鄧豪，何志琴

（550025 貴州省 貴陽市 貴州大學(xué) 電氣工程學(xué)院）

0 引言

永磁同步電機(jī)因具有高功率密度、體積小、調(diào)速范圍廣、高可靠性等特點(diǎn)，在工業(yè)控制、航空航天、電動汽車、醫(yī)療器械領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用[1]。當(dāng)前，永磁同步電機(jī)矢量控制方式下，速度環(huán)常采用PI 控制。由于PI 控制簡單，易于實(shí)施，參數(shù)調(diào)整簡單受到了廣大工程師的青睞。但是，由于永磁同步電機(jī)是多變量、強(qiáng)耦合、非線性控制對象[2]，PI控制只能滿足工況簡單的環(huán)境，當(dāng)受到外界擾動以及工況突變的情況下，系統(tǒng)的魯棒性將受到較大影響。對于高精度控制場所來說，簡單的PI 控制已不能瞞住社會的需求。隨著控制理論的發(fā)展，許多學(xué)者不斷追求更好的控制方法。目前永磁同步電機(jī)調(diào)速常有模糊控制[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[4-5]、預(yù)測控制[6]、自抗擾控制[7]、滑?？刂芠8-9]。

滑模控制作為一種非線性變結(jié)構(gòu)控制，在系統(tǒng)參數(shù)變化以及工況發(fā)生變化時，具有很好的抗擾能力和魯棒性，被廣泛應(yīng)用于永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中。但是滑模控制在滑動模態(tài)時，會在滑模面進(jìn)行來回穿越產(chǎn)生抖振，如果不經(jīng)過處理直接應(yīng)用于永磁同步電機(jī)控制，會引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此許多學(xué)者采用了不同辦法來消除控制過程中會帶來的抖振。何秋生等[10]提出一種非奇異終端滑模面應(yīng)用于永磁同步電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩調(diào)速系統(tǒng)中。非奇異終端滑模面能夠在有限時間收斂，提高系統(tǒng)動態(tài)性能。同時結(jié)合趨近律設(shè)計(jì)了永磁同步電機(jī)速度環(huán)滑?？刂?，為了進(jìn)一步減小抖振，引入模糊控制進(jìn)行參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整，有效減小了抖振帶來的影響，提高控制器動態(tài)品質(zhì)；郭征華等[11]在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律中引入系統(tǒng)的狀態(tài)變量來設(shè)計(jì)新型趨近律，加快了趨近過程。同時，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)處于滑動模態(tài)時，系統(tǒng)在滑模面上的切換過程不再是帶狀，而是逐步減小的過程；夏先齊等[12]由于傳統(tǒng)等速趨近律無法兼顧抖振和快速性之間的矛盾，提出一種新型趨近律應(yīng)用于光電平臺伺服系統(tǒng)中。由于該趨近律能夠自適應(yīng)變化，很好地抑制了抖振。同時，為了提高光電平臺伺服系統(tǒng)的抗干擾，引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測進(jìn)行觀測，并進(jìn)行前饋補(bǔ)償，提高了系統(tǒng)的魯棒性；Wang 等[13]針對傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的缺陷，提出一種改進(jìn)的指數(shù)趨近律，同時使用模糊控制對滑模參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的魯棒性，使用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對負(fù)載擾動以及未知的擾動進(jìn)行前饋補(bǔ)償，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了設(shè)計(jì)滑模速度環(huán)控制器的優(yōu)越性；Kang 等[14]通過對雙冪次趨近律進(jìn)行收斂時間以及相軌跡分析，提出一種通過構(gòu)造反正切輔助函數(shù)雙冪次趨近律，將該趨近律應(yīng)用于二階系統(tǒng)，從收斂時間、系統(tǒng)抖振、抗干擾性分析了其優(yōu)越性；苗敬利等[15]設(shè)計(jì)了一種基于反正切函數(shù)滑模觀測器，通過觀測反電動勢，并對轉(zhuǎn)子位置進(jìn)行補(bǔ)償，對永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)速以及位置進(jìn)行估計(jì)，將估計(jì)得到的轉(zhuǎn)速反饋到設(shè)計(jì)模糊滑模速度環(huán)控制中，仿真顯示在空載以及外加干擾的情況下，系統(tǒng)響應(yīng)速度快，抖振小。

上述文獻(xiàn)中，為了獲得更好的控制性能，大多設(shè)計(jì)的趨近律增益都比較大。針對這一問題，本文提出一種新型趨近律，該趨近律在指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上，通過在等速項(xiàng)中引入變速因子，使得系統(tǒng)狀態(tài)可以根據(jù)距離滑模面的遠(yuǎn)近參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整，綜合了快速性與抖振之間的矛盾，有效減小了系統(tǒng)的抖振。同時，為了避免參數(shù)的反復(fù)試湊，引入萬有引力算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提趨近律的優(yōu)越性。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

