趙大興，陳少男，王思明

（1.湖北工業(yè)大學(xué)，機械工程學(xué)院，湖北武漢 430068）

（2.湖北省包裝裝備工程技術(shù)中心，湖北武漢 430068）

1 引言

RV 減速機是工業(yè)機器人的核心部件之一，其傳動精度、剛度、傳動效率等是決定RV減速機綜合性能的關(guān)鍵指標(biāo)。由于擺線輪與針輪的嚙合狀況是影響RV減速機綜合性能的關(guān)鍵因素之一，而擺線輪的齒廓修形量決定了擺線輪與針輪的嚙合狀況，因此，國內(nèi)外學(xué)者針對RV減速機的擺線輪齒廓修形量問題進行了一定程度的研究。

在工業(yè)生產(chǎn)中，擺線輪齒廓修形主要通過等距修形與移距修形來實現(xiàn)，其中，“正等距+負移距”的組合修形獲得的嚙合剛度最大[1]，“負等距+正移距”的組合修形獲得的回差最小[2]。由于擺線輪齒廓方程比較復(fù)雜，在實際加工中，無法通過控制齒廓上所有點的位置來實現(xiàn)修形。因此，文獻[3]提出單邊齒廓選擇5個關(guān)鍵點來控制齒廓曲線實現(xiàn)修形。在協(xié)調(diào)齒廓修形量與傳動效率的問題上，文獻[4]通過對擺線輪齒廓進行分段，并分析各齒廓段上對應(yīng)的壓力角，從而對各齒廓段進行修形，實現(xiàn)其效率最大化。上述研究對RV減速機擺線輪齒廓的修形提供了一定的指導(dǎo)方向。但是，由于齒廓修形量的微小變化即可影響RV減速機的綜合性能，而采用現(xiàn)有的約束條件通常導(dǎo)致約束條件不足，最終實驗結(jié)果與理論存在較大差異，如針對擺線輪最佳嚙合區(qū)間的研究，目前國內(nèi)外學(xué)者通常將嚙合區(qū)間設(shè)定在（25～100）°的嚙合相位角內(nèi)[5?6]，但是，此嚙合區(qū)間的設(shè)定往往與嚙合點數(shù)（4～7）的要求相矛盾，從而導(dǎo)致最終修形量的結(jié)果不準(zhǔn)確。因此，須提供更加準(zhǔn)確的約束條件。由于擺線輪與針輪的嚙合區(qū)間在很大程度上決定了擺線輪的綜合性能，所以，通過對嚙合區(qū)間的研究，有助于提供更加準(zhǔn)確的約束條件。

提出通過建立RV減速機關(guān)鍵部位的剛度模型，根據(jù)其實測整機剛度值，進而推導(dǎo)出擺線輪與針輪間的總嚙合剛度，然后結(jié)合單點嚙合剛度，并最終逆向求解出其實際嚙合點數(shù)。

2 關(guān)鍵部位剛度分析

RV 減速機由一級行星齒輪機構(gòu)和二級擺線輪減速機構(gòu)組成，如圖1所示。其中二級減速機構(gòu)的減速比遠大于一級減速機構(gòu)。在傳動過程中，一級行星齒輪機構(gòu)的扭轉(zhuǎn)變形量經(jīng)二級擺線輪減速機構(gòu)后，扭轉(zhuǎn)變形量等比例縮小，因此，一級行星齒輪機構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度對整機的扭轉(zhuǎn)剛度影響很小。在二級減速機構(gòu)中，其扭轉(zhuǎn)剛度主要由擺線輪與針輪間的嚙合剛度和擺線輪與曲柄軸間滾針軸承的接觸剛度所決定。因此，這里僅考慮上述兩種剛度對RV減速機的整機扭轉(zhuǎn)剛度的影響。

圖1 RV減速機結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of RV Reducer

2.1 滾針軸承剛度

擺線輪與曲柄軸的相對位置關(guān)系，如圖2所示。

圖2 擺線輪與曲柄軸位置關(guān)系Fig.2 Relationship Between Cycloid Gear and Crankshaft

針輪組件與擺線輪間的合力F提供擺線輪自轉(zhuǎn)的切向力和擺線輪的徑向力，根據(jù)力的平衡性原理，擺線輪與3處曲柄軸的作用力為：

根據(jù)扭矩的平衡性原理可知，F(xiàn)A、FB和FC為擺線輪提供反作用力的同時還提供平衡扭矩，所以根據(jù)幾何關(guān)系可知，3處滾針軸承的徑向載荷為：

