張浩，康宇馳，顧文娟，張家豪，許嘉輝

（650093 云南省 昆明市 昆明理工大學 機電工程學院）

0 引言

刷式密封是具有優(yōu)良密封性能的接觸式動密封，是航空發(fā)動機等旋轉機械的關鍵部件。近年來，隨著航空發(fā)動機技術要求的提高，航空發(fā)動機壓力、轉速等慢慢向高參數方向發(fā)展。刷絲的形變會造成泄露損失[1]、滯后效應[2]、刷絲疲勞斷裂[3]，直接影響到刷式密封的密封性和使用壽命，所以對于刷絲的形變研究有著重大的意義。

國內外學者對于刷絲的形變進行了大量的研究。Modi[4]采用材料力學中的懸臂梁模型，提出單根刷絲自由端與轉子面接觸力的計算方法；黃首清等[5]基于力矩平衡和線性疊加原理，提出氣流力引起刷絲尖端力、轉矩的定量計算方法；孫丹等[6]在前人的基礎上延用懸臂梁理論建立了刷絲的力學理論模型，計算了刷絲在氣流力作用下的變形。

現有研究對于刷絲的力學分析多基于材料力學中懸臂梁的微小變形理論，對于大變形的研究相對較少。刷絲實際工作中自由端會產生很大的撓度，這種撓度稱為刷絲的大變形。對于大變形的研究多數是以懸臂梁為結構件，大多數的情況是對于尖端載荷下的情況進行研究分析。Bishop 等[7]提供了在尖端垂直載荷下的懸臂梁的幾何非線性大變形的經典數學解決方案；Wang[8]提出了分別用于梁的尖端和均勻分布載荷下的非線性彎曲的數值方法。

基于大變形理論對無壓差下刷絲形變進行研究，本文將刷絲與轉子接觸發(fā)生的形變類似看做斜彎曲。在已發(fā)表的刷式密封力學特性研究模型中，一個共同的特點是刷絲的形變分析是在2 個正交平面單獨進行的，并且最后采用迭加原理進行求解。

本文是對無壓差下的刷式密封的刷絲進行力學特性研究。首先對無壓差下的刷絲進行受力分析，分別采用材料力學中的線性梁非線性梁理論（大小變形理論）對刷絲的形變進行求解；然后使用ABAQUS 軟件建立無壓差下的刷式密封遲滯特性模型，與前人實驗數據進行對比驗證數值模型的正確性。建立不同參數的刷式密封結構，對不同情況下的數值模型與解析解的結果進行對比分析。本文的研究對揭示在無壓差工作下的刷絲運動具有一定意義，為提高刷式密封泄漏率以及使用壽命，改善刷式密封結構提供了理論依據。

1 刷絲形變的理論模型

圖1 為刷絲在轉子作用下（XOZ）的受力分析。由于刷絲在徑向尺寸遠小于軸向尺寸，因此將刷絲簡化為梁問題進行處理。刷絲在 A 點由焊接等方法固定，B 端為自由端，因此將刷絲視為懸臂梁。本文所研究的形變均為梁中性軸的形變，忽略半徑對形變的影響，這也是材料力學中計算懸臂梁彎曲問題的常用方法。

圖1 刷絲受力分析圖（XOZ）平面Fig.1 Bristle force analysis diagram (XOZ) plane

圖1 中刷絲的長度為L，原點坐標位于刷絲固定端A 點，沿著刷絲的軸向方向為X 軸，沿著刷絲的徑向方向為Z 軸。AB 是刷絲在初始時位置的形貌，JQ 是初始位置時的轉子。AB'是與轉子發(fā)生接觸后發(fā)生形變的刷絲面貌，為平面內的一條曲線，稱為撓曲線，撓曲線上X 的任意點的縱坐標用yd表示稱為撓度。J'Q'是當轉子發(fā)生偏心運動到最高點的位置，δP是轉子偏心運動的位移，θ1是刷絲的傾角。FB是刷絲在自由端受到轉子的接觸力，FBx和FBz是FB在X 方向和Z 方向的投影分量。

