李婧，范暉，劉春茹，楊芳

(中國(guó)石油 吐哈油田分公司a.勘探開(kāi)發(fā)研究院；b.三塘湖采油管理區(qū)；c.鄯善采油管理區(qū)，新疆 哈密 839009)

油水兩相相對(duì)滲透率是研究油水兩相滲流的基礎(chǔ)參數(shù)，也是進(jìn)行油田開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)、動(dòng)態(tài)分析以及數(shù)值模擬的重要參數(shù)[1-3]。研究油水相滲曲線應(yīng)用較多的是Willhite 數(shù)學(xué)模型[4-7]，但利用該數(shù)學(xué)模型擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，含水飽和度越低，油相相對(duì)滲透率擬合誤差越大；水相整體誤差相對(duì)較小，但隨含水飽和度增大，也出現(xiàn)水相相對(duì)滲透率擬合誤差也增大的現(xiàn)象[8]。針對(duì)此現(xiàn)象，文獻(xiàn)［8］提出油相和水相指數(shù)并非常數(shù)，并對(duì)Willhite 數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了改進(jìn)，使得相對(duì)滲透率擬合精度得到很大的提高，但改進(jìn)后的水相相滲關(guān)系式在擬合滲透率差異較大的多產(chǎn)層油井相滲曲線時(shí)，不同層水相相滲曲線的待定參數(shù)差異較大，利用算術(shù)平均法確定的油藏標(biāo)準(zhǔn)水相相滲曲線偏離層數(shù)較少的高滲主力產(chǎn)層，而偏向?qū)訑?shù)較多的低滲透非主力產(chǎn)層。為此，本文提出了一種新型Willhite數(shù)學(xué)模型。

1 新模型的建立

文獻(xiàn)［8］中提出了一種改進(jìn)Willhite數(shù)學(xué)模型：

選取紅臺(tái)油田紅臺(tái)2301 井巖樣17、巖樣18 和巖樣43，其空氣滲透率分別為0.497 mD、0.306 mD 和1.730 mD，有效滲透率分別為0.256 mD、0.146 mD 和0.412 mD。在應(yīng)用上述改進(jìn)Willhite 數(shù)學(xué)模型時(shí)，發(fā)現(xiàn)水相相滲曲線呈現(xiàn)弓背式形態(tài)時(shí)(圖1)，擬合待定參數(shù)與凹型形態(tài)的參數(shù)差異較大[9]。如巖樣43 的擬合參數(shù)m是其他巖樣的4 倍多，c的絕對(duì)值變大，數(shù)值變小，d遠(yuǎn)小于其他巖樣，這對(duì)利用巖樣擬合參數(shù)平均值來(lái)確定油藏標(biāo)準(zhǔn)油水相滲曲線將產(chǎn)生很大的影響(表1)。因此，需要對(duì)(2)式進(jìn)行改進(jìn)。

圖1 紅臺(tái)2301井油水相滲曲線Fig.1.Relative permeability curves of oil/water phase in Well HT2301

表1 紅臺(tái)2301井按文獻(xiàn)［8］中改進(jìn)水相相滲曲線擬合結(jié)果Table 1.Fitting results of the improved relative permeability curves of water phase in Well HT2301 according to Ref.[8]

由于Willhite 提出的冪函數(shù)模型在水相指數(shù)m為常數(shù)時(shí)，隨歸一化含水飽和度的增大單調(diào)遞增，而(2)式只對(duì)比較敏感的冪指數(shù)進(jìn)行了改變，未對(duì)冪函數(shù)底數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行改變，在擬合弓背式水相相滲曲線時(shí)，容易出現(xiàn)待定參數(shù)m和c過(guò)大、d過(guò)小的現(xiàn)象。若對(duì)Willhite 提出的水相相滲關(guān)系式的冪指數(shù)和底數(shù)同時(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)，即確保歸一化含水飽和度為0 時(shí)，水相相對(duì)滲透率為0，歸一化含水飽和度為1時(shí)，水相相對(duì)滲透率為殘余油飽和度下的水相相對(duì)滲透率的條件成立，固定(2)式冪指數(shù)中歸一化含水飽和度的指數(shù)為1，d前移到底數(shù)的變量中，得到如下數(shù)學(xué)模型：

從擬合相關(guān)系數(shù)來(lái)看，(4)式比(2)式的擬合效果要好，3 個(gè)巖樣的擬合相關(guān)系數(shù)均大于0.986 6。從紅臺(tái)2301 井不同巖樣擬合參數(shù)來(lái)看，(4)式的m、c和d變化區(qū)間比(2)式小，相對(duì)較集中(表2)。