式中：—針輪對擺線輪的作用力的矢量；Ft—沿嚙合點切線方向的作用力；—擺線輪節(jié)圓半徑；a—擺線輪偏心距，且作用力F→隨曲柄軸的轉(zhuǎn)動角度而改變：

式中：αc—Ft與F之間的夾角。

聯(lián)立式（1）～式（3）可知，RV減速機運行過程中，滾針軸承受到交變載荷的作用。

而滾針軸承的剛度與其承受的載荷呈函數(shù)關(guān)系[7]：

式中：Fr—軸承徑向作用力；

Z—滾針個數(shù)；

l—滾針有效長度；

α—軸承受軸向負荷后的接觸角，此處α=0°。

在時變徑向載荷的作用下，3處滾針軸承剛度導(dǎo)致的等效扭轉(zhuǎn)剛度為：

式中：KHcA、KHcB和KHcC—3處滾針軸承對應(yīng)的剛度；lc—滾針軸承中心與擺線輪中心的距離。

2.2 擺線輪單齒嚙合剛度

根據(jù)擺線輪的齒廓曲率半徑公式[5]：

式中：rp—針齒中心圓半徑；rrp—針輪半徑；θ—嚙合相位角；K′—短幅系數(shù)，且有：

所以，在不同的嚙合點處對應(yīng)不同的擺線輪齒廓曲率半徑。擺線輪齒廓曲率半徑變化情況，如圖3所示。

圖3 擺線輪齒廓曲率半徑變化Fig.3 Change of Radius of Curvature of Cycloid Gear Profile

由于擺線輪與針輪間可看作圓柱面接觸，因此可采用赫茲公式對其進行計算[8]，其嚙合點處的變形量如下[9?10]：

針輪變形量：

由于擺線輪齒廓曲率半徑存在正負區(qū)間，故擺線輪變形量：

故針輪嚙合剛度為：

由于不同嚙合點處力臂的不同，其單點扭轉(zhuǎn)剛度也隨之變化。兩擺線輪與針輪的嚙合點產(chǎn)生的等效扭轉(zhuǎn)總剛度為[11]：

式中：j—嚙合點處針輪編號；n—嚙合點數(shù)。其中，單點等效扭轉(zhuǎn)剛度變化關(guān)系，如圖4所示。

圖4 單點扭轉(zhuǎn)剛度與嚙合相位角關(guān)系Fig.4 Relationship Between Single Point Torsional Stiffness and Meshing Phase Angle

2.3 整機扭轉(zhuǎn)剛度

根據(jù)RV減速機的結(jié)構(gòu)可知，擺線輪和曲柄軸間滾針軸承的徑向剛度導(dǎo)致的等效扭轉(zhuǎn)剛度與擺線輪和滾針軸承間的嚙合剛度導(dǎo)致的等效扭轉(zhuǎn)總剛度之間為串聯(lián)關(guān)系，即：

3 RV減速機整機扭轉(zhuǎn)剛度檢測

為獲取RV減速機的整機扭轉(zhuǎn)剛度，本課題組使用RV減速機性能試驗臺對其進行檢測，機械結(jié)構(gòu)主要由驅(qū)動電機、轉(zhuǎn)速測量系統(tǒng)、轉(zhuǎn)角測量系統(tǒng)、轉(zhuǎn)矩測量系統(tǒng)、被測減速器、加載電機等組成。

利用該設(shè)備可以實現(xiàn)對RV減速器傳動誤差、回差和剛度等參數(shù)的綜合測量。如圖5所示。

圖5 RV減速機剛度檢測Fig.5 Stiffness Detection of RV Reducer

在實驗中，使用專用工裝將RV減速機輸入軸固定，在輸出端施加扭矩。同時，使用試驗臺的輸出端的角度傳感器進行實時監(jiān)測，并記錄實時的扭轉(zhuǎn)角度。這里以RV?40E減速機為研究對象，其最終剛度檢測結(jié)果，如圖6所示。

