賴森華，孫維光，田洪雷，于洋洋

（中車青島四方機車車輛股份有限公司，山東青島 266111）

1 引言

周期性載荷下結(jié)構疲勞失效機理和壽命預測一直是工程領域的研究熱點和難點。當工程結(jié)構承受典型循環(huán)拉伸載荷時，將導致結(jié)構內(nèi)部損傷的產(chǎn)生和疲勞裂紋擴展，此時裂紋尖端會形成兩種不同的塑性區(qū)，其中，裂尖后端的反向塑性區(qū)將阻止低應力下裂紋面的閉合，使外載不再對裂紋尖端做功，即塑性誘發(fā)的裂紋閉合效應。文獻[1]最先提出此概念，并給出有效應力強度因子對裂紋擴展速率進行預測。

裂紋面閉合后，僅當外載大于裂紋張開應力時，裂紋才能張開并發(fā)生裂紋擴展，因此裂紋擴展速率和壽命預測與裂紋張開應力密切相關。對于此方面的研究眾多學者采用經(jīng)驗公式[2?3]、理論分析[4?5]和數(shù)值計算[6?7]的方法給出裂紋張開應力。文獻[7]對鑄造鈦合金ZTC4進行了疲勞試驗，結(jié)合斷口分析研究了裂紋擴展行為，基于小裂紋理論對ZTC4的疲勞壽命進行了預測，但經(jīng)驗公式容易受限于試驗條件以及一定的材料和應力比范圍。理論分析雖然可獲得精確的張開應力，但需要基于假設條件，局限于較為簡單的裂紋幾何構型上的應用。

對于復雜裂紋幾何或外載條件，采用有限元法分析塑性誘發(fā)的裂紋閉合效應是一種有效手段[9]。其基本流程是通過建立一個帶有初始裂紋的有限元模型，外加載荷作用于模型的遠端。在恒幅加載條件下，載荷循環(huán)于最大外加載荷和最小外加載荷之間，在循環(huán)外載作用下，裂紋按照某種指定的方式向前擴展，導致在裂紋尖端后方形成一條塑性尾跡區(qū)。

現(xiàn)有的分析方法大都采用此流程，但影響裂紋閉合效應的因素很多，例如，文獻[5]對網(wǎng)格精細程度進行了詳細探討，給出了建議網(wǎng)格尺寸；對裂紋閉合效應的處理也有節(jié)點約束和上下表面建立接觸等方式模擬[10?11]。

對于裂紋擴展時機，文獻[12]的研究表明擴展時機不同會導致張開應力明顯不同，也有學者研究發(fā)現(xiàn)減小裂紋尖端網(wǎng)格尺寸對不同裂紋擴展時機影響很小。

針對緊湊拉伸試樣，通過構建其平面有限元模型，同時考慮塑性誘發(fā)的裂紋閉合效應，研究了網(wǎng)格尺寸、裂紋擴展時機、裂紋張開點的確定等關鍵因素對裂紋張開應力的影響，并采用節(jié)點反力線性插值的方法，給出了穩(wěn)定的裂紋張開載荷判斷方式，為復雜疲勞裂紋擴展行為分析和壽命預測提供有益參考。

2 有限元模型及分析流程

對于緊湊拉伸試樣（CT，Compact Tension），由于裂紋貫穿試件并且試樣幾何尺寸和邊界條件具有對稱性，因此，采用二分之一對稱平面模型，并對裂紋尖端網(wǎng)格進行加密處理以滿足塑性區(qū)要求，如圖1所示。其中，模型中材料本構為理想彈塑性模型，具體參數(shù)為：E=200GPa，μ=0.3，σ0=230MPa。

圖1 CT試樣有限元模型Fig.1 Numerical Model of CT Specimen

考慮裂紋閉合效應的疲勞裂紋擴展分析是一個非線性的分析過程，需采用等幅循環(huán)外載，在每一次循環(huán)外載內(nèi)為等值增量加載，裂紋擴展計算過程具體為：在每一次循環(huán)外載的最大載荷處釋放一個節(jié)點約束，此時裂紋尖端擴展一個單元格長度Δa，形成新的裂紋面；裂紋發(fā)生擴展后，監(jiān)測每一增量步裂紋擴展區(qū)域內(nèi)裂紋尖端后的節(jié)點y向位移值，當節(jié)點位移為負時，則約束節(jié)點y向位移以阻止裂紋面的穿透，此時對應的外載為裂紋閉合載荷；在隨后的加載過程中，監(jiān)測閉合節(jié)點的反力，當節(jié)點反力由壓力轉(zhuǎn)變?yōu)槔r，去除該節(jié)點y向約束，當裂紋擴展區(qū)域內(nèi)距離裂紋尖端最近的節(jié)點y向約束解除時，此時外載對應為裂紋的張開載荷；當相鄰循環(huán)外載下，裂紋張開載荷基本保持不變，此時確定為穩(wěn)定擴展階段的裂紋張開載荷，獲得穩(wěn)定的裂紋擴展張開載荷或裂紋擴展一定長度后，程序結(jié)束。疲勞裂紋擴展的計算分析流程圖，如圖2所示。

