模型優(yōu)化冗余。蔣沐弘等[8]通過壓縮運(yùn)行圖，建立冗余時(shí)間優(yōu)化背包問題模型并求解。

然而在既有研究中，以優(yōu)化客運(yùn)服務(wù)質(zhì)量為主要目標(biāo)的研究尚不充分。針對既有研究的不足以及現(xiàn)場人工經(jīng)驗(yàn)的局限，將客流數(shù)據(jù)納入影響冗余時(shí)間布局的因素中，建立以旅客到達(dá)晚點(diǎn)總期望最小為目標(biāo)的冗余時(shí)間布局優(yōu)化模型，提出考慮冗余時(shí)間的列車晚點(diǎn)概率密度函數(shù)推算方法，以客流數(shù)據(jù)為權(quán)重，減小到達(dá)晚點(diǎn)時(shí)間加權(quán)期望，形成高速鐵路列車運(yùn)行圖冗余時(shí)間布局優(yōu)化方法。

1 模型構(gòu)建

1.1 列車運(yùn)行圖網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃模型與問題描述

設(shè)某個區(qū)段包含的車站數(shù)量為m，則區(qū)間數(shù)量為m-1，區(qū)段中包含的下行方向區(qū)間運(yùn)行作業(yè)數(shù)量為n。若將列車在區(qū)間運(yùn)行作業(yè)視為一項(xiàng)任務(wù)，用wj表示第j項(xiàng)任務(wù)，j=1，2，…，n；表示列車從車站駛?cè)雲(yún)^(qū)間的時(shí)刻，即wj的開始時(shí)刻；表示列車從區(qū)間駛?cè)胂乱徽镜臅r(shí)刻，即wj的結(jié)束時(shí)刻；tj表示wj的最小標(biāo)準(zhǔn)工時(shí)，包括區(qū)間純運(yùn)行時(shí)分和起停車附加時(shí)分，s；表示wj的計(jì)劃工時(shí)，s，那么列車運(yùn)行圖就對應(yīng)為一個包含有n個任務(wù)的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃。運(yùn)行圖與網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖對應(yīng)關(guān)系示意圖如圖1 所示，圖1a 是一包含4 個車站3 個區(qū)間的下行列車運(yùn)行圖，圖1b 是用單代號網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖對其進(jìn)行的表示。用(wi，wj)表示存在搭接關(guān)系約束的任務(wù)對，其基本搭接關(guān)系有4種[9]：①完成到開始(FS)關(guān)系；②開始到開始(SS)關(guān)系；③完成到完成(FF)關(guān)系；④開始到完成(SF)關(guān)系。列車最小停站作業(yè)時(shí)間和最小間隔時(shí)間約束條件均可用任務(wù)搭接關(guān)系來表示。

圖1 運(yùn)行圖與網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖對應(yīng)關(guān)系示意圖Fig.1 The mapping from the train working diagram to the active-on-node network

設(shè)為列車最小停站作業(yè)時(shí)間，s；按作業(yè)類型對列車最小間隔時(shí)間進(jìn)行劃分，得到列車最小間隔時(shí)間符號含義如表1 所示。圖1b中w1與w4均從A站始發(fā)，應(yīng)滿足列車最小出發(fā)間隔時(shí)間約束，對應(yīng)SS 型搭接關(guān)系約束：w1到B站停站作業(yè)，w4在B站通過，應(yīng)滿足列車最小到通間隔時(shí)間約束，對應(yīng)FF 型搭接關(guān)系約束：w4通過B站后w5立即開始，對應(yīng)FS型搭接關(guān)系約束：w2到達(dá)C站停站作業(yè)后w3開始，應(yīng)滿足最小停站作業(yè)時(shí)間約束，對應(yīng)FS型搭接關(guān)系約束，

表1 列車最小間隔時(shí)間符號含義Tab.1 The meaning of the train minimum headway symbols

由于我國大部分鐵路線路，尤其是高速鐵路均是雙線運(yùn)營，正常條件下，上下行列車區(qū)間運(yùn)行互不影響，因此可研究雙線區(qū)段單方向運(yùn)行圖冗余時(shí)間布局，對于另一方向也同樣適用。在網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中，如果不存在任何任務(wù)可以進(jìn)行局部左移操作，則稱此調(diào)度計(jì)劃為半積極調(diào)度計(jì)劃[10]。定義在固定開行順序下，將運(yùn)行圖中各項(xiàng)運(yùn)行任務(wù)，調(diào)整為其最早可能開始的時(shí)間，使其成為半積極調(diào)度計(jì)劃，此過程稱為運(yùn)行圖的“推線”。特別的，當(dāng)運(yùn)行圖中各項(xiàng)任務(wù)的工時(shí)按運(yùn)行標(biāo)尺推線時(shí)，此過程稱為運(yùn)行圖的“剛化”，剛化后的運(yùn)行圖稱為剛性列車運(yùn)行圖，剛化后較原始運(yùn)行圖節(jié)省出的時(shí)間稱為總?cè)哂鄷r(shí)間。