材料力學中撓曲線的近似微分方程為

對式（1）進行積分，可得刷絲小變形自由端的撓度：

通過三角函數關系可得FB與δp之間的關系：

對于小變形運用撓曲線的近似微分方程對刷絲形變進行求解，得到刷絲的撓度方程為

對式（5）進行求解，得通解為

對式（6）求1 階微分可得：

式（7）中，D11和D12為未知常數，這2 個未知常數可以通過邊界條件求解。

式（8）中，FBz=FBsinθ1，FBx=FBcosθ1，從而可以求出D11，D12。

將求解結果代入式（6）可以得到刷絲形變。

在材料力學中，計算懸臂梁的大變形采用精確解：

對式（9）進行數學求解可以得：

式（10）為刷絲在徑向載荷FBz下發(fā)生形變的撓度。

對于刷絲在軸向FBx下發(fā)生的形變進行求解分析。假設刷絲是理想直線，當軸向載荷FBx小于刷絲臨界載荷時，刷絲是穩(wěn)定的；當軸向載荷FBx大于刷絲臨界載荷時，刷絲失穩(wěn)。對刷絲在軸向載荷FBx下的臨界載荷進行分析求解。

壓桿穩(wěn)定的臨界壓力的歐拉公式[9]：

其中μ為壓桿的長度因數，刷絲的約束條件是一端固定、另一端為鉸支（自由端為固定端，與轉子接觸的自由端類似于鉸支），μ≈0.7，得

對于刷絲，在轉子的作用下對其徑向產生的干擾力FBx存在2 種情況，第1 種是刷絲穩(wěn)定：

第2 種為刷絲失穩(wěn)：

結合刷絲實際工況，分析第2 種刷絲大變形的情況。刷絲在徑向載荷FBx作用下發(fā)生的大變形為

因為在大撓度的情況下，刷絲尖端力無法準確用數學算式表達出來，這里采用形變的微小形變公式進行基本的判斷。將FBx=FBcosθ1，以及式（3）、式（12）代入式（15）可得：

已知θ1是刷絲的傾角，此處π ≈3.14，所以

綜上，在實際工況中只存在第1 種情況，在徑向載荷FBx的作用下刷絲在徑向產生微小變形。

圖2 所示為刷絲在徑向載荷FBx的受力分析，圖2 中：L 為刷絲長度，yx為刷絲在徑向載荷FBx下的撓度。

圖2 刷絲徑向載荷FBx 下的受力分析Fig.2 Bristle force analysis diagram under radial load FBx

若只取壓力FBx的絕對值，則當yx為正時，M 為負；yx為負時，M為正。即M 與yx的正負號相反，所以

將式（18）代入式（1）可得：

式（21）中A，B 為積分常數。刷絲在此時的邊界條件為

代入邊界條件，求解式（21）可得：

式（24）中的A 為刷絲在徑向載荷下的中點坐標，可以通過數值模型進行確認。在徑向載荷FBx作用下的撓度為yx，刷絲在自由端在轉子的作用力下總撓度yd為

即刷絲在FB作用下撓度的解析解為

2 數值模型準確性驗證

本文使用Demiroglu 等[10]的實驗結果驗證數值模型的準確性，圖3 是實驗示意圖。用一個載荷塊代替轉子，載荷塊的上下運動代替轉子的偏心運動，轉子的轉動并未在實驗中考慮。

圖3 實驗測量刷絲束轉子接觸力示意圖Fig.3 Schematic diagram of experimental measurement of contact force between bristle pack and rotor

圖4 刷絲與載荷塊示意圖Fig.4 Schematic diagram of contact between bristle pack and load block

本文采用如圖5 所示的幾何模型，該模型包含1 個背板，1 個轉子和22 根刷絲。模型需要確定的幾何參數如表1 所示。22 根刷絲分布成3 排，刷絲以叉排形式排列。該模型單元選取與邊界條件參考了Duran[11]等人提出的模型。