表2 紅臺(tái)2301井新型油水相滲曲線擬合結(jié)果Table 2.Fitting results of the new relative permeability curves of oil/water phase in Well HT2301

2 新模型的求解

由于束縛水飽和度下的油相相對(duì)滲透率一般為1，令y0=lnKro/ln(1 -Swd)，x0=，a0=n，a1=b，則(1)式轉(zhuǎn)化為

對(duì)于(4)式，令y1=lnKrwi，x1=ln[1 -(1 -Swd)d]，x2=Swdln[1 -(1 -Swd)d]，a2=lnKwor，a3=m，a4=c，則(4)式轉(zhuǎn)化為

利用(5)式和(6)式，對(duì)紅臺(tái)2301井3塊巖樣相對(duì)滲透率和歸一化含水飽和度進(jìn)行擬合，再計(jì)算擬合參數(shù)的算術(shù)平均值，得到n為3.912 2，b為-1.924 9，k為5.170 1，m為1.362 1，c為0.941 1，d為1.295 7，這些參數(shù)值作為紅臺(tái)2301井油水相滲曲線的特征值[10]；其次，利用空氣滲透率加權(quán)平均確定出3塊巖樣的束縛水飽和度為0.420 9，殘余油飽和度為0.223 5；最后，將擬合參數(shù)的算術(shù)平均值、束縛水飽和度和殘余油飽和度代入(1)式和(4)式，得到紅臺(tái)2301井標(biāo)準(zhǔn)油水相滲曲線(圖2)。

圖2 紅臺(tái)2301井標(biāo)準(zhǔn)油水相滲曲線Fig.2.Standard relative permeability curves of oil/water phase in Well HT2301

同理，利用(1)式和(2)式，也可得到紅臺(tái)2301 井的標(biāo)準(zhǔn)油水相滲曲線。很明顯，本文改進(jìn)模型確定的標(biāo)準(zhǔn)油水相滲曲線與巖樣43 的油水相滲曲線相似，而根據(jù)文獻(xiàn)［8］改進(jìn)模型確定的標(biāo)準(zhǔn)油水相滲曲線在中—高含水期與巖樣17和巖樣18的油水相滲曲線相似，在高含水期與巖樣43 的油水相滲曲線相似。這對(duì)于多層生產(chǎn)的紅臺(tái)2301 井而言，物性好的巖樣43代表主力油層，物性較差的巖樣17 和巖樣18 代表非主力油層，因此，按照試井解釋[11]，油井的油水兩相滲流特征應(yīng)與主力油層的油水兩相滲流特征相近，即利用(1)式和(4)式確定的標(biāo)準(zhǔn)油水相滲曲線，更能反映紅臺(tái)2301井的油水兩相滲流特征。

在很多低滲油田中，水相相滲曲線為凹型(含直線型)和凸型(弓背式)[3]。儲(chǔ)集層物性越差，伊蒙混層和高嶺石含量越高，水敏或速敏越強(qiáng)，水相相滲曲線越容易呈凸型。如紅臺(tái)2301 井巖樣43，空氣滲透率為1.730 mD，有效滲透率為0.412 mD，孔隙度為8.9%，儲(chǔ)集層黏土礦物中伊蒙混層含量為24.8%，高嶺石含量為35.2%，測(cè)試得到的水相相滲曲線呈弓背式；其他2 塊巖樣物性差，儲(chǔ)集層黏土礦物中伊蒙混層和高嶺石含量較低，水相相滲曲線呈現(xiàn)凹型。因此，如果采用(2)式取3 塊巖樣擬合參數(shù)的算術(shù)平均值來(lái)求取標(biāo)準(zhǔn)油水相滲曲線，容易因低滲巖樣占比較大，造成水相相滲曲線偏向凹型。采用(4)式得到的水相指數(shù)差異較小，求取的標(biāo)準(zhǔn)油水相滲曲線基本位于3 塊巖樣油水相滲曲線的中部。

3 新模型的應(yīng)用

鑒于對(duì)Willhite 數(shù)學(xué)模型作了改進(jìn)，為便于水驅(qū)油規(guī)律的研究和礦場(chǎng)應(yīng)用，按照水驅(qū)油解析法[12]，以本文新型油水相滲數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，繪制各種經(jīng)典開(kāi)發(fā)曲線，得出參數(shù)關(guān)系式。

由(1)式和(4)式，得到無(wú)因次采油指數(shù)和無(wú)因次采液指數(shù)[13]：

由分流量方程[14]，可得：

利用(7)式—(9)式，可得到紅臺(tái)2301 井無(wú)因次采油指數(shù)和無(wú)因次采液指數(shù)曲線(圖3)，其變化特征符合中黏度油藏的水驅(qū)特征[12]。

