呂 巖, 曹 菲, 許劍鋒, 馮曉偉

(1. 火箭軍工程大學(xué)核工程學(xué)院, 陜西 西安 710025; 2. 中國(guó)人民解放軍96746部隊(duì), 新疆 庫(kù)爾勒市 841000)

0 引 言

線性調(diào)頻(linear frequency modulation, LFM)[1-2]信號(hào)具有容易實(shí)現(xiàn)和對(duì)多普勒頻移不敏感等特點(diǎn),近年來(lái)在雷達(dá)、聲吶和信息通信系統(tǒng)中得到了較為廣泛的應(yīng)用[3-6]。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(fractional Fourier transform, FRFT)[7-8]可以視為一種時(shí)頻平面上的旋轉(zhuǎn)算子,通過(guò)合理設(shè)置算子的變換階次或旋轉(zhuǎn)角度,能夠?qū)FM信號(hào)實(shí)現(xiàn)良好的能量集中。此外,FRFT還具備其他優(yōu)良的特性,例如自成像、連續(xù)性、線性、旋轉(zhuǎn)加法和比例特性等[9-10]。

目前,大量文獻(xiàn)對(duì)基于FRFT的自適應(yīng)波束形成算法開(kāi)展了研究。文獻(xiàn)[11]針對(duì)雷達(dá)或聲吶應(yīng)用中信號(hào)回波信噪比(signal to noise ratio, SNR)較低且噪聲為色噪聲的情況,提出了一種基于FRFT的分?jǐn)?shù)階數(shù)值選擇的自適應(yīng)波束形成算法。該方法能夠最大限度地提高LFM信號(hào)的分?jǐn)?shù)階譜峰度,將期望的LFM信號(hào)能量集中在最佳時(shí)頻域,但在SNR較高時(shí)性能將受到限制。文獻(xiàn)[12]針對(duì)FRFT在變SNR和多目標(biāo)時(shí)的波束形成性能展開(kāi)研究,仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明,FRFT較其他算法在計(jì)算效率、精度和分辨率方面具備一定的優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[13]將FRFT和四階累積量相結(jié)合用于寬帶信號(hào)波束形成,通過(guò)主動(dòng)聲吶仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的性能。綜上可知,FRFT被廣泛應(yīng)用于自適應(yīng)波束形成算法中,但現(xiàn)有文獻(xiàn)尚未對(duì)算法在陣列信號(hào)模型存在多種失配條件下的穩(wěn)健性進(jìn)行研究驗(yàn)證[14-15]。

為了提升自適應(yīng)波束形成算法的穩(wěn)健性,基于對(duì)角加載和最差情況性能優(yōu)化[16-19]等方法被相繼提出,有效提升了波束形成算法在期望信號(hào)(signal of interest,SOI)導(dǎo)向矢量誤差和快拍數(shù)較低時(shí)的穩(wěn)健性,但上述方法無(wú)法有效消除SOI分量對(duì)波束形成算法性能的影響。為了達(dá)到這一目的,諸多學(xué)者在協(xié)方差矩陣重構(gòu)方面也做了大量的研究工作[20-22],有效解決了SNR較高時(shí)的SOI自消現(xiàn)象。

本文以單基地多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達(dá)系統(tǒng)為研究對(duì)象,針對(duì)LFM形式的正交頻分復(fù)用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)信號(hào),提出了一種新的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法。算法首先對(duì)匹配濾波后的雷達(dá)回波信號(hào)進(jìn)行FRFT,得到峰值點(diǎn),作為陣列的觀測(cè)數(shù)據(jù)。而后,利用觀測(cè)值構(gòu)建接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣,并使用Capon譜估計(jì)方法重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題估計(jì)實(shí)際導(dǎo)向矢量,最終得到陣列的最優(yōu)權(quán)值。

1 信號(hào)模型

如圖1所示,考慮一個(gè)由均勻線陣組成的收發(fā)共址單基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng),假設(shè)發(fā)射天線陣元數(shù)為Q,接收陣元數(shù)為N。

圖1 MIMO雷達(dá)陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of MIMO radar array

在發(fā)射端,發(fā)射天線陣列的Q個(gè)陣元發(fā)射相互正交的信號(hào),本文針對(duì)LFM-OFDM信號(hào)開(kāi)展研究,則第q個(gè)陣元的發(fā)射信號(hào)[23-24]可表示為

(1)

式中:rect(·)為矩形窗函數(shù);Tp為脈沖寬度;fc為發(fā)射信號(hào)載頻;μ=B/Tp為線性調(diào)頻信號(hào)的調(diào)頻斜率;B為頻偏;fp=1/Tp為陣元間的頻率步進(jìn)量;sq(t)為第q個(gè)陣元的發(fā)射波形。