為簡化分析，建立一個理想的永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，對PMSM 提出如下假設(shè)：忽略永磁同步電機(jī)鐵芯飽和，忽略磁滯和渦流的影響，磁通勢成正弦分布，忽略由于定子槽不規(guī)則所產(chǎn)生的影響[16]。

永磁同步電機(jī)在d-q 軸下的數(shù)學(xué)模型為：

式中：ud，uq——d-q 下的定子電壓；id，iq——d-q下的定子電流；Ld，Lq——d-q 軸下的定子電感；R——定子電阻；ψd，ψq——d-q 下的磁鏈；ψd——永磁體磁鏈；ωe——機(jī)械角速度；ω——電氣角速度；Pn——電機(jī)極對數(shù)。

電磁轉(zhuǎn)矩方程為：

本文以表貼式永磁同步電機(jī)為例，因此Ld=Lq=L，所以新電磁轉(zhuǎn)矩方程為：

運(yùn)動方程為

2 趨近律設(shè)計(jì)與分析

2.1 傳統(tǒng)趨近律

為改善滑?？刂频钠焚|(zhì)，高為炳院士提出了趨近律概念，并設(shè)計(jì)指數(shù)趨近律為：

式中：ε，K——大于0 的常數(shù)；s——滑模面；sign（s）——滑動模態(tài)的切換函數(shù)；ks——指數(shù)項(xiàng)；-εsign（s）——等速趨近項(xiàng)。

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)S（0）遠(yuǎn)離滑模面時，此時通過調(diào)整指數(shù)項(xiàng)和等速項(xiàng)參數(shù)同時來完成趨近模態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)到達(dá)滑模面時，此時指數(shù)項(xiàng)為0，由等速項(xiàng)來完成滑動模態(tài)。由于等速項(xiàng)含有符號函數(shù)，ε不可能為0，所以系統(tǒng)將一直伴隨著以ε大小的抖振。由上述可以看出，可通過調(diào)整ε，k 參數(shù)保證滑模控制的動態(tài)品質(zhì)。當(dāng)ε，k 參數(shù)取較大值時，系統(tǒng)將以很快的速度收斂到滑模面上，但是會產(chǎn)生較大的抖振。當(dāng)ε，k 參數(shù)取較小值時，系統(tǒng)的收斂速度較慢，抖振較小。此時通過計(jì)算指數(shù)趨近律的收斂時間，可以很明顯地看出該趨近律的缺點(diǎn)，計(jì)算如式（7）—式（9）。

式（6）中，當(dāng)s>0 時

假定系統(tǒng)的初始狀態(tài)在S（0），系統(tǒng)到達(dá)滑模面的時間如下：

從式（9）可以很明顯地看出，增大k 值可以加快系統(tǒng)的到達(dá)速度，但是到達(dá)滑模面的速度過大，系統(tǒng)狀態(tài)會在滑模面來回穿越產(chǎn)生較大的抖振，反之也是。

2.2 新型趨近律

為了克服傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的缺點(diǎn)，本文提出的趨近律如式（10）：

式中：k1，k2——大于0 的常數(shù)；0<σ<0.1。

與傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律相比，本文所提的趨近律參數(shù)k1是自適應(yīng)變化的，而不是像指數(shù)趨近律中的等速項(xiàng)ε是一個固定的常數(shù)。對所提趨近律進(jìn)行趨近模態(tài)和滑動模態(tài)分析如下：

趨近模態(tài)：當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時，由指數(shù)項(xiàng)和等速項(xiàng)同時起作用，此時等速項(xiàng)速度為k1e|s|，使得系統(tǒng)趨近速度變得很大，提高了系統(tǒng)趨近滑模面的速度。

為了進(jìn)一步消除系統(tǒng)由于sign 函數(shù)所帶來的抖振，文中選取雙曲正弦函數(shù)作為系統(tǒng)滑動模態(tài)的切換函數(shù)，使得其切換過程更加平滑，其tanh（as）圖像如圖1 所示。

圖1 雙曲正弦函數(shù)圖像Fig.1 Hyperbolic sine function image

最終，本文所提出的新型趨近律為：

構(gòu)造如式（12）的Lyapunov 函數(shù)，分析本文提出的趨近律的穩(wěn)定性。

由式（13）可知，e-|s|+σ|s|＞0。根據(jù)Lyapunov原理可知，當(dāng)≤0 時穩(wěn)定。所以當(dāng)k1，k2>0 時，所設(shè)計(jì)的新型趨近律滿足滑?？刂频倪_(dá)到條件，系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)收斂。

2.3 相軌跡圖

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提趨近律有更好的性能，與指數(shù)趨近律進(jìn)行比較，以典型2 階系統(tǒng)為例：