圖3 紅臺(tái)2301井無(wú)因次采油指數(shù)和無(wú)因次采液指數(shù)曲線Fig.3.Curves of dimensionless oil productivity index and dimensionless fluid productivity index for Well HT2301

令a5=μwKowi/(μoKwor)，將(1)式和(4)式代入(9)式，得分流量解析式：

對(duì)(10)式求導(dǎo)，得含水率導(dǎo)數(shù)[15]：

當(dāng)出口端含水飽和度等于水驅(qū)前緣含水飽和度時(shí)，油井含水率等于水驅(qū)前緣含水率，代入(11)式，可得：

由Buckley-Leverett 的線性驅(qū)替理論可知，水驅(qū)前緣含水飽和度和水驅(qū)前緣后平均含水飽和度分別滿足以下方程[16]：

將(12)式代入(15)式，則：

求解(17)式，得到水驅(qū)前緣含水飽和度和水驅(qū)前緣含水率分別為0.549 0 和0.690 2，再通過(guò)(16)式得到水驅(qū)前緣后平均含水飽和度為0.606 4(圖4)。

圖4 紅臺(tái)2301井分流量曲線Fig.4.Curves of distributed flow in Well HT2301

由Welge方程可知[16]，油井見(jiàn)水后，油層平均含水飽和度：

若油層間物性和開(kāi)采無(wú)差異，那么，油井含水率等于出口端含水率，將(11)式代入(18)式，得：

不同含水階段驅(qū)油效率：

將利用(5)式和(6)式確定的參數(shù)值、束縛水飽和度和殘余油飽和度代入(20)式，歸一化含水飽和度取值范圍為0.050～1.000，步長(zhǎng)為0.025，可得到一組驅(qū)油效率與含水率的變化曲線。由于分流量導(dǎo)數(shù)曲線是一個(gè)具有極值的雙值函數(shù)(圖5a)，只有計(jì)算得到的驅(qū)油效率與含水率呈遞增關(guān)系時(shí)才具有實(shí)際意義。因此，選用分流量導(dǎo)數(shù)曲線右半部分驅(qū)油效率和含水率，作為水驅(qū)波及體積系數(shù)為1 時(shí)的采出程度和含水率，再利用廣義含水變化規(guī)律[17]：

擬合得到水驅(qū)波及體積系數(shù)為1 時(shí)含水變化規(guī)律曲線(圖5b)。選取紅臺(tái)2301 井水驅(qū)波及體積系數(shù)為0.56，得到標(biāo)定的水驅(qū)含水變化規(guī)律[18]：

圖5 紅臺(tái)2301井含水變化規(guī)律曲線Fig.5.Variations of water cut in Well HT2301

4 結(jié)論

(1)新的水相相滲數(shù)學(xué)模型在擬合不同巖樣水相相滲數(shù)據(jù)時(shí)，待定參數(shù)估值變化區(qū)間小，確定的標(biāo)準(zhǔn)水相相滲曲線受單個(gè)巖樣擬合參數(shù)的影響較小。

(2)部分巖樣為弓背式水相相滲曲線時(shí)，建議采用本文給出的(4)式進(jìn)行擬合。

(3)新型油水相滲數(shù)學(xué)模型減少了復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程，為礦場(chǎng)應(yīng)用和水驅(qū)規(guī)律研究提供了方便快捷的方法。

符號(hào)注釋

a0、a1、a2、a3、a4、a5、a6、b、b1、c、d、k、m、m1、n、n1、x0、x1、x2、y0、y1——待定參數(shù)；

Ed——驅(qū)油效率；

ER——采出程度；

ER1——水驅(qū)波及體積系數(shù)為1時(shí)的采出程度；

fw——含水率；

fwe——出口端含水率；

fwf——水驅(qū)前緣含水率；

G——出口端含水飽和度函數(shù)；

Gf——水驅(qū)前緣含水飽和度函數(shù)；

JLd——無(wú)因次采液指數(shù)；

Jod——無(wú)因次采油指數(shù)；

Kowi——束縛水飽和度下的油相相對(duì)滲透率；

Kro——油相相對(duì)滲透率；

Krw——水相相對(duì)滲透率；

Krwi——本文新模型求取的水相相對(duì)滲透率；

Kwor——?dú)堄嘤惋柡投认碌乃嘞鄬?duì)滲透率；

Sor——?dú)堄嘤惋柡投龋?/p>

Swd——?dú)w一化含水飽和度；

Swe——出口端含水飽和度；

Swf——水驅(qū)前緣含水飽和度；

Swfd——?dú)w一化水驅(qū)前緣含水飽和度；

Swi——束縛水飽和度；

μo——原油黏度，mPa·s；

μr——地下油水黏度比；

μw——地層水黏度，mPa·s。