假設(shè)存在1個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)SOI和L-1個(gè)干擾,分別以波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)θl到達(dá)陣列,則第n個(gè)接收陣元收到的回波信號(hào)rn(t,τk)可表示為

(2)

式中:σl表示第l個(gè)目標(biāo)或干擾的散射系數(shù);τk=2r(tk)/c表示回波的時(shí)間延遲，tk表示慢時(shí)間，r(tk)為目標(biāo)或干擾與雷達(dá)的距離，c為電磁波速;fd為多普勒頻移;wn(t)為高斯復(fù)噪聲;aq(θl)和bn(θl)分別為

aq(θl)=exp(j2π(q-1)dtrasinθl/λ)

(3)

bn(θl)=exp(j2π(n-1)drecsinθl/λ)

(4)

式中:λ=c/(fc+(B+(Q-1)fp)/2)為信號(hào)最短波長(zhǎng),為避免出現(xiàn)柵瓣或空間模糊,發(fā)射和接收陣元間距設(shè)置為dtra=drec=λ/2。

由于各陣元發(fā)射的信號(hào)相互正交,分別對(duì)每個(gè)接收陣元的接收回波信號(hào)進(jìn)行匹配濾波,可將各接收信號(hào)分離,得到:

j2π(q-1)fpτk+j2πfdt)aq(θl)bn(θl)}+wn(t)

(5)

式中:rq,n(t,τk)為第q個(gè)陣元的發(fā)射信號(hào)經(jīng)第n個(gè)陣元接收后的匹配濾波輸出。

2 基于FRFT的波束形成算法

2.1 FRFT

FRFT可以視為一種時(shí)頻域的旋轉(zhuǎn)變換,可以建立時(shí)域和頻域之間的聯(lián)系。假設(shè)存在信號(hào)f(t),則其FRFT變換可以表達(dá)為

(6)

式中:Fp和Xα表示FRFT算子;α代表旋轉(zhuǎn)角度;p為FRFT的分?jǐn)?shù)階數(shù);Kα(t,u)表示變換的核函數(shù):

(7)

典型的線性調(diào)頻信號(hào)可以表示為

(8)

式中:κ為調(diào)頻斜率。則h(t)的FRFT[25]為

(9)

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=α0=-arctan(1/κ)時(shí),h(t)的FRFT將會(huì)形成峰值,可以表述如下:

(10)

式中:Tc是脈沖重復(fù)周期。當(dāng)式(10)中u=0時(shí),可得到最大值為

(11)

時(shí)移函數(shù)h1(t)=h(t-τ0)(τ0表示時(shí)移)的FRFT可以表述為

(12)

頻移函數(shù)h2(t)=h(t)exp(j2πf0t)(f0表示頻移)的FRFT為

(13)

2.2 本文信號(hào)模型的FRFT

為便于分析,選取式(5)中與第l個(gè)目標(biāo)相關(guān)的輸出進(jìn)行討論,定義A為包含σl的目標(biāo)幅度衰減因子,因此可得

rq,n,l(t,τk)=Aexp(-j2πfcτk+jπμ(t-τk)2-
j2π(q-1)fpτk+j2πfdt)aq(θl)bn(θl)+wn(t)

(14)

對(duì)式(14)進(jìn)行FRFT,可得

(15)

Rq,n,l=Bl(τk)F2(α0,-fd,u)F1(α0,τk,u-fdsinα0)·
Xα0(h)(u-τkcosα0-fdsinα0)

(16)

其中,

Bl(τk)=Aexp(-j2π(fc+(q-1)fp)τk)

(17)

(18)

(19)

根據(jù)式(16),當(dāng)u=τkcosα0+fdsinα0時(shí),可得最大值為

(20)

合并式(20),進(jìn)一步可得出:

(21)

整理式(21)后可得

(22)

其中,

(23)

φ1=(fc+(n-1)fp+fdcos2α0)

(24)

(25)

根據(jù)式(22)～式(25),由于fc遠(yuǎn)大于(n-1)fp、fdcos2α0和φ2,因此可得到峰值的估計(jì)為

(26)

根據(jù)式(14)和式(26),可以得到:

(27)

式中:c(θl)=aq(θl)bn(θl),Wn(τk,fd)表示噪聲wn(t)的FRFT。

假定為達(dá)到預(yù)期的欺騙干擾效果,干擾所產(chǎn)生回波信號(hào)的調(diào)頻斜率與目標(biāo)信號(hào)相同,則可得

(28)