選取滑模面s=Cx,并進(jìn)行求導(dǎo)：

將式（14）代入式（15）可得：

從圖2 滑模運(yùn)動的相軌跡可以看出，本文提出的趨近律具有快速趨近過程，并且在滑模面上滑動過程具有較小的抖振，從圖3 趨近過程所需的時間可知，所提趨近律相比指數(shù)趨近律用時少。

圖2 滑模運(yùn)動的相軌跡Fig.2 Phase trajectory of sliding mode motion

圖3 趨近過程所需的時間Fig.3 Time required for the approach process

3 PMSM 速度環(huán)滑模設(shè)計(jì)

定義永磁同步電機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)變量為：

式中：X1，X2——系統(tǒng)的狀態(tài)變量；ωe——給定速度；ω——參考速度。

結(jié)合式（5）、式（21）可得：

為了消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，本文選取積分滑模面作為系統(tǒng)的切換函數(shù)，表達(dá)式為：

對式（25）進(jìn)行求導(dǎo)，并結(jié)合本文所提出的新型趨近律，可設(shè)計(jì)永磁同步電機(jī)滑模速度環(huán)的控制表達(dá)式為：

4 萬有引力算法

萬有引力算法是Rashedi 等[17]在2009 年提出的一種新型群體智能優(yōu)化算法，該算法根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律而提出。萬有引力搜索算法在求解最優(yōu)問題時，空間中所有粒子都被看成具有一定質(zhì)量的物體，并且能夠在解空間運(yùn)動。在尋優(yōu)過程中，解空間的所有粒子都將會受到其余粒子萬有引力的影響，受力大小與粒子的質(zhì)量成正比，與距離成反比，進(jìn)而導(dǎo)致粒子質(zhì)量小的將會向粒子質(zhì)量大的靠攏，經(jīng)過多次迭代之后，所有粒子將會收斂到質(zhì)量最大的粒子，該粒子位置就是求解問題的最優(yōu)值。因此，萬有引力算法在求解問題最優(yōu)值時，其本質(zhì)就是質(zhì)量小的粒子向質(zhì)量大的粒子靠攏過程，逐漸逼近最優(yōu)值。根據(jù)萬有引力和牛頓第二定律，可得關(guān)系表達(dá)式：

假設(shè)求解空間有N 個粒子，那么第i 個粒子在d 維空間的位置表達(dá)式為：

由式（23）可知，第i 個粒子在d 為空間中t時刻所受粒子j 的作用力如下：

式中：Mi（t），Mj（t）——t 時刻粒子i 和j 的慣性質(zhì)量；ε——一個極小的常數(shù)，防止分母為0；Rij（t）——t 時刻粒子i 和j 空間歐式距離，表達(dá)式如式（26）；G（t）——t 時刻引力常數(shù)，表達(dá)式如式（27）。

式中：G（0）——引力常數(shù)初始值；a——衰減因子；t——當(dāng)前迭代次數(shù)；T——總迭代次數(shù)。

根據(jù)式（22）可得，第i 個粒子在d 維空間中t 時刻所受加速度為

在引力搜索算法中，假設(shè)在d 維空間中t 時刻第i 個粒子受到解空間其他粒子的合力為（t），表達(dá)式為：

在該算法中，每個粒子的質(zhì)量根據(jù)該粒子所處位置的適應(yīng)度值計(jì)算，其計(jì)算公式為：

式中：fiti（t）——t 時刻第i 個粒子所處位置的適應(yīng)度值；best（t），worst（t）——當(dāng)前迭代最優(yōu)和最差適應(yīng)度粒子。

在萬有引力搜索算法中，每個粒子位置和速度更新方式為：

算法尋優(yōu)步驟如下：

（2）選擇適應(yīng)度函數(shù)為：

（3）設(shè)置最大迭代次數(shù)為30，通過不斷迭代找到最小適應(yīng)度函數(shù)的粒子，該粒子在搜索空間的位置是最佳滑模參數(shù)。

（4）判斷算法是否滿足約束條件，如果滿足則結(jié)束尋優(yōu)，輸出最佳參數(shù)。如不滿足結(jié)束條件，則繼續(xù)尋優(yōu)。

5 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖4 為基于所提新型趨近律永磁同步電機(jī)滑模速度環(huán)結(jié)構(gòu)框圖。本文以永磁同步電機(jī)矢量控制為對象進(jìn)行研究，采用id=0 控制策略，該控制結(jié)構(gòu)主要包括速度環(huán)、電流環(huán)、SVPWM，通過坐標(biāo)變換（Clarke，Park）進(jìn)行解耦控制。

圖4 永磁同步電機(jī)矢量控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Structure block diagram of permanent magnet synchronous motor vector control