冗余時(shí)間布局優(yōu)化問題求解思路是先將原始列車運(yùn)行圖進(jìn)行剛化，再通過對各任務(wù)的開始、結(jié)束時(shí)刻進(jìn)行局部右移，將總?cè)哂鄷r(shí)間重新“撒點(diǎn)”到運(yùn)行圖中，降低晚點(diǎn)概率，最終得到旅客到達(dá)晚點(diǎn)總時(shí)間期望值最小的冗余時(shí)間優(yōu)化布局方案。

1.2 考慮冗余時(shí)間的列車晚點(diǎn)概率分布計(jì)算方法

列車實(shí)際發(fā)生的晚點(diǎn)可能是受初始晚點(diǎn)、連帶晚點(diǎn)和冗余時(shí)間共同作用的結(jié)果。其中初始晚點(diǎn)是受隨機(jī)干擾產(chǎn)生的，可作為獨(dú)立的隨機(jī)變量研究其概率分布，而連帶晚點(diǎn)需考慮晚點(diǎn)傳播因素，因此列車實(shí)際晚點(diǎn)往往服從的是兩者在一定冗余時(shí)間下的聯(lián)合概率分布。

1.2.1 列車初始晚點(diǎn)的概率分布

在實(shí)際運(yùn)行過程中，隨機(jī)干擾因素既可能發(fā)生在列車區(qū)間運(yùn)行作業(yè)過程，也可能發(fā)生在列車停站辦客作業(yè)過程。本模型的目標(biāo)函數(shù)只關(guān)注列車到達(dá)晚點(diǎn)時(shí)間，針對區(qū)間運(yùn)行作業(yè)添加冗余時(shí)間，本質(zhì)是右移列車的到達(dá)時(shí)刻，能夠直接起到吸收到達(dá)晚點(diǎn)作用。針對停站作業(yè)添加冗余時(shí)間，本質(zhì)是右移列車的出發(fā)時(shí)刻，但由于列車不能早于計(jì)劃時(shí)刻出發(fā)，故其對吸收列車到達(dá)晚點(diǎn)沒有直接作用。停站干擾視為車站對區(qū)間運(yùn)行的干擾示意圖如圖2 所示。對于發(fā)生在停站辦客作業(yè)過程中的干擾導(dǎo)致列車出發(fā)晚點(diǎn)，可將其視為車站對區(qū)間運(yùn)行作業(yè)的干擾，如圖2 情況a 表示列車在停站作業(yè)和區(qū)間運(yùn)行無干擾下的理想情況，情況b 表示列車在停站作業(yè)和區(qū)間運(yùn)行中均受到干擾，情況c 表示將情況b 中的停站作業(yè)干擾也視為區(qū)間運(yùn)行作業(yè)干擾的一部分，這樣就將2 個隨機(jī)因素合并考慮。模型假設(shè)列車在車站的停站作業(yè)過程不會發(fā)生初始晚點(diǎn)，只在區(qū)間運(yùn)行作業(yè)中受到隨機(jī)干擾，因而只針對區(qū)間運(yùn)行作業(yè)添加冗余時(shí)間。

圖2 停站干擾視為車站對區(qū)間運(yùn)行的干擾示意圖Fig.2 Schematic of regarding station disturbance as section disturbance

對于列車輕微初始晚點(diǎn)的概率分布，已有諸多學(xué)者做過研究，采用指數(shù)分布對其進(jìn)行描述較為合理。對于任務(wù)wi，設(shè)隨機(jī)變量Ξi為其運(yùn)行初始晚點(diǎn)時(shí)長，s，可知Ξi服從指數(shù)分布E(qi)，其執(zhí)行超時(shí)時(shí)長ξ的概率密度為

1.2.2 列車出發(fā)、到達(dá)晚點(diǎn)概率分布

（1）列車出發(fā)晚點(diǎn)概率密度。由于假設(shè)列車在車站的停站作業(yè)過程不發(fā)生初始晚點(diǎn)，因此列車出發(fā)晚點(diǎn)只可能受到2 個因素影響：①前車出發(fā)晚點(diǎn)導(dǎo)致連帶晚點(diǎn)；②本列車在車站到達(dá)晚點(diǎn)導(dǎo)致連帶晚點(diǎn)。列車實(shí)際出發(fā)晚點(diǎn)應(yīng)取兩種連帶晚點(diǎn)的最大值。

