李維波 蘇文斌 徐成虎 張茂杰 方華亮

基于威布爾分布的經(jīng)濟(jì)性與高可靠度智能電表維修周期預(yù)估算法

李維波1蘇文斌1徐成虎1張茂杰1方華亮2

（1. 武漢理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430070； 2. 武漢大學(xué)電氣與自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430072）

智能電表的可靠性壽命預(yù)估對(duì)設(shè)計(jì)的極端重要性，將為智能電表的維修工作帶來(lái)顯著便利?；谥悄茈姳磉\(yùn)行時(shí)間數(shù)據(jù)分析，建立二參數(shù)威布爾分布模型，確定二參數(shù)威布爾分布的參數(shù)。計(jì)算得到相應(yīng)的分布函數(shù)和可靠度函數(shù)，確定在可靠度為90%時(shí)的預(yù)防性維修周期和最小維修費(fèi)用對(duì)應(yīng)的預(yù)防性維修周期。運(yùn)行實(shí)踐和實(shí)際算例表明，所提出的智能電表預(yù)防性維修周期預(yù)估方法，可以為優(yōu)化批次電能表的檢定及輪換周期提供決策依據(jù)，大幅度節(jié)省運(yùn)維成本。

智能電表；二參數(shù)威布爾分布；可靠度；最小費(fèi)用；預(yù)防性維修

0 引言

近年來(lái)，我國(guó)不斷推進(jìn)電力體制改革，增強(qiáng)和擴(kuò)大智能電網(wǎng)建設(shè)規(guī)模，特別是“雙碳”政策深入人心，我國(guó)在智能電網(wǎng)發(fā)展的背景下，在全國(guó)范圍內(nèi)推進(jìn)并普及智能電表的使用，2022年國(guó)家電網(wǎng)智能電表招標(biāo)數(shù)量將達(dá)7 736.35萬(wàn)只。隨著科技的發(fā)展，智能電表在增加電子元器件使其更加智能、更加便捷的同時(shí)，也導(dǎo)致其結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，引發(fā)的故障隨之增加?？煽啃允呛饬恐悄茈姳碣|(zhì)量的重要指標(biāo)，直接影響智能電網(wǎng)的正常運(yùn)行，甚至關(guān)系到用戶的切身利益與社會(huì)的和諧穩(wěn)定。同時(shí)，由于電表企業(yè)對(duì)智能電表可靠性預(yù)計(jì)的重要性認(rèn)識(shí)不夠，缺乏對(duì)智能電表的可靠性壽命方面的設(shè)計(jì)研究，致使目前電表的維修更換工作困難重重。因此，亟需一套可靠有效的智能電表可靠壽命及預(yù)防性維修預(yù)估方法，為批次電能表檢定及輪換周期的優(yōu)化提供決策依據(jù)，最大程度地減少不必要的預(yù)防性抽檢及輪換，節(jié)省運(yùn)維成本。

國(guó)內(nèi)在電能表評(píng)價(jià)及壽命預(yù)測(cè)方面的研究已經(jīng)取得很多成果。文獻(xiàn)[1]采用Bootstrap方法處理現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)，得到智能電表可靠性模型參數(shù)的離散分布，采用Bayes方法結(jié)合加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到融合兩種信息后的參數(shù)估計(jì)值，實(shí)現(xiàn)智能電表的可靠性評(píng)估；文獻(xiàn)[2]采用分層抽樣的方法對(duì)智能電表進(jìn)行抽樣，綜合考慮溫度和濕度對(duì)誤差的影響，建立威布爾分布模型，驗(yàn)證了壽命預(yù)測(cè)方法的可行性；文獻(xiàn)[3]采用混合威布爾分布模型，選取三個(gè)故障率較高的因素對(duì)智能電表進(jìn)行了可靠性分析；文獻(xiàn)[4]采用隨機(jī)森林模型對(duì)海量智能電表數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了智能電表故障預(yù)測(cè)和壽命預(yù)測(cè)模型；文獻(xiàn)[5]采用回歸分析中的最小二乘法對(duì)威布爾分布和加速壽命試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膮?shù)進(jìn)行估計(jì)，并提出了參數(shù)改進(jìn)的方法；文獻(xiàn)[6]采用雙指數(shù)參數(shù)分布模型，利用Peck加速模型，得到智能電表通信模塊的可靠度函數(shù)，進(jìn)而提出了通信模塊可靠性提升措施；文獻(xiàn)[7]采用一種自適應(yīng)加權(quán)系數(shù)的威布爾分布，綜合考慮溫度和濕度的影響，來(lái)預(yù)測(cè)智能電表使用壽命；文獻(xiàn)[8]分析了元件應(yīng)力法、基于可信度試驗(yàn)的可信度預(yù)測(cè)法和基于可靠性試驗(yàn)的可靠性預(yù)測(cè)法的優(yōu)缺點(diǎn)；文獻(xiàn)[9]采用威布爾分布對(duì)谷物干燥機(jī)進(jìn)行了可靠性分析；文獻(xiàn)[10]對(duì)風(fēng)機(jī)的故障模式進(jìn)行分類，研究了以降低維修費(fèi)用為目標(biāo)來(lái)確定維修周期的方法。

