趙新哲， 孫樹權， 張志宏， 饒玉斌， 肖望強*

(1.國家能源集團準能集團有限責任公司， 鄂爾多斯 010300； 2.廈門大學航空航天學院， 廈門 361000)

管狀帶式輸送機(下文簡稱管帶機)是選煤廠向矸石電廠輸煤的長距離運輸皮帶，在工作時會產生一定的振動，為了減少振動帶來的不利影響，現需一種對管帶機進行減振降噪的裝置，以減少其工作振動。針對此需求，現基于超結構與顆粒阻尼研究、設計、制造一種新型顆粒阻尼超結構，利用超結構所具有的超常規(guī)、全新的物理特性[1]，例如振動帶隙特性，對管帶機進行減振。對于具有非常規(guī)的動態(tài)等效屬性超結構具有的低頻調控能力也被看作實現低頻隔振的一個潛在突破口[2]。目前已有大量新型超結構被提出，總體分為兩類：其一是將材料向周期性的開孔板進行填充，或者是周期性的布置陣列吸振器和電壓材料。Liu等[3]、Sheng等[4]提出局域諧振型超材料，將小鉛球用柔性橡膠包裹后周期性的嵌入環(huán)氧樹脂基體之中，因其具有亞波長結構，從而能達到對低頻聲波進行阻隔的效果。Yu等[5]通過嵌入式的超結構設計方法設計了具有較高強度的蜂巢三明治板，并嵌入了低強度的諧振微結構，有效解決了全樹脂結構靜承載適應差的問題。而聲子晶體[6-10]作為一種具有獨特傳播性能與物理現象的復合型周期性排列超結構，其具有的彈性波禁帶特性[11-17]使得當振動產生的彈性波在其內部傳播時會被阻斷，使其無法在聲子晶體內部有效傳播，故能夠在特定頻率范圍內有效地對基體進行減振。

顆粒阻尼減振將非阻塞性顆粒阻尼減振和動力吸振器相結合，是一種十分有效的振動控制技術，國內學者針對顆粒阻尼減振進行了大量的研究，也取得了很多突破性的進展。毛寬民等[18]對顆粒阻尼效果進行了大量的仿真與試驗，對其阻尼效果隨試驗條件(填充率、阻尼材料、減振裝置形狀)的變化規(guī)律進行探究，提出了顆粒阻尼球狀散體元模型。肖望強等[19-20]通過離散元的方法對顆粒阻尼減振進行大量的研究，并成功設計了具有顯著減振耗能效果的顆粒耗能阻尼裝置。

現以管帶機為減振對象，從超結構的帶隙特性出發(fā)，結合顆粒阻尼減振技術設計顆粒阻尼超結構，通過模態(tài)振動理論研究超結構的帶隙成因，并通過等效阻尼法對顆粒阻尼型聲子晶體進行彈性模量、泊松比、阻尼比等效并構建模型。通過仿真與試驗對顆粒阻尼型聲子晶體進行能帶結構與振動傳輸特性進行分析，得到非顆粒阻尼型聲子晶體與顆粒阻尼型聲子晶體的減振效果。以期為顆粒型聲子晶體在管帶機上的應用提供理論支撐。

1 顆粒型聲子晶體建模方法

管帶機支架上的用于鋼架之間相互連接的鋼板，是管帶機的重要承載結構，經測試發(fā)現在管帶機工作時鋼架連接部位會產生較大幅度的振動如圖1～圖3所示。

圖1 管帶機振動測試圖Fig.1 Tubular belt conveyor vibration testing

圖2 管帶機結構Fig.2 Tubular belt conveyor structure

圖3 管帶機振動加速度頻響幅值Fig.3 Tubular belt conveyor vibration acceleration frequency response amplitude

由圖3振動測試可以看到，管帶機主振頻率為270～450 Hz，也是作為顆粒阻尼型聲子晶經過體傳遞損失仿真的輸入頻率的依據?，F基于管帶機鋼架連接部位的鋼板(圖1)通過COMSOL進行顆粒型聲子晶體的單胞建模與理論計算，如圖4所示。

圖4 顆粒阻尼型聲子晶體結構Fig.4 Unit of particle damped phonon crystal

采用有限元法分析超結構元胞帶隙，由于理想聲子晶體所具有的無限周期性，可對超結構的聲子晶體進行有限元計算。通過設置周期性邊界條件，采用Bloch波矢K遍歷布里淵區(qū)，由本征方程的求解得到本征頻率ωn(K)和本征模式，之后將不同方向的本征頻率進行組合得到超結構的能帶結構圖。聲子晶體的彈性波波動方程為

u?2u(r)+(λ+μ)?[?·u(r)]=-ρω2u(r)

(1)

式(1)中：r為位置矢量；ω為特征圓頻率；ρ為介質密度；?為哈密頓算子；u為質點位移矢量；λ和μ為介質材料的拉梅常數。有限元求解之后的矩陣形式為

Ku=ω2M

(2)

式(2)中：K為剛度矩陣；M為結構質量矩陣；u為位移特征向量，由于聲子晶體的周期性，其晶格平移性也體現在函數uk上。

uk(r)=uk(r+Na)