對于任意wk，設(shè)有SS 型搭接關(guān)系的任務(wù)對(wi，wk)，隨機(jī)變量為wi開始的晚點(diǎn)時(shí)長，s，(ξ)為其概率密度函數(shù)；有FS 型搭接關(guān)系的任務(wù)對(wj，wk)，隨機(jī)變量為wj結(jié)束的晚點(diǎn)時(shí)長，s，(ξ)為其概率密度函數(shù)。

式中：表示(wi，wk)的SS 型搭接關(guān)系約束的時(shí)距，s，根據(jù)列車作業(yè)類型從列車最小間隔時(shí)間中確定對應(yīng)的值。

式中：λj，k表示wj結(jié)束與wk開始之間是否存在停站作業(yè)，是則為1，否則為0。

那么，列車出發(fā)晚點(diǎn)ξ的累積分布函數(shù)為

其概率密度函數(shù)為

（2）列車到達(dá)晚點(diǎn)概率密度。列車到達(dá)晚點(diǎn)可能受到3 個因素影響：①區(qū)間前車到達(dá)晚點(diǎn)導(dǎo)致連帶到達(dá)晚點(diǎn)；②本列車在上一站出發(fā)晚點(diǎn)導(dǎo)致連帶到達(dá)晚點(diǎn)；③本列車在區(qū)間運(yùn)行作業(yè)中發(fā)生初始晚點(diǎn)。列車實(shí)際到達(dá)晚點(diǎn)應(yīng)取因素①與因素②③之和的最大值。

對于任意wk，設(shè)有FF 搭接關(guān)系的任務(wù)對(wi，wk)，隨機(jī)變量為wi結(jié)束的晚點(diǎn)時(shí)長，s，(ξ)為其概率密度函數(shù)；隨機(jī)變量為wk開始的晚點(diǎn)時(shí)長，s，(ξ)為其概率密度函數(shù)；隨機(jī)變量Ξk為wk執(zhí)行超時(shí)時(shí)長，s，fk(ξ)為其概率密度函數(shù)。

式中：表示(wi，wk)的FF 型搭接關(guān)系約束的時(shí)距，s，根據(jù)列車作業(yè)類型從列車最小間隔時(shí)間中確定對應(yīng)的值。

那么，列車到達(dá)晚點(diǎn)ξ的累積分布函數(shù)為

其概率密度函數(shù)為

根據(jù)列車實(shí)績運(yùn)行數(shù)據(jù)可以計(jì)算出列車在區(qū)間運(yùn)行超時(shí)服從指數(shù)分布的參數(shù)qi(i=1，2，…，n)，假設(shè)初始條件為所有列車在運(yùn)行圖中的首站始發(fā)正點(diǎn)，則可依次推算出，，，…，，等所有任務(wù)的開始和結(jié)束晚點(diǎn)概率分布。

1.3 數(shù)學(xué)模型

對于旅客而言，其重點(diǎn)關(guān)注的是列車作業(yè)在已經(jīng)向公眾公布了到發(fā)時(shí)刻信息的車站的履行情況，也就是列車在有客運(yùn)業(yè)務(wù)車站的正晚點(diǎn)情況[2]，且旅客往往根據(jù)到達(dá)時(shí)刻安排后續(xù)計(jì)劃，所以相較于列車出發(fā)晚點(diǎn)和通過晚點(diǎn)，到達(dá)晚點(diǎn)對旅客造成的時(shí)間成本更加顯著。因此高速鐵路列車運(yùn)行圖冗余時(shí)間優(yōu)化模型以旅客到達(dá)晚點(diǎn)總時(shí)間期望最小為目標(biāo)，則目標(biāo)函數(shù)表示為

式中：Ei為所有列車在車站i到達(dá)晚點(diǎn)總時(shí)間期望值，采用公式⒂計(jì)算；ωi為車站i到達(dá)晚點(diǎn)總時(shí)間權(quán)重，采用公式⒃計(jì)算，含義為在車站i下車旅客占所有旅客數(shù)量的比值。

式中：為所有在i站結(jié)束的任務(wù)集合；di為在車站i下車旅客人數(shù)，人。

模型具有以下約束條件。

（1）單任務(wù)冗余時(shí)間約束。運(yùn)行時(shí)分冗余設(shè)置過長可能會導(dǎo)致列車早點(diǎn)，若追蹤運(yùn)行的前車未出清進(jìn)站進(jìn)路，后車駕駛員會提前減速，在緊急情況下反而加大操作失誤的概率，存在安全隱患，故對于任意一項(xiàng)區(qū)間運(yùn)行作業(yè)，其冗余時(shí)間應(yīng)存在上限約束。