大多數(shù)研究人員在選擇模型時(shí)沒(méi)有進(jìn)行模型先驗(yàn)，影響了其分布模型的選擇，導(dǎo)致其參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確度不高，而且大多數(shù)研究是基于運(yùn)行中電能表的信息，從可靠性的角度對(duì)電能表進(jìn)行評(píng)估和壽命預(yù)測(cè)，而基于故障數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的研究很少，同時(shí)眾多文獻(xiàn)在闡釋基于可靠性壽命評(píng)估時(shí)并沒(méi)有考慮維修費(fèi)用的影響。本文基于河南許繼集團(tuán)智能電能表故障數(shù)據(jù)，依據(jù)歷史維修數(shù)據(jù)獲得試驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用威布爾分布圖確定該組數(shù)據(jù)服從威布爾分布，對(duì)威布爾分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并利用K-S檢驗(yàn)確定參數(shù)的合理性；對(duì)智能電表進(jìn)行故障概率密度分析和可靠性分析，在此基礎(chǔ)上融入最小費(fèi)用預(yù)防性維修周期預(yù)估分析，以適應(yīng)于當(dāng)前新型電力系統(tǒng)的發(fā)展 趨勢(shì)。

1 基于K-S檢驗(yàn)的威布爾分布算法

1.1 威布爾分布

威布爾分布在可靠性工程中得到廣泛應(yīng)用，尤其適用于機(jī)電類產(chǎn)品磨損累計(jì)失效的分布形式。大多數(shù)電子機(jī)械產(chǎn)品的壽命都符合威布爾分布，其形狀參數(shù)能夠整體描述出“浴盆”曲線的各個(gè)階段。

目前，用于參數(shù)估計(jì)的常用分布方法包括指數(shù)分布、威布爾分布和正態(tài)分布。其中，威布爾分布可以利用大量實(shí)際運(yùn)行故障數(shù)據(jù)，借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)手段和可靠性理論，得到智能電表可靠度隨運(yùn)行時(shí)間變化的規(guī)律。

威布爾分布函數(shù)()的表達(dá)式為

式中：為形狀參數(shù)；為尺度參數(shù)；為位置參數(shù)；為時(shí)間參數(shù)。

威布爾分布包括二參數(shù)威布爾和三參數(shù)威布爾兩種形式。當(dāng)位置參數(shù) ≠0時(shí)，威布爾分布為三參數(shù)威布爾分布；反之，當(dāng)位置參數(shù) =0時(shí)，威布爾分布為二參數(shù)威布爾分布[11-12]。

假設(shè)智能電表故障時(shí)間符合威布爾分布模型，模型隨機(jī)變量為智能電表從開(kāi)始運(yùn)行到發(fā)生故障的時(shí)間，由于智能電表從開(kāi)始投入運(yùn)行到發(fā)生故障的時(shí)間是隨機(jī)的，可能從剛投入使用就會(huì)發(fā)生故障，因此智能電表故障時(shí)間的威布爾分布模型的位置參數(shù)為0，即 =0。