(3)

式(3)中：a為元胞常數；N為任意整數；uk(r)為與系統(tǒng)周期相同的周期函數，使波矢遍歷布里淵區(qū)后即可得到完整能帶結構圖。根據Bloch定理得到本征場波函數為

u(r+a)=ei(ka)u(r)

(4)

式(4)中：k為波矢量。

聲子晶體的傳遞函數仍使用有限元法，通過對聲子晶體板的一端輸入加速度激勵，收集另一端的加速度輸出，并分析其隔振能力。

(5)

式(5)中：aR為輸出點加速度幅值；aL為激烈點加速度幅值。

由結構動力學可知，多自由度的微分運動方程為

(6)

由于當聲子晶體中安裝顆粒阻尼器之后，顆粒系統(tǒng)是非連續(xù)介質故不適用與有限元法，無法直接給出顆粒阻尼的阻尼矩陣C。由于顆粒阻尼具備趨于維持其固有狀態(tài)屬性與在重力、摩擦力等作用下保持其原有堆積形態(tài)的特性，并且阻尼結構將基體結構的振動能量轉化為其他類型能量?？芍w粒系統(tǒng)阻尼可等效為比例黏性瑞利阻尼，對于處在受迫微振動狀態(tài)下的顆粒系統(tǒng)，其質量變化極為微小，故依據

(7)

式(7)中：md為動態(tài)質量；msta為靜態(tài)質量；vg為顆粒群的平均速度；c為光速。由于顆粒系統(tǒng)的平均動態(tài)質量與靜態(tài)質量在外界的激勵下基本相等且保持不變，其動態(tài)質量密度滿足關系式為

(8)

式(8)中：ρd為平均動態(tài)質量密度；ρsta為靜態(tài)質量密度；mt0為顆粒整體質量；V為阻尼內部體積。顆粒材料在阻尼器中處于局域振動狀態(tài)也可視為準靜平衡狀態(tài)，因此等效動態(tài)泊松比可等效與靜態(tài)泊松比，即mud=mu。

顆粒系統(tǒng)的等效彈性模量與顆粒碰撞耗能等效為瑞利阻尼Cd(f)，且與頻率的關系滿足關系式為

Cd(f)=α(f)M+β(f)K

(9)

對角陣K=EI為剛度矩陣，表達式為

(10)

式中：Ed、α(f)、β(f)均為與f有關的函數，Ed、α(f)、β(f)變頻函數分別為

Ed(f)=σ+σ1f+σ2f2+σ3f3+…

(11)

α(f)=θ+θ1f+θ2f2+θ3f3+…

(12)

β(f)=ξ+ξ1f+ξ2f2+ξ3f3+…

(13)

式中：σ1、σ2、σ3、…、θ1、θ2、θ3、…、ξ1、ξ2、ξ3等為多項式的系數，σ、θ、ξ為常數。

通過試驗可得到系統(tǒng)的傳遞函數，對掃頻區(qū)間的固有頻率f進行分段取值并使用半功率帶寬的分析，并對測試模態(tài)阻尼比進行求解，公式為

(14)

τ=η/2

(15)

(16)

將系數矩陣C代入式(16)，并且質量矩陣M與剛度矩陣K都可知，故通過MATLAB計算得到不同固有頻率下的等效瑞利阻尼系數α、β，之后通過MATLAB擬合出等效瑞利阻尼系數α與β函數曲線，曲線如圖5和圖6所示。

圖5 彈性模量與頻率的擬合曲線Fig.5 Fitting curve of elastic modulus with frequency

圖6 等效阻尼系數α、β與頻率的擬合曲線Fig.6 Fitting curves of equivalent damping factors α and β with frequency

將擬合出的彈性模量、阻尼系數等效為顆粒阻尼的參數并在COMSOL上完成建模，單胞長a=50 mm，外徑φD=32 mm，內徑φd=30 mm，基體為結構鋼(彈性模量2×1011Pa、泊松比0.33、密度7 850 kg/cm3)等效阻尼如圖7所示。

圖7 顆粒型聲子晶體板建模Fig.7 Particle damped phonon crystal model

建模完成后對顆粒型聲子晶體進仿真分析，得到其理論帶隙與不同顆粒分布下的振動傳輸特性曲線。

2 顆粒型聲子晶體的理論帶隙分析

如圖8所示，當激勵頻率從1 Hz趨于1階固有頻率103 Hz時，晶格處于主振動模態(tài)，振動無衰減，沒有產生帶隙；當激勵頻率從1階固有頻率趨于2階固有頻率203 Hz時，振動按模態(tài)繼續(xù)傳播，無帶隙產生；當激勵頻率從2階固有頻率趨于3階固有頻率210 Hz時，振動按模態(tài)繼續(xù)傳播，無帶隙產生；當激勵頻率從3階固有頻率趨于4階固有頻率284 Hz時，等效阻尼散射體被激發(fā)，處于主振動模態(tài)，等效阻尼散射體的Z向振動與基體平面振動產生了耦合，并抑制了基體振動，彈性波受到抑制，完全帶隙形成。