圖6 RV?40E減速機剛度檢測結(jié)果Fig.6 Detection Results of RV?40E Reducer Stiffness

扭矩從0Nm 逐漸增加至額定扭矩412N·m，然后從412N·m逐漸減小至?412N·m，由于背隙的存在，最終兩條剛度曲線組成環(huán)形封閉曲線。0N·m處的曲線縱坐標(biāo)差值即其背隙值，兩剛度曲線的均值作為其實測剛度值。

4 擺線輪嚙合區(qū)間確認(rèn)

聯(lián)立式（1）～式（9），帶入已知數(shù)據(jù)可知，擺線輪與針輪間嚙合點產(chǎn)生的等效扭轉(zhuǎn)總剛度為6.24×108N ?mm/rad。由于等效總扭轉(zhuǎn)剛度為n個嚙合點產(chǎn)生的等效扭轉(zhuǎn)剛度之和，且各嚙合點之間相連續(xù)，因此，通過在圖3中選取不同的嚙合點，直至其等效扭轉(zhuǎn)剛度之和近似于6.24×108N ?mm/rad。在(0～180)°的嚙合相位角內(nèi)，理論嚙合點數(shù)為21個，如圖7所示。

圖7 擺線輪嚙合位置示意Fig.7 Meshing Position Diagram of Cycloid Gear

各點對應(yīng)的等效扭轉(zhuǎn)剛度，如表1所示。

表1 單點等效扭轉(zhuǎn)剛度Tab.1 Torsional Stiffness of Single Point

通過對相鄰嚙合點的總扭轉(zhuǎn)剛度的選擇和求和，當(dāng)擺線輪與針輪的嚙合區(qū)間在（54～81）°，即參與嚙合的針輪為（6～9）號時，總扭轉(zhuǎn)剛度為6.32×108Nm/rad，此時的總扭轉(zhuǎn)剛度最接近于6.24×108Nm/rad的結(jié)果。

5 有限元驗證

為確認(rèn)理論分析關(guān)于嚙合區(qū)間求解的正確性，本文根據(jù)有限元對擺線輪嚙合情況其進行分析，通過對擺線輪施加412N ?m的扭矩，并對擺線輪和針輪所有可能參與嚙合的位置施加接觸分析，最終的嚙合區(qū)間，如圖8所示。

圖8 有限元分析結(jié)果Fig.8 Finite Element Analysis Results

根據(jù)有限元分析結(jié)果，參與嚙合的針輪編號為（6～9）號，與理論結(jié)果相同，證明了擺線輪嚙合區(qū)間分析的正確性。

6 結(jié)論

（1）結(jié)合滾針軸承與擺線輪轉(zhuǎn)動角度的關(guān)系，以及滾針軸承徑向剛度與徑向載荷的變化關(guān)系，從而獲得RV減速機傳動過程中，滾針軸承組件的等效總扭轉(zhuǎn)剛度。同時，使用赫茲公式建立了RV減速機擺線輪的單點嚙合剛度隨嚙合相位角的變化關(guān)系，進而獲得單點嚙合剛度導(dǎo)致的等效扭轉(zhuǎn)剛度。

（2）根據(jù)RV 減速機的結(jié)構(gòu)特性，建立了包括滾針軸承組件的等效扭轉(zhuǎn)剛度以及擺線輪與針輪間的總扭轉(zhuǎn)剛度的整機扭轉(zhuǎn)剛度模型。通過RV減速機性能試驗臺獲得RV減速機的剛度數(shù)據(jù)，根據(jù)整機扭轉(zhuǎn)剛度模型，從而獲得了擺線輪與針輪間的總扭轉(zhuǎn)剛度值。

（3）根據(jù)擺線輪嚙合點位置連續(xù)性的特點，隨機選擇各嚙合區(qū)間內(nèi)的嚙合點，計算其扭轉(zhuǎn)剛度總和。以擺線輪與針輪間的總扭轉(zhuǎn)剛度值為參考，從上述扭轉(zhuǎn)剛度結(jié)果中選取最接近的剛度值作為實際嚙合區(qū)間。最后，通過有限元驗證了理論分析的正確性。