對(duì)于二參數(shù)威布爾分布，其故障概率密度函數(shù)()可以表示為

故障概率分布函數(shù)()為

可靠度函數(shù)()為

形狀參數(shù)影響威布爾分布函數(shù)曲線形狀，根據(jù)值的不斷變化，其故障概率密度曲線和可靠度曲線都會(huì)隨之變化。尺度參數(shù)影響概率密度曲線的高度和寬度，若令=e-1可得()=，表示產(chǎn)品運(yùn)行可靠度為36.8%時(shí)的工作年限，因此也被稱為設(shè)備的特征壽命。

1.2 K-S檢驗(yàn)

常用的檢驗(yàn)樣本分布類型的方法有2檢驗(yàn)、K-S檢驗(yàn)，其中K-S檢驗(yàn)比2檢驗(yàn)效率高，而且對(duì)小子樣也很適用。相比2檢驗(yàn)，智能電表故障時(shí)間數(shù)據(jù)在未知數(shù)據(jù)分布的情況下，選用K-S檢驗(yàn)法是十分方便、有效的[13]。

K-S檢驗(yàn)是一種基于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)方法。K-S檢驗(yàn)是將假設(shè)的理論故障概率分布()與樣本觀測(cè)值的累積分布0()進(jìn)行比較，找出它們之間的最大差異，并參考采樣分布來(lái)確定差異是否為偶然。

設(shè)樣本容量為，將樣本點(diǎn)從小到大依次排列，得到1,2,…,t，其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)F(t)為

計(jì)算樣本累積分布函數(shù)和理論概率分布函數(shù)之間的絕對(duì)差，使最大絕對(duì)差為D，其表達(dá)式為

如果滿足式（6），則可以認(rèn)為擬合令人滿意，并且可以接受假設(shè)。

2 基于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的參數(shù)估計(jì)方法

2.1 數(shù)據(jù)處理

本文選擇河南許繼集團(tuán)的4 763臺(tái)智能電表運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。將每臺(tái)智能電表運(yùn)行時(shí)間從小到大進(jìn)行排列，部分故障數(shù)據(jù)相關(guān)參數(shù)值見(jiàn)表1。

表1 智能電表故障數(shù)據(jù)的參數(shù)值

智能電表運(yùn)行時(shí)間的威布爾擬合效果如圖1所示。

圖1 智能電表運(yùn)行時(shí)間威布爾擬合效果

分析圖1可以看出：大部分?jǐn)?shù)據(jù)近似呈一條直線分布，因此可近似認(rèn)為該組數(shù)據(jù)服從威布爾分布。據(jù)此，選擇最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[14]。

2.2 參數(shù)估計(jì)

對(duì)于二參數(shù)威布爾分布的故障概率分布函數(shù)，等式兩邊進(jìn)行變換后，可得

然后再對(duì)式（7）連續(xù)取兩次對(duì)數(shù)，且經(jīng)線性化處理，可得

根據(jù)回歸分析法則，可以推導(dǎo)得出參數(shù)、、和的估計(jì)值表達(dá)式分別為

得到上述關(guān)系式后，采用近似中位秩公式（15）的計(jì)算值作為估計(jì)值[15]，即

代入智能電表故障數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出二參數(shù)威布爾分布的參數(shù)為 =2.433 0， =2 275.2。

2.3 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

根據(jù)計(jì)算出的二參數(shù)威布爾分布的參數(shù)值，可以得到累積分布函數(shù)0()的表達(dá)式為

因此，統(tǒng)計(jì)量D可以表示為

聯(lián)立式（5）和式（17），將統(tǒng)計(jì)量D表示為

將智能電表運(yùn)行時(shí)間數(shù)據(jù)代入式（18），可以得到擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的相關(guān)結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

3 獲取高可靠度的維修周期預(yù)估方法

3.1 故障概率密度函數(shù)

將二參數(shù)威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)代入式（2），得到智能電表運(yùn)行時(shí)間的概率密度函數(shù)()為[15-16]