本文在MATLAB 2014a/Simulink 仿真所采用的PMSM 模型參數(shù)為：定子電阻R=2.875 Ω，電感Ld=Lq=0.008 5 mH，磁通φ=0.175 Wb，轉(zhuǎn)矩系數(shù)為1.05 N·m/A，轉(zhuǎn)動慣量J=0.003 kg·m2，極對數(shù)=4。為了驗(yàn)證本文所提出趨近律的優(yōu)越性，將提出的趨近律和指數(shù)趨近律相比較。

為了保證仿真對比的準(zhǔn)確性，電流環(huán)參數(shù)保持一致，速度環(huán)分別采用新型趨近律和指數(shù)趨近律進(jìn)行控制。指數(shù)趨近律參數(shù)分別為ε=200，k=300，c=60。本文趨近律通過采用萬有引力算法進(jìn)行在線優(yōu)化，其優(yōu)化參數(shù)分別為k1=1.51，k2=130.2，σ=0.01，c=2.5。

為驗(yàn)證永磁同步電機(jī)采用新型滑模轉(zhuǎn)速環(huán)控制動態(tài)性能，系統(tǒng)仿真時在初始時刻設(shè)置空載轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，為對比系統(tǒng)的抗干擾性，在0.2 s時給系統(tǒng)突加5 N·m 的負(fù)載，在0.3 s 轉(zhuǎn)速上升至1 200 r/min。其轉(zhuǎn)速對比、電磁轉(zhuǎn)矩、三相電流對比圖分別如圖5—圖8 所示。

圖5 轉(zhuǎn)速對比Fig.5 Speed comparison

從圖5 轉(zhuǎn)速對比曲線看，采用指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)的滑模速度環(huán)，系統(tǒng)有較快的響應(yīng)，但是在初始時刻超調(diào)量大（31%），跟蹤時間長（0.06 s）。采用新型趨近律設(shè)計(jì)的滑模速度環(huán)，響應(yīng)速度快（0.03 s），并且轉(zhuǎn)速無超調(diào)。當(dāng)系統(tǒng)在0.2 s 突加負(fù)載時，指數(shù)趨近律轉(zhuǎn)速波動大（50 r/min），恢復(fù)時間長；新型趨近律轉(zhuǎn)速波動小（15 r/min），具有更快的恢復(fù)時間，當(dāng)轉(zhuǎn)速突變時，能夠快速響應(yīng)并達(dá)到穩(wěn)態(tài)。圖6 電磁轉(zhuǎn)矩對比結(jié)果表明，指數(shù)趨近律控制下的轉(zhuǎn)矩在初始時刻波動大，在0.2 s 突加負(fù)載時，電磁轉(zhuǎn)矩達(dá)到時間長、穩(wěn)定；在新型趨近律控制方式下，初始時間電磁轉(zhuǎn)矩波動小、平穩(wěn)，同時在0.2 s突加負(fù)載時，電磁轉(zhuǎn)矩能夠在很短時間快速跟蹤并達(dá)到穩(wěn)定。圖7 和圖8 分別表示在指數(shù)趨近律和新型趨近律控制下的三相電流輸出。在指數(shù)趨近律控制方式下，初始時間電流相比新型趨近律控制具有大波動。在0.2 s突加負(fù)載時，指數(shù)趨近律下的三相電流畸變率嚴(yán)重，新型趨近律控制方式下三相電流更加平穩(wěn)。當(dāng)轉(zhuǎn)速突變時，新型趨近律電流變化相對指數(shù)趨近律更小。綜上，永磁同步電機(jī)采用所提的趨近律設(shè)計(jì)的滑模速度環(huán)比指數(shù)趨近律控制方式具有更好的動態(tài)特性。

圖6 電磁轉(zhuǎn)矩對比Fig.6 Electromagnetic torque comparison

圖7 指數(shù)趨近律三相電流Fig.7 Exponential reaching law three-phase current

圖8 新型趨近律三相電流Fig.8 New approach law three-phase current

6 結(jié)論

為了提高永磁同步電機(jī)的調(diào)速的動態(tài)品質(zhì)，解決傳統(tǒng)滑模應(yīng)用于速度環(huán)具有較大的抖振、響應(yīng)速度慢等問題。本文提出一種新型趨近律，該趨近律在傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律上進(jìn)行改進(jìn)，對等速項(xiàng)引入自適應(yīng)因子解決滑?？刂圃诳焖傩院投墩裰g的矛盾，引入雙曲正切函數(shù)進(jìn)一步減小由符號函數(shù)切換過程帶來的抖振，通過采用新型趨近律來設(shè)計(jì)控制器，使用MATLAB/Simulink 仿真結(jié)果表明，采用新型趨近律設(shè)計(jì)的滑模速度環(huán)能夠減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，轉(zhuǎn)速無超調(diào)，進(jìn)一步改善永磁同步電機(jī)的動態(tài)品質(zhì)和魯棒性。