式中：α為單個任務(wù)最大冗余比例；TW為最小標(biāo)準(zhǔn)工時(shí)向量，TW=(t1，t2，...，tn)T。

（2）旅行時(shí)間與運(yùn)行圖總?cè)哂鄷r(shí)間約束。列車的旅行時(shí)間不可過長，且冗余時(shí)間重新布局后的彈性運(yùn)行圖最后一列車終到時(shí)間不應(yīng)超過原始運(yùn)行圖最后一列車終到時(shí)間。

式中：β為單列車旅行時(shí)間最大冗余比例；，TiTravel分別為列車i的終到時(shí)刻，始發(fā)時(shí)刻，最小旅行時(shí)間，s。

式中：T為運(yùn)行圖中第一列車始發(fā)到最后一列車終到的總時(shí)長，s。

（3）區(qū)間最小運(yùn)行時(shí)間約束。列車在區(qū)間運(yùn)行時(shí)分應(yīng)不小于運(yùn)行標(biāo)尺，當(dāng)在區(qū)間始端站或在末端站有停站作業(yè)時(shí)，還應(yīng)包含對應(yīng)的起停車附加時(shí)分。

（4）列車最小間隔時(shí)間約束。利用任務(wù)間的SS 搭接關(guān)系或FF 搭接關(guān)系表達(dá)列車最小間隔時(shí)間約束。對于存在SS 或FF 搭接關(guān)系的任務(wù)對(wi，wj)有

（5）最小停站時(shí)分約束。有FS 搭接關(guān)系的任務(wù)對(wi，wj)，wi結(jié)束與wj開始所在的車站相同。若列車在該站存在停站作業(yè)，任務(wù)對應(yīng)滿足最小停站時(shí)分約束，反之若列車在該站通過，則任務(wù)對FS搭接關(guān)系時(shí)距約束為0。

1.4 求解算法

模型在求解時(shí)，設(shè)置合適的時(shí)間粒度作為添加冗余時(shí)間的最小單位，并基于該粒度采用貪心算法進(jìn)行求解。

在滿足列車間隔條件且不超過單任務(wù)冗余時(shí)間上限條件下，若添加的冗余時(shí)間不會使運(yùn)行圖中最后一列車的終到時(shí)間推遲，則該冗余時(shí)間稱為自由冗余時(shí)間，否則稱為關(guān)鍵冗余時(shí)間。由于列車跨線或列車間存在速差和越行關(guān)系，剛性運(yùn)行圖中仍可能存在自由冗余時(shí)間，自由冗余存在形式如圖3 所示。圖3a中由于列車②在B站下線，則即使向任務(wù)2添加最多冗余時(shí)間，也不會影響任務(wù)5 的完成時(shí)間，即運(yùn)行圖總完成時(shí)間不變，因此為自由冗余時(shí)間。同理，圖3b 由于列車①與列車②之間存在速差，且在B站被列車②越行，則向任務(wù)3、任務(wù)5的運(yùn)行時(shí)分中添加冗余時(shí)間，也不會導(dǎo)致運(yùn)行圖總完成時(shí)間(任務(wù)6 的完成時(shí)間)推遲，因此此處的冗余時(shí)間也屬于自由冗余時(shí)間。

圖3 自由冗余存在形式Fig.3 Forms of free buffer time

將總?cè)哂鄷r(shí)間看作可以使用的時(shí)間資源，添加自由冗余時(shí)間則可在不消耗時(shí)間資源的情況下，降低晚點(diǎn)期望值。由上述分析可得，冗余時(shí)間布局優(yōu)化總是應(yīng)優(yōu)先考慮添加自由冗余時(shí)間。對于關(guān)鍵冗余時(shí)間，設(shè)計(jì)貪心算法，將計(jì)算每項(xiàng)任務(wù)在當(dāng)前狀態(tài)下添加一單位關(guān)鍵冗余時(shí)間后使目標(biāo)函數(shù)減小的幅度作為價(jià)值函數(shù)，選擇價(jià)值最大的任務(wù)添加關(guān)鍵冗余時(shí)間。

式中：z′為當(dāng)前狀態(tài)下目標(biāo)函數(shù)值；zj為向任務(wù)wj添加一單位冗余時(shí)間后的目標(biāo)函數(shù)值；svj為當(dāng)前狀態(tài)下選擇任務(wù)wj添加冗余時(shí)間產(chǎn)生的價(jià)值。