M、Г、X、M為周期性結構中波矢傳播方向圖8 顆粒型聲子晶體帶隙Fig.8 Band structure of the particle damped phonon crystal

當激勵趨于4階固有頻率時，基體受到一定程度抑制，產生X→M方向帶隙。當激勵頻率大于4階模態(tài)之后，均無帶隙產生。由此可見，當激勵頻率趨于某階固有頻率時，基體與等效阻尼散射體的振動模態(tài)產生不同的振動響應，當等效阻尼散射體激發(fā)為主振動模態(tài)時，彈性波的傳播被阻斷。

測量得知管帶機的主要振動頻率在270～450 Hz，通過COMSOL仿真對顆粒型聲子晶體板進行0～1 000 Hz掃頻，分析顆粒阻尼型與非顆粒阻尼型聲子晶體的振動傳輸特性，結果如圖9所示。

通過對阻尼顆粒型聲子晶體板與原聲子晶體板相對比，由圖9可知，在0～180 Hz，兩曲線的重合度較高，阻尼顆粒型聲子晶體板曲線更平穩(wěn)，在180～290 Hz的激勵頻率其對彈性波的抑制效果增加14 dB。顆粒型聲子晶體對比與一般的聲子晶體的減振效果有明顯的增加。對顆粒型聲子晶體按如圖10所示的不同顆粒分布規(guī)律(前后兩列相比為5∶5、3∶5、0∶3)進行仿真分析，結果如圖11所示。仿真結果說明，不同的分布規(guī)律會對減振效果有一定的影響。顆粒分布稀疏，顆粒型聲子晶體板的減振效果有一定的下降，但是在帶隙頻率內仍有較好的減振效果。

圖9 聲子晶體振動傳遞損失對比Fig.9 Comparison of phonon crystal vibration transmission loss

圖10 顆粒分布Fig.10 Particle distribution

圖11 顆粒型聲子晶體隨顆粒分布傳遞損失對比Fig.11 Comparison of transmission loss of the particle damped phonon crystals with particle distribution

3 顆粒型聲子晶體減振試驗

顆粒阻尼型聲子晶體結構與非顆粒阻尼型聲子晶體結構的振動試驗材料包括基體(材質：45號鋼)和阻尼顆粒(直徑為2 mm，陶瓷基，分布方式為3∶5)，基體厚度為1 mm，單胞內徑φd= 30 mm、外徑φD= 32 mm。所用儀器為SA-PA010功率放大器、SA-SG030掃頻信號發(fā)生器、MB Dynamic激振器、INV306T0信號采集分析儀等進行數據采集于分析如圖12和圖13所示。

圖12 試驗原理Fig.12 Test principle

圖13 顆粒聲子晶體板放置Fig.13 Particle damped phonon crystal plate placement

考慮到聲子晶體板的整體質量不宜過重，故采用3∶5的分布放置顆粒。由于管帶機的主振頻率在270～450 Hz，故通過將加速度傳感器布置在聲子晶體板的兩側，從其中一側輸入0～1 200 Hz的掃頻激勵，另一側采集經聲子晶體板衰減過后的振動激勵。具有代表性意義的典型特征結果如圖14所示。

圖14 非顆粒阻尼型與顆粒阻尼型聲子晶體加速度頻響幅值對比Fig.14 Comparison of frequency response amplitude of acceleration of the non-particle damping phonon crystal and particle damped phonon crystal

由圖14可看出，由聲子晶體的周期性排列結構對彈性波的傳播進行阻斷，并且顆粒通過相互碰撞耗能進一步對聲子晶體板的振動進行削弱。當激勵頻率處于210～280 Hz時，聲子晶體板的減振效果為37.42%，有效抑制了彈性波在基體中的傳播。當加入阻尼顆粒后聲子晶體板的減振效果進一步提升，減振效果達到70.43%，體現了顆粒型聲子晶體板在250～300 Hz頻率段內有良好的減振效果，與仿真結果大體一致，顯然通過大量具有重復性的精良結果均證明顆粒阻尼能夠有效增強聲子晶體的減振能力。而減振峰前移的誤差可能來源于由于加工焊接造成的系統(tǒng)剛度誤差，導致試驗結果與仿真有一定的差異。

4 結論

(1)分析了超結構產生帶隙的成因，并設計一種顆粒阻尼型聲子晶體板，通過對顆粒阻尼系統(tǒng)進行COMSOL仿真，最終減振效果達到14 dB。

(2)顆粒阻尼型聲子晶體板的試驗室測得的試驗結果與仿真結果相比出現了減振頻率略微前移現象，出現的原因可能是加工過程中的誤差導致的系統(tǒng)剛度的變化。

(3)通過試驗得到顆粒型聲子晶體板的減振效果達到70.43%，比非顆粒阻尼型聲子晶體提高33.01%，尤其是對特定頻率的減振有較為突出的效果，與仿真結果具有一致性，也證實了將顆粒阻尼型聲子晶體板應用于管帶機的可行性。