趙 輝 郭春喜 孟靜娟 耿曉燕 王文超

1 自然資源部大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理中心，西安市友誼東路334號(hào)，710054

大地測(cè)量中不同大地坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換可通過三維七參數(shù)模型實(shí)現(xiàn)：選擇一定數(shù)量且分布較為均勻的公共點(diǎn)數(shù)據(jù)求取坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，建立坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。通?；谧钚《嗽?，以轉(zhuǎn)換殘差加權(quán)平方和最小為目標(biāo)條件進(jìn)行平差計(jì)算。由于2000國家大地坐標(biāo)系的精度比傳統(tǒng)參心坐標(biāo)系高1～2個(gè)數(shù)量級(jí)[1]，因此對(duì)已有參心坐標(biāo)系成果進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，需要考慮參心坐標(biāo)系下坐標(biāo)成果存在的誤差。

總體最小二乘法(TLS)能夠求解受隨機(jī)誤差影響的變量誤差模型(EIV)，由于系數(shù)矩陣中各隨機(jī)元素的精度不同，因此TLS可進(jìn)一步擴(kuò)展為加權(quán)總體最小二乘法(WTLS)。WTLS常用的求解方法是基于拉格朗日乘數(shù)法的條件極值建立的迭代算法[2]。目前，WTLS方法已被廣泛應(yīng)用于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、高程擬合、線性回歸等[3-5]。由于EIV模型假定系數(shù)矩陣中每個(gè)元素都存在誤差，而三維七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型的系數(shù)矩陣中存在常數(shù)項(xiàng)，因此可設(shè)置系數(shù)矩陣協(xié)因數(shù)陣相應(yīng)元素為0，進(jìn)而使常數(shù)項(xiàng)元素改正數(shù)為0。但上述方法無法解決系數(shù)矩陣中存在重復(fù)元素的問題。部分變量誤差模型(Partial EIV)對(duì)EIV模型進(jìn)行了擴(kuò)展，使得系數(shù)矩陣中部分元素存在誤差，進(jìn)而形成統(tǒng)一的模型形式[6]。

采用Partial EIV模型的加權(quán)總體最小二乘法WTLS能夠提高三維七參數(shù)的精度，但在對(duì)參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，待轉(zhuǎn)換坐標(biāo)的誤差是未知的?；诖?，本文采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立源坐標(biāo)系坐標(biāo)的誤差分布模型，從而更有效地發(fā)揮七參數(shù)加權(quán)總體最小二乘解的作用。

1 三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的加權(quán)總體最小二乘法WTLS

1.1 三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

不同空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的布爾莎模型為：

(1)

式中，(XS,YS,ZS)為源坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，(XT,YT,ZT)為目標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，ΔX0、ΔY0、ΔZ0為3個(gè)平移參數(shù)，εX、εY、εZ為3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)，m為尺度參數(shù)。

令a1=m+1、a2=a1εX、a3=a1εY、a4=a1εZ，則式(1)可改寫為：

(2)

式中，n為控制點(diǎn)個(gè)數(shù)。

(3)

式中，x0為參數(shù)近似值，Qy為觀測(cè)值向量協(xié)因數(shù)陣。

1.2 Partial EIV模型的加權(quán)總體最小二乘法

考慮到系數(shù)矩陣受隨機(jī)誤差影響，且存在非隨機(jī)元素或重復(fù)隨機(jī)元素，需采用Partial EIV模型[6]：

(4)

(5)

其中，Qa為系數(shù)向量a的協(xié)因數(shù)陣。

1)設(shè)置初值：x(0)=xLS，ea(0)=0。

三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的Partial EIV模型中，向量h和固定矩陣B為[9]：

(6)

2 顧及源坐標(biāo)系坐標(biāo)誤差的RBF組合解法

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種3層前饋局部逼近網(wǎng)絡(luò)，將輸入層數(shù)據(jù)非線性變化到高維空間的隱含層中，實(shí)現(xiàn)低維度空間內(nèi)線性不可分問題在高維度空間內(nèi)的線性可分，再將隱含層線性變換到輸出層中[10]。

通常選用高斯函數(shù)作為徑向基函數(shù)的激活函數(shù)：

(7)

式中，φj(X)為隱含層第j個(gè)神經(jīng)元的輸出值，X為輸入向量，μj為隱含層神經(jīng)元中心參數(shù)，σj為高斯函數(shù)的擴(kuò)展參數(shù)。

輸出層估計(jì)值為：

(8)

式中，wkj為輸出層第k個(gè)神經(jīng)元與隱含層第j個(gè)神經(jīng)元之間的權(quán)重。

對(duì)于坐標(biāo)改正數(shù)，可建立隱含層有m個(gè)神經(jīng)元的(3×m×3)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

2.2 組合解法的建立

使用Partial EIV模型的加權(quán)總體最小二乘法求解三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，在考慮系數(shù)矩陣誤差的情況下，求出七參數(shù)以及源坐標(biāo)的改正數(shù)。由于使用七參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)無法確定待轉(zhuǎn)換坐標(biāo)的誤差大小，因此本文基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立源坐標(biāo)的誤差分布模型，從而更有效地發(fā)揮加權(quán)總體最小二乘法對(duì)七參數(shù)求解的作用。