每添加一單位關(guān)鍵冗余時(shí)間，可能使運(yùn)行圖中出現(xiàn)新的自由冗余時(shí)間，因此每次做出貪心決策后，仍需檢查并添加當(dāng)前狀態(tài)下的可行自由冗余時(shí)間。算法步驟為：①剛化列車運(yùn)行圖，以剛性運(yùn)行圖為初始解；②更新當(dāng)前狀態(tài)，檢查并添加可行自由冗余；③當(dāng)前狀態(tài)下，計(jì)算向每項(xiàng)任務(wù)添加一單位關(guān)鍵冗余產(chǎn)生的價(jià)值svj；④降序排列所有任務(wù)的價(jià)值，選擇價(jià)值最大的任務(wù)添加一單位冗余時(shí)間；⑤判斷是否滿足運(yùn)行圖總?cè)哂鄷r(shí)間約束，是則轉(zhuǎn)步驟②，否則轉(zhuǎn)步驟⑥；⑥算法結(jié)束，將當(dāng)前狀態(tài)輸出為優(yōu)化后的列車運(yùn)行圖。

2 案例分析

2.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

選取京滬高速鐵路(北京南—上海虹橋)北京南—濟(jì)南西區(qū)段下行列車運(yùn)行圖為研究對象，由于列車調(diào)度員通常以3 小時(shí)階段計(jì)劃下達(dá)調(diào)度命令，因此劃定上午7：00—10：00 為時(shí)間范圍。選取的案例列車運(yùn)行圖如圖4所示。

圖4 案例列車運(yùn)行圖Fig.4 Train working diagram of the train in the case

將京津線路所、津滬線路所并入廊坊—天津南區(qū)間，案例涉及5 個區(qū)間13 個車次，共61 個區(qū)間運(yùn)行任務(wù)。根據(jù)歷史客流數(shù)據(jù)得到各站客流權(quán)重，根據(jù)列車實(shí)績運(yùn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到各區(qū)間平均運(yùn)行晚點(diǎn)，案例車站區(qū)間參數(shù)取值如表2 所示，由平均運(yùn)行晚點(diǎn)可以確定任務(wù)超時(shí)概率分布的參數(shù)q。

表2 案例車站區(qū)間參數(shù)取值Tab.2 Parameter values of stations and sections of the case

2.2 案例求解

設(shè)置單個任務(wù)最大冗余系數(shù)α=0.12，β=0.05，運(yùn)行圖完成總時(shí)間為3 h，即T=10 800(s)，冗余時(shí)間粒度為15 s，最小停站時(shí)間=120(s)，案例列車最小間隔時(shí)間取值如表3所示。

表3 案例列車最小間隔時(shí)間取值 sTab.3 Train minimum headway of the case

依照列車運(yùn)行圖中的運(yùn)行線結(jié)構(gòu)構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖，將對應(yīng)參數(shù)代入模型，用貪心算法共決策70次，求解得出各區(qū)間運(yùn)行過程添加的冗余時(shí)間，最終各列車在各區(qū)間運(yùn)行添加冗余時(shí)間結(jié)果如表4所示。

表4 各列車在各區(qū)間運(yùn)行添加冗余時(shí)間結(jié)果 sTab.4 Result of buffer time supplement in train sections

原始運(yùn)行圖計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值為33.96，優(yōu)化后的運(yùn)行圖計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值為25.20，優(yōu)化結(jié)果使旅客到達(dá)晚點(diǎn)總時(shí)間期望降低25.80%，進(jìn)一步提升了高速鐵路客運(yùn)服務(wù)水平。

3 結(jié)束語

優(yōu)化高速鐵路列車運(yùn)行圖冗余時(shí)間布局，對于降低列車晚點(diǎn)率、保障運(yùn)輸組織秩序、提升運(yùn)行圖彈性、提高客運(yùn)服務(wù)質(zhì)量等有著重要意義。研究提出了考慮冗余時(shí)間的列車到達(dá)出發(fā)晚點(diǎn)概率密度函數(shù)計(jì)算方法，解決了如何在有限的冗余時(shí)間條件下向區(qū)間運(yùn)行時(shí)分添加冗余時(shí)間的問題。以京滬高速鐵路北京南—濟(jì)南西區(qū)段為例進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果旅客到達(dá)晚點(diǎn)總時(shí)間期望值較原始運(yùn)行圖結(jié)果有明顯優(yōu)化。研究未考慮實(shí)際工作中調(diào)度員對列車開行順序的調(diào)整，對于運(yùn)行圖彈性的提升，未來仍需要進(jìn)一步結(jié)合運(yùn)行圖結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行研究。