相應(yīng)地，智能電表運(yùn)行時(shí)間的概率密度函數(shù)f(t)曲線如圖2所示。

分析圖2可以看出，智能電表運(yùn)行時(shí)間的概率密度函數(shù)的極大值點(diǎn)在1 580天左右出現(xiàn)，說(shuō)明智能電表無(wú)故障工作時(shí)間的眾數(shù)是1 580天，這意味著在正常工作1 580天以后，要進(jìn)行一定程度的大檢修，所以預(yù)防性維修周期為1 580天左右。

3.2 可靠度函數(shù)

將二參數(shù)威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)值代入式（4），則智能電表運(yùn)行時(shí)間的可靠度函數(shù)()為

智能電表運(yùn)行時(shí)間的可靠度函數(shù)()的曲線如圖3所示。

分析圖3可知，計(jì)算得出的威布爾分布擬合效果與源數(shù)據(jù)樣本相差較小，擬合效果較好，能較好地預(yù)測(cè)出智能電表可靠性趨勢(shì)[17-18]。隨著智能電表運(yùn)行時(shí)間變長(zhǎng)，可靠度不斷降低。為了保證智能電表的可靠性，取可靠度為0.9時(shí)，計(jì)算預(yù)防性維修周期。假設(shè)需要的可靠度為R，且在()≥R的條件下，智能電表的工作周期可以表示為

圖3 智能電表運(yùn)行時(shí)間的可靠度函數(shù)曲線

將二參數(shù)威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)代入式（21）可以看出，當(dāng)可靠度越小時(shí)，智能電表的預(yù)防性維修周期越長(zhǎng)。不同可靠度下智能電表預(yù)防性維修周期見(jiàn)表3。

表3 不同可靠度下智能電表預(yù)防性維修周期

分析表3可以看出，可靠度為0.9時(shí)，智能電表預(yù)防性維修周期為902天。

智能電表平均壽命公式為

式（22）表明，智能電表的平均壽命為2 070天左右。

對(duì)照分析得知，由于智能電表按照可靠度為0.9計(jì)算出的預(yù)防性維修周期最小，因此，按照可靠性確定的檢修時(shí)間為902天。

4 獲取最低費(fèi)用的維修周期預(yù)估方法

最佳維修周期不僅與設(shè)備的可靠性有關(guān)，還與設(shè)備的維修成本有關(guān)。在滿足設(shè)備可靠性的前提下，要求設(shè)備的維護(hù)成本最低。為了使總維修費(fèi)用最小，要考慮到預(yù)防性維修的費(fèi)用與發(fā)生故障之后維修費(fèi)用的比值關(guān)系，以經(jīng)濟(jì)效益最大來(lái)決定維修周期[19]。

假設(shè)為定期預(yù)防性維修周期，p為定期維修平均費(fèi)用，f為智能電表發(fā)生故障后事后維修平均費(fèi)用，一般有f＞p。智能電表的更換或維護(hù)時(shí)間與運(yùn)行時(shí)間相比較短，可以忽略不計(jì)。在每個(gè)周期的平均工作時(shí)間MUT內(nèi)，進(jìn)行預(yù)防性維修費(fèi)用的比例為可靠度函數(shù)()，進(jìn)行故障維修費(fèi)用的比例為不可靠度函數(shù)()=1-()。所以在單位時(shí)間內(nèi)的維修費(fèi)用為

式中，MUT為設(shè)備在每一周期內(nèi)的平均工作時(shí)間。

將式（24）代入式（23），得到單位時(shí)間維修費(fèi)用()的表達(dá)式為

假設(shè)對(duì)智能電表進(jìn)行定期維修的費(fèi)用為Cp=40元，事后維修的費(fèi)用為Cf =300元，代入式（25），得到智能電表單位時(shí)間維修費(fèi)用C(T)隨運(yùn)行時(shí)間變化的曲線如圖4所示。

分析圖4可知，當(dāng)智能電表運(yùn)行時(shí)間為915天時(shí)，單位時(shí)間維修費(fèi)用()取得最小值為0.075 39元。因此，在智能電表運(yùn)行915天時(shí)，對(duì)智能電表進(jìn)行預(yù)防性維修，所需的平均維修費(fèi)用最小，一臺(tái)智能電表運(yùn)行一年所需的最小平均維修費(fèi)用為27.52元。