圖5 ABAQUS 幾何模型圖Fig.5 ABAQUS numerical model geometry schematic

表1 刷式密封模型主要幾何參數Tab.1 Main parameters of brush seal model

模型采用三維實體單元C3D8R。刷絲在轉子的接觸力作用發(fā)生了彎曲，可以將刷絲看作為Euler-Bernoulli 梁，本文采用B31 單元構建刷絲。對于邊界條件的選取也與Duran 等的研究保持一致。模型中對接觸的設置采用General contact 方式定義。模型中刷絲之間接觸用梁-梁接觸方式（edge-to-edge contact）構建，刷絲與背板之間的接觸由梁-面接觸方式構建，刷絲與轉子之間的接觸由點-面接觸方式構建。刷絲固定端受到全約束，模仿實際工況中刷絲束在固定端焊接在一起。將背板看做為剛體，并取用一個參考點，由于背板在運動過程中保持靜止，那么此參考點受到全約束。實際工況中的轉子偏心運動由載荷塊的上下運動實現。為了方便比較，刷絲采用haynes25 合金材料，密度為9 130 kg/m3，彈性模量213.7 GPa，泊松比為0.29。背板和轉子均為剛體材料。

圖6 對比了數值計算單根刷絲接觸力結果和實驗測量的單根刷絲接觸力的結果。從圖6 可以發(fā)現，在轉子的上升階段，數值模擬結果和實驗結果存在一定的差異，并且隨著轉子位移量的增加，差距逐漸增加。在轉子的上移階段不確定的摩擦系數是導致這種差距的原因之一。除此之外，實際工況相關的設計參數不能確定，這也造成了數字結果和實驗結果的差距。轉子下降階段，可以看出誤差比較大，這是因為在靜態(tài)數值計算中，有限元軟件將分析步分解成單獨的子步驟，忽略了慣性對數值模擬結果的影響。陳春行等人的數值模擬結果與該實驗結果也存在類似的差距。轉子上移階段，數值結果與實驗結果差距較小，足以說明數值模型的準確性。

圖6 數值模擬單根刷絲接觸力和實驗單根刷絲接觸力[12]對比Fig.6 Comparison of numerical simulation of single bristle contact force and experimental single bristle contact force[12]

3 數值模擬結果與解析式對比分析

為研究解析解的準確性，本文通過建立不同的數值模型進行對比分析，幾何參數如表2 所示。按照幾何分類，可以將幾何模型分成3 類。幾何模型1、2 有相同的刷絲傾角θ和刷絲直徑d，不同的刷絲長度L；幾何模型3、4 有相同的刷絲長度L 和刷絲直徑d，不同的刷絲傾角θ；幾何模型5、6 用相同的刷絲長度L和刷絲傾角θ，不同的刷絲直徑d。

表2 ABAQUS 數值模型幾何參數Tab.2 Geometry parameters of ABAQUS numerical models

幾何模型1 中，刷絲的長度L=12 mm，直徑d=0.13 mm,刷絲傾角θ1=45°。圖7 對比了此模型下的小變形公式（6）以及大變形公式（26）的計算結果與數值模擬結果。圖7 可以明顯發(fā)現，刷絲從固定端到6.8 mm 位置，小變形公式（6）的求解結果與數值模擬結果呈高度一致性。從6.8 mm 到自由端，小變形公式（6）計算結果與數值模擬結果誤差較大，大變形公式（26）計算結果與數值模擬結果呈高度一致性。

圖7 模型1 L=12 mm，d=0.13 mm，θ1=45°Fig.7 Model 1 L=12 mm,d=0.13 mm and θ1=45°

模型2，刷絲長度L=13 mm，直徑d=0.13 mm，刷絲傾角θ1=45°。圖8 對比了式（6）及式（26）計算結果與數值模擬結果。由圖8 可見，刷絲從固定端到7.6 mm 位置，式（6）求解結果與數值模擬結果呈高度一致性。從7.6 mm 到自由端，式（6）計算結果與數值模擬結果誤差較大，式（26）計算結果與數值模擬結果呈高度一致性。