具體流程如圖1所示，算法步驟如下：

1)根據(jù)§1.1中公式，利用重合點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算七參數(shù)加權(quán)最小二乘解，并將其作為初值；

2)根據(jù)§1.2中迭代過程計(jì)算Partial EIV模型的加權(quán)總體最小二乘解；

3)利用步驟2)計(jì)算出的源坐標(biāo)系坐標(biāo)改正數(shù)訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；

4)基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算的待轉(zhuǎn)換點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)，利用Partial EIV模型的加權(quán)總體最小二乘法求出的七參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

圖1 組合方法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換流程Fig.1 Coordinate transformation process of composite method

3 實(shí)驗(yàn)分析

本文選取某地81個(gè)同時(shí)具有1980西安坐標(biāo)系和2000國家大地坐標(biāo)系成果坐標(biāo)的重合點(diǎn)數(shù)據(jù)，利用其中69個(gè)點(diǎn)計(jì)算模型參數(shù)，12個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，分別計(jì)算最小二乘解LS、加權(quán)總體最小二乘解WTLS、Partial EIV模型的加權(quán)總體最小二乘解PWTLS，并檢驗(yàn)本文提出的PWTLS+RBF組合方法的有效性。

表1(單位m)為3種七參數(shù)解算模型的單位權(quán)中誤差，可以看出，相比于經(jīng)典最小二乘平差LS，考慮系數(shù)矩陣中存在誤差的WTLS單位權(quán)中誤差提高了29%，考慮系數(shù)矩陣中存在相關(guān)元素的PWTLS單位權(quán)中誤差提高了55%。

表1 單位權(quán)中誤差

表2(單位m)為3種求解參數(shù)方法的內(nèi)符合精度，可以看出，PWTLS的內(nèi)符合精度略高于LS，但低于WTLS。這是因?yàn)閃TLS未考慮系數(shù)矩陣中的重復(fù)元素，所以能夠自由調(diào)節(jié)改正數(shù)以滿足目標(biāo)函數(shù)。

表2 內(nèi)符合精度比較

表3(單位m)為3種方法的外符合精度比較，由表可見，3種方法的外符合精度均相同，這主要是因?yàn)?種方法求出的七參數(shù)值差異較小，所以在未知檢核點(diǎn)坐標(biāo)誤差的情況下，求解出的轉(zhuǎn)換殘差基本相同。而本文提出的PWTLS+RBF組合方法首先利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算檢核點(diǎn)的坐標(biāo)誤差，然后根據(jù)PWTLS方法計(jì)算的轉(zhuǎn)換參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，因此外符合精度較高。

表3 外符合精度比較

圖2(a)、(b)為PWTLS方法直接解算得到的參數(shù)點(diǎn)源坐標(biāo)改正數(shù)，以此為訓(xùn)練樣本對(duì)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練；圖2(c)、(d)為利用訓(xùn)練完成的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)檢核點(diǎn)源坐標(biāo)改正數(shù)，對(duì)源坐標(biāo)進(jìn)行改正后再根據(jù)七參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換的過程圖，轉(zhuǎn)換結(jié)果如圖3所示。

由圖3(a)、(b)可見，PWTLS+RBF組合法計(jì)算參數(shù)點(diǎn)高斯投影平面坐標(biāo)殘差的絕對(duì)值小于0.1 m，大地高殘差的絕對(duì)值小于0.5 m；由圖3(c)、(d)可見，PWTLS+RBF組合法檢核點(diǎn)高斯投影平面坐標(biāo)殘差的絕對(duì)值小于0.05 m，大地高殘差的絕對(duì)值小于0.5 m，說明重合點(diǎn)的大地高精度較低。

圖2 源坐標(biāo)改正數(shù)Fig.2 Correction of source coordinate

圖3 PWTLS+RBF組合法轉(zhuǎn)換殘差Fig.3 Residuals of coordinate transformation method combining PWTLS and RBF

4 結(jié) 語

本文顧及源坐標(biāo)誤差對(duì)轉(zhuǎn)換參數(shù)求解的影響，對(duì)比分析LS、WTLS、PWTLS方法對(duì)七參數(shù)求解的不同影響。為解決實(shí)際轉(zhuǎn)換過程中待轉(zhuǎn)換坐標(biāo)誤差未知的問題，提出PWTLS+RBF組合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，PWTLS能夠更好地解決轉(zhuǎn)換模型系數(shù)矩陣中同時(shí)存在常數(shù)元素和重復(fù)元素的問題，單位權(quán)中誤差和內(nèi)符合精度均小于LS，且源坐標(biāo)改正數(shù)較WTLS更加合理。PWTLS+RBF方法能夠使PWTLS求解參數(shù)得到有效使用，提高其在實(shí)際應(yīng)用中的轉(zhuǎn)換精度。