綜上所述，智能電表預(yù)防性維修周期的確定流程如圖5所示。

圖5 智能電表預(yù)防性維修周期的確定流程

根據(jù)智能電表運(yùn)行數(shù)據(jù)，可以得到可靠度預(yù)防性維修周期和最小費(fèi)用維修周期，而每個(gè)地區(qū)對(duì)可靠度和維修費(fèi)用的側(cè)重點(diǎn)也不相同，因此可以根據(jù)原始數(shù)據(jù)和實(shí)際運(yùn)行要求，得到最符合標(biāo)準(zhǔn)的預(yù)防性維修時(shí)間。

在得到可靠度預(yù)防性維修周期和最低費(fèi)用預(yù)防性維修周期后，如果在實(shí)際運(yùn)行中對(duì)可靠度要求更高，則更應(yīng)該關(guān)注可靠度預(yù)防性維修周期的情況，關(guān)注智能電表概率密度曲線和可靠度曲線，根據(jù)實(shí)際運(yùn)行要求來(lái)選擇預(yù)防性維修周期。如果在實(shí)際運(yùn)行中對(duì)可靠度要求不是很高，而是更關(guān)注經(jīng)濟(jì)效益，那么在滿足最低可靠度要求的前提下，應(yīng)選擇預(yù)防性維修周期費(fèi)用最小的運(yùn)行時(shí)間作為預(yù)防性維修周期。如果在實(shí)際運(yùn)行中對(duì)可靠度有較高的要求，同時(shí)對(duì)維修費(fèi)用也有較高要求，那么應(yīng)該綜合考慮可靠度和維修費(fèi)用。如果按照可靠度要求得到的預(yù)防性維修周期比按照最低費(fèi)用得到的預(yù)防性維修周期小，則按照可靠度要求來(lái)選擇預(yù)防性維修周期；如果按照最低費(fèi)用得到的預(yù)防性維修周期比按照可靠度要求得到的預(yù)防性維修周期小，則按照最低費(fèi)用來(lái)選擇預(yù)防性維修周期。

5 結(jié)論

為了提高智能電表的使用壽命，減小維護(hù)和更換的費(fèi)用，運(yùn)用可靠性理論和維修費(fèi)用理論對(duì)河南許繼集團(tuán)某一批次智能電表的使用壽命和維修費(fèi)用進(jìn)行了分析研究，得到如下結(jié)論：

按照可靠性要求，智能電表預(yù)防性維修周期應(yīng)在902天左右；在定期維修費(fèi)用為40元、事后維修費(fèi)用為300元時(shí)，按照經(jīng)濟(jì)性性要求，智能電表預(yù)防性維修周期應(yīng)在915天左右，對(duì)應(yīng)單位時(shí)間內(nèi)最小維修費(fèi)用為0.075 39元。

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Maintenance cycle prediction method for smart electricity meters based on Weibull distribution with economy and high reliability

LI Weibo1SU Wenbin1XU Chenghu1ZHANG Maojie1FANG Hualiang2

(1. School of Automation, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070; 2. School of Electrical Engineering and Automation, Wuhan University, Wuhan 430072)

The critical importance of reliability life estimation for the design of smart meters will bring significant convenience to the maintenance of smart meters. Based on the analysis of smart meter running time data, the two-parameter Weibull distribution model is established and the parameters of the two-parameter Weibull distribution are determined. The corresponding distribution function and reliability function are calculated to determine the preventive maintenance cycle when the reliability is 90% and the preventive maintenance cycle corresponding to the minimum maintenance cost. The operation practice and practical example shows the proposed preventive maintenance cycle prediction method for the smart electricity meters can provide decision-making basis for optimizing the verification and rotation cycle of batch electricity meters, which can greatly save operation and maintenance costs.

smart meter; two parameter Weibull distribution; degree of reliability; least cost; preventative maintenance

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃課題（2020YFB1506802）

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（51977164）

2022-09-13

2022-11-11

李維波（1973—），男，重慶市人，博士，教授，主要從事電力電子技術(shù)在電力系統(tǒng)中應(yīng)用方面的研究工作。