圖2 疲勞裂紋擴展分析流程圖Fig.2 The Flow Chart of Fatigue Crack Growth Analysis

3 結(jié)果與討論

3.1 模型驗證與網(wǎng)格劃分尺寸

由于應用有限元法來分析疲勞裂紋擴展是在每一次外載循環(huán)過程中，裂紋擴展一個單元格長度Δa，因此有限元網(wǎng)格劃分的精細化程度對計算結(jié)果有很大的影響。為了提高計算效率，不適宜把網(wǎng)格劃的過分精細，但是，如果網(wǎng)格質(zhì)量比較粗糙，將會造成不準確的計算結(jié)果。

參考文獻[5]中給的建議，以裂紋尖端塑性區(qū)尺寸為參照，討論網(wǎng)格尺寸對穩(wěn)定的裂紋擴展張開載荷影響，塑性區(qū)尺寸rf計算公式為：

式中：平面應力α=1，平面應變α=3，Kmax—峰值載荷時最大應力強度因子。

在上述驗證有限元計算流程的基礎上，對CT試樣進行分析，歸一化的裂紋張開外載隨載荷循環(huán)次數(shù)的變化，如圖3所示。由圖可見，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，導致裂紋張開的外載逐漸增大并趨于穩(wěn)定，并且由計算結(jié)果與文獻[5]所得結(jié)果相比較，彼此符合良好，說明了所采用計算方法的有效性。下面進一步對CT試樣進行參數(shù)討論。

圖3 裂紋張開外載隨循環(huán)次數(shù)變化Fig.3 Crack Opening Load Varies with Number of Cycles

給出CT試樣的裂紋張開載荷隨網(wǎng)格尺寸變化規(guī)律，圖中不同曲線為裂尖網(wǎng)格尺寸與塑性區(qū)的比值，如圖4 所示。由圖可見，網(wǎng)格尺寸相對較大時，穩(wěn)定的裂紋張開載荷較小，隨著網(wǎng)格尺寸的減小，穩(wěn)定的裂紋張開載荷逐漸增加并趨于穩(wěn)定，此時繼續(xù)增加網(wǎng)格密度不但增加整體網(wǎng)格數(shù)量，同時由于單元格長度較小，需要更多的循環(huán)次數(shù)才能達到裂紋張開載荷的穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4 裂紋張開載荷隨網(wǎng)格尺寸變化Fig.4 Crack Opening Load Varies with Mesh Size

3.2 黏連節(jié)點釋放

疲勞裂紋擴展是在外加循環(huán)外載下裂紋尖端按某種規(guī)律逐步向前擴展。有限元分析中最常見的處理方法是逐步釋放裂尖節(jié)點約束，使裂紋每次以一個網(wǎng)格寬度的增量向前擴展。

當采用釋放裂尖節(jié)點約束的方式來實現(xiàn)裂紋擴展時，究竟應該在循環(huán)外載的什么時機釋放節(jié)點對還是一個有待明確的問題。

目前，針對節(jié)點釋放時機，主要有如下三類處理方式：

（1）在最大外載時刻釋放節(jié)點；

（2）在最小外載時刻釋放節(jié)點；

（3）在第二次循環(huán)中最大外載時刻釋放。

上述三種情況下裂紋張開載荷的變化情況下的計算結(jié)果，如圖5所示。由圖可知，裂尖節(jié)點在最小外載時釋放，張開載荷略小于節(jié)點在最大外載釋放的值；節(jié)點在第二次循環(huán)中釋放，此時對應的裂紋張開載荷變化不大，但需要指出的是節(jié)點在第二次循環(huán)中釋放增加了一倍的計算量。

圖5 不同時刻節(jié)點釋放對比Fig.5 Comparison Diagram of Node Release at Different Time Points

3.3 裂紋張開/閉合點的確定

對于裂紋張開/閉合載荷的確定是通過對裂紋擴展區(qū)域內(nèi)的節(jié)點反力/位移進行判斷，目前大多數(shù)學者在有限元分析中是在每次載荷循環(huán)對裂尖后的第一個節(jié)點進行反力/位移的監(jiān)測，為了對比監(jiān)測不同節(jié)點時對裂紋張開載荷的影響，同時對裂紋尖端后第二個節(jié)點進行了監(jiān)測，將所確定的裂紋張開載荷與監(jiān)測裂尖后第一個節(jié)點確定的裂紋張開載荷進行對比，如圖6所示。