圖8 模型2 L=13 mm，d=0.13 mm，θ1=45°Fig.8 Model 2 L=13 mm,d=0.13 mm and θ1=45°

模型3，刷絲長度L=12.5 mm，直徑d=0.13 mm，刷絲傾角θ1=35°。圖9 對比了式（6）及式（26）計算結果與數值模擬結果。由圖9 可見，刷絲從固定端到7.226 56 mm 位置，式（6）的求解結果與數值模擬結果呈高度一致性。從7.226 56 mm 到自由端式（6）計算結果與數值模擬結果誤差較大，式（26）計算結果與數值模擬結果呈高度一致性。

圖9 模型2 L=12.5 mm，d=0.13 mm，θ1=35°Fig.9 Model 2 L=12.5 mm,d=0.13 mm and θ1=35°

模型4，刷絲長度L=12.5 mm，直徑d=0.13 mm,刷絲傾角θ1=40°。圖10 對比了式（6）及式（26）計算結果與數值模擬結果。由圖10 可見，刷絲從固定端到7.226 56 mm 位置，式（6）的求解結果與數值模擬結果呈高度一致性。從7.226 56 mm 到自由端，式（6）計算結果與數值模擬結果誤差較大，式（26）計算結果與是數值模擬結果呈高度一致性。

圖10 模型4 L=12.5 mm，d=0.13 mm，θ1=40°Fig.10 Model 4 L=12.5 mm,d=0.13 mm and θ1=40°

模型5，刷絲長度L=12.5 mm，直徑d=0.136 mm，刷絲傾角θ1=45°。圖11 對比了式（6）及式（26）計算結果與數值模擬結果。由圖11 可見，刷絲從固定端到7.226 56 mm 位置，式（6）的求解結果與數值模擬結果呈高度一致性。從7.226 56 mm 到自由端，式（6）計算結果與數值模擬結果誤差較大，式（26）計算結果與數值模擬結果呈高度一致性。

圖11 模型5 L=12.5 mm，d=0.136 mm，θ1=45°Fig.11 Model 5 L=12.5 mm,d=0.136 mm and θ1=45°

模型6，刷絲長度L=12.5 mm，直徑d=0.142 mm，刷絲傾角θ1=45°。圖12 對比了式（6）及式（26）計算結果與數值模擬結果。由圖12 可見，刷絲從固定端到7.226 56 mm 位置，式（6）的求解結果與數值模擬結果呈高度一致性。從7.226 56 mm 到自由端，式（6）計算結果與數值模擬結果誤差較大，式（26）計算結果與數值模擬結果呈高度一致性。

圖12 模型6 L=12.5 mm，d=0.142 mm，θ1=45°Fig.12 Model 6 L=12.5 mm,d=0.142 mm and θ1=45°

4 總結

本文研究了無壓差下刷式密封刷絲的力學特性。對無壓差工作下的刷式密封的刷絲與轉子接觸作用下的受力情況進行力學分析，并采用用材料力學中的線性和非線性梁理論進行求解。采用商用軟件ABAQUS 構建3 排22 根刷絲模型，通過構建不同的幾何模型分析比較數學模型與數值模型的計算結果。主要結論如下：

（1）本文所構建的無壓差下的3 排22 根刷式密封結構中單根刷毛的數值模擬結果與前人實驗結果誤差不大，驗證了數值模型的正確性。

（2）采用材料力學中的懸臂梁理論以及數學方法，求解出軸向載荷下的刷絲撓度方程。結合刷絲實際工況，對刷絲軸向載荷進行對比分析。刷絲的軸向載荷不得超過刷絲的受力極限。因此刷絲在軸向載荷作用下的變形為微小變形。

（3）對比分析6 組幾何模型下的式（6）、式（26）以及ABAQUS 數值模擬結果。從固定端到58%位置，線性理論公式（6）求解結果與ABAQUS 數值模擬結果高度一致，非線性理論公式（26）從58%位置到自由端與ABAQUS數值模擬結果高度一致。