式中:Rq,n,σ(τk,fd)為干擾信號(hào)經(jīng)FRFT后的輸出表達(dá)式。

2.3 穩(wěn)健波束形成算法

對(duì)MIMO雷達(dá)匹配濾波后的每一組信號(hào)進(jìn)行FRFT,由于目標(biāo)和干擾回波信號(hào)的調(diào)頻斜率相同,因此在相同的FRFT階次下,目標(biāo)和干擾回波信號(hào)都可以形成峰值。選擇分?jǐn)?shù)域上的峰值點(diǎn)作為該陣元的觀測(cè)值,則可得到矩陣:

Xe=[x1,e,x2,e,…,xV,e]T

(29)

式中:xv,e=[x1,x2,…,xM]代表M個(gè)較大的峰值點(diǎn)組成的矢量,v=1,2,…,V為匹配濾波后的信號(hào)數(shù)量,V=Q×N,e=1,2,…,E表示回波數(shù)量,因此可得

X=[X1,X2,…,XE]

(30)

根據(jù)式(30),構(gòu)造接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣為

(31)

使用Capon譜估計(jì)方法[27],可得

(32)

(33)

重構(gòu)協(xié)方差矩陣后,可以通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題估計(jì)實(shí)際導(dǎo)向矢量:

(34)

(35)

3 仿真分析

仿真基于收發(fā)共址的MIMO雷達(dá),發(fā)射陣元數(shù)Q=6,接收陣元數(shù)N=8。為驗(yàn)證所提算法的性能,將本文提出的算法與文獻(xiàn)[19-22]中的算法相對(duì)比。對(duì)于所有的算法,SOI的扇形區(qū)域設(shè)置為Θ=[θ1-5°,θ1+5°],所得的仿真結(jié)果均為200次蒙特卡羅[29-30]實(shí)驗(yàn)后的平均值,除實(shí)驗(yàn)2外,其余仿真實(shí)驗(yàn)回波數(shù)均設(shè)置為6,其余雷達(dá)相關(guān)的仿真參數(shù)如表1所示。

表1 雷達(dá)仿真參數(shù)

仿真中的模擬回波信號(hào)由SOI、干擾信號(hào)和噪聲組成,其中干擾信號(hào)的調(diào)頻斜率和SOI相同,目標(biāo)和干擾信號(hào)相關(guān)的仿真參數(shù)設(shè)置如表2所示,其中INR表示干噪比(interference to noise ratio)。圖2為雷達(dá)回波經(jīng)FRFT后的三維圖,根據(jù)圖2可知,經(jīng)FRFT后回波信號(hào)主要形成了3個(gè)峰值,分別為一個(gè)SOI加兩個(gè)干擾信號(hào)。

表2 信號(hào)仿真參數(shù)

圖2 回波信號(hào)FRFT結(jié)果Fig.2 Result of echo signal after FRFT

圖3和圖4分別為信干噪比(signal to interferece plus noise ratio, SINR)隨SNR的變化曲線和SINR隨回波數(shù)的變化關(guān)系,由于信號(hào)模型為針對(duì)LFM-OFDM信號(hào)采樣回波的FRFT變換,所以仿真中的快拍數(shù)量被模擬回波的數(shù)量取代,使其更接近于真實(shí)應(yīng)用場(chǎng)景。根據(jù)圖3可知,文獻(xiàn)[19]算法在SNR較高時(shí)性能嚴(yán)重下降,文獻(xiàn)[21-22]算法性能均低于文獻(xiàn)[20],本文所提算法的輸出SINR在不同SNR處均高于其他算法。值得引起注意的是,本文所提算法在SNR較高時(shí)性能曲線接近最優(yōu)值。根據(jù)圖4可得出,在回波數(shù)量小于3時(shí),本文所提算法性能和文獻(xiàn)[19]及文獻(xiàn)[22]相近,輸出SINR較文獻(xiàn)[20]低。當(dāng)回波數(shù)大于4時(shí),本文算法性能大幅提升,輸出SINR迅速提高至最優(yōu)值附近并高于其他算法,原因可能為當(dāng)回波數(shù)量較少時(shí),由峰值點(diǎn)組成的FRFT域協(xié)方差矩陣維數(shù)低,影響算法性能。

圖3 SINR隨輸入SNR的變化曲線Fig.3 Variation curve of SINR with input SNR

圖4 SINR隨回波數(shù)變化趨勢(shì)Fig.4 Trend of SINR with the number of echose

實(shí)驗(yàn) 1主要檢驗(yàn)所提算法在信號(hào)源的速度和距離不同于表2 時(shí)的性能,仿真參數(shù)設(shè)置如表3所示。圖5和圖6分別為雷達(dá)回波經(jīng)FRFT后的三維圖和輸出SINR隨SNR的變化趨勢(shì)。