由圖6可見，當監(jiān)測裂紋尖端后第二個節(jié)點時，所得到的裂紋張開載荷要明顯小于監(jiān)測第一個節(jié)點時得到的值，說明當裂尖后第二個節(jié)點張開時，已擴展裂紋仍處于閉合狀態(tài)，因此監(jiān)測第二個節(jié)點不能真實描述裂紋張開/閉合點的位置。

圖6 監(jiān)測不同節(jié)點對裂紋張開載荷的影響Fig.6 The Influence of Different Monitored Node on Crack Opening Load

3.4 穩(wěn)定的裂紋張開載荷

在恒幅加載情況下，裂紋張開載荷隨著裂紋擴展的進行而逐漸趨于一穩(wěn)定的數(shù)值，此時裂紋需完全穿透初始的裂紋尖端單調(diào)塑性區(qū)才能形成一個穩(wěn)定的塑性尾跡區(qū)，得到穩(wěn)定的裂紋張開載荷。

在此需要進一步探討的是對于穩(wěn)定的裂紋張開載荷的判斷，由于每一次循環(huán)外載是通過等值增量步進行加載，在研究中發(fā)現(xiàn)，所確定的裂紋張開載荷和加載增量步數(shù)相關。

對于前后兩次循環(huán)外載，通常將裂紋張開載荷為相同增量步數(shù)時確定為穩(wěn)定的裂紋張開載荷，但在后續(xù)的循環(huán)外載作用下，裂紋張開載荷又有所增加，此時難以對穩(wěn)定的裂紋張開載荷進行精確判斷。

為了獲得更加精確真實的穩(wěn)定裂紋張開載荷，可采用2種方案以改善計算結(jié)果，具體為：

（1）增加增量步數(shù)，可以對每次循環(huán)外載下裂紋張開載荷進行更加精確的判斷，但此方法將導致計算量大幅增加且增量步數(shù)仍無統(tǒng)一標準；

（2）采用線性插值的方法，即對裂尖后節(jié)點的監(jiān)測時，當節(jié)點反力由壓力轉(zhuǎn)變?yōu)槔?，認為節(jié)點反力呈現(xiàn)線性變化，通過線性插值來確定節(jié)點反力為0時所對應的裂紋張開載荷。

相同增量步數(shù)時，線性插值與普通增量步對裂紋張開載荷的影響，如圖7所示。

圖7 裂紋張開載荷計算Fig.7 Crack Opening Load Calculation

由圖可知隨著外載循環(huán)次數(shù)的增加，當采用普通增量步進行計算時，裂紋張開載荷呈現(xiàn)一定的階躍狀態(tài)，容易出現(xiàn)幾個相鄰循環(huán)步均為相同裂紋張開載荷，無法精確判斷穩(wěn)定的裂紋張開載荷。

當采用線性插值后，裂紋張開載荷曲線更加平滑，此時穩(wěn)定的裂紋張開載荷判斷將更加精確。

不同增量步數(shù)對裂紋張開載荷的影響，每一次循環(huán)加載增量數(shù)分別為80、120和160，即當每次循環(huán)加載增量步數(shù)為160時，每增量步加載/卸載為0.0125Pmax，如圖8所示。

圖8 增量步數(shù)對裂紋張開載荷的影響Fig.8 Effect of Increment Step Number on Crack Opening Load

由圖可見，當采用線性插值方法時，不同加載子步數(shù)對裂紋張開載荷影響不大。

為了得到穩(wěn)定的裂紋張開載荷，于分析過程中，在保證裂紋完全穿透初始的裂紋尖端的單調(diào)塑性區(qū)后，當前后兩次裂紋張開載荷計算結(jié)果之間的相對差別不超過1%時為穩(wěn)定的裂紋張開載荷，即若網(wǎng)格尺寸Δa/rf=0.05，外載循環(huán)次數(shù)需超過20次后再進行穩(wěn)定的裂紋張開載荷判斷。

4 結(jié)論

針對緊湊拉伸試樣，采用有限元法對其考慮裂紋閉合效應的疲勞裂紋擴展進行分析，研究了網(wǎng)格尺寸、節(jié)點釋放時刻、監(jiān)測不同的節(jié)點等對裂紋張開載荷的影響，得到以下結(jié)論：

（1）裂紋張開載荷隨著網(wǎng)格尺寸減小逐漸增加，并趨于穩(wěn)定，但過小的網(wǎng)格尺寸會顯著降低計算效率；

（2）在研究閉合效應時，無論在最大還是最小外載處釋放節(jié)點都不會導致結(jié)果產(chǎn)生明顯不同；裂紋擴展區(qū)域內(nèi)監(jiān)測距裂尖最近的節(jié)點更加符合實際裂紋張開/閉合狀態(tài)；

（3）對監(jiān)測節(jié)點的反力采用線性插值可以使裂紋張開載荷曲線更加平滑，能夠更精確地判斷穩(wěn)定的裂紋張開載荷。