表3 實(shí)驗(yàn)1仿真參數(shù)

圖5 回波信號(hào)經(jīng)FRFT的三維圖Fig.5 Three-dimensional diagram of echo signal after FRFT

圖6 不同算法SINR的變化趨勢(shì)Fig.6 Trends of SINRs of different algorithms

根據(jù)圖5可知,信號(hào)源的距離和速度變化后,經(jīng)FRFT變換,回波信號(hào)同樣主要形成了3個(gè)峰值,分別為一個(gè)SOI和兩個(gè)干擾信號(hào)。從圖6可以看出,本文所提算法的輸出SINR在不同SNR處仍高于其他算法,且在SNR較高時(shí)比其他算法更加接近最優(yōu)SINR。

實(shí)驗(yàn) 2主要檢驗(yàn)所提算法在SNR不同時(shí),輸出SINR隨回波數(shù)的變化關(guān)系,將SNR設(shè)置為20 dB進(jìn)行仿真。圖7為SINR隨回波數(shù)的變化趨勢(shì),根據(jù)圖7可知,回波數(shù)量小于2時(shí),本文所提算法性能和文獻(xiàn)[22]相近,高于文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[21]。當(dāng)回波數(shù)大于3時(shí),本文算法輸出SINR高于其他算法。

圖7 實(shí)驗(yàn)2中不同算法的輸出結(jié)果Fig.7 Output results of different algorithms in experiment 2

實(shí)驗(yàn) 3主要檢驗(yàn)所提算法在期望信號(hào)DOA失配情況下的性能,假設(shè)目標(biāo)的估計(jì)DOA隨機(jī)分布在[θ1-4°,θ1+4°]范圍內(nèi),θ1代表SOI的DOA真實(shí)值,保持不變。圖8為SINR隨SNR的變化趨勢(shì)曲線,根據(jù)圖8可知,SNR較低時(shí),文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]算法優(yōu)于本文算法,隨SNR逐漸提高,本文算法輸出SINR得到提升,尤其在高SNR情況下,性能優(yōu)于其他算法。

圖8 DOA隨機(jī)誤差下輸出SINR和SNR的對(duì)比Fig.8 Output SINR versus SNR in DOA radom error

實(shí)驗(yàn) 4主要檢驗(yàn)非相干局部散射對(duì)波束形成器輸出SINR性能的影響。假定SOI具有時(shí)變性的導(dǎo)向矢量,回波信號(hào)可以表示為

(36)

圖9 非相干局部散射下輸出SINR和SNR的對(duì)比Fig.9 Output SINR versus SNR in incoherent local scattering

實(shí)驗(yàn) 5主要檢驗(yàn)所提算法在陣元位置存在誤差情況下的性能,仿真中接收陣元位置隨機(jī)分布在[(n-1)drec-0.05,(n-1)drec+0.05]范圍內(nèi)。圖10為SINR隨SNR的關(guān)系曲線,可以看出,各類算法的性能均受到陣元位置誤差影響,在SNR較低時(shí),文獻(xiàn)[19]算法的輸出SINR略高于其他算法。隨著SNR逐漸提高,本文所提算法在高SNR時(shí)的優(yōu)越性得到彰顯,輸出的SINR雖較最優(yōu)值有所差距,但高于其他算法。

4 結(jié) 論

本文以單基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)為研究對(duì)象,針對(duì)LFM-OFDM信號(hào),提出了一種新的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法。所提算法首先利用LFM信號(hào)的性質(zhì),對(duì)匹配濾波后的雷達(dá)回波信號(hào)進(jìn)行FRFT,經(jīng)推導(dǎo)并化簡(jiǎn)后得到較大的幾個(gè)峰值點(diǎn)作為陣列的觀測(cè)值。其次,利用觀測(cè)值構(gòu)建接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣,并使用Capon譜估計(jì)方法重構(gòu)干擾加噪聲數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣。而后,通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題估計(jì)實(shí)際導(dǎo)向矢量,從而得到陣列的最優(yōu)權(quán)值。最后,通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn),分別對(duì)比了目標(biāo)和干擾信號(hào)速度和距離不同、目標(biāo)信號(hào)DOA失配、非相干局部散射、陣元位置誤差情況下,陣列輸出SINR隨SNR或回波數(shù)量的變化關(guān)系,對(duì)所提算法的性能進(jìn)行了驗(yàn)證。